Sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và không gian

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Phạm Hoài Thơng K34CN Toán

TRNG I HC S PHM H NI 2 KHOA TON
**************

PHM HOI THNG

S DNG PHẫP DI HèNH
CHNG MINH HAI HèNH BNG NHAU TRONG MT P
KHễNG GIAN

KHO LUN TT NGHIP I HC
Chuyờn ngnh: Hỡnh hc

H NI 2012

1


Khãa luËn tèt nghiÖp

Ph¹m Hoµi Th¬ng – K34CN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA : TOÁN
**************

PHẠM HOÀI THƯƠNG

SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ
CHỨNG MINH HAI HÌNH BẰNG NHAU
TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG
GIAN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
NGUYỄN VĂN VẠN

HÀ NỘI – 2012



LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Vạn cùng các thầy cô giáo
trong khoa Toán đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình, giúp đỡ em hoàn thành khoá
luận.
Do kinh nghiệm bản thân còn hạn chế nên khoá luận có thể còn nhiều
khiếm khuyết. Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn đọc để em
có hướng phát triển và sửa chữa cho khoá luận hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 14 tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Phạm Hoài Thương


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan những kết quả đạt được trong khoá luận hoàn toàn do
bản thân tự tìm tòi nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Vạn,

không trùng với bất kì đề tài nào.
Nếu trùng, em xin chịu mọi trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 14 tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Phạm Hoài Thương


MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Phần 1. Mở đầu............................................................................................... 5
Phần 2. Nội dung............................................................................................8
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị........................................................................8
1.1.Phép dời hình trong mặt phẳng................................................................. 8
1.2.Phép dời hình trong không gian............................................................. 10
1.3.Hai hình bằng nhau................................................................................ 12
1.4.Điều kiện xác định phép dời hình........................................................... 18
1.5.Dạng chính tắc của phép dời hình..........................................................18
Chương 2. Sử dụng phép dời hình để chứng ming hai hình bằng nhau
trong mặt phẳng và không gian.................................................................... 24
2.1.Phương pháp chung................................................................................ 24
2.2.Chứng minh hai hình bằng nhau trong mặt phẳng.................................24
2.2.1.Chỉ ra sự tồn tại phép dời hình............................................................24
2.2.2............................................................................................................. Chỉ
ra được cụ thể một phép dời hình........................................................ 26
2.3.Chứng minh hai hình bằng nhau trong không gian................................33

2.3.1.Chỉ ra sự tồn tại phép dời hình trong không gian................................33
2.3.2.Chỉ ra cụ thể một phép dời hình trong không gian..............................35
2.3.3............................................................................................................. Một
số bài tập khác..................................................................................... 39
Kết luận........................................................................................................ 44
Tài liệu tham khảo........................................................................................ 45

6


PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phép dời hình là một nội dung khó đối với học sinh trung học. Các tài
liệu tham khảo về phép dời hình cũng chưa có nhiều. Trong khi đó nhiều bài
toán có thể giải được một cách đơn giản nhờ sử dụng phép dời hình. Sách
giáo khoa mới cũng đề cập đến khái niệm hai hình bằng nhau trong mặt phẳng
và không gian. Để giải quyết bài toán chứng minh hai hình bằng nhau thì
phép dời hình là một công cụ hữu ích. Tuy nhiên vấn đề này trong sách giáo
khoa chưa trình bày sâu. Vì những lí do trên mà em quyết định chọn và
nghiên cứu đề tài “ SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH HAI
HÌNH BẰNG NHAU TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN”. Hy
vọng rằng tài liệu này sẽ là một tài liệu tham khảo có ích cho bạn đọc.
2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống tóm tắt các kiến thức cơ bản về phép dời hình trong mặt phẳng
và trong không gian.
- Đưa ra các ví dụ và bài tập để minh hoạ cho phần ứng dụng phép dời hình
để chứng minh hai hình bằng nhau.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Phép dời hình trong mặt phẳng và trong không gian.
- Hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và trong không gian.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nêu phương pháp chung khi sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình
bằng nhau trong mặt phẳng và trong không gian.
- Đưa ra được các ví dụ và bài tập minh họa.
5. Phương pháp nghiên cứu


Phân tích các tài liệu có liên quan, tổng kết kinh nghiệm bản thân, tham
khảo ý kiến của thầy cô, bạn bè.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm nội dung chính là:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình bằng nhau
trong mặt phẳng và trong không gian.


