Chươn I: Phương pháp giải các dạng bài tập về dao động điều hòa

CHƯƠNG I:

DAO ĐỘNG CƠ HỌC

DẠNG I: XÁC ĐỊNH CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG TRONG DĐĐH.
A. Cách giải
Dạng này có thể chia thành các loại bài toán như sau:
Loại 1: Tìm A, T, f, .
- Nếu cho trước phương trình dao động, chẳng hạn phương trình dao động có dạng x = Acos() thì ta có thể xác
định các đại lượng bằng cách đồng nhất theo t như tim vận tốc , gia tốc, li độ.
* Tìm chu kì tần số : Việc tìm chu kì tần số thì ta chỉ việc áp dung các biểu thức có liên quan như :
+ Mối liên hệ giữa T, f và : T = .
(1)
+ Với con lăc lò xó ta có: .
(2)
+ Với con lắc đơn: .
(3)
* Tìm biên độ:
+ Nếu cho chiều dài quỹ đạo là l thì ta có: A = l/2.
+ Nếu cho biết x, v thì ta có thể tính theo biểu thức: . (4)
+ Nếu cho biết trước a, v thì ta có: .
(5)
+ Nêu cho biết trước vmax hoặc amax thì ta có thể áp dụng công thức:
vmax =
(6) hoặc amax =
(7).
+ Nªu cho biÕt qu·ng ®êng trong mét chu k× th× ta cã: S = 4A
+ NÕu biÕt qu·ng ®êng trong nöa chu k× th× ta cã S = 2A
* Xác định pha dao động: khi xác định pha dao động thì có thể xảy ra các trường hợp sau
+ Nều biết t thì ta chỉ việc thay t vào đại lượng là ta xác định được phai dao động tại thời điểm đó.
+ Nều cho biết một trong các đại lượng x, v hoặc a và chiều chuyển động thì ta có thể tìm được pha dao động

thông qua nghiệm cua phương trình lượng giác. Chẳng hạn cho biết x thì ta có : x = Acos(), giải phương trình
này ta được nghiệm .
Loại 2: tìm x, v, a, Fph
- Nếu cho biết t và phương trình dao động thì để tìm các đại lượng này thì ta chỉ cần thay t vào biểu thức của
chúng:
- Khi đó ta sẽ tìm được x, v, a tại thời điểm t.
Nếu bài toán cho trước một hoặc hai đại lượng trên yêu cầu đi tìm các đại lượng khác thì ta cũng có thể áp
dung các công thức (4); (5); (6); (7).
- Đối với lực phục hồi thì ta có: F = -kx. ( lưc này gọi là lực kéo về) Dấu “ – “ cho biết lực phục hồi luôn
hướng về vị trí cân bằng, hay lực phục hồi luôn ngược pha với li độ và nó cũng cung pha với gia tốc.
Chú ý: Nều v > 0 thì vật đang chuyển động theo chiều dương
Nều v < 0 thì vật đang chuyển động theo chiều âm.
Nều a > 0 thì vật đang ở bên âm so với gốc toạ độ, a <0 thì vật đang ở bên dương.
Nếu a.v > 0 thì vật đang chuyển động nhanh dần ( không đều).
Nếu a.v < 0 thi vật đang chuyển động chậm dần.
Loại 3: Xác định li độ , vận tốc của vật sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian . Biết tại thời điểm t
vật có li độ x0.
Cách giải bài toán này như sau:
- Biết tại t vật có li độ là x0 nên từ phương trình dao động điều hoà ta có
x = x0= Acos(. Giải phương trình lượng giác này ta tìm được:
+ khi vật đó đang chuyển động theo chiều âm ( x giảm).
+ khi vật đó đang chuyển động theo chiều dương (x tăng).
Vậy lúc này ta hoàn toàn có thể tim được li độ, vận tốc của vật sau(trước) thời điểm t một khoảng thời gian .
- Li đô, vận tốc sau thời điểm t một khoảng thoài gian là:
( với x giảm). hoặc ( với x tăng)
- Li độ và vận tốc của vật trước thời điểm t một khoảng thời gian là:
( với x giảm). hoặc ( với x tăng).
B. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 5cos10 ( cm). Hãy xác định

a. Biên độ, chu kì, tần số của vật
b. Tốc độ cực đại, gia tốc cực đại
c. Pha dao động, li độ, vận tốc, gia tốc tại thời điểm t = 0,5s.
Đa: a)5cm; 0,2s; 5Hz . b) 50cm/s; 500cm/s2. c) -5cm; 0cm/s; 500  cm/s2.
Bài 2: Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình x = 4cos10t (cm)
a. Tìm vận tốc của vật khi pha dao động bằng (rad).
b. Tính vận tốc và gia tốc của vật khi vật có li độ x = 3cm.
Đa: a) -20 2 cm/s; b)cm/s; -300cm/s2.
Bài 3: Một vật dao động theo một trục xác định có phương tình dao động là:
x = 3cos (cm).
a. Tìm biên độ và pha dao động của vật
b. Tìm vận tốc của vật khi vật có li độ x = 3cm.
Đa: a) 3cm; rad. b) cm/s.
Bài 4: Một vật dao động điều hoà, khi vật có li độ x 1 = 3cm thì vận tốc v1 = 40cm/s, khi vật qua vị trí cân bằng
thì vận tốc có độ lớn là 50cm/s.
a. Tìm tần số và biên độ dao động của vật.
b. Tìm li độ dao động của vật khi vât có tốc độ là 30cm/s.
Đa: Hz; A =5cm. b) x = 4cm,
Bài 5: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 5cos(cm). Vận tốc của vật này khi có li độ x = 3cm có
độ lớn bằng bao nhiêu?
Đa: 8cm/s
Bài 6: Một vật dao động điều hoà với vận tốc cực đại và gia tốc cực đại lần lượt là v max = 3m/s; amax = 18m/s2.
Xác định tần số biên độ dao động của hệ .
Đa; ; A = 0,5m.
Bài 7: Trong 1 phút Một vật thực hiện được 40 dao động toàn phần với biên độ là 8cm. Tìm vận tốc cực đại và
gia tốc cực đại.
Đa: cm/s2
Bài 8: Một vật dao động theo phương trình x = 5cos(cm).
a. Xác định tần số, chu kì dao động.

b. Xác đinh pha dao động tại thời điểm t = 0,25s tà đó suy ra li độ tại thời điểm ấy.
Đa: a) 1Hz; 1s. b) rad; -5cm
Bài 9: Một vật dao động theo phương trình x =4cos() (cm).
a. Lập biểu thức vận tốc và gia tốc.
b. Tính vận tốc, gia tốc, li độ tại thời điểm t = 0,5s và hãy cho biêt tại thời điểm vật đang chuyển động theo
chiều nào?
Đa: b) x = - cm; v = 4cm/s; a = cm/s2. Đang chuyển động theo chiều +
Bài 10: Một vật dao ®ộng theo phương trình x = 10cos() (cm).
a. Biết li độ của vật tại thời điểm t là 4cm và đang chuyển động theo chiều dương. Xác định li độ của vật sau
đó 0,25s
b. Biết li độ của vật tại thời điểm t là -6cm ®ang chuyÓn ®éng theo chiªu ©m. Xác định li độ và
vận tốc của vật sau đó 0,125s.
c. Biết li độ của vật tại thời điểm t là 5cm đang chuyển động theo chiều dương. Xác định li độ, vận tốc trước đó
0,3125s.
Đa: a)

II: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
A. Cách giải
Để viết phương trình dao động điều hoà ta có thể làm như sau:
- Viết phương trình tổng quát: x = a cos()
Khi đó ta chỉ việc xác đinh A, rồi thay vào phương trình tổng quát thì ta sẽ thu được phương trình dao động.
- Xác đinh : Ta có thê xác đinh theo các công thức tinh chu kì, tần số, hoặc các công thức có liên qua như ở
dạng 1.


+ Nếu lò xo treo thẳng đứng mà tại vị trí cân bằng là xo gián (nén) một đoạn là thì ta có:
- Xác đinh A: xác định như ở dang 1.
- Xác đinh :
+ Lúc t = 0 vật thoả mãn điều kiện x0, v0 ta có hệ:
=?.

Từ hệ trên cũng cho thấy nếu vật chuyển đông theo chiều dương thì. Nếu vật chuyển động theo chiều âm thì
ngược lại.
+ Nếu lúc t = 0 cho biết trước v0 và a0 lúc này ta có hệ:
+ Nếu chon lúc t = t1 vật có li độ và vận tốc là x1 và v1 thì ta có hệ:
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Một vật dao động điều hoà trên quỹ đạo 4cm, thời gian ngắn nhất để vật qua hai vị trí có vận tốc băng 0
liên tiếp là 0,1s. Viết phương trình dao động. Chọn gốc thời gia là lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
Đa: x = 2coscm.
Bài 2: Một vật dao động điều hoà có vận tốc cực đại bằng 16cm/s và gia tốc cực đại là 128cm/s 2. Viết phương
trình dao động của vật, chon gốc thời gian là lúc vật có li độ 1cm và đang chuyển động theo chiều dương.
Đa: x = 2coscm.
Bài 3: Một vật dao động điều hoà với chu kì 2s. Vào thời điểm t 1= 0 thì vật qua vị trí có li độ x 1 = 4cm theo
chiều âm. Vào thời điểm t2 vật có li độ 8cm và có vận tốc v2 = 0. Viết phương trình dao động.
Đa: x = 8cos()cm.
Bài 4: Một vật dao động điều hoà khi pha dao động ở thời điểm t là thì vật có li độ 5cm, vận tốc là -100cm/s.
Viết phương trình dao động của vật, chon gốc thời gian là lúc vật có li độ cm và đang chuyển động theo chiều
dương.
Đa: x = 10cos(20t - )cm.
Bài 5: Một vật dao động điều hoà, vật thực hiện được 5 dao động toàn phân trong 2,5s, khi vật qua vị trí cân
băng thi vận tốc có độ lớn là 62,5cm.s. Viết phương trình dao động, chon gốc thời gian là lúc vật có li độ cực
đại bên dương.
Đa: x = 5coscm.
Bài 6: Một vật dao động điều hoà với chu kì T = 0,314s. Chon gốc toạ độ tại vị trí cân bằng, sau khi hệ dao
động được một khoảng thời gian t = 1,5T thì vật có li độ x = - 2cm và đang đi theo chiều âm với vận tốc 40cm/s. Viết phương trình dao động.
Đa: x = 4cos(20t + )cm.
Bài 7: Một vật dao động điều hoà cứ sau 1/8s thì động năng lại bằng thế năng. Quãng đường mà vật đi trong
0,5s là 16cm. Chon gốc thời gian là lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Viết phương trình dao động.
Đa: x = 4cos()cm.
Bài 8: Một quả cầu nhỏ được gắn vào một lò xo có độ cứng k = 80N/m để tạo thành một con lăc lò xo. Con lắc
thực hiện được 100 dao động trong thời gian 31,4s. Bỏ qua mọi ma sát.

