Phương pháp gradient tăng cường cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG TUẤN DOANH

PHƯƠNG PHÁP GRADIENT TĂNG CƯỜNG
CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT,
BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BÀI TOÁN BẤT
ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trương Minh Tuyên

Thái Nguyên – 2017


ii

Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Trương Minh Tuyên. Tác giả
xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa
học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn
và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận
văn.
Trong quá trình hoàn thiện luận văn, tác giả cũng đã học tập được rất nhiều
kiến thức chuyên ngành bổ ích phục vụ cho công tác và nghiên cứu của bản thân.

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia
giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y, Ban giám hiệu, các phòng chức năng và Khoa
Toán - Tin của trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và
giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại trường.
Xin chân thành cảm ơn các thành viên lớp cao học K9Y và bạn bè đồng
nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong suốt quá trình hoàn thiện
luận văn.


iii

Mục lục
Một số ký hiệu và viết tắt

iv

Mở đầu
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số tính chất của không gian Hilbert . . . . . .
1.2. Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn
1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . .
1.3.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Phương pháp gradient . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Phương pháp gradient tăng cường . . . . . .
1.4. Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Bài toán cân bằng và các bài toán liên quan
1.4.3. Bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát . . . .
1.4.4. Một số phương pháp giải bài toán cân bằng

1

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

Chương 2 Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung
của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất
động và bài toán bất đẳng thức biến phân
2.1. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung của bài toán
cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài toán
bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Một số hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo

3
3
10
11
11
12
13
14
14
14

16
18

20
20

25
36
41
46
49


iv

Một số ký hiệu và viết tắt

H

không gian Hilbert

., .

tích vô hướng trên H

.

chuẩn trên H

∪

phép hợp

∩

phép giao

R+

tập các số thực không âm

I

toán tử đồng nhất

∅

tập rỗng

∀x

với mọi x

∃x

tồn tại x

xn → x0

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn

dãy {xn } hội tụ yếu về x0

x0


1

Mở đầu
Bài toán cân bằng có vị trí quan trọng trong lĩnh vực giải tích phi tuyến, nó
có mối liên hệ mật thiết, qua lại (theo nghĩa bài toán này có thể đưa về bài toán
kia và ngược lại) với một số bài toán quan trọng khác như bài toán tối ưu, bài
toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán minimax, bài toán điểm bất
động ... Việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán điểm bất động, bài toán
bất đẳng thức biến phân hay bài toán cân bằng (hỗn hợp tổng quát) có nhiều
ý nghĩa thực tiễn trong các lĩnh vực kinh tế, tài chính, cơ khí và khoa học kỹ
thuật ...
Trong những năm gần đây vấn đề nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm
chung của mô hình bao gồm nhiều bài toán khác nhau đã thu hút được nhiều
người làm toán trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Một trong những bài
toán được quan tâm nhiều là bài toán tìm một nghiệm chung của bài toán cân
bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất
động của ánh xạ không giãn.
Mục đích của luận văn này là trình bày lại chi tiết kết quả của các tác giả J.
W. Peng và J. C. Yao trong tài liệu [12] về sự kết hợp giữa phương pháp gradient
tăng cường, phương pháp lặp Mann và phương pháp lai chiếu cho bài toán tìm
một nghiệm chung của bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng
thức biến phân và bài toán điểm bất động trong không gian Hilbert.

Nội dung chính của luận văn được chia làm hai chương, trong đó:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này luận văn tập trung trình bày về một số đặc trưng quan
trọng thường xuyên được sử dụng của không gian Hilbert thực H (một số đẳng
thức bất đẳng thức cơ bản, sự hội tụ yếu, tính chất Kadec-Klee, phép chiếu
mêtric, định lý tách tập lồi, tính đóng yếu của một tập con lồi và đóng C), sơ
lược về bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn cùng với phương pháp
lai chiếu được đề suất bởi K. Nakajo và W. Takahashi [9], bài toán bất đẳng
thức biến phân cùng với các phương pháp gradient [3, 7], gradient tăng cường
[6, 10, 11] và bài toán cân bằng (hỗn hợp tổng quát) cùng với một số bài toán
liên quan.


