Không gian Lp (Ω)

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN

ĐÀO TH± HÀ

KHÔNG GIAN Lp(Ω)

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C
Chuyên ngành: Giái tích

Ngưèi hưéng dan khoa
hoc TS. TRAN VĂN
BANG

Hà N®i - 2012


LèI CÃM ƠN
Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Tran Văn Bang - ngưòi thay
đã trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em hoàn thành bài khoá
lu¾n cúa mình. Đong thòi em xin chân thành cám ơn các thay cô trong
to Giái tích và các thay cô trong khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sư pham Hà
N®i 2, Ban chú nhi¾m khoa Toán đã tao đieu ki¾n cho em hoàn thành tot
bài khoá lu¾n này. Trong khuôn kho có han cúa m®t bài khoá lu¾n, do
đieu ki¾n thòi gian,
do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc cho nên
không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh. Vì v¾y, em kính
mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa các thay cô và các ban.
Em xin chân thành cám ơn !
Hà N®i, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Đào Th% Hà


LèI CAM ĐOAN
Khoá lu¾n này là ket quá cúa bán thân em trong quá trình hoc t¾p
và nghiên cúu. Bên canh đó em đưoc sn quan tâm cúa các thay cô giáo
trong khoa Toán, đ¾c bi¾t là sn hưóng dan t¾n tình cúa TS. Tran Văn
Bang.
Trong khi nghiên cúu hoàn thành bán khoá lu¾n này em đã tham
kháo m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo.
Em xin khang đ%nh ket quá cúa đe tài “Không gian Lp(Ω)” không có
sn trùng l¾p vói ket quá cúa các đe tài khác.

Hà N®i, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Đào Th% Hà


Mnc lnc
Mé đau....................................................................................................1
Chương 1. M®t so kien thNc chuan b%......................................................3
1.1. Không gian Banach........................................................................3
1.2. Tích phân Lebesgue.......................................................................5
1.2.1. Đ%nh nghĩa............................................................................................5
1.2.2. Các tính chat sơ cap........................................................................7
1.2.3. Chuyen qua giói han dưói dau tích phân........................................8

Chương 2. Không gian L p (Ω).............................................................10

2.1. Đ%nh nghĩa và tính chat cơ bán cúa không gian Lp(Ω)...........10
2.2. Tính phán xa.Tính tách đưoc. Không gian đoi ngau cúa L p (Ω) . .
. 15
2.3. Tích ch¾p và phép chính hóa....................................................27
2.4. Tính compac manh trong Lp(Ω)................................................36
Ket lu¾n................................................................................................42
Tài li¾u tham kháo...............................................................................43


Me ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Sn phát trien cúa Toán hoc tuy có nhung thăng tram ó tùng thòi điem
l%ch sú song ket quá mà nó đat đưoc rnc rõ nhat là vào the kí XX, đó là
sn phát trien cúa ngành Giái tích toán hoc.
Vói sn ra đòi cúa ngành Giái tích toán hoc, đ¾c bi¾t là Giái tích hàm,
nhieu bài toán trong thnc te cu®c song, trong v¾t lý, trong khoa hoc ky
thu¾t đưoc giái quyet nhanh gon, chính xác. Nhung phương pháp và ket
quá rat mau mnc cúa Giái tích hàm đã xâm nh¾p vào tat cá các ngành
toán hoc có liên quan. Sn xâm nh¾p ay m®t m¾t đã mó ra nhung chân
tròi r®ng lón cho ngành Giái tích hàm nhi¾m vn phái đúc ket nhung ket
quá cúa nhung ngành Toán hoc riêng re đe trong chùng mnc nào đó đe
ra nhung mau toán hoc tong quát và trùu tưong.
Giái tích hàm là m®t môn hoc trong chương trình. Tuy nhiên vì thòi
gian trên lóp có han nên khó có the đi sâu nghiên cúu.Qua khóa lu¾n
này, em không dám có tham vong tìm hieu sâu ve môn Giái tích hàm mà
chí mong muon đưoc nghiên cúu tìm hieu sâu hơn ve m®t van đe hay
m®t không gian cúa Giái tích hàm. Chính vì v¾y mà em đã chon đe tài
"Không gian Lp(Ω) "
đe có cơ h®i tìm hieu sâu hơn ve m®t không gian có nhieu úng dnng này.

