Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến

GVHD: PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH

LỜI CẢM ƠN

Khoá luận của em được hoàn thành với sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình
của thầy giáo PGS.TS.Khuất Văn Ninh .
Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô
trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 – những người đã luôn dạy dỗ, chỉ
bảo chúng em trong quá trình học tập để chúng em có thêm nhiều kĩ năng,
kiến thức và trưởng thành hơn.
Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS. Khuất
Văn Ninh – người đã trực tiếp hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến quý báu
cho em trong thời gian em thực hiện khoá luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Lê Thị Lam

LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

1


LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận tốt nghiệp của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh, cùng với đó là sự cố
gắng của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu em đã tham khảo và kế thừa những
thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu và

những người đi trước với sự trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc.
Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khoá luận này
là kết quả nghiên cứu, tổng hợp, thu thập tài liệu của riêng bản thân em,
không có sự trùng lặp với kết quả của tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Lê Thị Lam


MỞ ĐẦU

Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc
thực tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia làm hai
lĩnh vực: toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Nói đến toán học ứng dụng
không thể không nói đến Giải tích số. Giải tích số là một khoa học nghiên cứu
cách giải gần đúng các phương trình; các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài
toán tối ưu.
Vấn đề tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm
số đại số hoặc siêu việt bất kì là một bài toán thường gặp trong kĩ thuật cũng
như trong lý thuyết; là một vấn đề nghiên cứu quan trọng của giải tích số.
Chính vì vậy; em đã lựa chọn đề tài cho khoá luận tốt nghiệp của em là:
“Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến.”


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUNG

1.1. Một số kiến thức về không gian hàm:
1.1.1. Không gian mêtric:

* Định nghĩa 1.1.1: Ta gọi là không gian mêtric một tập hợp X ≠ Ø
cùng với một ánh xạ d từ tích Đềcác X x X vào tập hợp số thực □ thỏa mãn
các tiên đề sau đây:
i) x,yX : d(x,y) ≥ 0 ; d(x,y) = 0 x = y.
ii) x,yX : d(x,y) = d(y,x).
iii) x,y,zX : d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y).
Ánh xạ d gọi là mêtric trên X; số d(x,y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử
x và y.
Không gian mêtric được kí hiệu là :M = (X,d).
* Định nghĩa 1.1.2: Không gian mêtric M = (X,d) được gọi là không
gian đủ nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ.
* Định nghĩa 1.1.3: Cho hai không gian mêtric M1 = (X,d1); M2 =
(X,d2). Ánh xạ A từ không gian M1 vào không gian M2 gọi là ánh xạ co
nếu tồn tại số ; 0 ≤ <1 sao cho d2(Ax,Ax’) ≤ .d1(x,x’)
x, x’X. Hằng số gọi là hệ số co của A.
* Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co): Cho A là ánh xạ co
từ không gian mêtric đủ (X,d) vào chính nó. Khi đó:
*

*

*

*

a) Tồn tại duy nhất x X sao cho Ax = x .Phần tử x gọi là điểm
bất động của ánh xạ A.


*

b) Dãy lặp xn+1 = Axn (n ≥ 0) xuất phát từ x0 bất kì đều hội tụ đến x .
Ngoài ra ta còn có các ước lượng sau:
*

n

-1

d(xn,x ) ≤ q .(1-q) .d(x0,x1)
*

(n≥1)

(1.1.1)

(n≥1)

(1.1.2)

-1

d(xn,x ) ≤ q.(1-q) .d(xn-1,xn)
(Với q là hệ số co của A).
□ Chứng minh:

n

a) Vì d(xn+1,xn) = d(Axn,Axn-1) ≤ q.d(xn,xn-1) ≤…≤ q .d(x0,x1)
nên d(xn,xn+m) ≤ d(xn,xn+1) + d(xn+1,xn+2) +….+ d(xn+m-1,xn+m)

n

≤ q .d(x0,x1).(1+q+…+q
n

m-1

)

-1

≤ q .(1-q) .d(x0,x1)
Suy ra (xn) là dãy cơ bản.
*

Do X là không gian đủ nên xn→ x X.
*

Qua giới hạn trong biểu thức xn+1 = Axn ta được x =
*

Ax . Giả sử , là hai điểm bất động của A .Ta có :
0 ≤ d(,) = d(A,A) ≤ q. d(,).
Từ đây suy ra d(,) = 0 hay = .
b) Cho m→, ta có (1.1.2) (đpcm).

