Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**************

ĐÀO THỊ HÒA

NHÓM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
ThS. GVC. PHAN HỒNG TRƯỜNG

HÀ NỘI - 2012


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các thầy cô trong khoa Toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đã
động viên, giúp đỡ em trong suốt thời gian qua.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Phan Hồng Trường đã tạo
điều kiện thuận lợi và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Đào Thị Hòa

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận được hoàn thành với sự chỉ bảo của các thầy cô giáo trong
khoa Toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình
của thầy Phan Hồng Trường.
Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa
học với sự trân trọng và biết ơn. Em xin khẳng định kết quả của đề tài ''Nhóm
Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi '' không có sự trùng hợp với các đề
tài khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Đào Thị Hòa


MỤC LỤC

Trang
Mở đầu ………………………………………………………………..

1

1.Lý do chọn đề tài …………………………………………………... 1
2.Mục đích nghiên cứu……………………………………………….. 1
3.Nhiệm vụ nghiên cứu ………………………………………………

1

4.Phương pháp nghiên cứu ………………………………………….

1

CHƯƠNG 1: SƠ LƯỢC VỀ ĐA TẠP KHẢ VI VÀ ÁNH XẠ
KHẢ VI…………………………………………………………. 2
1.1. Không gian tôpô và ánh xạ liên tục ……………………………

2

1.2. Đa tạp khả vi……………………………………………………..

5

1.3. Ánh xạ khả vi ……………………………………………………

10

CHƯƠNG 2 : NHÓM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN
ĐA TẠP KHẢ VI…………………………………...................

13

2.1. Không gian tiếp xúc ……………………………………………..

13

2.2. Phân thớ tiếp xúc…………………………………………………

16

2.3. Trường véc tơ……………………………………………………

17

2.4. Ánh xạ tiếp xúc………………………………………………….

19

2.5. Đa tạp con……………………………………………………….

20


2.6. Đa tạp định hướng được …………………………………………

24

2.7. Nhóm Lie

27

2.8. Nhóm con của nhóm Lie...................................................................32
2.9. Dạng vi phân bất biến trái và những phương trình MaurerCartan ..................................................................................................

33

2.10. Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp...........................................36
Bài tập áp dụng.........................................................................................40
Hướng dẫn giải bài tập.............................................................................41
KẾT LUẬN..............................................................................................47
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................48

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là một môn quan trọng tương đối khó trong chương trình toán
phổ thông và để hiểu được nó người học cần phải có tư duy cao. Với mong
muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu sắc hơn nữa về đa
tạp khả vi và sự biến đổi của nhóm Lie trên đa tạp khả vi em đã chọn đề tài
“Nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi” làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sâu hơn về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi.
Tìm hiểu về nhóm Lie và nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi,ánh xạ khả vi,nghiên cứu về nhóm
Lie và nhóm Lie các phép biến đổi trên đa tạp khả vi.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sử dụng lý luận,các công cụ toán học.
Nghiên các sách tham khảo và các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài.

1


CHƯƠNG 1: SƠ LƯỢC VỀ ĐA TẠP KHẢ VI VÀ
ÁNH XẠ KHẢ VI

1.1. Không gian tôpô và ánh xạ liên tục
1.1.1. Khái niệm không gian tôpô
Không gian tôpô là tập hợp M (mỗi phần tử gọi là điểm) cùng một họ
C những tập con của M, gọi là tập mở (trong M), sao cho :
* tập rỗng, tập M là mở,

* hợp tùy ý những tập mở là tập mở,
* giao của một số hữu hạn tập mở là tập mở.
Thường kí hiệu đơn giản là không gian tôpô (M, C ) bởi M (khi không
cần chỉ rõ họ C ).
Không gian tôpô M gọi là không gian tôpô Hausdorff nếu với mọi
cặp điểm p, q M, p ≠ q , có các tập mở U p, V q sao cho U
V = .
Ví dụ 1: Không gian mêtric : đó là tập hợp M cùng một mêtric (khoảng
cách), tức ánh xạ d : M M R
thỏa mãn :



* d (p,q) 0, d (p, q) = 0 p = q
* d (p, q) = d (p, q)
* d (p, q) + d (q,r ) d ( p, r) ( với p, q, r tùy ý thuộc M).
Trên không gian mêtric M xét tôpô sau : tập con U M gọi là tập
mở nếu với mọi p U, có số >0 sao cho hình cầu mở {qM /
d(q,p) < } nằm hoàn toàn trong U (tôpô gây bởi mêtric d).
Đó là một không gian tôpô Hausdorff .
Không gian tôpô có tôpô gây bởi một mêtric trên nó gọi là không gian
tôpô mêtric hóa được.
R cùng với khoảng cách thông thường là một không gian mêtric.
n


Ví dụ 2: M là một không gian tôpô, N là một tập con của M thì N với
tôpô sau đây (tôpô cảm sinh) gọi là không gian tôpô con của M: tập U
N gọi là tập mở trong N nếu nó là giao của N với một tập mở trong
M.