N®i dung cúa đe tài gom 2 chương:
Chương 1: M®t so kien thúc chuan b%
Chương 2: Không gian L p (Ω)
Do thòi gian và trình đ® có han, m¾c dù em đã rat co gang nhưng
van
không the tránh đưoc nhung thieu sót nên em rat mong các thay cô chí
báo, các ban sinh viên quan tâm góp ý.
1


2. Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu
Tìm hieu ve không gian Lp(Ω).

3. Đoi tưeng và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu ve không gian Lp(Ω) bao gom khái ni¾m và các tính
chat cúa nó.

4. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu tài li¾u tham kháo.
Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các khái ni¾m, tính chat.

5. Cau trúc khóa lu¾n
Ngoài mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo, khoá
lu¾n gom 2 chương:
Chương 1. M®t so kien thúc chuan b%
Chương 2. Không gian L p (Ω).


Chương 1

M®t so kien thNc chuan b%
1.1. Không gian Banach
Đ%nh nghĩa 1.1. Ta goi không gian đ%nh chuan (hay không gian tuyen
tính đ%nh chuan) là không gian tuyen tính X trên trưòng P (P = R
ho¾c P = C) cùng vói m®t ánh xa tù X vào t¾p so thnc R, kí hi¾u là
"." và đoc là chuan, thóa mãn các tiên đe sau đây:
i) (∀x ∈ X ) "x" ≥ 0; "x" = 0 ⇔ x = θ (kí hi¾u phan tú không là θ
); ii)(∀x ∈ X )(∀α ∈ P) "αx" = |α| "x";
iii)(∀x, y ∈ X ) "x + y" ≤ "x" + "y".
So "x" goi là chuan cúa véctơ x. Ta cũng kí hi¾u không gian đ%nh chuan
là
X . Các tiên đe i), ii), iii) goi là h¾ tiên đe chuan.
Đ%nh nghĩa 1.2. Dãy điem (xn) cúa không gian đ%nh chuan X goi là h®i
tn tói điem x ∈ X , neu lim "xn − x" = 0. Kí hi¾u
n→ ∞

lim "xn" = x hay xn → x(n → ∞).

n→ ∞


Đ%nh nghĩa 1.3. Dãy điem (xn) trong không gian đ%nh chuan X goi là dãy
cơ bán neu lim
"xn − xm " = 0.
m,n→∞

Đ%nh nghĩa 1.4. Không gian đ%nh chuan X goi là không gian Banach,
neu moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn.
Đ%nh nghĩa 1.5. Cho không gian đ%nh chuan X trên R. Ta goi không
gian L(X, R) các phiem hàm tuyen tính liên tnc trên X là không gian

liên hop (không gian đoi ngau) cúa X và kí hi¾u là X ∗ .
Đ%nh nghĩa 1.6. Không gian liên hop cúa không gian X ∗ đưoc goi là
không gian liên hop thú hai cúa X và kí hi¾u là X ∗∗ .
Đ%nh lý 1.1. Ton tai m®t phép đang cn tuyen tính tù không gian đ%nh
chuan
X vào không gian liên hop thú hai X ∗∗ cúa không gian X.
Đ%nh nghĩa 1.7. Không gian đ%nh chuan X goi là không gian phán xa neu
X = X ∗∗ .
Đ%nh lý 1.2. Không gian con đóng cúa không gian phán xa là không gian
phán xa.
M¾nh đe 1.1. Giá sú X là m®t không gian Banach phán xa và M ⊂ X là
m®t không gian con đóng tuyen tính cúa X. Khi đó M là phán xa.
H¾ quá 1.1. M®t không gian Banach X là phán xa khi và chí khi không
gian đoi X ∗ cúa nó là phán xa.
Đ%nh lý 1.3. (Milman-Pettis) Moi không gian Banach loi đeu, đeu là phán
xa.
Đ%nh lý 1.4. (Hahn-Banach) Moi phiem hàm tuyen tính liên tnc f xác đ
%nh trên không gian tuyen tính con Xo cúa không gian đ%nh chuan X
(Xo ƒ= X ) đeu có the thác trien lên toàn không gian X vói chuan không


tăng, nghĩa là có the xây dnng đưoc phiem hàm tuyen tính liên tnc F xác
đ%nh trên toàn


không gian X sao cho:
1) F(x) = f (x)(∀x ∈ Xo);
2) "F"X = " f "Xo .
M¾nh đe 1.2. Cho E là không gian metric tách đưoc và F ⊂ E là t¾p con
bat kì. Khi đó F cũng tách đưoc.