1.1.2. Không gian định chuẩn:
* Định nghĩa 1.1.4: Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian
tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường K (K = □ hoặc
K = □ ) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực □ ; kí hiệu là .; đọc

là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) xX :x≥0; x= 0 x = .
(là phần tử không của X). 2) xX, K
: .x= ‫׀‬‫׀‬.x.
3) x,yX: x+yx+ y.


Số xđược gọi là chuẩn của vectơ x. Ta kí hiệu không gian định
chuẩn là (X,.) hoặc X.
* Định nghĩa 1.1.5: Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Toán
tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn
tại hằng số C > 0 sao cho : AxY ≤ C.xX ; xX.
* Định lý 1.1.2 (Định lý ba mệnh đề tương đương về toán tử tuyến tính
liên tục): Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y. Ba mệnh đề sau tương đương:
1) A liên tục.
2) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X.
3) A bị chặn.
◻ Chứng minh:
1)2) Giả sử toán tử A liên tục. Theo định nghĩa; toán tử A
liên tục tại mỗi điểm xX; do đó toán tử A liên tục tại điểm x0
X.
2)3) Giả sử toán tử A liên tục tại điểm x0X; nhưng toán tử A
không bị
chặn.
*

Khi đó (nN ) (xnX) : Axn > nxn.
Ta có xn 0; đặt
yn=

xn
n. || xn
||

thì yn=
khi

1

→0 (n→) nghĩa là yn→0

n

n→yn + x0→ x0 (n→).
Theo giả thiết ta có ||A(yn+x0) - Ax0||→ 0 (n→)
Nhưng ||Ayn||= ||A(
xn

)|| =

1

. || Ax || > 1.(Điều này mâu thuẫn với
n

chứng minh trên ).


n. || xn ||

n. || xn ||

Vậy toán tử A liên tục tại điểm x0 X thì bị chặn.
3)1) Giả sử toán tử A bị chặn .Theo định nghĩa C > 0
||Ax|| ≤ C||x||; x X

(*)


Lấy một điểm bất kì xX và dãy điểm tùy ý (xn) X
hội tụ tới x Nhờ hệ thức (*) ta có :
||Axn - Ax||= ||A(xn - x)|| ≤ C ||xn - x|| → 0
(n→) Do đó A liên tục tại điểm x.
Do x bất kỳ thuộc X A liên tục trên X .

◻

1.1.3.Không gian Hilbert:
* Định nghĩa 1.1.6: Cho không gian tuyến tính X trên trường K (K là
trường số thực □ hoặc trường số phức □ ) .Ta gọi là tích vô hướng trên không
.

.

gian X mọi ánh xạ từ tích Đềcac XxX vào trường K ký hiệu < , > thỏa mãn
tiên đề :
1) (x, y X) : <y, x > = <x , y>

;

2) (x,y,z X): <x+y,z> = <x,z> + <y,z> ;
3) (x,y X);(K) : <.x , y> = . <x,y> ;
4) (x X) :<x , x> 0 ; <x , x> = 0 x = .
* Định nghĩa 1.1.7: Ta gọi một tập H gồm phần tử x, y,
z,… nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện
sau:
1) H là không gian tuyến tính trên trường K;
.

.

2) H được trang bị một tích vô hướng < , > ;
3) H là không gian Banach với chuẩn || x || =

x, x  ; x X.

