Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh các bài toán trong hình học không gian

Trườngưđạiưhọcưsưưưphạmưhàưnộiư2ưKhoa:ưtoán
**********

Nguyễnưthịưhảo

Sửdụngưphépưđồngưdạngưđểưchứngưminhưcácưbàiưtoánưt
Khóaưluậnưtốtưnghiệpưđạiưhọc
Chuyênưngành:ưHìnhưhọc

Ngườiưhướngưdẫnưkhoaưhọc
Nguyễnưvănưvạn

Hàưnộiư-ư201


LờI CảM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô và các
bạn sinh viên đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này. Đặc
biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy:
Nguyễn Văn Vạn - ngời đã tận tình giúp đỡ em trong quá
trình hoàn thành khóa luận.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa
học. Hơn nữa do bản thân còn hạn chế nên không tránh
khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận đợc sự đóng góp
ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận
của em đợc hoàn thiện và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5, năm
2012.
Sinh viên

Nguyễn Thị Hảo


LờI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp: Sử dụng phép đồng dạng để
chứng minh các bài toán trong hình học không gian
của tôi đợc hoàn thành dới sự tận tình hớng dẫn của giảng
viên: Nguyễn Văn Vạn.
Tôi khẳng định rằng: Đây là công trình nghiên cứu
khoa học của tôi, do tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ
sở những kiến thức đã học và tài liệu tham khảo.
Sinh viên
Nguyễn Thị Hảo


Mục lục
A.
Mở
đầu.1 B.
Nội dung. ...3
Chơng
1:
Cơ
sở
lí
luận.3
1.1Tổng
quan
về
phép

biến
hình3
1.1.1
Khái
niệm
về
phép
biến
hình
3 1.1.2 Phép biến hình
tích.....3
1.1.3
Phép
biến hình đảo ngợc..4 1.1.4
Phép biến hình afin.4
1.1.5
Phép biến hình đẳng cự..
5
1.1.6 Điểm bất động. Hình kép. Hình bất
động..8 1.2Phép đồng
dạng8 1.2.1 Định
nghĩa..8 1.2.2
Tính chất.8
1.2.3
Điều
kiện
xác
định
của
phép

đồng
dạng.8 1.2.4 Sự đồng dạng của các
hình..9
1.2.5
Phép
vị
tự9
1.2.6
Phân loại phép đồng dạng.
..9
1.2.7 Dạng chính tắc của phép đồng dạng...
..10
Chơng 2: Sử dụng phép đồng dạng để giải bài toán
chứng minh..16
2.1 Giải bài toán chứng minh bằng phép đồng
dạng16
2.1.1 Khái niệm bài toán chứng minh 16
2.1.2 Sử dụng phép đồng dạng để giả bài toán chứng
minh...16 2.2 Một số ví
dụ..17 2.3 Bài
tập luyện tập,,,,,.24
Chơng 3: Hớng dẫn giải bài
tập27 A. Kết


luËn…………………………………………………………………34 B.
Tµi liÖu tham
kh¶o……………………………………………………...35

a. mở đầu

1. lí do chọn đề tài
Trong cuộc sống nói chung và trong trờng Trung học
phổ thông nói riêng, toán học là một môn học không thể
thiếu. Trong đó chúng ta không thể không nhắc đến hình
học bởi môn học này có tính chặt chẽ, tính logic và tính
trừu tợng hóa cao hơn các môn học khác của toán học. Mặt
khác đây cũng là một môn học hấp dẫn học sinh bởi tính
trực quan của nó, đặc biệt khi có sự trợ giúp đắc lực của
máy tính và các phần mềm hỗ trợ. Đứng trớc một bài toán
hình học chúng ta có thể đa ra nhiều cách giải khác nhau,
nhng cách giải nào là tối u, là dễ hiểu và thể hiện đợc tính
sáng tạo nhất của ngời giải. Trong chơng trình toán học ở
bậc Trung học phổ thông hiện nay có đa ra cho học sinh
một công cụ mới để giải các bài toán hình học là sử dụng
các phép biến hình. Với công cụ này, học sinh có thể vận
dụng để giải các bài toán quỹ tích, chứng minh, dựng hình
hay tính toán. Tuy nhiên không phải bài toán nào đa ra cũng
có thể giải bằng biến hình, đó chính là một hạn chế khi sử
dụng các phép biến hình để giải bài toán. Bởi vậy, đòi hỏi
học sinh khi sử dụng các phép biến hình để giải bài toán
cần có t duy linh hoạt, sáng tạo, khả năng t duy hóa, trừu tợng
hóa cao.
Để tìm hiểu rõ hơn về vấn đề này tôi đã mạnh dạn
nghiên cứu đề tài:
Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh các bài
toán trong hình học không gian.
-6-

Trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp và do thời
gian nghiên cứu không nhiều nên tôi chỉ tập trung xét
những ứng dụng của phép đồng dạng - một trong những
phép biến hình cơ bản để giải một lớp bài toán, đó là bài
toán chứng minh trong không gian.

-7-


2.

Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài này nhằm:

Củng cố lại các kiến thức về phép biến hình đồng dạng
nhằm hiểu rõ hơn và có thể áp dụng tốt hơn phép biến
hình này vào giải toán.
Tìm hiểu ứng dụng của phép đồng dạng để chứng minh
các bài toán trong hình học không gian.
3.

Đối tợng, phạm vi nghiên cứu

Đối tợng nghiên cứu: Phép đồng dạng.
Phạm vi nghiên cứu: Phép đồng dạng và bài toán chứng minh
của hình học không gian.
4.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về cơ sở lý luận và nội dung của phép đồng
dạng trong không gian.
Nghiên cứu về ứng dụng của phép đồng dạng để chứng
minh các bài toán trong hình học không gian.
5.

Phơng pháp nghiên cứu

Phân tích các tài liệu liên quan.
Tổng kết từ kinh nghiệm giải toán.


B.nội dung Chơng 1: Cơ
sở lí luận
1.1. Tổng quan về phép biến hình
1.1.1

Khái niệm về phép biến hình

- Giả sử đã cho tập hợp bất kì K khác rỗng, K sẽ đợc gọi là một
không gian, các phần tử của K là điểm, một tập con khác rỗng
của K là một hình.
- Định nghĩa: Giả sử K là một không gian, song ánh f : K
K đợc gọi là một phép biến hình của không gian

K.
- Nếu M, N là hai điểm bất kì của K thì f(M), f(N) là hai
điểm phân biệt của K.
Với mỗi điểm M K bao giờ cũng có một điểm M thuộc

K sao cho f(M)
= M.
Điểm f(M) đợc gọi là ảnh của M qua phép biến hình f.
Ngợc lại điểm M đợc gọi là tạo ảnh của điểm f(M) qua phép
biến hình f nói trên.
Nếu H là một hình nào đó của K thì ta có thể xác
định tập hợp f(H) =
{f(M) / M H}. Khi đó f(H) đợc gọi là ảnh của hình H qua
phép biến hình f
và hình H đợc gọi là tạo ảnh của hình f(H) qua phép biến
hình f đó.
Chú ý: Nếu một phép biến hình f biến một hình H
thành một hình G mà thỏa mãn điều kiện sau thì ta gọi đó
là phép biến hình một đối một:
Tạo ảnh f -1(M) của mọi điểm M thuộc hình G đều chỉ
gồm có một điểm


M của hình H.
Nh vậy ứng với mỗi điểm M của hình H ta có một điểm
M của hình G và chỉ một mà thôi. Ngợc lại, ứng với mỗi
điểm M của hình G ta có một
điểm M của hình H và chỉ một mà thôi.
1.1.2

Phép biến hình tích

- Định nghĩa: Giả sử f và g là hai phép biến hình của tập K
đã cho, dễ thấy ánh xạ tích của f và g cũng là một song ánh
của K vào K nên tích đó cũng

là một phép biến hình của K. Ta gọi phép biến hình đó là
phép biến hình tích của f và g.
- Kí hiệu:
f: K K và
M M

g: K K
M M

Khi đó: g.f = h : K K
M M
Ta có: h(M) = (g.f)(M) = M =g(M) = g[f(M)]
- Tích các phép biến hình nói chung không giao hoán đợc,
nghĩa là
g.f f.g.
Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp, tức là: (h.g).f
= h.(g.f)
1.1.3

Phép biến hình đảo ngợc

- Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến
điểm M thành
điểm M. Ta có f(M) = M. Khi đó phép biến hình biến đổi
M thành điểm M gọi là phép biến hình đảo ngợc của phép
biến hình đã cho.
- Kí hiệu: f

-1

và f

-1

(M) = M.