PHẦN 2. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.Phép dời hình trong mặt phẳng
1.1.1 .Định nghĩa phép biến hình trong mặt phẳng
Phép biến hình trong mặt phẳng là một quy tắc để với mỗi điểm M
thuộc mặt phẳng, xác định được duy nhất một điểm M ′ thuộc mặt phẳng đó.
Điểm M ′ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.
Kí hiệu: Phép biến hình F
M ′ = F (M )
F:M M′
hay
1.1.2.Định nghĩa và tính chất phép dời hình
* Định nghĩa:
Phép dời hình trong mặt phẳng là phép biến hình không làm thay đổi

khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong mặt phẳng, tức là nếu phép biến hình
F biến hai điểm M , N tương ứng thành hai điểm M ′ , N ′ thì M ′N ′ = MN
.
* Tính chất:
Phép dời hình trong mặt phẳng:
+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay
đổi thứ tự ba điểm đó.
+ Biến đường thẳng thành đường thẳng.
+ Biến tia thành tia.
+ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
+ Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
+ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
+ Biến góc thành góc bằng nó.


1.1.3.Các phép dời hình trong mặt phẳng
* Phép tịnh tiến
• Định nghĩa:


Phép tịnh tiến theo vectơ u là phép biến hình biến điểm M thành điểm


M ′ sao
MM ' = u .
cho
Kí hiệu: T
u

u được gọi là vectơ tịnh tiến.

• Tính chất: Có mọi tính chất của phép dời hình.
* Phép đối xứng trục
• Định nghĩa:
Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến điểm M thành
điểm M ′ đối xứng M qua d.
Kí hiệu: Đd : M  M ′ hay Đd( M ) = M ′ .
• Tính chất: Có mọi tính chất của phép dời hình.
• Trục đối xứng của một hình:
Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình (H) nếu phép đối xứng
trục d biến hình (H) thành chính nó.
* Phép đối xứng tâm
• Định nghĩa:
Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm M thành điểm M ′

 
đối xứng M ′ qua O , tức là OM + OM ' = 0 .
Kí hiệu: ĐO : M  M ′ hay ĐO( M ) = M ′ .
• Tính chất: Có mọi tính chất của phép dời hình.
* Phép quay
• Định nghĩa:


Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác ϕ
không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm
M khác
O thành điểm M ′ sao cho OM =
OM ′

và (OM ,OM ′)
=ϕ

được gọi là phép

quay tâm O , góc quay ϕ .
Kí hiệu: QOϕ
• Tính chất: Phép quay có mọi tính chất của phép dời hình.
1.2.Phép dời hình trong không gian
1.2.1.Định nghĩa phép biến hình trong không gian
Phép biến hình trong không gian là một quy tắc để với mỗi điểm M
trong không gian xác định được duy nhất một điểm M ′ trong không gian.
Điểm M ′ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.
Kí hiệu: phép biến hình F , M ′ = F (M ) .
1.2.2.Phép dời hình trong không gian
* Định nghĩa:
Một phép biến hình F trong không gian được gọi là phép dời hình nếu
nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong không gian. Tức là, nếu
phép dời hình F biến hai điểm M , N tương ứng thành hai điểm M , N thì
M ′N ′ = MN .
* Tính chất:
Phép dời hình trong không gian:
+ Biến đường thẳng thành đường thẳng.
+ Biến mặt phẳng thành mặt phẳng.
+ Biến tia thành tia.
+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay
đổi thứ tự ba điểm đó.
+ Biến góc thành góc bằng nó.


