ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

( Gv: Lê Thanh Tùng Tổ Toán – THPT Trần Văn Kỷ Email: )

Chuyên đề phương trình, hệ phương trình thường hay gặp trong các kì thi tuyển sinh ĐH, CĐ toàn
quốc. Có rất nhiều phương pháp để giải chúng. Sau đây, giới thiệu với các em học sinh một phương
pháp hay, hiệu quả, ưu việt để giải phương trình và hệ phương trình, đặc biệt phương trình và hệ
phương trình chứa căn.
VD1: Giải phương trình:
3 3
8 3 12 10x x+ + − =
Nhiều em học sinh giải bằng phương pháp bình phương hoặc đặt ẩn phụ rồi bình phương. Lúc đó, sẽ
dẫn đến một phương trình bậc cao khó giải được.Các em tham khảo cách giải sau:
Đặt:
( ) ( )
3 3
8 1 3 1 & 12 3 2x t x t+ = + − = −
Đk:
1
3
3
t− ≤ ≤

( )
( ) ( )
3 2
3 2
(1) 8 (1 3 ) 3
2 12 (3 ) 4
x t

x t
⇔ + = +
⇔ − = −

Lấy (3)+(4) theo vế ta có:
2 2
1
20 10 10 1
1 ( )
t
t t
t loai
=

= + ⇔ = ⇔

= −

Với
3
1 8 2t x x= ⇔ = ⇔ =
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình.
Các em thắc mắc tự hỏi: “Thuật toán nào đã giúp ta nhìn thấy được cách đặt ẩn t ???
Đó chính là : Ứng dụng phương trình đường thẳng để giải phương trình dạng căn thức. Thực hiện
qua các bước sau:
Bước 1:
3 3
8 3 12 10
X Y
x x

+ + − =
14 2 43 14 2 43
Từ đó ta có phương trình đường thẳng: X+3Y=10
Bước 2: Ta viết lại phương trình đường thẳng trên dưới tham số:
1 3
3
X t
Y t
= +


= −

với t : tham số
Lúc này phương trình đã qui về 1 ẩn t và việc giải phương trình trên là không khó. Để hiểu rõ hơn về
phương pháp này các em hãy đến VD2
VD2: Giải phương trình:
3
3 2 1
X Y
x x
+ + + =
1 2 3 1 2 3

Ta có phương trình đường thẳng X + Y = 1 . Viết dưới dạng tham số:
1
0
X t
Y t
= −



= +

Bây giờ ta đặt:
( )
2
3
3
3 1 3 1 2
1
2
2
x t x t t
t
x t
x t


+ = − + = − +
 
≤ ⇔
 
+ =

+ =




Lấy phương trình (2) trừ phương trình(1) ta có:
3 2 3 2
1 2 1 2 0 0 2t t t t t t t x− = − + − ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = −
Vậy x = -2 là nghiệm của phương trình.
Trang 5
Trong VD2 các em có thể đặt
3
3
2
x u
x v

+ =


+ =


và qui về giải hệ phương trình theo u và v. Các em giải
tiếp và so sánh sự ưu việt giữa 2 phương pháp.
VD3: Giải hệ phương trình:

( )
3 (1)
1 1 4 2
x y xy
x y

+ − =



+ + + =


( Đề thi Đại Học_ 2005)
Giải: Đặt:
2 2
2 2
1 2
1 4 4 4 3
( 2 2)
1 4 4 4 3
1 2
x t
x t t x t t
t
y t t y t t
y t

 
+ = +
+ = + + = + +
  
− ≤ ≤ ⇔ ⇔
  
+ = − + = − +
+ = −
 

 


Thay vào phương trình (1) ta được phương trình:
( )
2 2 2
2
4 2 2 4 2
2
2 6 ( 3 4 )( 3 4 ) 3
0
10 9 2 3 3 22 0 0 3
22
3
t t t t t
t
t t t t t t x y
t loai
+ − + + + − =

=

⇔ − + = + ⇔ + = ⇔ ⇔ = ⇔ = =

= −


BÀI TẬP VẬN DỤNG:
BT1: Giải hệ phương trình :
3 3
2 2
5 7

35
log ( ) log ( ) 2
x y
x y x xy y

+ =


+ + − + =


BT2: Giải hệ phương trình :
2 2 2 2
2
3 4
x y x y
x y x y

+ + − =


+ + − =


BT3: Giải hệ phương trình :
2 1 1 1
3 4
x y x
x y


+ + − + =


+ =


BT4: Giải phương trình :
1 sinx 1 osx 1c− + + =
BT5: Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

2 3 3 10x m m x+ + − =
.

Hết
Trang 6