Đ%nh lý 1.5. Giá sú X là m®t không gian Banach phán xa và (xn) là dãy b
% ch¾n trong X. Khi đó ton tai dãy con (xnk ) h®i tn theo tôpô yeu σ (X,
X ∗ ).
Đieu ngưoc lai cũng đúng.
Đ%nh lý 1.6. (Banach - Alaoglu - Bourbaki) Cho E là m®t không gian
Banach. Hình cau đơn v% đóng BX∗ = { f ∈ X ∗ ; " f " ≤ 1} là compac
theo tôpô yeu σ (X, X ∗ ).
Đ%nh lý 1.7. Cho X là m®t không gian Banach sao cho X ∗ là tách đưoc.
Khi đó BX là khá metric theo tôpô yeu σ (X, X ∗ ).
Ngưoc lai, neu BX khá metric theo tôpô yeu σ (X, X ∗ ) thì X ∗ là tách đưoc.
H¾ quá 1.2. Cho X là m®t không gian Banach tách đưoc, ( fn) là m®t
dãy b% ch¾n trong X ∗ . Khi đó, ton tai m®t dãy con ( fnk ) h®i tn theo
tôpô yeu* σ (X ∗ , X ).

1.2. Tích phân Lebesgue
1.2.1. Đ%nh nghĩa
a) Tích phân cúa hàm đơn gián
Đ%nh nghĩa 1.8. Trong m®t không gian X , vói m®t σ - đai so F và m®t
đ® đo µ trên F , cho m®t t¾p hop A đo đưoc (túc
∈ là A
hàm đơn
n

F ) và m®t


gián không âm trên t¾p hop A : f (x) ∑ αiχAi (x) (các t¾p hop Ai đo
đưoc,
=
i=1

ròi nhau
và
cúa f (x) là
so

n
S
i=1

Ai = A). Neu moi Ai là m®t đoan ∆i trong Rk thì tích phân
n

∑ αi |∆i|.
i=1

Trong trưòng hop tong quát khi moi Ai là m®t t¾p hop đo đưoc thì
thay
|∆i| bang µ (Ai) . Vì v¾y tích phân cúa hàm đơn gián không âm f (x)
trên t¾p hop A đoi vói đ® đo µ là so
¸

n

f (x) dµ =

∑

αiµ (Ai).

i=1

+ Tính chat: Neu hai hàm đơn gián f , g ≥ 0 và f ≤ g trên t¾p hop A
thì
¸
A

f≤

¸

g.

A

b) Tích phân các hàm đo đưac bat kỳ
* f (x) ≥ 0 trên t¾p hop A. Cho dãy hàm so đơn gián fn ≥ 0, đơn đi¾u
tăng và h®i tn tói f . Ta goi tích phân cúa f (x) trên t¾p hop A đoi vói
đ® đo µ là so (huu han hay vô cnc)
¸

f (x) dµ = lim
A

¸

n→∞

fn (x) dµ.

A

* f (x) có dau bat kỳ trên t¾p hop A. Đ¾t:
f = f+− f−
−
vói f + = max { f , 0}, f − = max {− f , 0}. Neu f + − f có nghĩa

hi¾u so

¸

¸

A

A

thì ta goi nó là tích phân cúa f (x) trên t¾p hop A đoi vói đ® đo µ:
¸

¸


f (x) dµ =
A

¸

f

+

(x) dµ −

f − (x) dµ

A

A

và neu tích phân ay huu han thì ta nói f (x) khá tích.
* Khi X = Rk, F = Lk, µ = µ k thì tích phân đ%nh nghĩa như trên
thưòng goi là tích phân Lebesgue và đưoc ký hi¾u
¸

¸

f (x) dµ (x)ho¾c (L) f (x) dx.
A
A


Kí hi¾u (Ω, M , µ) là m®t không gian đo, ó đó, Ω là m®t t¾p và
i) M là m®t σ -đai so trong Ω, túc là, M là m®t ho các t¾p con cúa Ω có
tính chat:
a) 0/ ∈ M ,
b) A ∈ M ⇒ Ac ∈ M ,
S
∞

c)

n=
1

An ∈ M , khi An ∈ M , ∀n,

ii) µ là m®t đ® đo, túc là, µ : M → [0, ∞] thóa mãn:
a) µ(0/ ) = 0,
.
∞
b) . S
∞
A
∑ µ(An) khi (An) là m®t ho đem đưoc các t¾p con đôi
n
µ
=

n=
1

n=1

m®t ròi nhau cúa M .
Các phan tú cúa M đưoc goi là các t¾p đo đưoc. Đôi khi ta viet |A| thay
cho
µ(A).
iii) Ω là σ - huu han, túc là, ton tai m®t ho đem đưoc (Ωn) trong M sao
cho

Ω=

∞
S

n=1

Ta

Ωn và µ(Ω n) < ∞.

Nhung t¾p E ∈ M có µ(E) = 0 đưoc goi là các t¾p có đ® đo không.

nói rang m®t tính chat thóa mãn hau khap nơi (ho¾c tai hau het x ∈
Ω) neu nó thóa mãn tai ∀x ∈ Ω, trù ra trên m®t t¾p có đ® đo không.
* Ta kí hi¾u L1 (Ω, µ) ho¾c đơn gián L1(Ω) (ho¾c chí là L1) là không

gian các hàm
¸ khá tích tù¸Ω vào R.
* Ta kí hi¾u f thay cho Ω f dµ và

¸

¸

| f |dµ
=

" f "L1 = " f "1
=

Ω

1.2.2. Các tính chat sơ cap
+ C®ng tính: Neu A ∩ B = ∅ thì

| f |.

A∪B

¸

f=

¸


A

f+

¸

f

.
+ Báo toàn thú tn:
. Neu f ∼ g thì

f=

¸

B

¸

¸
A

g. Nói riêng neu f = 0, h.k.n trên A thì f = 0.

A

.¸Neu f ≤ g trên A thì f¸ ≤
A

¸
A

A

g. Nói riêng neu f ≥ 0 thì f ≥ 0.
A


+ Tuyen tính:
.

¸

¸

c f = c f (c là hang so).

¸A

A

. (¸ f + g)
=
A
+ Khá tích:
.¸Neu
A

f+
A

¸

g.

A

..¸ .. ¸
f có nghĩa thì f ≤ | f |.
.. ..
A

A

. f khá tích khi và chí khi | f | khá tích.
. Neu | f | ≤ g h.k.n trên A và g khá tích thì f cũng khá tích.
. Neu f , g khá tích thì f ± g cũng khá tích. Neu f khá tích, g giói n®i thì f
g
cũng khá tích.

1.2.3. Chuyen qua giéi han dưéi dau tích phân
Đ%nh lý 1.8. (Đ%nh lý ve sN h®i tn đơn đi¾u, Beppo Levi) Cho ( fn) là m®t
dãy hàm trong L1 thóa mãn:
a) f1 ≤ f2 ≤ · · · fn ≤ fn+1 ≤ · · · h.k.n trên Ω,
¸

b) Supn fn < ∞.
Khi đó fn(x) h®i tn h.k.n trên Ω tói m®t giói han huu han, kí hi¾u là f
(x), hàm f thu®c vào L1 và " fn − f "1 → 0.
Đ%nh lý 1.9. (Đ%nh lý ve sN h®i tn tr®i Lebesgue) Cho ( fn) là m®t dãy
hàm trong L1 thóa mãn:
a) fn(x) → f (x)h.k.n trên Ω,
b) Có m®t hàm g ∈ L1 đe ∀n, | fn(x)| ≤ g(x)h.k.n trên
Ω. Khi đó f ∈ L1 và " fn − f "1 → 0.
Bo đe 1.1. (Bo đe Fatou) Cho ( fn) là m®t dãy hàm trong L1 thóa mãn:
a) ∀n : fn ≤ 0 h.k.n,
b) Supn

¸

fn < ∞.

1

Vói hau het x ∈ Ω ta đ¾t f (x) = liminfn→∞ fn(x) ≤ +∞. Khi đó f ∈ L
và

¸

f

lim inf
≤ n→∞

¸ fn .