+ Biến bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng.
+ Biến mặt cầu thành mặt cầu có cùng bán kính.

1.2.3.Các phép dời hình trong không gian
* Phép tịnh tiến
• Định nghĩa:


Phép tịnh tiến theo vectơ u là phép biến hình biến điểm M thành điểm


M ′ sao
MM ' = u .
cho
Kí hiệu: T
u

u được gọi là vectơ tịnh tiến.
• Tính chất: Phép tịnh tiến có mọi tính chất của phép dời hình.

′
Hơn nữa, nếu T
u :MM




M'N'=
thì MN .

N  N′

* Phép đối xứng tâm

• Định nghĩa:
Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm M thành điểm M ′
sao cho O là trung điểm của MM ′ .
Kí hiệu: ĐO : M  M ′ hay ĐO( M ) = M ′ .
• Tính chất:
+ Phép đối xứng tâm có mọi tính chất của phép dời hình.
+ Nếu ĐO : M  M ′


N  N′


thì M ' N ' = −MN .
* Phép đối xứng qua đường thẳng
• Định nghĩa:


Cho đường thẳng d trong không gian, phép đối xứng qua đường thẳng d
là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc d thành chính nó và biến mỗi điểm M
không thuộc d thành điểm M ′ sao cho trong mặt phẳng ( M , d), d là đường
trung trực của MM ′ .
Kí hiệu: Đd
• Tính chất: Có mọi tính chất của phép dời hình.
• Phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính nó thì d gọi là
trục đối xứng của hình (H).
* Phép đối xứng qua mặt phẳng
• Định nghĩa:
Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc
mặt phẳng (P) thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành
điểm M ′ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM ′ .

Kí hiệu: Đ(P)
• Tính chất: Có mọi tính chất của phép dời hình.
• Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì mặt
phẳng (P) gọi là mặt phẳng đối xứng của hình (H).
1.3.Hai hình bằng nhau
1.3.1 .Định nghĩa hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi là bằng nhau trong mặt phẳng (không gian) nếu có
phép dời hình trong mặt phẳng (không gian) biến hình này thành hình kia.
1.3.2.Định lý 1 (trong mặt phẳng)
Nếu ABC và A′B′C′ là hai tam giác bằng nhau thì có duy nhất phép dời
hình biến tam giác ABC thành tam giác A′B′C′ .
Chứng minh:


Ta xác định F như sau: Với mỗi điểm M



CB
CM

= m CA + m

cho tương ứng điểm

trong mặt phẳng ta có
M ′ được xác định bởi

 1

2

=m
CA  . Ta sẽ chỉ ra rằng F là phép dời hình cần tìm.
+ m CB
CM '
'
'
1
2
+ Với mỗi điểm M ứng với bộ (m , m
duy nhất.
)
1 2
Nếu M , N phân biệt thì hai bộ số (m , m
1 2 ) , (n , n ) phân biệt. Do đó
1 2
các điểm M ′ , N ′ tương ứng là ảnh của M , N cũng phân biệt.
⇒ F là đơn ánh.





+ Với mỗi điểm M
′ mà



CM ' m CA' m CB sẽ có điểm M ứng với

'
+
=
2
1

bộ số (m , m
1 2) là tạo ảnh của M ′ .
⇒ F là toàn ánh.
Như vậy F là một song ánh.
⇒ F là phép biến hình.
+ Giả sử M , N là các điểm ứng với bộ số (m , m
1 2
 +
= n− mCA

) , (n , n ) . Ta có:
1 2


− m CB

n
1 
 =
+ n− m C A
n
1 

 



−m C B
 

 

CA = C ' A' , CB = C ' B ' , (CA,CB) = (C ' A',C ' B ')
(do ∆ABC = ∆A' B 'C ')
 2

Từ đó suy ra MN

 2

= M'
N'

hay MN 2 = M ' N '2

⇒ F bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
⇒ F là phép dời hình.
Rõ ràng F biến

A, B,C lần lượt thành


A′, B′,C′.
⇒ F : ∆ABC  ∆A' B 'C ' .

