Phương Pháp Tính - Nội Suy Và Xấp Xỉ Hàm

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

1 / 82


NỘI DUNG
1

ĐA THỨC NỘI SUY

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

2 / 82

NỘI DUNG
1

ĐA THỨC NỘI SUY

2

ĐA THỨC NỘI SUY L AGRANGE

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

2 / 82


NỘI DUNG
1

ĐA THỨC NỘI SUY

2

ĐA THỨC NỘI SUY L AGRANGE

3

ĐA THỨC NỘI SUY HERMITE

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

2 / 82


NỘI DUNG
1

ĐA THỨC NỘI SUY

2

ĐA THỨC NỘI SUY L AGRANGE

3

ĐA THỨC NỘI SUY HERMITE

4

ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

2 / 82


NỘI DUNG
1

ĐA THỨC NỘI SUY

2

ĐA THỨC NỘI SUY L AGRANGE

3

ĐA THỨC NỘI SUY HERMITE

4

ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON

5

SPLINE BẬC BA

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

2 / 82


NỘI DUNG
1

ĐA THỨC NỘI SUY

2

ĐA THỨC NỘI SUY L AGRANGE

3

ĐA THỨC NỘI SUY HERMITE

4

ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON

5

SPLINE BẬC BA

6

BÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

2 / 82


Đa thức nội suy

ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong thực hành, thường gặp những hàm số
y = f (x) mà không biết biểu thức giải tích cụ
thể f của chúng. Thông thường, ta chỉ biết
các giá trị y0, y1, . . . , yn của hàm số tại các
điểm khác nhau x0, x1, . . . , xn trên đoạn [a, b].
Các giá trị này có thể nhận được thông qua
thí nghiệm, đo đạc,...Khi sử dụng những
hàm trên, nhiều khi ta cần biết các giá trị
của chúng tại những điểm không trùng với
xi (i = 0, 1, . . . , n).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

3 / 82


Đa thức nội suy

Để làm được điều đó, ta phải xây dựng một
đa thức
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0

thỏa mãn
Pn (xi ) = yi , i = 0, 1, 2, . . . , n

ĐỊNH NGHĨA 1.1
Pn (x) được gọi là đa thức nội suy của hàm
f (x), còn các điểm xi , i = 0, 1, 2, . . . , n được gọi
là các nút nội suy
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

4 / 82


Đa thức nội suy

Về mặt hình học, có nghĩa là tìm đường
cong y = Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0

đi qua các điểm Mi (xi , yi ), i = 0, 1, 2, . . . , n đã
biết trước của đường cong y = f (x).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

5 / 82


Đa thức nội suy

ĐỊNH LÝ 1.1
Đa thức nội suy Pn(x) của hàm số f (x), nếu
có, thì chỉ có duy nhất.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

6 / 82


Đa thức nội suy

ĐỊNH LÝ 1.1

Đa thức nội suy Pn(x) của hàm số f (x), nếu
có, thì chỉ có duy nhất.
VÍ DỤ 1.1
Xây dựng đa thức nội suy của hàm số y = f (x)
được xác định bởi
x 0 1 3
y 1 -1 2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

6 / 82


Đa thức nội suy

Giải.
Đa thức nội suy có dạng
y = P(x) = a2 x2 + a1 x + a0 . Thay các điểm
(xi , yi )(i = 1, 2, 3) vào đa thức này ta được hệ




 0.a2 + 0.a1 + a0 = 1
 a0 = 1
1.a2 + 1.a1 + a0 = −1 ⇔ a1 = − 19
6



 9.a + 3.a + a = 2
a = 7
2
2
1
0
6
7
6

Vậy đa thức nội suy P(x) = x2 −
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

19
x+1
6
TP. HCM — 2016.

7 / 82


Đa thức nội suy Lagrange

Cho hàm số y = f (x) được xác định như sau:
x x0 x1 x2 . . . xn
y y0 y1 y2 . . . yn

Ta sẽ xây dựng đa thức nội suy của hàm f (x)
trên đoạn [x0, xn], n 1.
Đa thức nội suy Lagrange có dạng sau
L n (x) =

n

k=0

pkn (x).yk , trong đó pkn (x) =

(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xk−1 )(x − xk+1 ) . . . (x − xn )
(xk − x0 )(xk − x1 ) . . . (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) . . . (xk − xn )
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

8 / 82


Đa thức nội suy Lagrange

VÍ DỤ 2.1
Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm
số y = sin(πx) tại các nút nội suy
x0 = 0, x1 = 16 , x2 = 12

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

9 / 82


Đa thức nội suy Lagrange

VÍ DỤ 2.1
Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm
số y = sin(πx) tại các nút nội suy
x0 = 0, x1 = 16 , x2 = 12

Giải.

1
6
1
2

0
x
y = sin(πx) 0

1
2

1.