2

Chương 2. Phương pháp gradient tăng cường tìm nghiệm chung của
bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán điểm bất động và bài
toán bất đẳng thức biến phân
Trong chương này trước hết luận văn đề cập đến một số bổ đề bổ trợ nhằm
phục vụ cho chứng minh của các định lý chính như: Bổ đề KKM, bổ đề về tính
chất của ánh xạ giải Tr cho bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát. Tiếp theo,
luận văn trình bày lại chi tiết các chứng minh về sự hội tụ mạnh của phương
pháp gradient tăng cường cho bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng
hỗn hợp tổng quát, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động
trong tài liệu [12]. Cuối cùng của chương này là một ví dụ số đơn giản trên tập
các số thực R và thử nghiệm số dựa trên phần mềm MATLAB nhằm minh họa
thêm cho tính đúng đắn của phương pháp lặp.


3

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này gồm 4 mục. Mục 1.1 trình bày về một số tính chất của không
gian Hilbert. Mục 1.2 giới thiệu về bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không
giãn. Mục 1.3 trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân cùng với hai phương
pháp cơ bản để giải lớp bài toán này (phương pháp gradient và phương pháp
gradient tăng cường). Mục 1.4 tập trung trình bày về bài toán cân bằng cùng
với các bài toán liên quan (bài toán tối ưu, bài toán điểm yên ngựa, bài toán
điểm bất động, bài toán tối ưu hàm lồi khả vi, bài toán bất đẳng thức biến
phân), bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và một số phương pháp giải bài
toán cân bằng. Nội dung của chương này phần lớn được tham khảo từ các tài liệu
[1] và [2].

1.1.

Một số tính chất của không gian Hilbert

Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu
là ., . và chuẩn được kí hiệu là . .
Mệnh đề 1.1. Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau
x−y

2

+ x−z

2

= y−z

2

+ 2 x − y, x − z ,

với mọi x, y, z ∈ H.
Chứng minh. Thật vậy, ta có
y−z

2

+ 2 x − y, x − z = y, y + z, z + 2 x, x − 2 x, z − 2 x, y
= [ x, x − 2 x, y + y, y ]
+ [ x, x − 2 x, z + z, z ]


4

= x−y

2

+ x − z 2.

Vậy ta được điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.2. Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó, với mọi x, y ∈ H
và mọi λ ∈ [0, 1], ta có
λx + (1 − λ)y

2

=λ x

2

+ (1 − λ) y

2

− λ(1 − λ) x − y 2 .

(1.1)

Chứng minh. Ta có
λx + (1 − λ)y

2

= λ2 x

2

+ 2λ(1 − λ) x, y + (1 − λ)2 y
2

2

=λ x

2

+ (1 − λ) y

2

− λ(1 − λ)( x

− 2 x, y + y 2 )

=λ x

2

+ (1 − λ) y

2

− λ(1 − λ) x − y 2 .

Ta được điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.3. Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó, nếu với x, y ∈ H
thỏa mãn điều kiện
| x, y | = x . y ,
tức là bất đẳng thức Schwars xảy ra dấu bằng thì hai véc tơ x và y là phụ thuộc
tuyến tính.
Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng x = λy với mọi λ ∈ R. Khi đó, từ tính chất
của tích vô hướng, ta có
0 < x − λy

2

= λ2 y

2

− 2λ x, y + x 2 ,

với mọi λ ∈ R. Ta thấy rằng nếu y = 0, thì hiển nhiên x và y là phụ thuộc tuyến
x, y
tính. Giả sử y = 0, khi đó với λ =
, thì bất đẳng thức trên trở thành
y 2
| x, y | < x . y ,
điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy x và y là phụ thuộc tuyến tính.
Mệnh đề được chứng minh.
Nhắc lại rằng, dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu
về phần tử x ∈ H, nếu
lim xn , y = x, y ,
n→∞


5

với mọi y ∈ H. Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x, thì
xn
x. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn xét không gian
∞
2
2
2

l = {xn } ⊂ R :
n=1 |xn | < ∞ và {en } ⊂ l , được cho bởi
en = (0, ..., 0,

1

, 0, ..., 0, ...),

vị trí thứ n

với mọi n ≥ 1. Khi đó, en
đẳng thức Bessel, ta có

0, khi n → ∞. Thật vậy, với mỗi y ∈ H, từ bất
∞

| en , y |2 < y

2

< ∞.