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian Hilbert H.
* Định lý 1.1.3: (Định lý về đẳng thức Paseval):
Cho (en)n1 là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H.
Năm mệnh đề sau tương đương:
1) Hệ (en)n1 là cơ sở trực chuẩn của không gian H;


2) x
H :
=

x

x,



en

e n ;

n 1

3) x , y H : < x , y >
=


Paseval);

x , e e (đẳng thức
n
n , y

n 1

|

 (phương trình đóng);
4) x H :  x, en 2
|
2
|| x ||

=
n1

5) Bao tuyến tính của hệ (en)n1 trù mật khắp nơi trong không gian H.
◻Chứng minh:

2

1)2) x
H ta đều có


Chuỗi


 x, en
n1

|x,
2

x (Bất đẳng thức Bessel)

en | 
n

1

hội tụ trong H với x bất kì thuộc H.

.
en

Kí hiệu tổng của chuỗi đó là z.
Khi đó m N và k m ta có:
<z – x, em> = <z, em> - <x, em>

lim

k 

k



 x, en
x, em

n1

.en , em
  x, em 
 x, em


0
Nghĩa là z – x trực giao với cơ sở trực chuẩn (en)n1.
Do đó z = x. Vì vậy x 





x,
en

.en

.

n 1

2)3) Áp dụng tính chất liên tục của tích vô hướng ta được


x, y


lim

k

k


x, en

k 

k 
n 1

k

lim

.en , lim y,
 ej

.e j

j 1

k



.e j
.en ,
 x, en  y,
n1
ej

k 

j 1

k

k

 lim


 x, en

x

 . en , e j 
y, e j

j 1



n1

k

 
lim
 x, y, en  
en
x, en
x

. en , y 

n1

n 1

3) 4) Cho y =
x
x ta được

2

x, x x, en

.
4)5) Ta
có chuỗi

 x,

phần tử bất kì x
H, vì:

n1

Khi đó

en .en

2

n1

hội tụ trong không gian H đối với

|| < x,
en >.en
|| = | <
x, en >
|

n
1.
k

k

.en
.en , x 

en
 x,
n1
x

x


x, en

n1

 x, en

n1

.e
n, x

 x,
e

n
n1





.en ,



|

n

1

.en



 x, en

|
x, 
en

= 0.
Vì vậy x =

2

e

n
n1

|

n

1

x,
n 1

k

x lim

|
x, 
en


en

 en

2

n

n 1

|

n

1

x,
en

2

|

. Từ đó suy ra với mỗi x H đều có:

 x, e

k 

.en

 x,


x2

x,



n1





k

2

.en


nghĩa là x là giới hạn của một dãy các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn
bất kì các phần tử thuộc hệ (en)n1. Vì vậy bao tuyến tính của hệ (en)n1 trù
mật trong không gian H.
4) 1) Giả sử x H và x en (n =1, 2, 3,….).
x trực giao với bao tuyến tính của hệ (en)n1. Mà bao
tuyến tính của hệ (en)n1 trù mật khắp nơi trong không gian H.

x = 0 ( 0 là phần tử không trong H).
Hệ trực chuẩn (en)n1 là cơ sở trực chuẩn của không
gian H. ( Định lý được chứng minh ).
1.2. Số gần đúng và sai số:
1.2.1. Sai số tuyệt đối, sai số tương đối:
*

* Định nghĩa 1.2.1.1: Ta gọi a là số gần đúng của a nếu a không sai
*

khác a* nhiều. Kí hiệu a a .
*

Đại lượng : = |a – a | gọi là sai số thực sự của a. Do không biết
a

*

nên ta cũng không biết . Tuy nhiên ta có thể tìm được số a

0, gọi là sai số tuyệt đối của a, thoả mãn điều kiện:
*

|a – a | a

(1.2.1)

*

*

hay a - a a a + a. Một số gần đúng a của số đúng a với sai số
tuyệt đối
*

a được viết đơn giản là: a = a a. Khi đó ta có sai số tương đối
của a là một số, kí hiệu a , được xác định bởi:

: a
a 
a

(1.2.2)

Chú ý: Độ chính xác của phép đo thường được phản ánh qua sai số
tương đối.
LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