a. Tính khối lượng quả cầu
b. Viết phương trình dao động của quả cầu, chon gốc thời gian là lúc vật có li độ 2cm và đang chuyển động
theo chiều dương với vận tốc 40(cm/s).
Đa: a)m = 0,2kg: b) x = 4cos(20t - )cm.
Bài 9: Một lò xo có khối lượng không đáng kể có chiều dài tự nhiện l 0 = 29,5cm, được treo thẳng đứng phia
dưới được treo với vật năng có khối lượng m. Kích thích cho vật dao động điều hoà thì chiều dài của lò xo biến
đổi trong khoảng từ 29cm đến 35cm. Chon g = 10m/s2.
a. Tính chu kì dao động của con lắc
b. Viết phương trình dao động của con lắc, chon gốc thời gian là lúc là xo có chiều dài 33,5cm và đang chuyển
động về vị trí cân bằng, chọn chiều dương hướng lên.
Đa: a) s: b) x = 3cos(20t - )cm,
Bài 10: Một vật nặng m = 100g được gắn với một lò xo có khối lượng không đáng kể đầu kia được treo với
giá. Vật dao động theo phương thẳng đứng với tần số 3,5Hz. Trong quá trình dao đông thì chiều dài của lò xo
biến đổi từ 38cm đến 46cm. Chon chiều dương hướng lên, gốc toạ độ tại vị trí cân băng.


a. Viết phương trình dao động chon gốc thời gian là lúc vật qua vị trí cân bằng và đang đi xuống.
b. Tính chiều dài tự nhiên của lò xo.
Đa: a) x = 4cos( )cm: b) l0 = 42cm
Bài 11: Một con lắc lò xo nằm ngang có k = 100N/m; m= 400g, không có ma sát. Kéo vật ra khỏi vị trí cân
băng một đoạn 2cm rồi truyền cho nó một vận tốc ban đầu có độ lớn 15cm/s theo phương ngang. Lấy . Chon
chiều dương hướng xuống.
a. Tính chu kì, biên độ của con lắc
b. Viết phương trình dao động, chon gốc thời gian là lúc lò xo có chiều dài lớn nhất.
Đa:a) T =0,4s; A = 3cm: b) x = 3cos()cm.
Bài 12: Một con lắc lò xo thằng đứng. Thời gian để vật đi từ vị trí cao nhất đến vị trí thấp nhất cách nhau 6cm
là 1s. Chọn gốc thời gian là lức vật ở vị trí thấp nhất, chọn chiều dương hướng xuống.
a. Tính chu kì, biên độ dao động
b. Viết phương trình dao động
c. Tìm vận tốc cực đại, gia tốc cực đại.

Đa: a)T =2s; A = 3cm: b) x = 3cos() cm: c) 3m/s2.
Bài 13: Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng k, vật có khối lượng m. Khi vật ở vị trí cân băng người ta
truyền cho nó một vận tốc ban đầu theo chiều dương có độ lớn 1m/s, sau đó vật dao động điều hoà. Biết cứ sau
những khoảng thời gian ngắn nhất s thì động năng lại bằng thế năng. Viết phương trình dao động, chon, gốc
thời gian là lúc kích thích dao động.
Đa: x = 5cos(20t - )cm.
Bài 14: Một con lắc lò xo gồm m = 500g, cơ năng của con lắc là0,01J. Chon gốc thời gian là lúc vật có vận tốc
0,1m/s và gia tốc là - m/s. Viết phương trình dao động.
Đa: x = 2cos(10t - )cm.
Bài 15: Một con lắc lò xo thẳng đứng dao động điều hoà với biên độ 5cm, chu kì 0,628s. Chon gốc toạ độ tại
vị trí cân bằng và chiều dương trục tọa độ hướng xuống. Tại thời điểm t =s kể từ lúc bắt đầu dao động vật qua
vị trí cân băng và hướng theo chiều dương. Viết phương trình dao động.
Đa: x = 5cos(10t - )cm.
Bài 16: Một vật dao động điều hoà với chu kì là 5s. Biết rằng tại thời điểm t = 5s kể từ lúc bắt đầu dao động thì
vật có x = cm và v = cm/s. Viết phương trình dao động.
Đa: x = cos()cm.

DẠNG II. BÀI TOÁN VỀ DĐĐH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN THỜI GIAN
A. Hướng dẫn cách giải
Đối với dạng bài toàn này ta có thể chia thành các loại như sau:
1: Bài toán tính khoảng thời điểm thoả mãn các điều kiện nào đó
Loại bài toán này thường là những bài toán tìm thời điểm khi vật qua vị trí M có x 0, v0, a0, Wd0, Wt0 , F nào đó,
hoặc vật qua các vị trí này lần thứ n nào đó, hoặc kèm theo điều kiện li độ vận tốc. Dưới đây tôi sẽ giới thiêu
cho các em cách giải loại bài toán này với điều kiện của x và v còn các bài toán với các điều kiện còn lại ta
cũng giải tương tự. Loại bài toán này có thể giải theo hai cách như sau:
Cách 1: Phương pháp đại số


1.1. Khi vật có li độ x0:
Giải phương trình: x0 = Acos()

Với khi và khi .
- Số lần (n) chẵn khi vật qua điểm này ứng với nghiệm t2 (nếu ), và ứng với nghiệm t1 ( nếu ).
- Số lần (n) lẻ đi qua điểm x0 ứng với ngiệm t1 ( nêu ) và ứng với nghiệm t2 ( nếu )
+ Khi thì nếu n lẻ; k = khi n chẵn.
+ Khi thì nếu n lẻ; nếu n chẵn.
1.2. Khi vật có vận tốc là v0.
Giải phương trình:
Với khi và khi .
- Số lần (n) chẵn khi vật qua điểm này ứng với nghiệm t2 (nếu ), và ứng với nghiệm t1 ( nếu ).
- Số lần (n) lẻ đi qua điểm v0 ứng với ngiệm t1 ( nêu ) và ứng với nghiệm t2 ( nếu )
+ Khi thì nếu n lẻ; k = khi n chẵn.
+ Khi thì nếu n lẻ; nếu n chẵn.
Chú ý: Nếu có thêm cả li độ và vận tôc thì ta sẽ loại bớt được một nghiệm.
Nếu v > 0 vật đi qua x0 theo chiều dương chon nghiệm t2.
Nếu v < 0 vật qua x0 theo chiều âm lấy nghiệm t1
Cách 2: Phương pháp lượng giác
Ta chuyển dao động điều hoà sang chuyển động tròn đều của điểm M rối ta làm như sau:
a) Với vật có li độ x0.
Xác định vị trí ban đầu M0 (ứng với t = 0) và vị trí M ứng với li độ x0 trên đường tròn:
- Thời điểm vật qua vị trí này lần thứ nhất t1 = . Trong đó là góc quét
của bán kính từ M0 đến lần thứ nhất M .
- Thời điểm vật qua vị trí này lần thứ n là: t = + t1 nếu n là số nguyên lẻ
- Nếu n là số chăn thi ta có: ; nhưng t 1 lúc này thời điểm vật qua vị trí có
li độ x0 lần thứ 2.

M



M0

Chú ý: Trong trường hợp vật qua vị trí có lí độ x 0 theo một chiều cho trước thì ta có thời điểm vật qua vị trí
O
-A
A
này lần thứ n đước xác định như sau:
t = (n – 1) T + t1 ( Với t1 là thời điểm vật thoả mãn điều kiện này lần đầu tiên).
b) khi vật có vận tốc v0
Cách làm cũng tương tự như trên, nhưng biên độ lúc này là .
2: Tính khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ x1 đến x2.
Cách 1: Phương pháp đại số
1.1/ Dùng khi chưa có phương trình dao động
- Giả sử phương trình dao động có dạng: x = Acos() sau đó ta làm như sau:
- Chon t = 0 ứng với thời điểm vật có li độ x1 và vật đang chuyển động theo chiều dương từ đó suy ra từ đó ta
được phương trình dao động.
- Khi vật có li độ x = x2 giải phương trình x2 = Acos() ta sẽ tìm được t.
Để tìm được khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ x 1 đến x2 thì ta phải chọn k sao cho nghiệm thu được là nhỏ
nhất.
Cách 2: dùng chuyển động tròn đều
Biểu diễn dao động điều hòa nói trên bằng một chuyển động tròn đều.
- T×m Xá định các góc của bán kính ứng với các li độ x 1 và x2 tương ứng trên đường
tròn với các góc lần lượt là
Tính góc quét nhỏ nhất: .
Còn được xác định bởi: cos
Khi đó khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ x1 đến x2 là: .

B. Bài tập vận dụng
Tìm thời điểm

M2

M1

O

x


Bài 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 8cos(cm). Tìm thời điểm đầu tiên mà vật qua vị trí cân
bằng.
Đa : t = 0,25s.
Bài 2 : Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos() (cm). Tìm thời điểm lần thứ 3 vật qua vị trí có li
độ x = 2cm theo chiều dương.
Đa : t = 0,521s
Bài 3: Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình x =2cos() (cm). Hỏi trong lần thứ 2007 vật qua vị
trí có li độ x = -1cm vào thời điểm nào ?
Đa : t = 1003,25s
Bài 4 : Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình x =Acos(cm). Hỏi kể từ lức t = 0 vật qua vị trí mà
động năng bằng thế năng lần thứ 9 voà thời điểm nào ?
Đa : t = 0,85s
Bài 5 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 10cos() cm. Hỏi vật qua vị trí có li độ x = - 5 cm lần
thứ 2 vào thời điểm nào ?
Đa : t = 3s
Bài 6: Một vật dao động điều hoà theo phương trinh x = 8cos() cm. Vật qua vị trí có vận tốc - 8cm/s lần thứ
1010 vào thời điểm nào ?
Đa : t = 1004,5s.
Bài 7 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 8cos() cm. Hỏi vật qua vị trí mà động năng bằng 3
lần thế năng lần thứ 2010 voà thời điểm nào ?
Đa : t = 12059/12 (s).
Bài 8: Một vật dao động theo phương trình x = 8cos() cm. Vật qua vị trí mà động năng bằng thế năng lần thứ
nhất vào thời điểm nào ?

Đa : t = 1/24s.
Bài 9 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 4cos()cm. Hỏi vật qua vị trí có li độ x = 2cm lần thứ
2009 vào thời điểm nào ?
Đa : 12049/24 (s)
Tìm khoảng thời gian
Bài 10 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 8cos(cm). Vật qua vị trí có li độ x = 4cm lần thứ
2008 theo chiều âm vào thời điểm nào ?
Đa : 12044/3s
Bài 11 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 6cos()cm. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi
từ li độ -3cm đến li độ 3cm.
Đa : 0,058s
Bài 12 : Một vật dao động diều hoà với biên độ A , chu kì T = 2s. Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để đi từ
li độ đến li độ A/2
Đa : 0,5s
Bài 13 : Một vật dao động điều hoà với biên độ 8cm, chu kì dao động là 0,2s. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất
để vật đi từ vị trí có li độ -4cm đến li độ 2cm.
Đa : 0,067s
Bài 14 : Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì 2s, biên độ 5cm. Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật
tăng tốc từ 2,5cm/s đến 5cm/s.
Đa: 1/3s
Bài 15: Một vật dao động diều hoà với chu kì 2s, vận tốc qua vị trí cân bằng có đọ lớn là 6cm/s. Tính khoảng
thời gian ngắn nhất để vật thay đổi vận tốc từ cm/s đến cm/s.
Đa: 1/12s
Bài 16: Một vật dao động điều hoà với biên độ 2cm, chu kì là 2/3s. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất mà vật qua
2 vị trí có động năng băng 3 thế năng liên tiếp nhau?
Đa: 1/ 36s
Bài 17: Một con lắc lò xo thẳng đứng có k= 100N/m, m = 100g, biên độ dao động là 5cm. Tính khoảng thời
gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có lực đàn hồi cực đại đến vị trí vật có lực đàn hồi cực tiểu.
Đa: s.

Bài 18: ( CĐ- 2011) Một con lắc đơn có l =1m dao động điều hoà với biên độ góc là rad tại nơi có g = 10m/s 2.
Lấy . Thời gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ góc rad bằng bao nhiêu?
Đa:1/3s
Bài 19: (ĐH-2011) Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình x = 4cos(cm). (x tính bằng cm, t tính
bằng giây). Kể từ lúc t = 0 chất điểm qua vị trí có li độ x = -2cm lần thứ 2011 vào thời điểm nào?
Đa: 3016s.
Bài 20: ( HSG- 2012) Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì là T =2s, biên độ là A. Chọn gốc thời gian
là lúc vật qua vị trí có li độ là theo chiều dương. Tìm thời điểm mà vật qua vị trí mà tại đó động năng bằng thế
năng lần thứ 2012 .
Đa: 12071/12s
Bài 21: (ĐH-2010) Một con lắc lò xo dao động điều hoà với chu kì là T biên độ dao động là 5cm. Biết trong
một chu kì khoảng thời gian nhỏ nhất của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100cm/s 2 là T/3. Lấy .
Tính tần số dao động của con lắc
Đa: 1Hz
Bài 22: (ĐH – 2012) Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 100N/m và vật nhỏ có khối lượng m.
Con lắc dao động điều hoà theo phương nằm ngang với chu kì là T. Biết thời điểm t vật có li độ 5cm, ở thời
T
điểm t + 4 vật có tốc độ 50cm/s. Giá trị m bằng bao nhiêu?
Đa: 1kg

DẠNG III: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN QUÃNG ĐƯỜNG
A. Hướng dẫn cách giải:
Dạng bài tập này được chia thành các loại sau:
Loại 1: Tính quãng đường trong khoảng thời gian vật đi từ t1 đến t2.
Phương pháp đại số:
1/ Khi vật xuất phát từ VTCB hoặc từ vị trí biên.
- Quãng đường vật đi được từ thời điểm t =0 đến thời điểm t= T/ 4 là S = A.

- Quãng đường mà vật đi được từ lúc t = 0 đến thời điểm t = nT/4 là S = nA.
- Quãng đường mà vật đi được từ lúc t = 0 đến đến khi t = nT/4 = ( với ) là S = nA +
2/ Khi vật xuất phát từ vị trí bất kì
+Quãngđườngđiđượctừthờiđiểmt=0đếnthờiđiểmt=nT/2(n làsốtựnhiên)làS=n.2A
+Quãngđườngđiđượctừthờiđiểmt=0đếnthờiđiểmt=t 0+nT/4+
(vớit0làthờiđiểmlầnđầutiênvậtđếnVTCBhoặcvịtríbiên; 0t 0;S=+nA+.
3/ Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2.
a. Nếut2–t1=nT/2vớinlàmộtsốtựnhiênthìquãngđườngđiđượclàS=n.2A.
t = T thì S = 4A.
b.Trườnghợptổngquát.
*
GọiS1vàS2lầnlượtlàquãngđườngđiđượctừthờiđiểmt=0đếnthờiđiểmt 1vàđếnthờiđiểmt2.VớiS1vàS2tínhtheomụct
rên.Quãngđườngđiđượctừthờiđiểmt1đếnthờiđiểmt2làS=S2–S1.
* Hoặcphântích:t 2–t1=n+  t(n �N;0≤  t<).QuãngđườngđiđượctrongthờigiannTlàS1=2nA, trongthờigian 
tlàS2.QuãngđườngtổngcộnglàS=S1+S2.Tính S2 theo một trong 2 cách sau đây:
T
Cách 1: Xác định: x1, v1 ứng với thời điểm t1 + n 2 ; x2, v2 ứng với thời điểm t2 ( v1, v2 chỉ cần xác định dấu)
Nếu v1.v2
Nếu v1.v2<0

� s  x1  x2
Ngoài ra để đơn giản hơn thì ta có thể đổi gốc thời thời gian sang t 1 thì này ta chì cẩn lại phương trình. Khi
này khoảng thời gian t = t2 – t1.
Hoặc: sau khi đã xác định được vị trí và chiều chuyển động tại các điểm ta vẽ trên trục toạ độ từ đó ta suy ra
quãng đường.
Cách 2: Dựa vào chuyển động tròn đều:
Tìm các vị trí M và N ứng với các li độ x1, x2 khi vật ở các thời điểm t1 và t2.
Tìm quãng đường S2 trên hình chiếu.
Loại 2: Tính quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất ( với t < T/2)

- Khi vật dao động điều hoà thì khi càng gần VTCB thì tốc độ càng lớn, vật càng gần vị trí biên thì tốc độ càng
nhỏ.
- Nêu trong cùng một khoảng thời gian thì nếu vật vật đi trên một đoạn thằng lấy VTCB làm trung điểm thì
quãng đường đi lớn nhất, còn vật qua vị trí biên lấy vị trí biên để chia đôi thời gian thì quãng đường nhỏ nhất.
* Vậy với quy luật trên muốn tìm quãng đường lớn
nhất thì ta phải tìm hai điểm M, N đối xứng nhau
qua vị trí cân bằng sau cho thời gian để vật đi từ M,
N theo một chiều bằng khoảng thời gian đã cho.
Khi đó
Smax = /2xM/ = 2A.sin
* Tìm quãng đường nhỏ nhất thì ta phải tìm toạ độ
của điểm M sao cho khoảng thời gian vật đi từ M
đến biên rồi về M bằng khoảng thời gian đã cho khi


đó Smin = 2( A- /xM/)
Ngoài ra: ta cũng có thê dùng mối liên hệ giữa
chuyển động tròn đều và dao động điều hoà như
hình vẽ:
Chẳng hạn : với t = T/4 thì: Smax= còn Smin = ).

-A

v nhỏ

x<0,a>0

VTCB

v lớn

x>0,a<0

+A
A

v nhỏ

Loại 3: Tìm tốc độ trung bình
Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian được xác định bởi biểu thức :
vtb = . Trong đó S là quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian .
Từ biểu thức cũng cho thấy tốc độ trung bình lớn nhất khi quãng đường đi được lớn nhất và tốc độ trung bình
nhỏ nhất khi Smin.
* Trong trường hợp cho trước quãng đường thì v tb lớn nhất khi khoảng thời gian phải ngắn nhất ( thường là gần
VTCB).
B. Bài tập vận dung
Bài 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trinh x = 2cos(cm. Tính quãng đường mà vật đi được trong
khoảng thời gian 1,1s đầu tiên.
Đa : 44cm
Bài 2 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 4cos()cm. Tính quãng đường mà vật đi được trong
2,25s đầu tiên.
Đa : 16 + 2 cm.
Bài 3 : Một con lắc lò xó có k = 100N/m, m = 250g. Vật dao động điều hoà với biên độ 5cm. Tính quãng
đường và tốc độ trung bình mà vật đi được trong thời gian t = s đầu tiên.
Đa : 20cm
Bài 4 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 3cos()cm. Tính quãng đường và tốc độ trung bình sau
thời gian 1s và 1,5s kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động.
Đa : 12cm ; 18cm ; 12cm/s ; 12cm/s
Bài 5 : Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có m =200g ; k = 100N/m. Người ta kéo cho lò xo giãn 6cm rồi thả
nhẹ cho vật dao động. Tính tốc độ trung bình khi vật đi từ vị trí có lực tác dụng lên điểm treo cực đại đến vị trí

lực tác dụng lên điểm treo cực tiểu ứng với thời gian ngắn nhất.
Đa : cm/s ;
Bài 6 : Một vật dao động điều hoà với biên độ 10cm, chu kì T = 1s. Gọi M, N là hai biên, O là vị trí cân bằng.
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của OM và ON. Tính tốc độ trung bình khi vật đi từ I đến J ứng với thời gian
ngắn nhất.
Đa : 60 (cm/s).
Bài 7 : Một vật dao động điều hoà với chu kì 2s. Khi ở vị trí cân bằng người ta truyền cho vật một vật tốc ban
đầu 5cm/s. Tính tốc độ trung bình khi vật đi từ vị trí vận tốc v = 0 đến vị trí vật có li độ x = 2,5cm ứng với thời
gian ngắn nhất.
Đa : 7,5cm/s.
Bài 8 : Một vật dao động điều hoà trên đoạn thẳng AB = 20cm, vị trí cân bằng là O, chu kì dao đông T = 1s.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB.
a. Tính tốc độ trung bình của vật trong 1 chu kì
b. Tính tốc độ trung bình của vật khi vật đi từ M đến N
Đa : a. 40cm/s ; b. 60cm/s.
Bài 9 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 4cos()cm.


a. Tính thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ - 2cm theo chiều dương đến vị trí có li độ 2cm theo chiều
dương.
b. Tính thời gian để vật đi được quãng đường 2 + 2cm kể từ lúc bắt đầu chuyển động.
Đa :a) 48cm/s : b) 0.052s.
Bài 10 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 10cos() cm. Quãng đường mà vật đi được trong
khoảng thời gian từ t1 – 1,5s đến t2 = 13/3S bằng bao nhiêu ?
Đa : 50+5cm.
Bài 11 : Một vật dao động điều hoà theo phương trình x= 5cos()cm. Tính thời gian mà vật đi được quãng
đường 7,5cm kể từ lúc chuyển động.
Đa :1/12s.
Bài 12 : Một vật dao động điều hoà đi từ điểm M trên quỹ đạo đến vị trí cân bằng thì hết 1/3 chu kì. Trong
5/12 chu kì tiếp theo vật đi được quãng đường 15cm. Vật đi tiếp 0,5s nữa thì lại về M đủ một chu kì. Tìm A và

T.
Đa : T = 2s ; A = 10cm.
Bài 13 : (ĐH- 2010) Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi
từ vị trí biên x = A đến vị trí x = - A/2, chất điểm có tốc độ trung bình băng bao nhiêu ?
Đa : 9A/2T
Bài 14 : (ĐH-2009) Một vật dao động điều hoà với vận tốc cực đại là 31,4cm/s. Tốc độ trung bình trong một
chu kì dao động bằng bao nhiêu ?
Đa : 20cm/s
Bài 15 : Một vật dao động điều hoà với biên độ A, chu kì T. Tìm quãng đường
a. nhỏ nhất vật đi được trong 1/6 chu kì.
b. lớn nhất mà vật đi được trong ¼ chu kì.
c. nhỏ nhất mà vật đi được trong 2/3 chu kì.
Đa: a) s = 2A - A: b) A: c) A(4  3)
Bài 16: Một vật dao động điều hoà với chu kì T, biên độ A. Tìm tốc độ trung bình nhỏ nhất và tốc độ trung
bình lớn nhất mà vật đi được trong 1/3 chu kì.
Đa: .
Bài 17: (HSG-2011) Một vật dao động điều hoà với biên độ 10cm, tần số 1Hz. Tìm tốc độ trung bình lớn nhất
mà vật có được khi đi hết quãng đường 30cm.
Đa: 45cm/s
Bài 18: (ĐH-2012) Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì T. Gọi v TB là tốc độ trung bình trong một chu

� vTB
kì, v là tốc độ tức thời tại một thời điểm. Trong một chu kì, khoảng thời gian mà v 4
bằng bao nhiêu chu
kì?
Đa: 2T/3.