Ta chứng minh phép dời hình F là duy nhất. Thật vậy:


Giả sử có phép dời hình G cũng biến A, B,C lần lượt
thành

A′, B′,C′.

Xét điểm M bất kì trong mặt phẳng, F (M ) = M ′,G(M ) = M ′ .
⇒
= A′M ′, AM = A′M ′
AM
⇒ A′M ′ = A′M ′
⇒ A′ nằm trên đường trung trực của M ′M ′ .
Chứng minh tương tự ta cũng có
M ′M ′ .

B′,C′ nằm trên đường trung trực của

⇒ A′, B′,C′ thẳng hàng. Điều này vô lý.
⇒ Giả sử sai. Vậy phép dời hình F là duy nhất. (ĐPCM).
* Từ định nghĩa hai hình bằng nhau ta suy ra:
Nếu hình (H1) bằng hình (H2), hình (H2) bằng hình (H3) thì hình (H1)
bằng hình (H3).
Thật vậy:
Vì (H1) = (H2) nên có phép dời hình F1 biến (H1) thành (H2).
(H2) = (H3) nên có phép dời hình F2 biến (H2) thành (H3).
Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình trên ta được phép dời hình biến
(H1) thành (H3).
Do vậy (H1) = (H3).

Chẳng hạn trên hình vẽ, hình (H1) bằng hình (H2) vì có phép tịnh tiến
biến (H1) thành (H2); hình (H2) bằng hình (H3) vì có phép đối xứng trục biến
(H2) thành (H3). Vậy hai hình (H1) và (H3) bằng nhau.
(H1)

(H2)


(H3)

1.3.3.Định lý 2 (trong không gian)
Trong không gian hai tứ diện ABCD và A′B′C′D′ bằng nhau nếu chúng
có các cạnh tương ứng bằng nhau.
Chứng minh: Ta xét các trường hợp sau
+ Trường hợp 1: Hai hình tứ diện đó có ba cặp đỉnh tương ứng
trùng nhau. Chẳng hạn A ≡ A′ , B ≡ B′ , C ≡ C′ , D ≠ D′
A

D’

D

B

C
Khi đó mỗi điểm A, B,C đều cách đều hai
điểm

D, D′ nên mp ( ABC) là

mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng DD′.
⇒ Phép đối xứng qua
biến A, B,C, D lần lượt
mp ( ABC)
thành
⇒ Đ(ABC) : ABCD 
A′B′C′D′

A′, B′,C′, D′ .

⇒ Hai tứ diện này
bằng nhau.
+ Trường hợp 2 : hai tứ diện đó có hai cặp đỉnh tương ứng trùng
nhau, chẳng hạn A ≡ A′ , B ≡ B′ .
17


18


D’

A

C’
D
B
C
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng CC′ thì (P) đi qua A
và B (vì A , B cùng cách đều hai điểm C , C ′).

⇒ Phép đối xứng
qua mp (P)
Hai tứ diện

sẽ biến A, B,C, D lần lượt
thành

A′, B′,C′, D1 .

A′B′C′D và A′B′C′D′ có các cạnh tương ứng bằng nhau và
1

có ba đỉnh tương ứng trùng nhau nên theo trường hợp 1, chúng bằng nhau.
⇒ Hai tứ diện ABCD và A′B′C′D′ bằng nhau.
+ Trường hợp 3: hai tứ diện đó có một cặp đỉnh tương ứng trùng nhau,
chẳng hạn A ≡ A′ .
Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của BB′.
Vì A cách đều B và B′ nên A∈(Q)
Xét Đ(Q) : A  A′
B  B′
C  C1
D  D1
⇒
ABCD  A′B′C1D1
Đ(Q) :
⇒ Hai tứ diện
ABCD và

A′B′C1D1 bằng nhau.