Ví dụ 3: M và N là hai không gian tôpô thì tích trực tiếp M N với
tôpô sau đây (tôpô tích) gọi là tích trực tiếp các không gian tôpô M với N :
tập con của M N gọi là tập mở (trong M N) nếu nó là hợp tùy ý
những tập dạng U  V , U mở trong N, V mở trong N.
Ví dụ 4: M là một không gian tôpô, ~ là một quan hệ tương đương trên
M, tập hợp các lớp tương đương M / ~ cùng với tôpô sau đây (tôpô thương)
gọi là không gian tôpô thương : tập con của M / ~ gọi là tập mở ( trong M / ~)
nếu nghịch ảnh của nó bởi phép chiếu chính tắc p : MM / ~ là
tập mở (trong M).
1.1.2. Tập con của không gian tôpô.
M là một không gian tôpô, pM thì mọi tập con của M chứa một
tập mở chứa p gọi một là lân cận của p (trong M) .
Tập con F M gọi là tập đóng (trong M) nếu M \ F là tập mở
(trong M). Khi đó, tập rỗng, tập M là những tập đóng. Giao tùy ý những tập
đóng là tập đóng, hợp một số hữu hạn những tập đóng là tập đóng.
A là tập con của M thì bao đóng A của A là giao của mọi tập đóng
chứa A ; đó là tập đóng bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa A. Phần trong

A

o

của A là tập mở lớn nhất nằm trong A ; mỗi điểm của nó gọi là một điểm

gọi là điểm biên của A, mỗi điểm của nó gọi là một
trong của A. Tập A /
AO
điểm biên của A.
M gọi là liên thông nếu mọi tập vừa mở vừa đóng (trong M) phải là
tập rỗng hay toàn bộ M. Tập con A M gọi là tập con liên thông nếu

không gian tôpô con A là liên thông. Một thành phần liên thông của không
gian tôpô M là


một tập con liên thông của M mà mọi tập con liên thông của M chứa nó phải
trùng với nó. Ví dụ mọi tập liên thông trong M là một khoảng (mở, đóng, nửa
đóng, bị chặn, không bị chặn,…)
1.1.3. Ánh xạ liên tục
Ánh xạ f : M N giữa các không gian tôpô gọi là ánh xạ
liên tục nếu nghịch ảnh bởi f của mọi tập mở (trong N) là tập mở (trong
M) (và vì vậy, nghịch ảnh của mọi tập đóng là tập đóng) .
Song ánh f : M N gọi là một đồng

f

là những ánh

1

phôi nếu f và xạ liên tục .
Ta thấy :
* Tích các ánh xạ liên tục là liên tục ;

* Ảnh của tập liên thông qua ánh xạ liên tục là tập liên thông ;
* Ảnh của tập compact qua ánh xạ liên tục vào không gian Hausdorff là
một tập compact .
Từ đó một đơn ánh liên tục từ một không gian compact vào một không
gian Hausdorff là một đồng phôi lên ảnh.

Ánh xạ liên tục : I M từ đoạn I = {t R 0
t 1} vào không gian tôpô M gọi là một cung (liên tục) trong M
nối (0) với (1). Không gian tôpô M gọi là liên thông cung nếu với
mọi p, q  M, có cung (liên tục) trong M nối p với q.
Tập con A của không gian tôpô M gọi là liên thông cung nếu không
gian tôpô con A liên thông cung. Dễ thấy mọi không gian liên thông cung thì
liên thông; mọi tập mở liên thông trong

R

n

đều liên thông cung ; ảnh của một

không gian liên thông cung qua một ánh xạ liên tục là một tập liên thông cung.
1.2. Đa tạp khả vi
1.2.1. Khái niệm đa tạp khả vi


Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff, với cơ sở đếm được. M được
gọi là đa tạp tôpô m – chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian m –
chiều Rm , nghĩa là với mỗi điểm x M, có lân cận mở U của x và
: U V
là đồng phôi từ U lên một tập mở
V

m

R .

Giả sử M là đa tạp tôpô m – chiều, khi đó cặp (U,) xác định ở
trên được gọi là một bản đồ địa phương trên M , hay gọi tắt là bản đồ.
Họ C
={(Ui , ): iI} nào đó các bản đồ được gọi là một tập bản đồ hay atlas
khả
i
vi lớp
C

(k 1) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn :

k

1.

2.

j
o


i

Họ {Ui } là một phủ mở của M.
Với hai bản đồ (U i , i ) và (U j , j )
mà Ui
xác định trên (U U ) là ánh xạ
khả vi lớp
i
j

i

lên j U ) ( xem hình 1)
j
(Ui

U j ,
thì ánh xạ

C từ
k

( U

U )
i

i

j


Hình 1.
Hai tập bản đồ C 1 = {( U1 ,1 ), i I} và C 2 = {(Vj ,j ),j
J} khả vi lớp
C được gọi là tương thích với nhau, nếu hợp của chúng cũng là một tập bản
k

đồ khả vi lớp C k . Dễ thấy quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đương
trên họ các tập bản đồ khả vi lớp C k . Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương
đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp C k trên M .
Đa tạp tôpô m- chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp C k cho trên nó
được gọi là một đa tạp khả vi m- chiều lớp C k . Nếu M là đa tạp khả vi, thì
bản đồ của cấu trúc khả vi trên M được gọi là bản đồ khả vi (hay bản đồ) trên
M . Khi k = , nghĩa là khi đòi hỏi các ánh xạ

chuyển

j   trong điều
i

kiện 2 ở trên thuộc lớp C , thì cấu trúc khả vi tương thích được gọi là
cấu trúc nhẵn trên M . Khi đó M được gọi là đa tạp nhẵn.
1.2.2. Nhận xét
a. Khi M là không gian tôpô liên thông, thì số tự nhiên m trong định
nghĩa ở trên không phụ thuộc vào bản đồ địa phương và nó được gọi là số
chiều của đa tạp M , viết dim M = m.
b. Trên cùng không gian tôpô M có thể có nhiều cấu trúc khả vi khác
nhau. Thật vậy mỗi atlas khả vi lớp C k
lớp
C

k

xác định hoàn toàn một cấu trúc khả vi

trên M . Vì vậy, hai atlas khả vi lớp C k không tương thích xác định hai

cấu trúc khả vi khác nhau. Ví dụ, trên đường thẳng thực R cho hai atlas khả vi
lớp C xác định bởi
1 = ( R ,id) và U =( R , ), ở
U
2
đó :

R R xác

định bởi

(x) = x 3 . Vì hai atlas lớp C này không tương thích, nên chúng
xác định hai cấu trúc khả vi lớp C khác nhau trên R .
c. Giả sử M là đa tạp khả vi m chiều, {( Ui ,i ),iI} là một
atlas khả vi
lớp Ck , U là tập con mở khác rỗng của M . Khi đó ta thấy U cũng là đa tạp
khả vi m chiều C k

sinh bởi cấu trúc khả vi trên M với atlas khả vi C =


{(Vi ,i )}, ở đó V i = U i U = i vi . Đặc biệt, nếu (U,)
 và i
là bản
đồ địa phương trên M , thì U cũng là đa tạp khả vi.
1.2.3. Ví dụ


Trong phần này ta nêu lên một số đối tượng hình học là những đa tạp
khả vi thường gặp.

Ví dụ 1: Cho M = R n và bản đồ ( R n , id) tạo thành một atlas, xác định
cấu trúc khả vi lớp C k trên M . Cấu trúc khả vi này được gọi là cấu trúc khả
vi chính tắc trên R n .
Ví dụ 2: Giả sử > 0 và
M = S n

= { p( p1 ,..., pn1 ) R n1 ,
p2 =

Sn với tô pô cảm sinh từ R

n 1

n

1

i 2
2
( p )  }.


i

1

được gọi là mặt cầu n chiều tâm O bán

kính . Ta xác định một atlas S n bởi hai bản đồ địa phương trên n như
trên

S

sau: Gọi N = (0,0,…,0,-) là cực nam của mặt cầu. Đặt U

S n \ {S} và x, y

= là hai phép chiếu nối từ cực N và S tương ứng.
x:

U R n
p  x(p) = ( x 1 (p),…,x n (p)),

ở đó
x i (p) =


p

i

, i= 1,2,...,n.

pn1
y: V
R n
p  y(p) = (y1 (p),...,y n (p)),
ở đó
y i (p)
=


p

i

, i= 1,2,...,n.

pn1
Các ánh xạ x, y là những đồng phôi , và "hàm chuyển"
x.y 1


2
r




2
□r□

là vi phôi của R
n

\ {0}, vì x (U V) =
y(UV) = R

= y.x 1 : r
n
\{0}. Do đó,

{(U,x), (V,y)} lập thành một atlas lớp C , xác định một cấu trúc nhẵn trên
n

S .