Kí hi¾u:
Ta kí hi¾u Cc(RN ) là không gian tat cá các hàm liên tnc trên RN vói
giá compac, túc là:
Cc(RN ) = { f ∈ C(RN ); f (x) = 0 ∀x ∈ RN\K, K là t¾p compac}.
Đ%nh lý 1.10. (Tính trù m¾t) Không gian Cc(RN ) là trù m¾t trong
L1(RN ), túc là:
∀ f ∈ L1(RN ) ∀ε > 0 ∃ f1 ∈ Cc(RN ) sao cho " f − f1"1 ≤ ε.
Cho (Ω1, M1 , µ1 ) và (Ω2, M2 , µ2 ) là hai không gian đo σ − huu
han.
Khi đó ta có the xác đ%nh không gian đo (Ω, M , µ) trên tích đêcac
Ω = Ω1 × Ω 2 .
Đ%nh lý 1.11. (Tonelli) Cho F(x, y) : Ω1 × Ω2 → R là m®t hàm đo
đư¸oc thóa mãn:
a)

và
b)

Ω2 |F(x,

¸

y)|dµ2 < ∞ vói hau het x ∈ Ω

¸

|F(x, y)|dµ2 < ∞.

Ω1 dµ1 Ω2
1

Khi đó F ∈ L (Ω1 × Ω2).
F(x, y)dµ2 ∈
L1(Ω1).

Đ%nh lý 1.12. (Fubini) Giá sú F ∈ L1(Ω1 ×
Ω2).
Khi¸đó vói hau het x ∈ Ω1, F(x, y) ∈ L1(Ω2),
và
y

Ω2

1

¸Tương tn vói hau het y ∈ Ω2, F(x, y) ∈ L (Ω1) và F(x, y)dµ1 ∈
x

Hơn nua, ta
có:

¸
¸
Ω1

Ω1

¸

¸

dµ1

dµ2

F(x, y)dµ2 =
Ω2

Ω2

=

L1(Ω2).

¸¸

F(x, y)dµ1
Ω1

F(x, y)dµ1 dµ2 .
Ω1×Ω2

x

y


Chương 2
p

Không gian L (Ω)
2.1. Đ%nh nghĩa và tính chat cơ bán cúa
không gian Lp(Ω)
Đ%nh nghĩa 2.1. Cho p ∈ R vói 1 < p < ∞. Ta đ¾t:
Lp = { f : Ω → R; f là đo đưoc và | f | p ∈ L1(Ω)}
vó
i

" f "Lp = " f " p
.¸
=

| f (x)|
p

dµ

.1/p
.

Ω

Ta se kiem tra ""p là m®t chuan sau.
Đ%nh nghĩa 2.2. Ta đ¾t:
L∞(Ω) = { f : Ω → R, f là đo đưoc và có m®t hang so C đe
| f (x)| ≤ C h.k.n trên Ω}.
vói
" f "L∞ = " f "∞ = int{C; | f (x)| ≤ C h.k.n trên Ω}.
Chú ý sau suy ra ""∞ là m®t chuan.


Chú ý 1:
Neu f ∈ L∞ khi đó ta có:
| f (x)| ≤ " f "∞ h.k.n trên Ω.
Th¾t v¾y: có ton tai m®t dãy Cn thóa mãn Cn → " f "∞ và vói moi n,
| f (x)| ≤ Cn h.k.n trên Ω. Do đó | f (x)| ≤ Cn ∀x ∈ Ω\En vói |En| = 0.
∞
Ta đ¾t: E S En thì |En| = 0 và
n=
=
1
| f (x)| ≤ Cn ∀n, ∀x ∈ Ω\E.
Chúng tó | f (x)| ≤ " f "∞ ∀x ∈ Ω\E.
Kí hi¾u:
Cho 1 ≤ p ≤ ∞, ta kí hi¾u p’ là so mũ liên hop

1

1

+
= 1.
p pr
Đ%nh lý 2.1. (Bat đang thNc Holder) Giá sú rang f ∈ Lp và g ∈ Lpr vói
1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó f g ∈ L1 và
¸

| f g| ≤ " f "p "g"pr .