DẠNG IV. BÀI TOÁN VỀ CON LẮC LÒ XO
A. Hướng dẫn cách giải

1/ Chu kì, tần số của can lắc lò xo.
* Chu kì của con lắc lò xo T = .
* Đối với con lắc lò xo thẳng đứng, khi ở vị trí cân bằng lò xo bị biến dạng một đoạn là thì ta có: T = .
* Nếu trong thời gian con lắc thực hiện được N dao động thì T = .
Từ biểu thức ta thấy T phụ thuộc vào m và k, do đó muốn thay đổi t thì ta chỉ cần thay đổi m và k.
* Nếu con lắc bị nghiêng đi một góc thì ta có T =
a) Ghép lò xo
Nếu hai lò xo có độ cứng k1 và k2 ghép với nhau thì ta có hai cách ghép như sau:
* Ghép song song: thì lúc này độ cứng của hệ lò xo là k = k1 + k2.
* Ghép nối tiếp thì độ cứng của hệ lò xo được xác định theo biểu thức: .
b) Cắt lò xo:
Nếu một lò xo có độ cứng là k chiều dài là l bị cắt thành hai lò xo có chiều dài l1 và l2 thì khi đó độ cứng k1 và
k2 của lò xo được xác định như sau:
k1 = và k2 = .
Chú ý: Nếu cùng một lò xo, khi gắn vật m1 thì nó dao động với chu kì T1, khi gắn vật m2 chúng dao động với
chu kì là T2 . Khi đó nếu gắn vật m = m1m2 thì chu kì dao động là:
T= .
2. Các lực trong dao động của con lắc lò xo.
a) Lực kéo về ( lực phục hồi)
- Đó là lực gây ra gia tốc cho vật dao động điều hoà và nó có độ lớn tỉ lệ với độ dời, có hướng luôn hướng về
vị trí cân bằng ( lực này khác với lực đàn hồi).


- Biểu thức: Fph = - kx = ; độ lớn là
- Lực phục hồi có độ lớn cực đại khi vật ở vị trí biên với Fmax = kA.
- Lực phục hồi có độ lớn nhỏ nhất khi vật qua vị trí cân bằng Fmin = 0.
- Đối với con lắc đơn thì F kv = - mg.sin. Lực kéo về trong con lắc đơn cũng có độ lớn cực đại tai hai biêm và
băng 0 tại vị trí cân bằng.
b) Lực đàn hồi của lò xo
- Lực đàn hồi là lực chống nhân gây ra biến dạng và có độ lớn là F = k(.

Khi vật dao động thì lực đàn hồi cung luôn biến thiên.
* Con Lắc lò xo nằm ngang
Ta có như vậy F = kx. Vậy lực kéo về lực này chính là lực đàn hồi.
* Với Con lắc thẳng đứng hoặc nằm nghiêng.
- Nếu A thì lực đàn hồi có gí trị cực đại khi vật ở vị trí thấp nhất và gia tri cực đại này là: F max = k( ). Lực đàn
hồi có giá trị nhỏ nhất khi lò xo có chiều dài ngắn nhất tức là khi vật ở vị trí cao nhất. Fmin = k ( 0.
- Nếu thì lực đàn hồi có giá trị lớn nhất khi vật ở vị trí thấp nhất F max = k(). Còn lực đàn hồi có giá trị nhỏ nhất
khi vật ở vị trí mà lò xo không bị biến dạng với
Fmin = 0.
- Lực đẩy hay nén lên lò xo là lực ngược lại với lực đàn hồi.
* Độ biến dạng của lò xo
Độ biến dạng của lò xo là: . Vậy độ biến dạng cực đại là: .
Độ biến dạng cực tiểu là ( nếu ); là 0 khi .
c) Lực tác dụng lên điểm treo.
Lực tác dụng lên điểm treo có độ lớn bằng độ lớn của lực đàn hồi nhưng ngược chiều với lực đàn hồi.
3. Dao động của con lăc có sự va chạm:
Khi giải các bài toán về con lắc va chạm thường là ta phải áp dụng định luật bảo toàn động lượng (áp dụng
định luật bảo toàn động lượng theo phương). Để cụ thể ta xét hai trường hợp sau:
TH1: Hai vật va chạm với nhau rồi nhập thành một để trở thành vật năng của con lắc:
Khi nay ta có động lượng trước và chạm theo phương dao động là: .
động lượng sau va chạm là : . Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có
; Kết hợp với điều kiện về chiều chuyển động ta tìm được v của hệ ngay sau khi va chạm. Từ vận tốc này ta sẽ
tìm được biên độ, và cũng tìm được chu kì dao động .
TH 2 : Hai vật dang gắn làm một rồi bị tách thành 2 rồi chỉ còn một vật được găn với con lăc lúc này ta cũng
có :
Động lượng trước khi tách là : .
Động lượng sau vo chạm là :
Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có : .
B. Bài tập vận dung
BT về chu kì, tần số

Bài 1 : Hai lò xo có chiều dài bằng nhau và có độ cứng là k 1 và k2. Khi mắc lò xo k1 vào vật m thì nó dao động
với chu kì là T1 = 0,6s. Khi mắc k2 với vật m thì nó dao động với chu kì T 2 = 0,8s. Hỏi mắc vật m với hai lò xo
đó đặt song song với nhau thì chu kì dao động bằng bao nhiêu?
Đa: 0,48s.
Bài 2: Một con lắc lò xo dao động thẳng đứng. Vật có khối m =200g, trong 20s con lắc thực hiện được 50 dao
động toàn phần. Tính độ cứng của lò xo.
Đa: 50N/m
Bài 3: Khi gắn vật m1 = 4kg vào lò xo có khối lượng không đáng kể, thì chu kì dao động của con lắc là 1s. Khi
gắn vật khác có khối lượng m2 thi chu kì dao động là T2 = 0,5s. Tính khối lượng m2.
Đa: 1kg
Bài 4: Một vật m lần lượt được gắn vào lò xo có độ cứng là k 1 và k2 thì chu kì dao động tương ứng là T 1 và T2.
Biết T2 = 2T1 và k1 + k2 = 5N/m. Tìm k1 và k2.
Đa: k1 = 4N/m; k2 = 1N/m.


Bài 5: (HSG-2012) Cho một con lắc lò xo nằm ngang nhẹ có chiều dài tự nhiện l0, độ cứng là k. Một đầu được
gắn cố định, đầu còn lại được gắn với vật nhỏ có khối lượng m. Kích thích cho vật năng dao động với biên độ
là A. Trong qua trình dao động, khi vật tới vị trí cân bằng thì người ta giữ chặt lò xo tại điểm M cách vật một
đoạn là l0/3, sau đó vật dao động với biên độ A’. Tìm tỉ số A’/A.
Đa:
Bài 6: Một vật có khối lượng 2kg được nối với 2 lò xo có độ cứng k 1 và k2. Nếu hai lò xo ghép nối tiếp với
nhau thi chu kì dao động là T1 = 2 s. Nếu hai lò xo ghép song song thì chu kì dao động là: T 2 = s. Tính độ
cứng k1, k2 của hai lò xo. Đa: 6N/m và 12N/m.
Bài 7: (ĐH-2011) Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang gồm lò xo nhẹ một đầu cố định, đầu kia
gắn với vật nhỏ m1. Ban đầu giữ cho vật m1 tại vị trí lò xo bị nén 8cm, đặt vật nhỏ m 2 ( có khối lượng băng m1)
trên mặt phẳng nằm ngang sát với vật m1. Bỏ qua mọi ma sát. ở thời điểm lò xo có chiều dài cực đại lần đầu
tiên thì khoảng cách giữa hai vật m1 và m2 bằng bao nhiêu?
Đa: 3,2cm.
Bài 8: Một con lắc lò xo được dựng thẳng đứng có k = 50N/m, đầu dưới cố định đầu trên được gắn với vật nhỏ
có khối lượng m =300g và có dạng như một cái đĩa. Hệ có thể dao động theo phương thẳng đứng mà không

ảnh hưởng của các yếu tô bên ngoài. Từ độ cao h so với m tại vị trí cân bằng người ta thả một vật nhỏ có khối
lượng m1 = 200g xuống va chạm với m. Sau va chạm hai vật dính vào nhau và cùng dao động điều hoà với
biên độ 10cm. Lấy g =10m/s2. Tính độ cao h.
Đa: 26,25cm
Bài 9: Một con lắc lò xo dao động trên phương ngang được bố trí như hình vẽ
vật có khối lượng m = 100g gắn voà lò xo k 1 = 60N/m. Lò
xo thứ hai có k2 = 40N/m tại vị trí cân bằng thì các lò xo
không bị biến dạng và vật m tiếp xúc với k 2. Kéo vật sao
cho lò xo k1 bị nén 5cm rồi thả nhẹ nhàng cho vật chuyển
động. Bỏ qua mọi mà sát. Tính chu kì của con lắc và độ nén
tối đa của lò xo k2 trong quá trình dao động.
Đa: 0,227s và 3,873cm.
Bài 10: Một con lắc lò xo nằm ngang có k = 100N/m, m= 250g. Khi vật dang ở vị trí cân bằng người ta cho
vật m0 = 100g chuyển động thẳng đều dọc theo trục của lò xo và tới va chạm xuyên tâm với vật m làm cho lò
xo bị nén tối đa 2cm. Bỏ qua mọi ma sát. Sau khi hai vật tách khỏi nhau thì vật m dao động với biên độ bằng
bao nhiêu?
Đa: 1,69cm
Bài 11: Con lắc lò xo có k = 40N/m vật m = 100g dao động điều hoà với biên độ 5cm. Khi vật về tới vị trí cân
bằng thì người ta thả một vật m0 = 50g nhẹ nhàng lên trên vật m. Sau khi đặt, hai vật đó dính vào nhau và cùng
dao động điều hoà. Tìm biên độ dao động và chu kì dao động của hệ lúc này.
Bài 12: Treo đồng thời hai vật m1 và m2 vào một lò xo thì hệ dao động với tần số f = 2Hz. Nếu bỏ m 2 ra thì hệ
dao động với tần số là 2,5HZ. Biết m2 = 225g, lấy . Tính m1 và độ cứng k.
Đa: k = 100N/m; m1 = 400g
Bài 13: Gắn quả cầu có khối lượng m vào lò xo. Gắn thêm vật m 1 = 120g vào con lắc lò xo thì tần số dao động
của hệ là 2,5Hz. Lại gắn thêm vật m 2 = 180g thì tần số của hệ là 2Hz. Tìm khối lượng m và tân số dao động
của hệ khi chỉ có m.
Đa: m =200g; f =3,2Hz
BT về các lực
Bài 14: Một con lắc lò xo động điều hoà theo phương thẳng đứng, độ cứng k = 0,5N/cm. Lấy g = 10m/s2.
a. Lập phương trình dao động, chon gốc thời gian là lúc vật có vận tốc 20cm/s và gia tốc là 2cm/s2.

b. Tính lực đàn hồi lớn nhất và nhỏ nhất của lò xo trong quá trình vật dao động.
c. Tính thế năng và động năng tại thời điểm t = 5T/12s.


Bài 15: Quả cầu có khối lượng m= 100g được treo vào một lò xo có k = 50N/m. Tại VTCB truyền cho vật một
năng lượng ban đầu 0,0225J làm cho con lắc dao động điều hoà theo phương thẳng đứng.Tại vị trí mà lực đàn
hồi có độ lớn nhỏ nhất thì vật cách vị trí cân bằng một đoạn bằng bao nhiêu?
Bài 16: Một quả cầu có khối lượng 100g được gắn vào một lò xo, đầu còn lại của lò xo được treo vào một
điểm cố định. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng xuống dưới một đoạn 10cm rồi buông nhẹ, quả cầu dao động với
chu kì 2s.
a. Tính tốc độ của con lắc khi qua vị trí cân bằng.
b. Tính độ lớn gia tốc của nó khi nó cách vị trí cân bằng 5cm.
c. Tính lực cực đại tác dụng lên quả cầu.
d. Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có lực đand hồi cực đại đến vị trí có lực đàn hồi cực tiểu.
Bài 17: Một con lắc lò xo có k =25N/m; m= 100g dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với biên độ
4cm. lấy g =10m/s2. Tính lực đàn hối của lò xo khi vật cách vị trí cân bằng 2cm ở phía dưới\.
Bài 18: Con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với biên độ 3cm. Trong thời gian 20s vật
thực hiện được 50 dao động toàn phần. Tìm tỉ số giữ lực đàn hồi cực đại với lực đàn hồi cực tiểu.
Bài 19: Con lắc lò xo thẳng đứng, vật nhỏ có m =100g. Lò xo có chiều dài tự nhiên 50cm. Khi dao động lò xo
coá chiều thay đổi từ 58cm đến 62cm. Khi lò xo có chiều dài 59,5cm thì lực đàn hồi có độ lớn bằng bao nhiêu?
Bài 20: Con lắc lò xó dao động thẳng đứng có k =50N/m. Lấy g = 10m/s 2. Trong quá trình dao động lực tác
dụng lên điểm treo có độ lớn cực đại và cực tiểu lần lượt là 4N và 2N. Tìm vận tốc cực đại của vật.
Bài 21: Con lắc lò xo dao động thẳng đứng, vật có m = 200g. Chiều dài tự nhiện của lò xo là 30cm. Khi lò xo
có chiều dài 28cm thì vận tốc bằng 0, lực đàn hồi lúc này có độ lớn là 2N. Tìm cơ năng của con lắc.
Bài 22: Con lắc lò xo dao động thẳng đứng với biên độ 10cm, lấy g =10m/s 2. Tỉ số giữa lực đàn hồi cực tiểu
với lực đàn hồi cực đại là 3/7. Tìm tần số dao động.
Bài 23: Con lắc lò xo dao động thẳng đứng với biên độ 12cm. Tỉ số giữa lực đàn hồi cực đại với lực đàn hồi
cực tiểu băng 4. Tìm độ giãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng và chiều dài cực đại của lò xo trong quá trình
dao động.
Bài 24: Một con lắc lò xo dao động theo phương thẳng đứng gồm vật m= 100g, lò xo có khối lượng không

đáng kể. Chon gốc toạ độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng lên. Phương trình dao động của con lắc là x =
4cos()cm. Tìm lực đàn hồi của lò xo khi vật đi được quãng đường 3cm kể từ lúc bắt đầu dao động.


DẠNG V . BÀI TOÁN CON LẮC ĐƠN
A. Cách giải.
1. Chu kì của con lắc đơn
Chu kì của con lắc đơn được xác định theo biểu thức: .
Từ biểu thức cũng cho thấy chu kì của con lắc phụ thuộc voà chiều dài l và gia tốc g. Vậy muốn thay đổi T thì
ta phải thay đổi l hoặc g .
* Đối với con lắc vật lí: thì chu kì dao động là T = . Vậy muôn thay đổi chu kì củacon lắc ta có thể thay đổi I,
m g hoặc d.
a) l Thay đổi:
- l thay đổi do sự nở dài vì nhiệt thì ta có l = l0( 1+). l0là chiều dài của dây treo ở nhiệt độ 0o C, là hệ số nở dài.
b) Thay đổi g:
- Ở mặt đất thì g = G. Trong đó G = 6,67.10-11 N.m2/kg2 là hằng số hấp dẫn; M là khối lượng trái đất; R là bán
kính trái đất.
l
l
2
 2 R
g md
GM
Khi này chu kì dao động của con lắc khi ở mặt đất là: Tmđ =
- Khi vật ở độ cao h so với mặt đất thì gh = G.
l
2 ( R  h)
GM
Chu kì dao động của con lắc ở độ cao h là: Th =
c) Xác định sai số của chu kì:

Gọi T1 là chu kì chạy đúng của con lắc; T2 là chu kì khi chạy sai
Khi đó sai số tuyệt đối là: .
T T
  2 1 .100%
T2
Sai số tỉ đối là
.
Khi đó phần thời gian tăng lên hoặc giảm đi trong khoảng thời gian t là : t   .t
d) Dao đông của con lắc đơn chịu tác dung của một lực không đổi
* Con lắc chịu tác dụng của một ngoại lực không đổi.
- Nếu con lắc chịu tác dụng của một lực không đổi F ( ngoài lực căng và trọng lực). Thì lực này gây ra gia tốc
phụ ap cho vật dao động cùng hướng với lực F (F = map).
Lúc này con lắc chịu tác dụng của một trong lực hiệu dụng ( trong lực biểu kiến) là : . Trọng lực biểu kiến này
gây ra một gia tổc trọng trường biểu kiên (gia tốc hiệu dụng) là .
- Vị trí cân bằng của con lắc lúc này trùng với phương của , và chu kì của con lắc lúc này được xác định theo
biểu thức : .
Vậy muốn xác định T’ thì ta chỉ cân xác định g’( với g’ được xác định theo quy tắc tổng hợp hai vectơ).
* Con Lắc chịu tác dụng của một lực quán tính không đổi
- Khi con lắc được đặt trong một hệ chuyển động với gia tốc là a ( hệ quy chiếu không quán tinh) thì ngoài
trong lực và lực căng thì khi xét trong hệ quy chiếu quán tính vật con chịu tác dụng thêm của một lực quán tính
là .
- Trọng lực hiệu dụng là : . Khi đó ta cũng tính được gia tốc hiệu dụng theo biểu thức : .
Xét một số trường hợp thường gặp sau
TH1 : Con lắc chịu tác dụng của lực điện trường


Ta có : .
* Nếu lực điện có phương thẳng đứng hướng lên thì ta có g’ = g - . Vậy ta có chu kì là .
* Nếu lực điện thẳng đứng hướng xuống thi g’ = g + . Chu kì là : .
* Nếu E có phương ngang thì : g’ = . Chu kì dao động là : .

Vị trí cân bằng của con lắc lúc nàylà vị trí mà dây treo hợp vơi phương thằng đứng một góc được xác định
theo biểu thức ; .
TH2 : Con lắc chịu tác dụng của lực quán tính khi gắn vào thanh máy chuyển động :
* Thang máy chuyển động lên với gia tốc có độ lớn là a :
- Nếu nhanh dần đều ta có gia tốc hiệu dụnglà g’ = g +a. Vậy chu kì là : .
- Nếu chậm dần đều ta có g’ = g – a. Chu kì là:
* Thang máy chuyển động xuống với gia tốc là a :
- Nếu nhanh dần thì g’ = g – a. Chu kì là :
- Nếu chậm dần thì g’ = g + a. Chu kì là :
* Nếu con lắc được treo trên xe chuyển động với gia tốc a theo phương ngang thì ta có :
g’ = . Vậy chu kì là . Vị trí cân bằng cũng được xác định theo biểu thức : .
Hoặc ta có g’ = g/cos. Nên ta có : .
2. Lực hướng tâm và lực căng của dây treo trong con lắc đơn.
a) Lực hướng tâm
- Lực hoặc hợp lực luôn hướng vào tâm của quỹ đạo được gọi là lực hướng tâm.
Độ lớn Fht = m. (vì ).
b) Lực căng của dây treo
T = Fht + P.cos
Thay biểu thức trên ta có: .
Khi này lực tác dụng lên điểm treo sẽ có độ lớn bằng T.
B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Hai con lắc đơn có chiều dài l1 và l2. Tại cùng một nơi thì con lắc có chiều dài l1 + l2 dao động với chu kì
là 2,7s, còn con lắc có chiều dài l1 – l2 dao động với chu kì là 0,9s. Tính chu kì của con lắc có chiều dài l1 và l2.
Đa: 2s và 1,8s
Bài 2: Trong cùng một khoảng thời gian, con lắc l1 thực hiện được 5 dao động toàn phần, con lắc l2 thực hiện
được 9 dao động toàn phần. Hiệu chiều dài của hai con lắc là 112cm. Tìm độ dài l1 và l2 của hai con lắc.
Đa: 162cm và 50cm
Bài 3: Một con lăc đơn có độ dài l. Trong khoảng thời gian nó thực hiện được 12 dao động toàn phần. Nếu
giảm độ dài của con lắc đi 16cm thì cũng trong khoảng thời gian nó thực hiện được 20 dao động toàn phần.