10


1.2.2. Phép làm tròn số và sai số của phép làm tròn số:
Một số thập phân a có dạng tổng quát như sau:
p

a = ( p.10 +p-1.10

p-1

p-s

+ ……+ p-s.10

) (1.2.3)

trong đó 0 i 9 ( i = p – 1 , p – s ) ; p > 0 là những số nguyên. Nếu p
–s 
0 thì a là số nguyên; p – s = - m ( m > 0) thì a có phần lẻ gồm m chữ số. Nếu s
= +thì a là số thập phân vô hạn. Làm tròn số a đến hàng thứ j là bỏ đi
các chữ số hàng thứ k, với k j – 1 để được một số a gọn hơn a và gần
đúng nhất với a.
Quy tắc làm tròn số
p

Giả sử a = ( p.10 +p-1.10

p-1

p-s

+ ……+ p-s.10

) và ta giữ

lại đến hàng thứ j, gọi phần bỏ đi là , khi đó:
p

a = ( p.10 + ….+ j+1.10

j+1

j

+ j.10 ) trong đó

  ; 0, 5.10 j 10 j.
 j
j 
 1
j
;
0


0,
5.10 .
  j
j
nếu = 0,5.10 thì j = j nếu j là số chẵn và j = j + 1 nếu j là số
lẻ.
Sai số của phép làm tròn số a kí hiệu là

được xác định bởi:

a

a a a .
1

j
 .10
Rõ ràng

a

. Dễ thấy

*

a
a


*

a a
a
a

2
vậy khi làm tròn số thì sai số tuyệt đối tăng thêm


.
Như
a

a .

a


1.2.3. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc:


* Định nghĩa 1.2.3.1: Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và cả chữ
số 0 nếu nó bị kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được
giữ lại.
p

p-1

* Định nghĩa 1.2.3.1: Giả sử a = ( p.10 + p-1.10
p- s

+ p-s.10

+ ……

) . Mọi chữ số có nghĩa j của a được gọi là chữ số chắc
j

nếu  .10 trong đó là tham số cho trước, tham số
được chọn sao cho một chữ số vốn đã chắc sau khi thu gọn vẫn là
chữ số chắc.
* Chú ý: Trong thực tế tính toán, để cho tiện người ta vẫn thường chọn
= 1/2 hoặc = 1. Nếu = 1 thì người ta nói chữ số chắc
theo nghĩa rộng, còn nếu = 1/2 thì người ta nói chữ số chắc theo
nghĩa hẹp.

1.2.4. Sai số tính toán:
Trong tính toán ta thường gặp bốn loại sai số sau:
a) Sai số giả thiết: Do mô hình hoá, lý tưởng hoá bài toán thực tế.Sai số
này không loại trừ được.
b) Sai số phương pháp: Các bài toán thường gặp rất phức tạp không thể
giải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng. Sai số này được
nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể.
c) Sai số các số liệu: Các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do đó
có sai số.
d) Sai số tính toán: Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên
khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán.
Giả sử tìm đại lượng y theo công thức:
y = f(x1 , x2 , …, xn)
*

*

Gọi xi , y và xi , y (i = 1,.., n) lần lượt là các giá trị đúng và gần đúng của các


đối số và hàm số. Nếu f khả vi liên tục thì:



n

1

n

n

1

y
f (x ,..., x ) f (x * ,...,  f ' .
i
y*
x
x* )



f

1


i

i i


x*
f

'

trong đó fi là đạo hàm


xi

tính tại các điểm trung gian. Do


xi

liên tục và

xi khá bé ta có thể coi:



n i

1
n

Do đó


y


i

1

'

y y


y

x

i1



.

) .x

f (x ,...,
x
n

i

ln
f

.xi .

i

Sau đây là sai số của các phép tính cơ bản:

1.2.5) Sai số của các phép tính cộng trừ:
Giả sử y = x1 + x2 + … +xn ;

y

1
xi
n

Khi đó y = x1 + x2 + … + xn =
i1

 x

i

.

Như vậy sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối
của các số hạng thành phần.


