Phương Pháp Tính Đạo Hàm Và Tích Phân

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

1 / 23


NỘI DUNG

1

TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

2 / 23

NỘI DUNG

1

TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM

2

TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

2 / 23


Tính gần đúng đạo hàm

x x0 x1
với y0 = f (x0) và
y y0 y1
y1 = f (x1 ) = f (x0 + h).

Xét bảng số

Đa thức nội suy Lagrange có dạng

L (x) =

x − x0
x − x1
y1 −
y0 ,
h
h

với h = x1 − x0. Do đó, với mọi ∀x ∈ [x0, x1] ta
có
y1 − y0 f (x0 + h) − f (x0 )
=
f (x) ≈
h

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

h

TP. HCM — 2016.

3 / 23


Tính gần đúng đạo hàm

Công thức sai phân tiến:

f (x0 ) ≈

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

y1 − y0 f (x0 + h) − f (x0 )
=
h
h

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

(1)

4 / 23


Tính gần đúng đạo hàm

Công thức sai phân tiến:
f (x0 ) ≈

y1 − y0 f (x0 + h) − f (x0 )
=
h
h

(1)

Công thức sai phân lùi:
f (x0 ) ≈

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

f (x0 ) − f (x0 − h)
h

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

(2)

TP. HCM — 2016.

4 / 23


Tính gần đúng đạo hàm

x x0 x1 x2
với y0 = f (x0),
y y0 y1 y2
y1 = f (x1 ) = f (x0 + h), y2 = f (x2 ) = f (x0 + 2h)

Xét bảng số

Đa thức nội suy Lagrange có dạng
(x − x0 )(x − x1 )
(x − x0 )(x − x2 )
y

−
y1 +
2
2h2
h2
(x − x1 )(x − x2 )
y0 ,
2h2
x − x1
x − x0
L (x) =
(y
−
2y
)
+
(y2 + y0 )+
2
1
2h2
2h2
x − x2
y2 − 2y1 + y0
(y
−
2y
),
L
(x)
=

.
0
1
2h2
h2

L (x) =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

5 / 23


Tính gần đúng đạo hàm

Đặc biệt, tại x0 ta có
f (x0 ) ≈ L (x0 ) =

−3y0 + 4y1 − y2
2h

(3)

và được gọi là công thức sai phân tiến. Còn
y2 − y0
tại x1 ta cũng có f (x1) ≈ L (x1) =

và
2h

được gọi là công thức sai phân hướng tâm
và thường được viết dưới dạng
f (x0 ) ≈
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

f (x0 + h) − f (x0 − h)
2h
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

(4)
TP. HCM — 2016.

6 / 23


Tính gần đúng đạo hàm

Còn tại x2 ta cũng có
f (x2 ) ≈ L (x2 ) =

y0 − 4y1 + 3y2
và được gọi là
2h

công thức sai phân lùi và thường được viết
dưới dạng
f (x0 ) ≈

f (x0 − 2h) − 4f (x0 − h) + 3f (x0 )
2h

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

(5)

7 / 23


Tính gần đúng đạo hàm

VÍ DỤ 1.1
Tính gần đúng y (50) của hàm số y = lgx theo
công thức sai phân tiến dựa vào bảng giá trị
x
50
55
60
sau
y 1.6990 1.1704 1.7782

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

8 / 23


Tính gần đúng đạo hàm

VÍ DỤ 1.1
Tính gần đúng y (50) của hàm số y = lgx theo
công thức sai phân tiến dựa vào bảng giá trị
x
50
55
60
sau
y 1.6990 1.1704 1.7782

h = 5. Theo công thức sai phân tiến ta có
1
y (50) ≈ (−3y0 + 4y1 − y2 ) =
2h
1
(−3×1.6990+4×1.1704−1.7782) = −0.21936
2×5
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

8 / 23


Tính gần đúng tích phân xác định

TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Theo công thức Newton-Leibniz thì
b
a

b

f (x)dx = F(x) = F(b) − F(a), F (x) = f (x).
a

Nhưng thường thì ta phải tính tích phân
của hàm số y = f (x) được xác định bằng
bảng số. Khi đó khái niệm nguyên hàm
không còn ý nghĩa.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

9 / 23

Tính gần đúng tích phân xác định

Để tính gần đúng tích phân xác định trên
[a, b], ta thay hàm số f (x) bằng đa thức nội
suy Pn(x) và xem
b
a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

b

f (x)dx ≈

Pn (x)dx
a

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

10 / 23


Tính gần đúng tích phân xác định

Công thức hình thang

CÔNG THỨC HÌNH THANG
b

Để tính gần đúng tích phân

f (x)dx ta thay
a

hàm dưới dấu tích phân f (x) bằng đa thức
nội suy Newton tiến bậc 1 đi qua 2 điểm
(a, f (a)) và (b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a))
Vậy P1(x) = f (a) + f [a, b](x − a) =
= f (a) +

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

f (b) − f (a)
(x − a)
b−a

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

11 / 23


Tính gần đúng tích phân xác định

b
a

Công thức hình thang

b

P1 (x)dx =

a

f (a) + f [a, b](x − a) dx =

x2
− ax
= f (a)x + f [a, b]
2

b
a

f (b) − f (a) b2
a2
= f (a)(b − a) +
·
− ab − + a2
b−a
2
2
b−a
=
f (a) + f (b)
2

b
a

f (x)dx ≈

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

b−a
f (a) + f (b)
2

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

(6)
TP. HCM — 2016.

12 / 23


Tính gần đúng tích phân xác định

Công thức hình thang mở rộng

Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ với bước
b−a
. Khi đó a = x0 , x1 = x0 + h, . . . ,
n
xk = x0 + kh, . . . , xn = x0 + nh và yk = f (xk ),
k = 0, 1, . . . , n

chia h =

Sử dụng công thức hình thang cho từng
đoạn [xk , xk+1] ta được
x1

b

f (x)dx =
a

f (x)dx +
x0

≈ h·

xn

x2

f (x)dx + . . . +
x1

f (x)dx

xn−1

y1 + y2
yn−1 + yn
y0 + y1

+h·
+...+h·
2
2
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

13 / 23


Tính gần đúng tích phân xác định

Công thức hình thang mở rộng

VÍ DỤ 2.1
1

Tính gần đúng tích phân I =
0

dx
bằng
1+x

công thức hình thang mở rộng khi chia đoạn

[0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

14 / 23


Tính gần đúng tích phân xác định

Công thức hình thang mở rộng

VÍ DỤ 2.1
1

Tính gần đúng tích phân I =
0

dx
bằng
1+x

công thức hình thang mở rộng khi chia đoạn
[0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ.
1
k
, x0 = 0, xk = 10

,
10
10
yk = f (xk ) = 1+1 k = 10+k
h = b−a
= 1−0
=
n
10

10

h 9
1 9
10
10
I≈
+
(yk + yk+1 ) =
2 k=0
20 k=0 10 + k 10 + (k + 1)
≈ 0.6938
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

14 / 23

Tính gần đúng tích phân xác định

Công thức hình thang mở rộng

h
I ≈ (y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + 2y5 + 2y6 + 2y7 +
2
2y8 + 2y9 + y10 )
Bấm máy. Với h = 0.1, ta có
A = A+

h
∗ B ∗ (1 ÷ (1 + X )) : X = X + h
2

CALC A=0, X=0, B=1=.
A=, X=, B=2=.
...,...,...

A=, X=1, B=1=.
Kêt quả: I ≈ 0.6938
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

15 / 23

Tính gần đúng tích phân xác định

Công thức Simpson

b

Để tích gần đúng tích phân

f (x)dx ta chia
a

[a, b] thành 2 đoạn bằng nhau bởi điểm
b−a
thay hàm dưới dấu
a, x1 = a + h, b với h =
2
tích phân f (x) bằng đa thức nội suy Newton
tiến bậc 2 đi qua 3 điểm (a, f (a)), (x1, f (x1)) và
(b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a))

Vậy
P2 (x) = f (a)+f [a, x1 ](x−a)+f [a, x1 , b](x−a)(x−x1 )
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

16 / 23

Tính gần đúng tích phân xác định

b

b

f (x)dx ≈

a

Công thức Simpson

P2 (x)dx =
a

b

f (a)+f [a, x1 ](x−a)+f [a, x1 , b](x−a)(x−x1 )dx

=
a

Đổi biến x = a + ht ⇒ dx = hdt, t ∈ [0, 2]
b
a
2

=

P2 (x)dx =

f (a) + f [a, x1 ]ht + f [a, x1 , b]h2 t(t − 1) hdt

0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

17 / 23


Tính gần đúng tích phân xác định

Công thức Simpson

Mặt khác, ta có
f [a, x1 ]h = y1 − f (a),
f [a, x1 , b]h2 =

f (b) − 2f (x1 ) + f (a)
·
2

Vậy
b
a

f (x)dx ≈

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

h
f (a) + 4f (x1 ) + f (b)
3

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

(7)

18 / 23


Tính gần đúng tích phân xác định

Công thức hình Simpson mở rộng

Chia đoạn [a, b] thành 2n đoạn nhỏ với bước
b−a
. Khi đó a = x0 , x1 = x0 + h, . . . ,
2n
x2k = x0 + 2kh, . . . , x2n = x0 + 2nh, xk = x0 + kh và
yk = f (xk ), y2k = f (x2k ), k = 0, 1, . . . , 2n

chia h =

Sử dụng công thức Simpson cho từng đoạn
[xk , xk+2 ] ta được
b
a

x2

f (x)dx =

h
3

x0

x4

f (x)dx +

x2

x2n

f (x)dx + . . . +

h
3

f (x)dx
x2n−2

h
3

≈ (y0 +4y1 +y2 )+ (y2 +4y3 +y4 )+..+ (y2n−2 +4y2n−1 +y2n ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

19 / 23


Tính gần đúng tích phân xác định

Công thức hình Simpson mở rộng

VÍ DỤ 2.2
1

Tính gần đúng tích phân I =
0

dx
bằng
1+x

công thức Simpson mở rộng khi chia đoạn
[0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

20 / 23


Tính gần đúng tích phân xác định

Công thức hình Simpson mở rộng

VÍ DỤ 2.2
1

Tính gần đúng tích phân I =
0

dx
bằng
1+x

công thức Simpson mở rộng khi chia đoạn
[0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ.
b−a 1−0
1
k
=

= , x0 = 0, xk = ,
2n
20
20
20
1
20
yk = f (xk ) =
=
·
k
20 + k
1 + 20

h=

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

TP. HCM — 2016.

20 / 23