Công thức nội suy Lagrange của hàm số y
(x− 61 )(x− 12 )

L 2 (x) = (0− 1 )(0− 1 ) .0 +
6

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

2

x(x− 16 )
x(x− 12 ) 1
7
2
1 1 1 . 2 + 1 1 1 .1 = 2 x − 3x .
( − )
.( − )
6 6 2
2 2 6

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

9 / 82


Đa thức nội suy Lagrange

Đặt
ω(x) = (x−x0 ) . . . (x−xk−1 )(x−xk )(x−xk+1 ) . . . (x−xn ).

Khi đó
pkn (x) =

ω(x)
ω (xk )(x − xk )

Đa thức nội suy Lagrange trở thành
n
yk
yk
L n (x) = ω(x).
= ω(x).
,
ω
(x
)(x
−
x
)
D
k
k
k=0
k=0 k
n

với Dk = ω (xk )(x − xk )
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

10 / 82


Đa thức nội suy Lagrange

x
x0
x1
x0 x − x0 x0 − x1
x1 x1 − x0 x − x1
...
...
...
xn xn − x0 xn − x1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

...
xn
. . . x0 − xn
. . . x1 − xn
...
...

. . . x − xn

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

D0
D1
...
Dn
ω(x)

TP. HCM — 2016.

11 / 82


Đa thức nội suy Lagrange

VÍ DỤ 2.2
Cho hàm số y được xác định bởi
x 0 1 3 4
Sử dụng đa thức Lagrange
y 1 1 2 -1
tính gần đúng giá trị của hàm số y tại x = 2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

12 / 82


Đa thức nội suy Lagrange

VÍ DỤ 2.2
Cho hàm số y được xác định bởi
x 0 1 3 4
Sử dụng đa thức Lagrange
y 1 1 2 -1
tính gần đúng giá trị của hàm số y tại x = 2.
Giải.
x=2
0
1
3
4

0
2−0
1−0
3−0
4−0

1
0−1
2−1
3−1
4−1

3
0−3
1−3
2−3
4−3

4
0−4
1−4
3−4
2−4

D0 = (2 − 0)(0 − 1)(0 − 3)(0 − 4) = −24
D1 = (1 − 0)(2 − 1)(1 − 3)(1 − 4) = 6
D2 = (3 − 0)(3 − 1)(2 − 3)(3 − 4) = 6
D3 = (4 − 0)(4 − 1)(4 − 3)(2 − 4) = −24
ω(x) = (2 − 0)(2 − 1)(2 − 3)(2 − 4) = 4
y0
1 2
−1
y1
y2
y3
1
Do đó y(2) ≈ L3 (2) = ω(x)
+
+
+
=4
+ + +

= 2.
D0 D1 D2 D3
−24 6 6 −24
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

12 / 82


Đa thức nội suy Hermite

ĐỊNH NGHĨA 3.1
Cho x0, x1, . . . , xn là n + 1 điểm phân biệt trên
đoạn [a, b] và với mỗi chỉ số i = 0, 1, . . . , n xác
định một số nguyên không âm mi . Giả sử
m
f ∈ C[a,b]
với m = max mi . Đa thức xấp xỉ hàm
0 i n

f là đa thức P(x) với bậc thấp nhất thỏa mãn
dk P(xi ) dk f (xi )
=
,
dxk
dxk

(1)

∀i = 0, 1, . . . , n, ∀k = 0, 1, . . . , mi .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

13 / 82


Đa thức nội suy Hermite

Đa thức Hermite

ĐỊNH NGHĨA 3.2
Trong trường hợp mi = 1 với mọi i = 0, 1, . . . , n
ta được đa thức Hermite.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

14 / 82


Đa thức nội suy Hermite

Đa thức Hermite

ĐỊNH LÝ 3.1
1
Nếu f ∈ C[a,b]
và x0, . . . , xn ∈ [a, b] là các điểm
phân biệt, thì đa thức duy nhất với bậc thấp
nhất thỏa mãn điều kiện của f và f tại
x0 , x1 , . . . , xn là đa thức Hermite với bậc cao
nhất có thể là 2n + 1 được xác định như sau
n

H2n+1 (x) =

n

f (xj )Hn,j (x) +
j=0

f (xj )Hn,j (x)
j=0

(2)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

15 / 82


Đa thức nội suy Hermite

Đa thức Hermite

Trong đó
Hn,j (x) = 1 − 2(x − xj )

j
pn

Hn,j (x) = (x − xj )
j

pn (x) =

(xj )

2
j
pn (x)

2
j
pn (x)

(3)

(4)

(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xj−1 )(x − xj+1 ) . . . (x − xn )
(xj − x0 )(xj − x1 ) . . . (xj − xj−1 )(xj − xj+1 ) . . . (xj − xn )

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

16 / 82


Đa thức nội suy Hermite

Đa thức Hermite

VÍ DỤ 3.1
Sử dụng đa thức Hermite, tìm xấp xỉ của
f (1.5) với f thỏa mãn số liệu sau
x
1.3
1.6
1.9
f (x) 0.6200860 0.4554022 0.2818186
f (x) −0.5220232 −0.5698959 −0.5811571

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

TP. HCM — 2016.

17 / 82