Trong tính toán nếu có tổng là một số nhỏ thì sai số tương đối sẽ là một
số lớn, do đó kết quả không chính xác. Cho nên trong tính toán nên tránh các
công thức có hiệu của hai số gần nhau. Nếu không tránh được thì cần phải lấy
các số với nhiều chữ số chắc để hiệu của chúng có thêm chữ số chắc.
1.2.6) Sai số của các phép tính nhân chia:
Giả sử :

x1...x p
y x ...x .
p 1
n
Khi đó
p

n

ln y  ln ln x j .
xi 
i1

j p 1

Suy ra
n

y xi
.

i 1

Như vậy sai số tương đối của một tích hoặc một thương đều bằng
tổng các sai số tương đối của các số hạng thành phần.
1.2.7) Sai số của các phép luỹ thừa, khai căn, nghịch đảo:
d
a
ln y
a .x

Cho y = x , khi đó y
.x 

dx
- Nếu a > 1 (phép luỹ thừa) thì y > x, do đó độ chính xác giảm.
- Nếu 0 < a < 1 ta có phép khai căn, khi đó y < x, hay độ chính xác
tăng.
- Nếu a = - 1 ta có phép nghịch đảo, y = x nghĩa là độ chính xác
không đổi.
1.3. Khoảng tách nghiệm của phương trình:
Cho phương trình f(x) = 0 (1.3.1)


*Định lí 1.3.1: a) Nếu f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a,b] và
*

f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một nghiệm x thuộc khoảng (a,b) của phương
trình (1.3.1).


b) Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, hơn nữa hàm số f(x)
*

có đạo hàm f’(x) liên tục không đổi dấu trên đoạn [a,b] thì nghiệm x nói trên
là duy nhất.
* Định nghĩa 1.3.1: Khoảng (a,b) hoặc đoạn [a,b] được gọi là khoảng
tách nghiệm của phương trình (1.3.1) nếu trong khoảng (a,b) hoặc đoạn [a,b]
phương trình (1.3.1) có một nghiệm duy nhất.
* Định lý 1.3.2: Giả sử f(x) là hàm liên tục, đơn điệu trên đoạn [a, b] và
f(a).f(b) < 0. Khi đó đoạn [a,b] là khoảng tách nghiệm của phương trình

(1.3.1).
* Định lý 1.3.3: Nếu hàm f(x) xác định trên đoạn [a,b] có đạo hàm f’(x)
không đổi dấu trên khoảng (a, b) và f(a).f(b) < 0 thì (a,b) là khoảng tách
nghiệm của phương trình (1.3.1).
3

2

Ví dụ 1.3.1: Cho phương trình : x – 3x + 3x + 1= 0. Hãy chứng tỏ
phương trình này có nghiệm thực và tìm khoảng tách nghiệm của phương
trình.
Giải:
3

2

Đặt f(x) = x – 3x + 3x + 1.
2

2

Ta có f’(x) = 3x – 6x + 3 = 3.(x – 1) > 0
x 1. suy ra hàm số f(x) đồng biến trên
□.

Ta có bảng biến thiên như sau:


x

-

1

+


f’(x)

+

0

+

f(x)

+

-
Vậy đồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất
hay phương trình đã cho có nghiệm thực duy nhất.
Mặt khác ta có f(-1) = - 6 , f(0) = 1 suy ra f(0). f(1) < 0 nên ta có [0; 1]
là khoảng tách nghiệm của phương trình đã cho.
1.4. Tỷ sai phân:
* Định nghĩa 1.4.1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a,b]. Giả
sử các mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự a≤ x0< x1<……< xn= b
Tỷ số

f (xi1 )

f (xi )

được gọi là tỷ sai phân cấp một của hàm số y =

xi1 xi

f(x) tại xi, xi+1 và được kí hiệu là f(xi,xi+1).
Tỷ số

f (x i2 , xi1 ) f (xi1, xi )
được gọi là tỷ sai phân cấp hai của hàm
xi2  x
i

số y = f(x) tại xi, xi+1, xi+2 và được kí hiệu là f(xi,xi+1,xi+2).
…………………………………………………………………

f (x ik ,...., xi1 ) f (x ik 1,...., xi )
Một cách tổng quát: Tỷ số
được gọi
x 
x
ik

i


là tỷ sai phân cấp k của hàm số tại xi, xi+1,…,xi+k và được kí hiệu là f(xi,
xi+1,….,xi+k).