Ví dụ 3 : Đa tạp xạ ảnh thực P n ( R )
n1

Xét quan hệ tương đương trên R

\{0} xác định bởi x y

0 để y = x. Ta gọi P ( R ) = R
n

pô thương. Xét phép chiếu : R

n1

n1

\{0}/ với tô

\ {0} P n ( R ), đặt

(x) = x.
\{0} ; x 0} với i = 0,1,...,n và i :
Vi

Đặt V i = { x=(x 0 ,...,x )
n


n

1 i

R


Rx cho bởi
 (x) = 
i
n

^i

o

,...,
x

n

,...,
x

x1 x i



xi 


dưới mũ đó được bỏ đi. Dễ thấy
i
định đồng phôi
i



. Ở đó, kí hiệu ^ có nghĩa là số hạng

hằng trên mỗi lớp tương đương và xác

n
: Ui
, với U = ( V i ). Ánh xạ ngược được
cho bởi


R

i

1 yo , y1 ,..., yn1 yo ,..., yi1 ,1, yi ,..., yn1
. Giả sử (U



i

i

y

o

1

n 1

, y ,...,y
y






o
1

y j



,...,

yi
yj
j

1

i

j

, ) là hai
bản
j

i

đồ địa phương trên P n ( R ) và i < j
thì cho bởi công thức:

,) và
(U


 i ( U i j ) j
j
1
:
U (U i U j )

,...,

,
y

y^ j 


.

yj 



Do đó j
 . Vì vậy họ {( U i ,i )} là tập bản đồ địa phương,
i
C i xác
định cấu trúc khả vi lớp C trên P n ( R ).
Ví dụ 4: Đa tạp Grassmann thực


Giả sử V là không gian véc tơ n chiều trên trường số thực R và G (k,V)
là tập hợp các không gian con k chiều của V. Xét không gian đối ngẫu V* của
V, {v1 ,…,v n } là cơ sở của V*. Nếu v* V* và E G (k,V), ta kí
vE *
hiệu
*

*

là hạn chế của v* trên E.
Với mỗi bộ (i 1 ,…,i k ), 1 i 1 <… i k n, ta
đặt U
i

*

vE 1 ,..., v
k

*

i

là cơ sở của E*}.

i1 ,...,
ik

={E 
G(k,V):


Giả sử (j 1 ,…,j nk ) là tập hợp các chỉ số bù của (i 1 ,…,i k ) với j 1 < …
< j nk . Khi đó :


p

E

v

i ,...,i

k

j*

*

i

l E

p



h
v

nếu E
U

l 1

Xét ánh xạ

i

1 ,...,ik

:Ui

1 ,...,ik

E

;p=1,…,n-k;

1

R k ( nk )

 ( h ), p=1,…,n- k; l=1,…,k;
l
p

Ta chứng minh được
i ,...,i
1

k

1

là song ánh và

k

G(k,V)=


i1
...
ik

U

i1 ,...,ik

Do đó có thể cho một tôpô trên G(k,V) sao cho các
i ,...,i
1

là những đồng

k

phôi và họ {( U i ,...,i , i ,...,i )} tạo thành một atlas khả vi tren G(k,V). Như vậy
1

k

1

k

G (k,V) là đa tạp khả vi số chiều k(n-k).

Ví dụ 5 :
Ta nêu một ví dụ chứng tỏ có những đối tượng hình học không thể
trang bị cấu trúc khả vi trên nó. Trong không gian afin hai chiều R 2 lấy hai
đường thẳng cắt nhau có phương trình y =  x trong một hệ tọa độ afin
cho trước. Khi đó, dễ thấy tập M gồm hai đường thẳng này coi là không gian
tôpô con R

2

không là đa tạp tôpô, vì vậy không thể trang bị được một cấu

trúc khả vi trên M , nghĩa là M không thể là một đa tạp khả vi. (xem hình 2)


M
?
O

Hình 2
1.3. Ánh xạ khả vi
1.3.1. Định nghĩa
Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng. Ánh
xạ liên tục f : MN được gọi là khả vi tại điểm p M nếu
với mọi bản đồ địa phương (U,) quanh p và (V,) quanh f (p) = q
sao cho f(U) V, thì ánh xạ
 f  là khả vi tại điểm (p) R m ( xem hình 3 ).
1

10

V

M
f

U
p

N

.q





.
 p 

  f  1

U R m

Hình
3.

11

V Rm

Ánh xạ f được gọi là khả vi, nếu nó khả vi tại mọi điểm p M.
1.3.2. Một số tính chất
* Nếu f: M N và g: N P là những ánh xạ khả
vi, thì hợp thành g  f : M P là ánh xạ khả vi.
* Nếu f : M N được gọi là vi phôi từ M lên N nếu f là
song ánh và cả
hai ánh xạ f, f

đều khả vi. Khi đó hợp thành của hai vi phôi là một vi phôi.

1

Các vi phôi từ M lên chính nó tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm vi
phôi của M. Nếu (U,) là một bản đồ địa phương của M thì là vi
phôi từ U lên mở (U) = V R m , ở đó m = dim M.
* Giả sử f : M N là ánh xạ khả vi, p M và
(V,) là bản đồ địa phương quanh f(p), các tọa độ của nó được cho
bởi hàm y j trên V.
Giải sử(U,) là bản đồ quanh pM, các tọa độ cho bởi ()
= ( x1 ,..., xm ),
f(U) V. Khi đó ánh xạ
 f  1

được cho bởi biểu thức :

y j =h j ( x1 , x2 ,..., xm ), j=1,2,...,n ; (1)
ở đó h j là những hàm khả vi. Ngược lại, giả sử cho ánh xạ liên tục f : M
N mà biểu diễn địa phương có dạng (1), trong đó các hàm h j

khả vi, thì f khả
vi. Biểu thức dạng (1) của ánh xạ f phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa
phương (U,) và (V,).
Ta thấy rằng hạng của ma trận

h kiểu (n  m) tại điểm
j
(p)

 i 
 
x

=( x1 ( p), x2 ( p),..., xm ( p) ) không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương,
nó được gọi là hạng của ánh xạ f tại điểm p.


1.3.3. Ánh xạ dìm, ngập
Các định nghĩa :
* Cho ánh xạ khả vi f : M N. Ánh xạ f được gọi là
một dìm nếu hạng của f tại mọi điểm p đều bằng m = dim M.


* Ánh xạ f được gọi là một nhúng nếu f là một dìm và f là một đồng
phôi từ M lên f(M).
* Ánh xạ f : M N được gọi là một ngập nếu hạng của
f tại mọi điểm p M đều bằng n= dim N.
Chú ý :
Ta nói f : M N là dìm tại điểm p (tương ứng: ngập tại p)
nếu hạng của f tại p bằng số chiều của M (tương ứng : số chiều N). Như

vậy f là dìm (hay ngập) nếu f là dìm (hay ngập ) tại mọi điểm p
M.


CHƯƠNG 2 : NHÓM LIE CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI
2.1. Không gian tiếp xúc
Cho M là đa tạp khả vi số chiều m lớp C k , k 1. Một ánh xạ c :
J M khả vi lớp C r ( r k) được gọi là một đường cong khả
vi lớp C r trên M, ở đó J là khoảng mở của R chứa điểm 0. Ánh xạ f : M
 R lớp C r được gọi là
một hàm khả vi lớp C r trên M. Nếu U mở nằm trong M,U : U
f
R
thuộc
lớp C

thì f được gọi là hàm khả vi trong lân cận U M. Kí hiệu F

r

r

(M) là tập hợp hàm khả vi (lớp C r ) trên M, F r (p) là tập hợp các hàm khả
vi lớp C r trong lân cận của
p và C l (M) là tập các đường cong c khả vi lớp
p
C 1 trên M
sao cho C(0) =p.
:J

Ta xét một quan hệ  trên lớp pC l (M) như sau 1

:c
M, c 2

:J


M, c 1 (0) = c 2 (0) =p. Ta nói c 1 c 2 có bản đồ (U,x) quanh
p sao cho
d

dt

d i

x
c

i

x c



1


t 0

dt



với i =1,2,...,m. Ta thấy quan hệ là một quan
hệ
2



t 0

tương đương trên tập các đường cong khả vi lớp C 1 qua p M. Mỗi
lớp tương với quan hệ tương đương trên được gọi là một vector tiếp xúc tại
p của
M. Vector tiếp xúc có đại diện là đường cong c được kí hiệu [c]. Tập các
vector tiếp xúc tại p của M được kí hiệu là T p M hay M p .