n=1

Suy ra limn→∞ en , y = 0, tức là en
0. Tuy nhiên, {en } không hội tụ về 0, vì
en = 1 với mọi n ≥ 1.
Ta biết rằng mọi không gian Hilbert H đều thỏa mãn điều kiện của Opial,
tính chất này được thể hiện trong mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 1.4. Cho H là một không gian Hilbert thực và {xn } ⊂ H là một dãy

bất kỳ thỏa mãn điều kiện xn
x, khi n → ∞. Khi đó, với mọi y ∈ H và y = x,
ta có
lim inf xn − x < lim inf xn − y .
(1.2)
n→∞

Chứng minh. Vì xn
Ta có
xn − y

n→∞

x, nên {xn } bị chặn.

2

= xn − x

2

+ x−y

2

> xn − x

2

+ 2 xn − x, x − y .

+ 2 xn − x, x − y

Vì x = y, nên
lim inf xn − y
n→∞

2

> lim inf xn − x
n→∞

2

+ 2 xn − x, x − y

= lim inf xn − x 2 .
n→∞

Do đó, ta nhận được
lim inf xn − x < lim inf xn − y .
n→∞

Mệnh đề được chứng minh.− βn )xn + αn yn + βn SPC (un − λn Ayn ),





Cn = {z ∈ C : zn − z 2 ≤ xn − z 2 + (3 − 3γn + αn )b2 Aun 2 },







Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},



x
n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1,
1
), {rn } ⊂ [d, ∞) với d > 0 và {αn },
4k
{βn }, {γn } là các dãy nằm trong [0, 1] thỏa mãn các điều kiện:
trong đó {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0,

(i) αn + βn < 1 với mọi n ≥ 1;
(ii) limn→∞ αn = 0;
(iii) lim inf n→∞ βn > 0;
(iv) limn→∞ γn = 1 và γn > 3/4 với mọi n ≥ 1.
Khi đó, các dãy {xn }, {un }, {yn } và {zn } cùng hội tụ mạnh về w = PΩ x.


42

Định lí 2.9. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực
H. Cho F : C × C −→ R là một song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)-A(5)
và cho ϕ : C −→ R là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới. Cho

A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, k-Lipschitz. Cho S : C −→ H là một
ánh xạ không giãn sao cho Ω = F ix(S) ∩ V I(C, A) ∩ M EP (F, ϕ) = ∅. Giả sử
một trong hai điều kiện (B1) hoặc (B2) đúng. Cho {xn }, {un }, {yn } và {zn } là
các dãy được xác định bởi



x1 = x ∈ C,


1


F (un , y) + ϕ(y) − ϕ(un ) +
y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,



rn




yn = PC (xn − λn Aun ),
zn = (1 − βn )xn + βn SPC (un − λn Ayn ),






Cn = {z ∈ C : zn − z ≤ xn − z },






Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},



x
=P
x, ∀n ≥ 1,
n+1

Cn ∩Qn

1
), {rn } ⊂ [d, ∞) với d > 0 và {βn } là
4k
dãy nằm trong [0, 1] thỏa mãn các điều kiện lim inf n→∞ βn > 0. Khi đó, các dãy
{xn }, {un }, {yn } và {zn } cùng hội tụ mạnh về w = PΩ x.
trong đó {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0,

Nếu trong các Định lý 2.1 và Định lý 2.5 lấy ϕ = 0, thì ta được các kết quả
dưới đây cho bài toán (GEP).

Định lí 2.10. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert
thực H. Cho F : C × C −→ R là một song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)A(5). Cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, k-Lipschitz và cho B : C −→ B

là một toán tử α-ngược đơn điệu mạnh. Cho S : C −→ H là một ánh xạ không
giãn sao cho Ω = F ix(S) ∩ V I(C, A) ∩ GEP (F, B) = ∅. Giả sử một trong hai
điều kiện (B1) hoặc (B2) đúng. Cho {xn }, {un }, {yn } và {zn } là các dãy được
xác định bởi


43



x1 = x ∈ C,




1


F
(u
,
y)
+
Bx
,
y
−
u
+
y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,


n
n
n


rn




yn = PC (xn − λn Aun ),
zn = (1 − βn )xn + βn SPC (un − λn Ayn ),





Cn = {z ∈ C : zn − z 2 ≤ xn − z 2 + (3 − 3γn + αn )b2 Aun 2 },






Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},



x

n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1,
1
), {rn } ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0, 2α) và
4k
{βn }, {γn } là các dãy nằm trong [0, 1] thỏa mãn các điều kiện:

trong đó {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0,

(i) αn + βn < 1 với mọi n ≥ 1;
(ii) limn→∞ αn = 0;
(iii) lim inf n→∞ βn > 0;
(iv) limn→∞ γn = 1 và γn > 3/4 với mọi n ≥ 1.
Khi đó, các dãy {xn }, {un }, {yn } và {zn } cùng hội tụ mạnh về w = PΩ x.
Định lí 2.11. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert
thực H. Cho F : C × C −→ R là một song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)A(5). Cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, k-Lipschitz và cho B : C −→ B
là một toán tử α-ngược đơn điệu mạnh. Cho S : C −→ H là một ánh xạ không
giãn sao cho Ω = F ix(S) ∩ V I(C, A) ∩ GEP (F, B) = ∅. Giả sử một trong hai
điều kiện (B1) hoặc (B2) đúng. Cho {xn }, {un }, {yn } và {zn } là các dãy được
xác định bởi


x1 = x ∈ C,




1


F

(u
,
y)
+
Bx
,
y
−
u
+
y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,

n
n
n


r
n




yn = PC (xn − λn Aun ),
zn = (1 − βn )xn + βn SPC (un − λn Ayn ),






Cn = {z ∈ C : zn − z ≤ xn − z },






Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},



x
n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1,


44

1
), {rn } ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0, 2α) và
4k
{βn } là dãy nằm trong [0, 1] thỏa mãn điều kiện lim inf n→∞ βn > 0. Khi đó, các
dãy {xn }, {un }, {yn } và {zn } cùng hội tụ mạnh về w = PΩ x.
Nếu trong Định lý 2.1, F (x, y) = 0 với mọi x, y ∈ C, thì ta thu được kết quả
dưới đây cho bài toán (GVI).
trong đó {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0,

Định lí 2.12. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert
thực H. Cho ϕ : C −→ R là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới.
Cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, k-Lipschitz và cho B : C −→ B
là một toán tử α-ngược đơn điệu mạnh. Cho S : C −→ H là một ánh xạ không

giãn sao cho Ω = F ix(S) ∩ V I(C, A) ∩ GV I(C, ϕ, B) = ∅. Giả sử một trong hai
điều kiện (B1) hoặc (B2) đúng. Cho {xn }, {un }, {yn } và {zn } là các dãy được
xác định bởi


x1 = x ∈ C,




1


y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,
ϕ(y) − ϕ(un ) + Bxn , y − un +



rn




yn = (1 − γn )un + γn PC (xn − λn Aun ),
zn = (1 − αn − βn )xn + αn yn + βn SPC (un − λn Ayn ),






Cn = {z ∈ C : zn − z 2 ≤ xn − z 2 + (3 − 3γn + αn )b2 Aun 2 },






Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},



x
n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1,
1
), {rn } ⊂ [d, e] với [d, e] ⊂ (0, 2α) và
4k
{αn }, {βn }, {γn } là các dãy nằm trong [0, 1] thỏa mãn các điều kiện:

trong đó {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0,

(i) αn + βn < 1 với mọi n ≥ 1;
(ii) limn→∞ αn = 0;
(iii) lim inf n→∞ βn > 0;
(iv) limn→∞ γn = 1 và γn > 3/4 với mọi n ≥ 1.
Khi đó, các dãy {xn }, {un }, {yn } và {zn } cùng hội tụ mạnh về w = PΩ x.
Nếu trong Định lý 2.1, B = 0 và F (x, y) = 0 với mọi x, y ∈ C, thì ta thu
được kết quả dưới đây cho bài toán tìm cực tiểu của phiếm hàm lồi ϕ.


45

Định lí 2.13. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert
thực H. Cho ϕ : C −→ R là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới.
Cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, k-Lipschitz. Cho S : C −→ H là
một ánh xạ không giãn sao cho Ω = F ix(S) ∩ V I(C, A) ∩ arg minx∈C ϕ(x) = ∅.
Giả sử một trong hai điều kiện (B1) hoặc (B2) đúng. Cho {xn }, {un }, {yn } và
{zn } là các dãy được xác định bởi


x1 = x ∈ C,




1


ϕ(y) − ϕ(un ) +
y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,



rn




yn = (1 − γn )un + γn PC (xn − λn Aun ),
zn = (1 − αn − βn )xn + αn yn + βn SPC (un − λn Ayn ),






Cn = {z ∈ C : zn − z 2 ≤ xn − z 2 + (3 − 3γn + αn )b2 Aun 2 },






Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},



x
n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1,
1
), {rn } ⊂ [d, ∞) với d > 0 và {αn },
4k
{βn }, {γn } là các dãy nằm trong [0, 1] thỏa mãn các điều kiện:
trong đó {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0,

(i) αn + βn < 1 với mọi n ≥ 1;
(ii) limn→∞ αn = 0;
(iii) lim inf n→∞ βn > 0;
(iv) limn→∞ γn = 1 và γn > 3/4 với mọi n ≥ 1.
Khi đó, các dãy {xn }, {un }, {yn } và {zn } cùng hội tụ mạnh về w = PΩ x.
Nếu trong Định lý 2.1, B = 0 và ϕ = 0, thì ta thu được kết quả dưới đây cho
bài toán (EP).

Định lí 2.14. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert
thực H. Cho F : C × C −→ R là một song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)A(5). Cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, k-Lipschitz. Cho S : C −→ H
là một ánh xạ không giãn sao cho Ω = F ix(S) ∩ V I(C, A) ∩ EP (F ) = ∅. Giả sử
một trong hai điều kiện (B1) hoặc (B2) đúng. Cho {xn }, {un }, {yn } và {zn } là


46

các dãy được xác định bởi


x1 = x ∈ C,




1


F
(u
,
y)
+
y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C,

n


rn





yn = (1 − γn )un + γn PC (xn − λn Aun ),
zn = (1 − αn − βn )xn + αn yn + βn SPC (un − λn Ayn ),





Cn = {z ∈ C : zn − z 2 ≤ xn − z 2 + (3 − 3γn + αn )b2 Aun 2 },






Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},



x
n+1 = PCn ∩Qn x, ∀n ≥ 1,

(2.25)

1
), {rn } ⊂ [d, ∞) với d > 0 và {αn },
4k

{βn }, {γn } là các dãy nằm trong [0, 1] thỏa mãn các điều kiện:
trong đó {λn } ⊂ [a, b] với [a, b] ⊂ (0,

(i) αn + βn < 1 với mọi n ≥ 1;
(ii) limn→∞ αn = 0;
(iii) lim inf n→∞ βn > 0;
(iv) limn→∞ γn = 1 và γn > 3/4 với mọi n ≥ 1.
Khi đó, các dãy {xn }, {un }, {yn } và {zn } cùng hội tụ mạnh về w = PΩ x.

2.5.

Ví dụ số minh họa

Trên tập các số thực R, xét hàm F (x, y) = y 2 −x2 với mọi x, y ∈ R, ϕ(x) = x2 ,
1
Ax = x, Bx = 2x và Sx = sin x với mọi x ∈ R. Khi đó, dễ thấy song hàm
4
F (x, y) thỏa mãn các giả tiết (A1)-(A5), ϕ là hàm lồi, A là toán tử đơn điệu và
1
-Lipschitz, B là 2-ngược đơn điệu mạnh và S là ánh xạ không giãn.
4
Xét bài toán tìm một phần tử x∗ ∈ Ω = F ix(S)∩V I(C, A)∩GM EP (F, ϕ, B).
Dễ nhận thấy rằng Ω = {0}.
Với mỗi r > 0, ta tìm ánh xạ Tr : R −→ R bởi
Tr (x) = {z ∈ R : F (z, y) + ϕ(y) − ϕ(z) +

1
y − z, z − x ≥ 0, ∀y ∈ R}.
r

Điều này tương đương với
2ry 2 − (x − z)y − (2r + 1)z 2 + xz ≥ 0, ∀y ∈ R.


47

Bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi
(x − z)2 + 8r[(2r + 1)z 2 − xz] ≤ 0,
tương đương với
[x − (4r + 1)z]2 ≤ 0.
x
x
Suy ra z =
hay Tr (x) =
với mọi x ∈ R.
4r + 1
4r + 1
Áp dụng phương pháp lặp (2.1) với x1 = 2, a = 1/40, b = 1/20, d = 1, e = 3,
rn = 1, αn = 1/4n, βn = 1/2 − 1/4n, λn = 1/25 và γn = 3/4 + n/(4n + 1) với
mọi n ≥ 1, ta nhận được bảng kết quả dưới đây:
Phương pháp lặp (2.1)
TOL

10−4
10−5
10−6
10−7

n
64

78
92
106

xn − x∗
9 × 10−5
9.3 × 10−6
9.5 × 10−7
9.6 × 10−8

xn
−9.0 × 10−5
−9.3 × 10−6
−9.5 × 10−7
−9.6 × 10−8

Bảng 2.1: Nghiệm gần đúng xn và sai số giữa nghiệm gần đúng với nghiệm đúng x∗ = 0

Sự hội tụ của phương pháp lặp (2.1) còn được thể hiện trong hình dưới đây:

Hình 2.1: Mô tả sai số giữa nghiệm gần đúng và nghiệm đúng


48

Kết luận
Luận văn đã trình bày lại một cách khá chi tiết và hệ thống về các
vấn đề sau:
• Một số tính chất của không gian Hilbert (sự hội tụ yếu và các tính chất
liên quan, định lý tách tập lồi, phép chiếu mêtric và đặc trưng của nó);

• Bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn và phương pháp lặp Mann;
• Bài toán bất đẳng thức biến phân và các phương pháp gradient và gradient
tăng cường;
• Bài toán cân bằng và các bài toán liên quan; bài toán cân bằng hỗn hợp
tổng quát và một số phương pháp giải;
• Trình bày chi tiết kết quả của J. W. Peng và J. C. Yao trong tài liệu [12]
cùng với một ví dụ số minh họa.


49

Tài liệu tham khảo
[1] R. P. Agarwal, D. O’Regan, D. R. Sahu (2009), Fixed Point Theory for
Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[2] H.H. Bauschke, P.L. Combettes (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer.
[3] A. Bnouhachem, M. A. Noor, E. Al-Said , M. Khalfaoui, S. Zhaohan. Extragradient method for variational inequalities. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 40, pp. 839-854, 2011.
[4] L. C. Ceng, N. Hadjisavvas and N.C. Wong (2010), "Strong Convergence
Theorem by a Hybrid Extragradient-like Approximation Method for Variational Inequalities and Fixed point Problems", J. Glob. Optim., 46(4), pp.
635-646.
[5] K. Fan (1961), "A generalization of Tychonoff’s fixed-point theorem", Math.
Ann., 142, pp. 305-310.
[6] G. M. Korpelevich. The extragradient method for finding saddle points and
other problems. Ekonomika i Matematcheskie Metody,12, pp. 747-756, 1976.
[7] J. L. Lions, G. Stampacchia. Variational inequalities. Communications on
Pure and Applied Mathematics, 20, pp. 493-512, 1967.
[8] N. Nadezhkina and W. Takahashi (2006), "Weak convergence theorem by an
extragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings",
J. Optim. Theory Appl.,128, pp. 191-201.
[9] K. Nakajo, W. Takahashi (2003), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", J. Math. Anal. Appl.,
279, pp. 372-379.

[10] M. A. Noor. Extragradient methods for pseudomonotone variational inequalities. Journal of Optimization Theory and Applications,117, pp. 475-488,
2003.


50

[11] M. A. Noor. New extragradient-type methods for general variational inequalities. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 277, pp. 379-394,
2003.
[12] J. W. Peng, J. C. Yao (2008), "A new hybrid-extragradient method for generalized mixed equilibrium problems, fixed point problems and Variational
inequalitiy problems", Taiwainese J. Math., 12 (6), pp. 1401-1432.
[13] Y. Su, M. Shang and X. Qin (2008), "An iterative method of solutions
for equilibrium and optimization problems", Nonlinear Analysis, 69(8), pp.
2709-2719.
[14] A. Tada and W. Takahashi (2007), "Weak and Strong Convergence Theorems for a Nonexpansive Mapping and an Equilibrium Problem", J. Optim.
Theory Appl., 133, pp. 359-370.