Mặt khác, hai tứ diện

A′B′C1D và A′B′C′D′ có hai cặp đỉnh tương ứng
1

trùng nhau nên theo trường hợp 2, chúng bằng nhau.


Như vậy hai tứ diện ABCD và A′B′C′D′ bằng nhau.
+ Trường hợp 4: hai tứ diện đó không có cặp đỉnh tương ứng nào trùng
nhau.
A

B

A’

B’

D
C

Gọi (R)

D’
C’

là mặt phẳng trung trực của AA′ .

Xét Đ(R) : A  A′
B  B1
C  C1
D  D1
⇒ABCD  A′B1C1D1
Đ(R) :
⇒ Hai tứ diện
ABCD và
Mà hai tứ diện

A′B1C1D1 bằng nhau.

A′B1C1
D1

và A′B′C′D′ có các cạnh tương ứng bằng nhau

và một cặp đỉnh tương ứng trùng nhau nên theo trường hợp 3, chúng bằng
nhau.
Như vậy hai tứ diện ABCD và A′B′C′D′ bằng nhau.
1.3.4.Định lý 3
Trong không gian, cho hai tứ diện bằng nhau ABCD và A′B′C′D′ , tồn
tại duy nhất một phép dời hình trong không gian biến

A, B,C, D lần lượt


thàn A′, B′,C′, D′ .
h

Định lý này được chứng minh tương tự như trong định lý 1 trong mặt
phẳng.
1.4.Điều kiện xác định phép dời hình
1.4.1.

Trong mặt phẳng, phép dời hình được xác định bởi hai tam giác
bằng nhau.

1.4.2.

Trong không gian, phép dời hình được xác định bởi hai tứ diện
bằng nhau.
1.5.Dạng chính tắc của phép dời hình
1.5.1.Định lý
Mọi phép dời hình trong En (n=2,3) sẽ được phân tích thành tích không
quá (n+1) phép đối xứng qua siêu phẳng.
Chứng minh:
Ta chứng minh định lý trong mặt phẳng, trong không gian định lý được
chứng minh tương tự.
Giả sử F là một phép dời hình trong mặt phẳng được xác định bởi
hai tam giác bằng nhau ABC và A′B′C′ ( AB = A′B′ , BC = B′C′, CA
= C′A′ ).
* Trường hợp 1: A, A′ phân biệt.
Xét u là đường thẳng trung trực của AA′ ⇒ A′ = Đu( A )
Gọi

B1 = Đu( B ), C1 = Đu( C ).

- Nếu

B1 ≠ B′

+ Giả sử C1 ≠ C ′ , ta xét v là đường trung
trực của

B1B .

Vì AB = A′B′ = A′B1 nên A′∈ v
Đv : A′  A′
B1  B′
Gọi C2

= Đv( C1 ). Khi đó
nếu

C2 ≡ thì ta có F = Đv.Đu. Ngược lại
ta
C′


có A′ , B′ nằm trên trung trực t của C2C′ . Xét Đt ta sẽ đi tới F = Đt.Đv.Đu.


+Giả sử C ≡ C′. Khi A′,C′ nằm trên trung trực v của B B′ và ta có
1
1
F = Đv.Đu. đó

u

A

A

C

C
C

C
B

B

B
v

-Nếu B ≡ B′
1
+Giả sử C1 ≠ C ′ , xét t là đường trung trực của C1C′ thì F = Đt.Đu.
+Giả sử C1 ≡
thì F = Đu.
C′
Như vậy F có thể phân tích thành tích của không quá 3 phép đối xứng
trục.
*Trường hợp 2: A ≡ A′
Làm tương tự như trường hợp 1 đối với cặp B , B′ ta sẽ có F là tích của
không quá 2 phép đối xứng trục.
1.5.2.Định lý
Mọi phép dời hình trong mặt phẳng khác phép đồng nhất đều có thể biểu

diễn dưới dạng một phép quay hoặc một phép tịnh tiến.
Chứng minh: