Đẳng thức, bất đẳng thức hình học. Các điểm thẳng hàng, trùng nhau. Các vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng. Quan hệ song song

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
----------

NGUYỄN THỊ LIỄU

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
VÀ CÁC BÀI TOÁN:
 ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
 CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG, TRÙNG NHAU
 CÁC VECTƠ ĐỒNG PHẲNG, KHÔNG ĐỒNG PHẲNG
 QUAN HỆ SONG SONG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI
HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Hà Nội – 2012


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
----------

NGUYỄN THỊ LIỄU

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
VÀ CÁC BÀI TOÁN:


ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC



CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG, TRÙNG NHAU



CÁC VECTƠ ĐỒNG PHẲNG, KHÔNG ĐỒNG PHẲNG



QUAN HỆ SONG SONG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI
HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
GV. BÙI VĂN BÌNH

Hà Nội – 2012


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội
2

LỜI CẢM ƠN
Bước đầu làm quen với việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em

không khỏi bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn. Để có được khoá luận hoàn thiện
em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán cùng các thầy
cô trong trường ĐHSPHN2 và đặc biệt là sự tân tình chỉ bảo và đóng góp
những ý kiến quý báu của thầy Bùi Văn Bình trong thời gian qua.
Do điều kiện thời gian cùng với vốn kiến thức chắc chắn sẽ không tránh
khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của thầy cô
và các bạn sinh viên để tìm được những ý tưởng tốt hơn, bổ sung cho khóa
luận được hoàn thiện hơn nữa và sẽ là tài liệu tham khảo thật sự bổ ích cho tất
cả những độc giả có niềm đam mê môn Toán.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Hình
học, các thầy cô trong khoa Toán và đặc biệt là thầy Bùi Văn Bình đã hướng
dẫn em hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Nguyễn Thị Liễu

K34 – CN Toán


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản khóa luận này được hoàn thành do sự cố
gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự giúp đỡ tận
tình của thầy Bùi Văn Bình.
Bản khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu
trùng tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Rất mong được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để bản khóa luận
được hoàn thiện hơn.

Sinh viên
Nguyễn Thị Liễu

MỤC LỤC

Trang

PHẦN I: MỞ ĐẦU..........................................................................................1
PHẦN II: NỘI DUNG.....................................................................................3
Chƣơng I: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ...........................................3
I. Vectơ...............................................................................................................3
II. Các phép toán vectơ......................................................................................5
III. Tích vô hướng..............................................................................................7
IV. Ba vectơ đồng phẳng................................................................................... 8
V. Các bài toán cơ bản.......................................................................................9
Chƣơng II: ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN..............................................................................................13
I. Chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức............................................... 13
II. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai điểm trùng nhau.............................. 17
III. Chứng minh các vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng............................27
IV. Ứng dụng điều kiện đồng phẳng, không đồng phẳng của ba vectơ...........32
V. Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau, đường thẳng song song
với mặt phẳng..................................................................................................39
PHẦN III: KẾT LUẬN.................................................................................47
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................48


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là một bộ phận quan trọng cấu thành toán học. Hình học luôn
luôn là một môn học khó đối với học sinh bởi đây là môn học có tính chặt chẽ,

tính lôgic và tính trừu tượng cao hơn những ngành học khác của toán học.
Trong chương trình môn toán ở trung học cơ sở các em đã được làm
quen với các khái niệm về đại lượng vô hướng. Khi lên bậc trung học phổ
thông các khái niệm đó tiếp tục được mở rộng, chúng ta có các khái niệm
mới, trong đó vectơ là một ví dụ. Khi mở rộng đoạn thẳng vô hướng sang
đoạn thẳng có hướng ta có khái niệm vectơ. Khái niệm vectơ sẽ theo suốt các
em trong quá trình học tập ở trường trung học phổ thông.
Thông thường khi mở rộng một khái niệm nào đó thì đồng thời ta có một
phương pháp mới, một công cụ mới để giải toán. Khái niệm vectơ ra đời cho
ta một phương pháp mới để giải toán một cách hiệu quả hơn. Nhờ có phương
pháp này, các bài toán như chứng minh tính song song, vuông góc, thẳng
hàng… nói chung được giải quyết một cách dễ dàng và ngắn gọn.
Với mong muốn trên, được sự giúp đỡ của thầy Bùi Văn Bình, em đã
mạnh dạn chọn đề tài “Vectơ trong không gian và các bài toán”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghên cứu
Qua các dạng toán, các ví dụ tham khảo mẫu… sẽ cho học sinh thấy
được phần quan trọng của việc sử dụng vectơ trong lời giải các bài tập hình
học. Tạo cho học sinh coi đây là một phương pháp để giải toán hiệu quả, một
cách suy nghĩ mới mẻ về hình học.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là vectơ và vấn đề áp dụng nó vào giải các bài tập
trong hình học không gian.
Nguyễn Thị Liễu

1

K34 – CN Toán


Do thời gian có hạn, đề tài chỉ đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ vectơ

để giải một số dạng bài tập cơ bản của Hình học không gian, với đối tượng là
học sinh THPT, chuẩn bị thi Đại học, Cao đẳng, THCN.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
+) Hệ thống các khái niệm và tính chất cơ bản của vectơ trong hình học
không gian.
+) Hệ thống các dạng bài tập trong hình học không gian.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
+) Phân tích, tổng hợp các tài liệu có liên quan.
+) Tổng kết kinh nghiệm.


PHẦN 2: NỘI DUNG
Chƣơng I: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ
I. Vectơ
I.1. Định nghĩa vectơ:
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu (điểm gốc)
là A và điểm cuối (điểm ngọn) là B thì ta có một vectơ.

Kí hiệu là: AB .

A

B

Chú ý:



+) Cho 2 điểm A, B phân biệt thì ta có 2 vectơ AB và BA khác nhau.

 
+) Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như: AA, BB,... được gọi

là vectơ - không.
I.2. Hai vectơ cùng phƣơng, cùng hƣớng


Hai vectơ AB và CD gọi là cùng phương nếu chúng lần lượt nằm trên
hai đường thẳng song song với nhau hoặc trùng nhau.


Hai vectơ cùng phương AB và CD được gọi là cùng hướng, nếu chiều


từ A đến B trùng với chiều từ C đến D. Kí hiệu là: AB CD .


Hai vectơ cùng phương AB và CD được gọi là ngược hướng, nếu chiều


từ A đến B ngược với chiều từ C đến D. Kí hiệu là: AB ¯ CD .
Chú ý: Khi đó ta cũng có các kết quả sau:
+) Vectơ không được xem là cùng hướng với mọi vectơ.
+) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ khác vectơ không thì hai vectơ
đó cùng hướng với nhau.
+) Ta chỉ có thể nói hai vectơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi
đã có hai vectơ đó cùng phương.
I.3. Độ dài của vectơ
Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối
của vectơ đó.

 là độ dài của đoạn thẳng AB, được kí hiệu là:
Độ dài của vectơ AB


AB . Như vậy: AB = AB
=

BA .

Theo đó, độ dài của vectơ - không có độ dài bằng O.
Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.
I.4. Hai vectơ bằng nhau
Định nghĩa:


Hai vectơ AB và CD được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và
cùng độ dài.

 
Kí hiệu là: AB = CD .
Chú ý từ định nghĩa:
+) Quan hệ bằng nhau giữa hai vectơ là một quan hệ tương đương trên

tập các vectơ. Tập hợp các vectơ bằng nhau tạo thành một lớp tương đương
và được kí hiệu bằng một chữ cái thường và có mũi tên trên đầu như:

+) Hiển nhiên, mọi vectơ - không đều bằng nhau. Kí hiệu: 0


+) Khi cho trước vectơ a và điểm O thì có một điểm A duy nhất sao cho:
 
OA = a .
I.5. Góc giữa hai
vectơ Định
nghĩa:



 
Cho hai vectơ a, đều khác 0 . Từ một điểm O nào đó, ta vẽ OA = a
b
 
và OB = b . Khi đó số đo của AOB được gọi là số đo của góc giữa hai

góc

(a,
b) .
vectơ a, b. Kí hiệu:
A

a
a
O


B

b

Nhận xét:

b


(

+) Hiển nhiên a,
b Î

)


+) a,

)

(

é00 ,1800 ù.
êë
úû


0
0 Û a và b cùng hướng.

b =


0
+) a, b = 180

( )

Û


+) a,

)

(



a và b ngược hướng.




0
90 ta nói rằng hai vectơ a và b vuông góc với nhau. Kí

b =
 
hiệu: a ^ b
.







Quy ƣớc: Nếu ít nhất một trong hai vectơ và b là 0 thì ta có thể xem góc
a

é00 ;1800 ù .
a, b có giá trị tùy ý trong
đoạn
úû
ëê

( )

II. Các phép toán vectơ
II.1 Phép cộng vectơ
a) Định nghĩa



Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A tùy ý, sau đó xác định các điểm
   
B và C sao cho: AB a ; BC b.




Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b .


 
Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và b là: a + b .
  
Hay AC a + b .
=
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
B
a
a
A

b
C


b

Chú ý:
  



Nếu a + b = 0 thì vectơ được gọi là vectơ đối của vectơ và kí hiệu là - a .
b
a



 , tức là:
Vectơ - a luôn ngược hướng với a và có độ lớn bằng vectơ a


a = - a . Mỗi vectơ có một vectơ đối là duy nhất.
 

b) Tính chất: Với mọi vectơ a , và c ta có:
b
+) Tính chất giao hoán:
   
a+ b= b+ a
+) Tính chất kết hợp:
 
 
 
(a + b) + c = a + (b + c)
+) Tính chất của vectơ - không:
    
a+ 0= 0+ a= a
c) Các quy tắc cần nhớ:
Từ định nghĩa tổng của hai vectơ ta có các quy tắc sau:
+) Quy tắc ba điểm:

A

Với ba điểm A,B,C bất kỳ, ta có:
  

AB + BC AC .
=

B

+) Quy tắc hình bình hành:

A

Nếu ABCD là hình bình hành thì ta luôn
  
có: AB AD AC .
+
=
+) Quy tắc hình hộp:
Nếu ABCDA1B1C1
D1
ta luôn có:
 
AB + AD
+

II.2.

Hiệu của hai vectơ

a) Định nghĩa

D

B

C
D

là hình hộp thì
A

AA1
=

C


AC1
.

C
B

D1
A1

C1

B1






Hiệu của hai vectơ a và b , kí hiệu: a

  

đối của b . Tức là: a b = a + b).
(-



b , là tổng của vectơ và vectơ
a



Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ hai vectơ (vectơ a

trừ đi vectơ b ).
b) Từ định nghĩa ta có quy tắc ba điểm đối với phép trừ như sau:
  
Với ba điểm A,B,C bất kỳ ta có:
AC = CB
ABII.3.

Phép nhân vectơ với một số

a) Định nghĩa
Cho số thực k ¹
0

 
và vectơ a ¹ 0 .


Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là k.
a
như sau:


, được xác định



0 thì vectơ k.a cùng hướng với vectơ a .


ngược hướng với vectơ a .
+) Nếu k < 0 thì vectơ


k.a
k.a = k . a .
+) Nếu k
³

Phép lấy tích của một vectơ với một số còn được gọi là phép nhân vectơ
với số thực.
b) Các tính chất của phép nhân vectơ với một số:



Với hai vectơ a và b bất kỳ và mọi số thực k,h ta có:
 


 


+) k. a b = k.a k. ; k. a b = k.a k.b
+
b
+



+) (h k).a h.a k.a
=
+
+

(

+)
+)
=

)

(

)

( )

 = (h.k ).a
h. k.a
 

1.a a ; 1).a =
(-



a ; k.a
=

III. Tích vô hƣớng của hai vectơ


0 khi và chỉ khi k =
0

 
hoặc a = 0 .


III.1. Định nghĩa





Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là: a.b , được xác

 

định bởi công thức: a.b a . b .cos a, b .
=

( )


Chú ý:
+) Từ định nghĩa ta suy ra công thức tính góc giữa hai vectơ:


a.b
cos a, b = 
a.b

( )

+) Biểu thức tích vô hướng của hai vectơ còn được viết dưới dạng sau:

 


2
 Dạng độ dài: a.b 1 a + b 2 - a 2
b hay
=
2


 
 
1
2
a+ b2 a- b
a.b
=
4
 Dạng tọa độ:

Trong hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy, cho hai vectơ a(x1, y1) và


b(x2 , y2 ). Khi đó: a.b x1.x 2 + y1.y2

=
Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz , cho hai vectơ: a(x1, y1, z1) và


a.b x1.x 2 + y1.y2 z1.z2
b(x2 , y2 ,z 2 ). Khi
=
+
đó:
 


 Dạng hình chiếu: a.b a.b' , trong đó: b' là hình chiếu của b trên


=
đường thẳng chứa vectơ a .

(

(

)

)

III.2. Các tính chất cơ bản của tích vô hƣớng

Với ba vectơ a,
tùy ý và mọi số thực k 0 , ta có:
b,c
 
 a.b b.a
=

 
 a.b = 0 Û a ^ b
   

(k.a).b = a.(k.b) k(a.b)
=
  
    
 
a.b + a.c

a. b + c =

(

)


(

; a. b -

)

c =

a.b-

a.c


IV. Ba vectơ đồng phẳng
IV.1. Định nghĩa



Trong không gian cho ba vectơ a, b,c tùy ý. Nếu từ một điểm O bất kỳ
 
  
ta vẽ: OA a;OB = b;OC = thì có thể xảy ra hai trường hợp:
=

c
 Nếu bốn điểm O,A,B,C cùng nằm trên một mặt phẳng, ta nói ba vectơ

đồng phẳng.
a,
b,c
 Nếu bốn điểm O,A,B,C không cùng nằm trên một mặt phẳng, ta nói

không đồng phẳng.
ba vectơ a,
b,c
Hay ta định nghĩa như sau:
Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng
chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Từ định nghĩa ta có:

 
 Nếu một trong ba vectơ a, là 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.
b,c
   cùng phương với nhau thì ba vectơ đó
 Nếu hai trong ba vectơ a,
b,c
đồng phẳng.



 Điều kiện cần và đủ để ba vectơ a, tùy ý (trong đó a, b không cùng
b,c

phương) đồng phẳng là tìm được cặp số thực duy nhất m, n sao cho:




c ma nb .

là vectơ không đồng phẳng
 a,
b,c


 
é
Û k.a h.b m.c = 0 k = h m = 0ù
ê+ ë
ú
û
+
Û
=


là
ba
vectơ
không
đồng
phẳng,
khi
đó
với

mọi
vectơ
d
luôn
 Cho a,




b,c


tồn tại duy nhất ba số thực x, y,z sao cho: d
=

x.a
+

y.b
+

z.c

V. Một số bài toán cơ bản
Bài toán 1: Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
  


MA + MB MC MD 4.MG , với mọi điểm M .
+

+
=


Chứng minh:
A

I
G
D

B

J
C

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD .
Sử dụng quy tắc ba điểm ta lần lượt có:
   
 
MA = MG + GA;MB MG + GB;
=

    
MC = MG + GC;MD MG + GD.
=
Trong đó: G là trọng tâm của tứ diện ABCD và điểm M bất kỳ.
   

   

Suy
MA MB MC MD 4MG  GA GB
ra:
GC  GD





+) Chứng minh: Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi:
    
GA + GB + GC + GD = .
(*)
0
Gọi I,J,K,L,M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,BC, AD,
BD,AC.
 Điều kiện cần:
Giả sử G là trọng tâm của tứ diện ABCD, suy ra G là trung điểm của
  


IJ
Þ

GI + GJ
=

0.

(1)

Do I,J lần lượt là trung điểm của AB,CD . Suy ra:
 

GA + GB 2.GI
(2)
=


 

(3)
GC GD 2.G
  
+
=
J
Từ (1), (2), (3) ta có: GA + GB GC
+
+


GD
=


2(GI
+




GJ) = 0

 Điều kiện đủ:
Giả sử G là điểm thỏa mãn đẳng thức (*), ta sẽ chứng minh G là trọng
tâm của tứ diện ABCD.
Thật vậy:
Do I,J lần lượt là trung điểm của
 

 
GA + GB 2.GI và GC GD
=
=
+
    
Mà GA + GB + GC + GD = 0
Þ

AB,CD , nên với điểm G ta có:

2.GJ

2.(GI
+



GJ) = 0
Þ

  
GI + GJ = 0

Suy ra G là trung điểm của đoạn thẳng IJ .
Tương tự, ta chứng minh được G là trung điểm chung của các đoạn
thẳng KL và

Suy ra: MA
+

MN . Vậy G
 
MB MC
+
+

là trọng tâm của tứ diện ABCD.


MC 4.MG
=

Điều phải chứng minh.
Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AD,BC và G là trọng tâm của tam giác BCD.
Chứng minh rằng:

 
a) MN 1 AB

DC
=
+
2
  

b) AB + AC AD 3.AG
+
=

(

A

)

M

Chứng minh:

B

N

G

D


a)

Ta có:
=


MN


MA
+

 

AB +
và MN
BN
=

C


MD
+

 
DC + CN



Do đó: 2.MN

=


MA
+

 
AB + DC
+

 
BN + CN .

  
Vì M là trung điểm của đoạn AD nên: MA MD = 0
+
  
Và N là trung điểm của đoạn BC nên: BN CN = 0 .
+

 
Do đó: MN 1 AB
DC .
=
+
2
        
Ta có: AB AG GB; AC AG GC ; AD AG GD.
+
+

+
=
=
=
  
   
Suy ra: AB AC AD 3.AG + GB + GC + GD.
   
+
=
+
GB
+ GC + GD = 0.
Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên
  

AC AD 3.AG . Đpcm.
Do đó ta suy ra:
+
=
AB +

(

b)


MD
+

)