Tính độ dài ban đầu của con lắc.
Đa: 25cm.
Bài 4: Một con lắc đơn có chiều dài l = 1m được treo trên một bức tường và sát với tường, nhưng trong quá
trình dao động vật không chạm với tường. Tại vị trí cách điểm treo một đoạn là 50cm người ta có gắn một cái
đinh để nó có thể chạm dây trong quá trình dao động. Keo con lắc lệch một góc nhỏ rồi thả cho nó dao động.
Tính chu kì của con lắc. Lấy g = m/s2.
Đa: 1,71s
Bài 5: Một xe toa trượt không ma sát trên một đường dốc xuống dưới với tốc, góc nghiêng so với mặt phẳng
nằm ngang là 300. Trên trần xe có một con lắc đơn có chiều dài dây treo là l = 1m. Trong thời gian xe trượt
xuống kích thích cho con lắc dao động điều hoà với biên độ góc nhỏ. Lấy g = 10m/s2. Tính chu kì của con lắc.
Đa: 2,135s
Bài 6: Một con lắc đồng hồ chạy đúng giờ tại mặt đất thì chu kì dao động của nó là T. Khi đưa con lắc này lên
cao 10km so với mặt đất thì phải giảm độ dài một lượng bằng bao nhiêu phần trăm so với chiều dài ban đầu?
Biết bán kính trái đất là R = 6400km.
Đa: giảm 3%.
Bài 7: Một con lắc đơn có chiều dài 1m ở 200C, gia tốc rơi tự do là g = m/s2.
a. Tính chu kì của con lắc
b. Tăng nhiệt độ lên đến 400C thì chu kì của con lắc tăng hay giảm bao nhiêu? Biết hệ số nở dài vì nhiệt của
dây treo là 2.10-5 K-1.


Đa: a) 2s; b) 4.10-4s.
Bài 8: Người ta đưa con lắc đồng hồ từ Trái Đất lên Mặt Trăng mà không điều chỉnh lại. Theo đồng hồ này
trên Mặt Trăng thì thời gian mà trái đất tự quay quanh mình nó một vòng bằng bao nhiêu? Biết gia tốc rơi tự do
ở trên Mặt Trăng băng 1/6 gia tốc rơi tự do ở Trái Đất.
Đa: 9h48p.
Bài 9: Một con lắc đồng chạy đúng giờ khi ở mặt đất. Khi đưa đồng hồ lên cao 10km so với mặt đất mà không
chỉnh lại thì một ngày đêm động hồ nay chạy nhanh hay chậm một khoảng thời gian bằng bao nhiêu? Biết bán
kính trái đất là R = 6400km.
Đa: 2,25phút

Bài 10: Một con lắc đồng hồ chạy đúng ở nhịêt độ 20 0C. Vào Mùa hè nhiệt độ lên đến 36 0C . Hỏi vào ngày này
mùa hè một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm một khoảng thời gian bằng bao nhiêu? Biết hệ số nở dài
là 2. 10-5 K-1.
Bài11: Một con lắc đơn có chiều dài 1m vật năng có khối lương 10g được tích điện q = 10 -5C. Con lắc này
được đặt trong một điện trường đều có E = 50000V/m. Lấy g = 10m/s 2. Hãy xác định góc lệch của dây treo tại
vị trí cân bằng và chu kì dao động của con lắc trong các trường hợp sau:
a. Điện trường thẳng đứng hướng xuống.
b. Điện trường thẳng đứng hướng lên.
c. Điện trường thẳng có phương ngang.
Bài 12: Một con lắc đơn có l = 1m, vật năng có khối lượng m = 1kg. Khi vật năng đang ở vị trí cân bằng người
ta bắn một viên đạn có khối lượng 20g theo phương ngang với vận tốc là v = 50m/s tới găm vào vật và nằm
trong vật nặng. Khí đó hệ dao động điều hoà. Tìm biên độ góc và chu kì dao động.
Bài 13: (ĐH -2010) Con lắc đơn có chiều dài l =50cm, vật nhỏ có m = 0,01kg mang điện tích q = +5.10 -6C,
được coi là điện tích điểm. Con lắc dao động trong điện trường đều cơ vectơ cường độ điện trường thẳng đứng
hướng xuống dưới có độ lớn 10000V/m. Lấy g =10m/s2. Tính chu kì dao động của con lắc.
Đa: 1,15s
Bài 14: (ĐH – 2012) Một con lắc đơn gồm dây treo có chiều dài 1m và vật nhỏ có khối lượng 100g mang điện
tích 2.10-5C. Treo con lắc trong điện trường đều có điện trường hướng theo phương ngang và có độ lớn 5.10 4
V/m, Trong mặt phẳng thẳng đứng đi qua điểm treo và song song với vectơ cường độ điện trường, kéo vật nhỏ
theo chiều điện trường sao cho dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc 54 0 rồi buông nhẹ cho con lắc dao
động điều hoà. Lấy g = 10m/s. Trong quá trình dao động tốc độ cực đại của vật nhỏ bằng bao nhiêu?
Đa: 0,59m/s
Bài 15: Một con lắc đơn có chiêu dài l dao động với chu kì là T. Nếu tăng chiều dài của con lắc thêm 44cm thì
2
chu kì dao động của con lắc lúc này tăng thêm 0,4s. Lấy g = 10 =  m/s2. Xác định chu kì ban đầu T của con
lắc trên.
Đa: 2s.


DNG VI: BI TON LIấN QUAN N NNG LNG CA CON LC

A. Hng dn cỏch gii (xột vi con lc lũ xo)
1. Biểu thức cơ năng
- C nng = ng nng + Th nng W = W + Wt
1
1
1
m.v 2 m. 2 A2 sin 2 ( t ) kA2 sin 2 ( t )
2
2
- ng nng W 2
1
1
k .x 2 kA2 cos 2 (t )
2
- Th nng
Wt 2
- Từ biểu thức trên cho thấy động năng và thế năng của con lắc biến thiên tuần hoàn
với tần số 2f hoặc tần số góc hay chu kì T = T/2
1
1
k . A2 m. 2 . A2
2
- nh lut bo ton c nng W = W + Wt = 2
= Wmax = Wtmax = const
Nếu bỏ qua mọi ma sát và lực cản thì cơ năng là đại lợng đợc bảo toàn.
* Từ định luật bảo toàn cơ năng ta thấy, giữa động năng và thế năng có sự chuyển
hoá lấn nhau cụ thể là:
- Khi đi từ vị trí cân bằng đến vị trí biên thi động năng giảm, thế năng tăng ( động
năng chuyển hoá thành thế năng).
- Khi đi từ vị trí biên đến vị trí cân băng thì động năng tăng, thế năng giảm ( thế

năng chuyển thành động năng).
+ Động năng cực đại Wđ =
( động năng đạt cực đại tại vị trí cân bằng).
+ Thế năng cực đại Wt = ( đạt giá trị cực đại tại hai vị trí biên).
2. Tìm mối liên hệ giữa động năng thế năng với li độ
* Ta có : .
* Ta có:
và
a) Nếu Wđ = nWt thì ta có :
; hoặc ; hay .
b) Nếu Wt = nWđ thì ta có :
; hay ; hay .
c) Nếu Wđ = Wt thì ta có :
hay ta cng có hay .
Chú ý:
- Do tính tuần hoàn của động năng và thế năng nên ta có các trờng hợp trên đợc lặp lại
4 lần trong một dao động toàn phần của vật (tr trng hp cc i hoc bng 0 ca
ng nng hoc th nng).


- Khi Wđ = Wt thì cứ sao một khoảng thời gian T/4 thì quá trình lại đợc lặp lại.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Hai con lắc lò xo A và B có vật năng cùng khối lợng, chu kì và biên độ là T B =
3TA; AB = 2AA. Tìm tỉ số cơ năng giữa hai con lắc.
Bài 2: Con lắc lò xo thănge đứng, đầu đợc treovới vật có khối lợng 100g. Khi vật ở
VTCB lò xo giãn một đoạn 2,5cm. Từ VTCB ngời ta kéo vật xuống dới sao cho lò xo giãn
một đoạn là 6,5cm rồi buông nhẹ cho vật dao động. Tính năng lợng của con lắc và
tính động năng khi vật cách VTCB 2cm.
Bài 3: Một vật đao động điều hoà với tần số 2,5Hz. Khi vật có li độ 1,2cm thì động
năng bằng 96% cơ năng của vật dao động. Tính tốc độ trung bình của vật trong một

chu kì.
Bài4: Một vật dao động điều hoà trên trục Ox, vật thực hiện đợc 24 dao động toàn
phần trong 12s, vận tốc cực đại là 20cm/s. Tìm vị trí mà tại đó động năng bằng 1/3
thế năng.
Bài 5: Một con lắc lò xo có độ cứng k, vật năng m =100g. Vật dao động điều hoà với
tần số 5Hz, cơ năng W = 0,08J. Tìm tỉ số giữa động năng và thế năng tại vị trí vật có
li độ 2cm.
Bài 6: ( CĐ- 2010) Một con lắc lò xo có độ cứng k =100N/m, vật nhẹ có khối lợng m dao
động điều hoà với biên độ A. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Khoảng thời gian giữa
hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng là 0,1s. Lấy . Tính khối lợng m của con lắc.
Đa: 40g
Bài 7: (ĐH- 2009) Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ và vật dao động điều hoà theo phơng ngang với tần số 10rad/s. Biết rằng khi động năng bằng thế năng ( mốc thế năng
tại vị trí cân bằng) thì vận tốc có độ lớn là 0,6m/s. Tìm biên độ dao động của con
lắc.
Đa: 6cm.
Bài 8: (ĐH- 2009) Một con lắc lò xo nhẹ, vật nhỏ có khối lợng 50g. Con lắc dao động
điều hoà theo phơng nằm ngang với phơng trình x = Acos. Cứ sau những khoảng thời
gian 0,05s thì động năng và thế năng lại bằng nhau. Lấy . Tính độ cứng của lò xo.
Đa: 50N/m.
Bài 9:(H- 2010) Vt nh ca con lc lũ xo dao ng iu ho theo phng ngang, mc th nng ti v trớ
cõn bng. Khi gia tc ca vt bng na gia tc cc i thỡ t s gia ng nng v th nng ca vt l:
A. ẵ
B. 3
C. 2
D. 1/3 .
Bi 10: (H- 2011) Mt cht im dao ng iu ho trờn trc Ox vi biờn 10cm chu kỡ 2s. Mc th nng
ti VTCB. Tc trung bỡnh ca cht im trong khong thi gian ngn nht khi cht im i t v trớ cú ng
nng bng 3 ln th nng n v trớ cú ng nng bng 1/3 th nng l:
A. 26,12cm/s
B. 7,32cm/s

C. 14,64cm/s
D. 21,96cm/s
Bi 11: Mt con lc lũ xo vt nng cú khi lng kg dao ng iu ho vi vn tc cc i 60cm/s. Ti v trớ
vt cú li cm thỡ ng nng bng th nng. Tớnh cng ca lũ xo.
a:
100N/m
Bi 12: Mt vt dao ng iu ho vi biờn 6cm. Mc th nng ti v trớ cõn bng. Khi vt qua v trớ ng
nng bng ắ c nng thỡ vt cỏch v trớ mt on bng bao nhiờu?
a: 3cm
Bi 13: Mt con lc lũ xo cú cng k = 36N/m v vt nh cú m =100g. Ly . ng nng ca con lc biờn
thiờn tin hon vi tõn s bng bao nhiờu?
a: 6Hz
Bi 14: (H 2011) Dao ng ca mt cht im cú khi lng 100g l tng hp hai dao ng iu ho cựng
phng cựng tn s ln lt l x1 = 5cos10t v x2 = 10cos10t ( x1; x2 tớch bng cm, t tớnh bng s). Mc th
nng ti v trớ cõn bng. C nng ca cht im bng bao nhiờu?
a: 0,225J.
Bi 15: (H 2012) Hai cht im M v N cú cựng khi lng, dao ng iu ho cựng tn s dc theo hai
ng thng song song k nhau v cựng song song vi trc to Ox. V trớ cõn bng ca M v N u nm
trờn mt ng thng i qua gc to v vuụng gúc vi Ox. Biờn ca M l 6cm, ca N l 8cm. Trong quỏ


trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo Ox là 10cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời
điểm mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng của M và động năng của N bằng bao nhiêu?
ĐA : 9/16

DẠNG VIII. BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG TẮT DẦN – DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC
A. Hướng dẫn cách giải
- Nguyên nhân của dao động tắc dân là do có lực cản và lực ma sát, lực này đã làm tiêu hao cơ năng, làm cho
cơ năng của vật giảm dần theo thời gian dẫm tới biên độ giảm dần cuối cùng thì dừng lại.
- Muốm duy tri dao động thì sau mỗi chu kì thì ta phải cung cấp một năng năng bằng phần năng lượng đã bị

tiêu hao do lực cản hoặc ma sát.
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT
Xét con lắc chịu tác dụng của lực ma sát trượt tác dụng lên vật: Fms= -mg
1. Tính độ giảm biên độ sau mỗi chu kì
Xét nửa chu kỳ :
x0

A’

→
→
Vậy trong một chu kỳ độ giảm biên độ:
biên độ dao động giảm đều sau mỗi chu kỳ: .
- Độ giảm biên độ tỉ đối là : .

-A’

o

A


2. S dao ng vt thc hin cho ti khi dng
A
A 2

A 4 g ,
3. Thi gian dao ng cho ti khi dng li
N

t N .T

A 2 2 A
.

(s)
4 g 2 g

4. Cho gim biờn sau mi chu kỡ l A (%)
gim nng lng mi chu kỡ
W = (1 - (1 - A%)2) W0 = W0 W = Fcản.S
Với S là quãng đờng đi đợc:
- Độ giảm cơ năng tỉ đối là:
5. Tớnh quóng ng vt i c cho ti lỳc dng
1
1
W0 m 2 A2 kA2
2
2
PP: C nng ban u

(J)

Dao ng tt dn l do c nng bin thnh cụng lc ma sỏt
Ams = Fms; S = N..S = mg.S
n khi vt dng li thỡ ton b W0 bin thnh Ams
1 2 2 1 2
A
kA
W0

2
2
S


.(m)
mg
g
mg
W0 = Ams
6. Vt dao ng vi vn tc cc i trong na chu k u tiờn khi qu v trớ x0.
t vn tc ln nht khi hp lc bng 0: phc hi v lc cn phi cõn bng nhau:


7. p dng nh lut bo ton nng lng khi vt t vn tc cc i ln u tiờn:

Mt khỏc



8. iu kin ht cng hng: = 0
B. Bi tp ỏp dng
Bi 1: Mt con lc lũ xo ngang, k = 100N/m, m = 0,4kg, g =10m/s 2, h s ma sỏt gia qu nng v mt tip
xỳc l . Kộo vt khi VTCB 4cm ri th khụng vn tc u.
a) Tớnh gim biờn sau mi chu k
b) S dao ng v thi gian m vt thc hin cho ti lỳc dng?
S: 0,0016m = 0,16cm. b)N = 25 dao ng; t =10s.
Bi 2: Mt con lc lũ xo dao ng tt dn. C sau mi chu kỡ, biờn ca nú gim 0,5%. Hi nng lng dao
ng ca con lc b mt i sau mi dao ng ton phn l bao nhiờu % ?
S: giảm 1%.

Bi 3: Mt con lc lũ xo ngang cú k = 100N/m dao ng trờn mt phng ngang. H s ma sỏt gia vt v mt
phng ngang l = 0,02. Kộo vt lch khi VTCB on 10cm ri buụng tay cho vt dao ng
a) Quóng ng vt i c n khi dng hn
b) vt i c 100m thỡ dng ta phi thay i h s ma sỏt bng bao nhiờu?


ĐS: a) 25m; b) 0,005
Bài 4: (ĐH-2010)Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò xo có độ cứng 1 N/m. Vật nhỏ được đặt
trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu
giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s2. Tính vận tốc cực đại
mà vật đạt được trong quá trình dao động.
ĐS: 40 (cm/s).
Bài 5: Một con lắc lò xo gồm viên bi nhỏ khối lượng m và lò xo khối lượng không đáng kể có độ cứng 160
N/m. Con lắc dao động cưởng bức dưới tác dụng của ngoại lực tuần hoàn có tần số f. Biết biên độ của ngoại
lực tuần hoàn không đổi. Khi thay đổi f thì biên độ dao động của viên bi thay đổi và khi f = 2  Hz thì biên độ
dao động của viên bi đạt cực đại. Tính khối lượng của viên bi.
ĐS: 100 g.
Bài 6: Cho cơ hệ như hình vẽ. Độ cứng của lò xo k = 100N/m; m = 0,4kg, g = 10m/s 2. Kéo vật ra khỏi vị trí
cân bằng một đoạn 4cm rồi thả không vận tốc ban đầu. Trong quá trình dao động thực tế có ma sát  = 5.10-3 .
a) Quãng đường vật đi được tới lúc dừng là bao nhiêu?
b) Tính độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ, số dao động và thời gian dao động cho tới lúc dừng hẳn.
Bài 7: Một con lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k=100N/m và vật m=100g, dao động trên mặt phẳng
ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là =0,02. Kéo vật lệch khỏi VTCB một đoạn 10cm rồi thả nhẹ cho
vật dao động. Quãng đường vật đi được từ khi bắt đầu dao động đến khi dừng hẳn là bao nhiêu?
A. s = 50m.
B. s = 25m.
C. s = 50cm.
D. s = 25cm.
Bài 8: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lò xo có độ cứng 20 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ
cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,01. Từ vị trí lò xo không

bị biến dạng, truyền cho vật vận tốc ban đầu 1 m/s thì thấy con lắc dao động tắt dần trong giới hạn đàn hồi của lò
xo. Lấy g = 10 m/s2. Tính độ lớn của lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động.
ĐS: 1,98
N.
Bài 9: Một con lắc đơn dao động tắt dần. Cứ sau mỗi chu kì, biên độ giảm 3% phần nl của con lắc bị mất sau
mỗi chu kì là bao nhiêu phần %?
ĐS: 5,91%
Bài 10: Một tàu hỏa chạy trên một đường ray, cứ cách khoảng 6,4 m trên đường ray lại có một rãnh nhỏ giữa
chổ nối các thanh ray. Chu kì dao động riêng của khung tàu trên các lò xo giảm xóc là 1,6 s. Tàu bị xóc mạnh
nhất khi chạy với tốc độ bằng bao nhiêu?ĐS: 4 m/s = 14,4 km/h.
Bài 11: Một con lắc đơn l = 30cm được treo vào 1 toa tầu. Chiều dài mỗi thanh ray là 12,5m. Vận tốc tàu bằng
bao nhiêu? Thì con lắc dao động mạnh nhấtĐS: 41km/h
Bài 12: Một hành khách dùng 1 dây cao su treo 1 túi xách lên trần toa tàu bằng 1 dây cao su. Khối lượng túi
xách là 16kg, hệ số đàn hồi dây cao su 900N/m, chiều dài mỗi thanh ray là 12,5m. Vận tốc tầu bằng bao nhiêu
để túi xách dao động mạnh nhất?
§a: 53,7km/h
Bài 13: Một con lắc lò xo đang dao động tắt dần. Cơ năng ban đầu của nó là 5 J. Sau ba chu kì dao động thì
biên độ của nó giảm đi 20%. Xác định phần cơ năng chuyển hóa thành nhiệt năng trung bình trong mỗi chu kì.
ĐS: = = 0,6 J.
RÈN LUYỆN TRẮC NGHIỆM
BT 1: Một con lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k=100N/m và vật m=100g, dao động trên mặt phẳng
ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là =0,01. Kéo vật lệch khỏi VTCB một đoạn 10cm rồi thả nhẹ cho
vật dao động. Quãng đường vật đi được từ khi bắt đầu dao động đến khi dừng hẳn là
A. s = 50m
B. s = 25m.
C. s = 50cm
D. s = 25cm.
BT2: Cho cơ hệ, dộ cứng của lò xo k = 100N/m; m = 0,4kg, g = 10m/s 2. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một
đoạn 4cm rồi thả không vận tốc ban đầu. Trong quá trình dao động thực tế có ma sát  = 5.10-3 .Số chu kỳ dao
động cho đến lúc vật dừng lại là:

A.50
B. 5
C. 20
D. 2 .
BT3: Một con lắc lò xo gồm vật có khối lượng m = 200g, lò xo khối lượng ko đáng kể , có độ cứng k =80 N/m
: đặt trên mặt sàn nằm ngang. Người ta kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng đoạn 3 cm và truyền cho nó vận tốc 80
cm/s . Cho g= 10m/s^2 .Do có lực ma sát nên vật dao động tắt dần, sau khi thực hiện được 10 dao động vật
dừng lại . Hệ số ma sát là:
A) 0.04
B) 0.15
C) 0.10
D) 0.05
12 dd


BT4: Một con lắc dao động tắt dần. Cứ sau mỗi chu kì, biên độ giảm 2%. Phần năng lượng của con lắc bị mất
đi trong một dao động toàn phần là:
A. 4,5%.
B. 6,36%
C. 9,81%
D. 3,96%
BT 5: Một người xách một xô nước đi trên đường, mỗi bước đi được 50cm. Chu kì dao động riêng của nước
trong xô là 1s. Để nước trong xô sóng sánh mạnh nhất thì người đó phải đi với vận tốc:
A. v = 100cm/s
B. v = 75 cm/s
C. v = 50 cm/s D. v = 25cm/s.
BT6: Một con lắc lò xo thăng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng k=100N/m ,một đầu cố định , một đầu gắn với
vật nặng khối lượng m=0,5Kg .ban đầu kéo vật theo phương thẳng đứng khỏi vị trí cân bằng 5 cm rồi buông
nhẹ cho vật dao động . trong quá trình dao động vật luôn chiu tác dụng của lực cản có độ lớn 0,01 trọng lực tác
dụng lên vật . coi biên độ của vật giảm đều trong từng chu kì , lấy g =10m/ .số lần vật qua vị trí cân bằng kẻ

từ khi thả vật cho đến khi nó dừng hản là:
A . 25
B .50
C.75
D.100
BT7: Một chiếc xe gắn máy chạy trên một con đường lát gạch, cứ cách khoảng 9m trên đường lại có một rãnh
nhỏ. Chu kì dao động riêng của khung xe máy trên lò xo giảm xóc là 1,5s. Hỏi với vận tốc bằng bao nhiêu thì
xe bí xóc mạnh nhất.
A. v = 10m/s
B. v = 7,5 m/s
C. v = 6,0 m/s D. v = 2,5 m/s.
DẠNG IX:
BÀI TOÁN VỀ TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
A. Hướng dần cách giải:
1/ Tổng hợp hai dao động bằng phước pháp vectơ quay
Xét một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt
là: x1 = A1cos(); x2 = A2cos(). Khi đó dao động tổng hợp là x = x1 + x2 = Acos(). Trong đó:
Biên độ dao động tổng hợp: A = .
Pha ban đầu của dao động tổng hợp được xác định theo biểu thức: tan.
Chú ý:
Biên độ dao động tổng hợp A luôn thoả mãn: .
Pha dao động tổng hợp thoả mãn: .
Khi tồng hợp hai dao động thì ta phái chuyền hai phương trình này về cùng hàm lượng giác.
2/ Độ lệch pha của hai dao động
Độ lệch pha của hai dao động là: .
- Nếu thì x1 sớm pha hơn x2.
- Nếu thì x1 trễ pha hơn x2.
Trường hợp đặc biệt
- Khi hoặc thì hai dao động cùng pha: A = Amax = A1 + A2.
- Khi thì hai dao động đó ngược pha: A = Amin = .

- Khi thì hai dao động vuông pha: A = .
3/ Phương pháp giản đồ Frinel
Để áp dụng phương pháp này at có thể làm như sau:
- Biểu diễn hai dao động điều hoà đó bằng hai vectơ quay trên cùng một giản đồ ở thời điểm ban đầu của nó,
với độ dài tỉ lệ với biên độ dao động.
- Ta đi tìm véc tơ tổng hợp của hai véc tơ quay đo (độ lớn, pha ban đầu).
- Viết phương trình hình chiếu của vectơ tổng hợp là ta thu được dao động tổng hợp.
Chú ý: Ta có thể vận dung các hệ thức trong tam giác vuông như:
a2 = b2 + c2; h2 = b’.c’; hay hay b2 = a.b’.
Với tam giác bất kì ta có thể áp dụng định lí về hàm cos:
a2 = b2 + c2 -2bc.cosA.
hoặc là áp dụng định lí về hàm sin:
4/ Sử dụng máy tính câm tay để tổng hợp hai dao động
a) Biểu diễn số phức trên máy tính cầm tay
Muốn giải nhanh các bài tập là hàm điều hoà có thể sử dụng máy tính cầm tay để giải quyết một cách nhanh
chóng. Muốn được như vậy thì ta phải biết được các chức năng và các thao tác trên máy. Như đối với máy tính


casiofx-570MS hoặc ES đều có thể thực hiện các phép toán về số phức một cách nhanh chóng và dễ dàng. Vậy
muốn thực hiện các phép toán này trên MTCT ta phải làm thế nào?
Với mỗi dao động điều hoà x = Acos() thì ta có thể biểu diễn dưới dạng số phức dạng mũ là: ; nhưng trên
MTCT thì số phức này đươc biểu điễn dưới dạng .
Muốn giải được các bài toán liên quan đến số phức trên máy tính trước tiên ta phải chuyển máy tính sang hệ
Complex, bằng cách bấm nút theo thứ tự là MODE2; khi trên màn máy tính xuất hiện chữ CMPLX thì ta mới
thực hiện được các phép toán dạng phức.
Khi đã chuyển máy tính sang hệ Complex thì ta phải cài đặt đơn vị đo góc cho máy tính bằng cách:
+ Đối với máy tính Casio fx-570MS thì ta bấm phím MODE cho đến khi trên màn hình xuất hiện:
Deg
Rad
Gra

1
2
3
Muốn để đơn vị là độ ta bấm phím 1 khi này trên màn hình xuất hiện chữ D , còn muốn cài đơn vị đo góc là
rad thì ta bấm phím 2 khi này trên màn hình xuất hiện chữ R.
+ Đối với máy Casio fx-570MS thì muốn để đơn vị đo góc là độ thì ta bấm các phím theo thứ tự:
SHIFTMODE3 trên màn hiện chữ D. Muốn để đơn vị đo góc là rad thì ta bấm các phím theo thứ tự là:
SHIFTMODE 4 trên màn xuất hiện chữ R.
Nhưng để thuận tiện cho việc tính kết quả đối với máy MS ta nên để đơn vị đo góc là độ
Muốn chuyển một dao động điều hoà x = Acos() sang dạng phức thì ta bấm theo thứ tự như sau: A MODE( - )
; với A và là các tham số cần nhập.
Ví dụ: phương trình muốn chuyển sang số phức trên máy tính ta thực hiện thao tác: 5 2SHIFT( - )45 ; khi đó
trên máy xuất hiện 545.
Khi này muốn chuyển sang số phức thì ta làm như sau:
+ Đối với máy casio fx 570ES chỉ cần bấm phím = trên màn hình cho ta kết quả là 5+ 5i.
+ Đối với máy 570MS thì khi bấm phím = thì ta được phần thực số phức là 5, bấm tiếp phím SHIFT= ta được
phần ảo là 5i.
Một số nút và lệnh thường dùng trên MTCT Casio fx- 570MS
Lệnh
Ý nghĩa
MODE2

Chuyển sang hệ sử dụng với số phức CMPLX

SHIFT( - )

Dùng trước khi nhập acgumen

SHIFT+=

Cho biết mođun của số phức
Cho biết acgumen của số phức ( dùng lệnh này để chuyển đổi qua lại
giữa phần thực và phần ảo của số phức)

SHIFT=
MODE 4 lần 1

Hệ đo góc bằng độ (D)

MODE 4 lần

Hệ đo góc rad (R)

2

Một số lệnh thường dùng trên máy Casio fx - 570ES
Lệnh
Ý nghĩa
MODE2

Chuyển sang hệ sử dụng với số phức CMPLX

SHIFT( - )

Dùng trước khi nhập acgumen

SHIFTMODE3

Hệ đo góc bằng độ (D)

SHIFTMODE4

Hệ đo góc bằng rad (R)

SHIFT21 a + bi =

Lấy acgumen của một số phức a + bi


SHIFT22 a + bi = a-bi

L ly liờn hp phc ca a +bi l a bi.

SHIFT23=

Biu din s phc sang dng cc.

SHIFT24=

Biu din s phc sang dng a + bi.

b) Cỏc thao tỏc thc hin vic tng hp hai dao ng iu ho cựng phng cựng tn s trờn MTCT
Casio fx- 570MS
Tng hp hai dao ụng iu ho l bi toỏn tng i phc tp, gii loi bi toỏn ny thỡ ta cú th s dng
phng phỏp lng giỏc, phng phỏp ny hay d nhm ln i vi hc sinh. Ngoi ra ta cng cú th gii bi
toỏn ny bng phng phỏp gin .Tuy nhiờn phng phỏp ny li khú khn vi nhng hc sinh trung bỡnh.
Ngoi cỏc phng phỏp trờn ta cú th s dng MTCT gii quyt mt cỏch nhanh gn hn.
Chng hn ta tng hp hai dao ng iu ho : ;
tỡm x = x1 + x2 ta lm nh sau :
Bc 1 :

- Chuyn mỏy sang h s phc bng cỏch bm MODE 2trờn mn hỡnh xut hin CMPLX
- Cài đặt hệ đo góc cho máy tính, để đơn giản ta chn đơn vị đo là độ.
Bc 2 :
- tng hp hai dao ng núi trờn trờn ta lm tun t nh sau :
+ Chuyn bng cỏch lm theo th t nhp A1 ri bm phớm SHIFT(- ) ri nhp
+ Bm phớm +
+ Chuyn x2 = A2cos( bng cỏch lm theo th t nhp A2 ri bm phớm SHIFT( - ) ri nhp .
Xong bc ny trờn mn hỡnh s xut hin : .
Bc 3:
tỡm A v ca dao ng tng hp ta lm nh sau:
Bm SHIFT+= thỡ trờn mn hỡnh cho ta kt qu ca A.
Tip tc bm SHIFT= thỡ trờn mn hỡnh cho ta kt qu gúc ca dao ng (cỏc phớm ny dựng chuyn qua
li gia phn thc v phn o).
Khi ú ta ch vic chuyn n v o sang rad v thay vo phng trỡnh tng hp ta c phng trỡnh tng
hp.
Chỳ ý: vi mỏy tớnh Casio fx- 570ES thỡ cỏc bc cng lm tng t, nhng bc 3 thỡ ta ch cn bm phớm
SHIFT23= thỡ trờn mn cho kt qu ng thi c A v di dng .
B. Bi tp vn dng
Bi 1: Mt vt tham gia ng thi hai dao ng iu ho cựng phng cựng tn s cú phng trỡnh : x1 =
2cos()cm ; x2 = sin()cm.
a. Vit phng trỡnh dao ng tng hp.
b. Vt cú khi lng m =100g , tớnh nng lng dao ng ca vt.
c. Tớnh tc ca vt ti thi im t =2s.
d. Tớnh gia tc ca vt ti thi im t =0.
a : a) x = 3cos()cm ; b) 4,44J ; c) 816,2cm/s ; d) 150m/s2.
Bi 2: Mt vt tham gia ng thi hai dao ng iu ho cú phng trinh : x1 = A1cos()cm ; x2 = 3cos(). Bit
trong quỏ trỡnh dao ng vn tc cc i ca vt l 140cm/s. Tớnh biờn A1.
a : 8cm
Bi 3: (H - 2010)
Dao ng tng hp ca hai ao ng iu ho cựng phng cựng tn s cú phng trỡnh li : x = 3cos()

(cm). Bit dao ng th nht cú phng trỡnh li l : x1 = 5cos() (cm). Dao ng th hai cú phng trỡnh no
di õy :
A. x2 = 8cos() (cm)
B. x2 = 8cos() (cm)
C. x2 = 2cos() (cm)
D. x2 = 2cos() (cm)
Bi 4 : Cho hai dao ng iu ho cựng phng cựng tn s cú phng trỡnh ln lt l : x1 = 3cos(10) (cm)
v x2 = (cm). Hóy vit phng trỡnh dao ng tng hp ca hai dao ng núi trờn v tớnh tc cc i.