(2.1)

Chúng minh. Ket lu¾n là rõ ràng neu p = 1 ho¾c p = ∞. Do đó ta se
giá thiet 1 < p < ∞.
Ta nhac lai bat đang thúc Young:
ab ≤

1

1
ap

p

∀a ≤ 0, ∀b ≤ 0.

pr

+

b
pr
Bat đang thúc (2.2) suy tù tính lõm cúa hàm loga trên (0; ∞):
= log ab.
1
ap
.
1
1 p.
r
p
loga
log 1 +
b
p
p
logb
r
r
p
+
pr
Ta
p
≥
có:

(2.2)


| f (x)g(x)|
≤

1

, ∀x ∈ Ω.

pr

p

p

Chúng tó f g ∈ L1 và

1
| f (x)| +
1

¸

pr

|g(x)|
1

p

pr

| f g| ≤

" f "p + r "g"pr .
p
p
Thay f bói λ f (λ > 0) trong (2.3) ta có:
¸

| f g| ≤
Chon λ = " f "
p /p
"g" r
p

λ p−1

1

p

(2.3)

pr

" f "p +
"g"pr .
(2.4)

p
λ pr
(đe làm cnc tieu ve phái cúa (2.4)) ta thu đưoc

−1
p

(2.1)
Chú ý 2:
Bat đang thúc Holder có the mó r®ng như sau:
Giá sú giá sú rang f1, f2, ........, fk là các hàm thóa mãn:
1

fi ∈ Lpi , 1 ≤ i ≤ k vói1
p
=

p

+

1

1

1
≤ 1.
+···+
pk

p2

Khi đó tích f = f1 f2 · · · fk thu®c Lp và
" f "p ≤ " f1"p1 " f2"p2 · · ·" fk"pk .
Nói riêng, neu f ∈ Lp ∩ Lq vói 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ thì f ∈ Lr ∀r, p ≤ r ≤ q,
và ta có ”bat đang thúc n®i suy” như sau:
α

1−α

1

" f "r ≤ " f "p " f "q , ó đó
+

r

α
=

p

1−α
q

, 0 ≤ α ≤ 1.

Đ%nh lý 2.2. Lp là m®t không gian vectơ và "" p là m®t chuan trên Lp
vói moi p, 1 ≤ p ≤ ∞.

Chúng minh. Trưòng hop p = 1 và p = ∞ là rõ ràng. Do đó ta giá thiet
1 < p < ∞ và giá sú f , g ∈ Lp . Ta có:
p

p

p

| f (x) + g(x)| ≤ (| f (x)| + |g(x)|)p ≤ 2p(| f (x)| + |g(x)| ).


nên f + g ∈ L p . M¾t khác,
¸

" f + g"p

p

≤

¸

| f + g|

p−1

|f+

| f + g|

g| ≤

Nhưng | f + g|

p−1

¸
p−1

|f

| f + g|

p−1

|g| .

|+

∈ Lpr , nên theo bat đang thúc Holder ta thu đưoc:
p

" f + g" ≤ " f + g"
(" f "
p

p−1

p

+ "g" ),
p

p

túc là " f + g"p ≤ " f "p + "g"p.
Đ%nh lý 2.3. (Fischer-Riesz) Lp là m®t không gian Banach vói moi p,
1 ≤ p ≤ ∞.
Chúng minh. Ta chia hai trưòng hop p = ∞ và 1 ≤ p < ∞.
Trưèng hep 1: p = ∞
Giá sú ( fn) là m®t dãy Cauchy trong L∞. Vói moi so nguyên k ≥ 1 có
m®t so nguyên Nk đe " fm − fn"∞ ≤ 1 ∀m, n ≥ Nk. Do đó có m®t t¾p có
đ® đo không
k
Ek sao cho:
1
| fm(x) − fn(x)|
∀x ∈ Ω\Ek, ∀m, n ≥ Nk.
(2.5)
≤
k
Đ¾t E =

S
k

thì E là t¾p có đ® đo không và ta thay ∀x ∈ Ω\E, dãy (x)

Ek

fn
là Cauchy (trong R). Vì v¾y, fn(x) → f (x) ∀x ∈ Ω\E. Chuyen qua giói han
trong (2.5) khi m → ∞ ta đưoc:
| f (x) − fn(x)| 1
≤
∀x ∈ Ω\E, ∀n ≥ Nk.
k
Ta ket lu¾n rang f ∈ L∞ và " f − fn"∞ ≤
k

1

∀n ≥ Nk, do đó fn → f trong

L∞ .
Trưèng hep 2: 1 ≤ p < ∞
Giá sú ( fn) là dãy Cauchy trong L p . Ta chí can chúng minh rang dãy này
có m®t dãy con h®i tn trong L p .


Chúng ta lay ra m®t dãy con ( fnk ) sao cho:
1
fnk+1 − fnk

∀k ≥ 1.
2k
[Cn the ta làm như sau: chon n1 sao cho " fm − f n"p ≤2 ∀m, n ≥ n1; sau
p

≤

1

đó

chon n2 ≥ n1 sao cho " fm − f n" p
≤ 1
fnk h®i tn trong
L
có:

2
2

p . Đe

∀m, n ≥ ......].Ta khang đ%nh rang
n2

đơn gián kí hi¾u ta viet fk thay cho fnk . Như v¾y ta
1
" fk+1 − f k "p ≤

Đ¾t

∀k ≥ 1.

(2.6)

n

gn(x)
=

thì

2k

∑

k=1

| fk+1(x) − fk(x)|,

"gn"p ≤ 1.

Theo Đ%nh lý ve sn h®i tn đơn đi¾u, gn(x) tien tói giói han huu han, goi
là
g(x) h.k.n trên Ω vói g ∈ L p . M¾t khác, vói m ≥ n ≥ 2 ta có:
| fm(x) − fn(x)| ≤ | fm(x) − fm−1(x)| + · · · + | fn+1(x) − fn(x)|
≤ g(x) − gn−1 (x).
Do v¾y vói hau het x ∈ Ω, fn(x) là Cauchy và h®i tn tói giói han huu
han, goi là f (x).
Vói hau het x ∈ Ω, ta có:
| f (x) − fn(x)| ≤ g(x) ∀n ≥ 2,

(2.7)

và đ¾c bi¾t f ∈ L p . Cuoi cùng, theo Đ%nh lý h®i tn tr®i, " fn − f "p →
0, do đó

| fn(x) − f (x)|p → 0 h.k.n và | fn − f | p ≤ gp ∈ L1.
Đ%nh lý 2.4. Cho fn là m®t dãy trong Lp và f ∈ Lp sao cho " fn − f "p →
0.
p


Khi đó, ton tai m®t dãy con ( fnk ) và m®t hàm h
∈L
a) fnk (x) → f (x) h.k.n trên Ω,
b) | fnk (x)| ≤ h(x) ∀k, h.k.n trên Ω.

thóa mãn:


Chúng minh. Ket lu¾n là rõ ràng khi p = ∞.
Vì v¾y ta giá sú 1 ≤ p < ∞. Do ( fn) là m®t dãy Cauchy nên theo chúng
minh Đ%nh lý 2.3, có m®t dãy con ( fnk ) kí hi¾u bói ( fk) thóa mãn
(2.6) và fk(x) h®i tn h.k.n tói m®t hàm f ∗(x) vói f ∗ ∈ Lp .
Hơn nua, tù (2.7) ta có | f ∗(x) − fk(x)| ≤ g(x) ∀k, h.k.n trên Ω vói g ∈
Lp . Theo Đ%nh lý h®i tn tr®i, fk → f ∗ trong Lp và vì v¾y f = f ∗ h.k.n.
Ngoài ra, ta còn có | fk(x)| ≤ | f ∗(x)| + g(x), nên ta có đieu phái chúng
minh.

2.2. Tính phán xa.Tính tách đưec. Không gian
đoi ngau cúa Lp(Ω)
Ta se xét ba trưòng hop :
A) 1 < p < ∞,
B) p = 1,
C) p = ∞.
A. Không gian L p (Ω) véi 1 < p < ∞.

Trưòng hop này là “thu¾n” nhat: Lp là phán xa, tách đưoc và đoi ngau cúa
Lp là Lpr .
Đ%nh lý 2.5. Lp là phán xa vói moi p, 1 < p < ∞.
Chúng minh gom 3 bưóc:
Bưóc 1:(Bat đang thúc Clarkson thú nhat).
Cho 2 ≤ p < ∞. Ta có khang đ%nh:
p
f−g
1
p f+ g
p
p
(" f " + "g" ) ∀ f , g ∈ Lp .
+
≤
p
p
2 p
2
2
p

Chúng minh (2.8). Rõ ràng ta chí can chúng minh:
.
.p .
.p
a. + b .
a
−
b

.
.
p
p
.
. +.
. ≤ (|a| + |b| ) ∀a, b ∈ R.
. 2 .
. 2 .

(2.8)