- Vậy mọi phép biến hình f có duy nhất một phép biến hình
đảo ngợc f -1
và ta có f.f
1.1.4

-1

=f

-1

.f = e (phép đồng nhất).

Phép biến hình afin.

a, Định nghĩa:
- Định nghĩa: Phép biến hình của không gian Ơclit En (n=2,
3) biến
đờng thẳng thành đờng thẳng gọi là phép biến hình afin,
gọi tắt là phép afin.

- Phép afin trong không gian đợc xác định bởi hai tứ diện tơng
ứng.
Trong E2, hai tam giác ABC và ABC đợc gọi là cùng
chiều nếu trên vòng tròn ngoại tiếp của chúng chiều quay đi
từ A đến B, từ B đến C, từ C đến A cùng chiều quay từ A
đến B, từ B đến C, từ C đến A.
Trong không gian, hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' đợc gọi
E3
là cùng
chiều nếu hai góc tam diện A.BCD và A'.B'C'D' cùng hớng.


b, Định lí:
Phép biến hình của không gian En (n= 2,3) là phép afin
khi và chỉ khi nó biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng và ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm
không thẳng hàng.
c, Tính chất:
- Phép afin trong E3 biến mặt phẳng thành mặt phẳng.
- Phép afin bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng
định hớng.
- Phép afin biến vectơ tổng thành tổng các vectơ tơng
ứng.
- Phép afin bảo tồn tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng.
d, Phân loại:
+ Phép biến hình afin trong En đợc gọi là phép biến
hình loại 1 nếu
đợc xác định bởi hai hình cùng chiều.
+ Ngợc lại ta gọi là phép biến hình loại 2.
1.1.5

Phép biến hình đẳng cự. (hay phép dời)

a, Định nghĩa:
Phép biến hình của không gian En (n=2, 3) bảo tồn
khoảng cách giữa hai điểm gọi là phép đẳng cự.
b, Tính chất:
+ Phép đẳng cự là phép afin.
+ Phép đẳng cự bảo tồn độ lớn của góc.
+ Phép đẳng cự biến đờng tròn thành đờng tròn và
trong không gian biến mặt cầu thành mặt cầu.
Sự xác định phép đẳng cự: trong E3 phép đẳng cự đợc
xác định bởi hai
hình tứ diện bằng nhau.


c, Ph©n lo¹i: cã hai lo¹i phÐp ®¼ng cù
+ PhÐp ®¼ng cù ®îc gäi lµ phÐp dêi h×nh nÕu nã lµ
phÐp afin lo¹i 1.
+ PhÐp ®¼ng cù ®îc gäi lµ phÐp ph¶n chiÕu nÕu nã lµ
phÐp afin lo¹i 2.
d, §Þnh lÝ:


Tích hai phép dời hình là phép
dời hình. Tích hai phép phản
chiếu là phép dời hình.
Tích hai phép dời hình và phản chiếu theo thứ tự nào
cũng là phép phản chiếu.
- Định nghĩa: Hai hình là ảnh của nhau qua phép dời

hình đợ gọi là hai hình bằng nhau.Hai hình là ảnh của
nhau qua phép phản chiếu đợc gọi là hai hình đối xứng.
e, Các phép đẳng cự đặc biệt:


Phép đối xứng qua siêu phẳng:
+ Định nghĩa: Trong En (n= 2, 3) cho siêu phẳng P.

Phép biến hình của không gian cho ứng mỗi điểm M với
điểm M xác định nh sau:
MM vuông góc với siêu phẳng P.
MM cắt P tại O là trung
điểm của nó Kí hiệu: ĐP
+ Tính chất:
ĐP là phép phản chiếu.
ĐP là phép đối hợp.
P là quỹ tích điểm bất động của ĐP .
ĐP . ĐP = TP


Phép đối xứng qua tâm.
+ Định nghĩa: Trong không gian En (n= 2, 3) cho một
điểm O. Phép biến

hình của không gian cho ứng điểm
M với điểm
phép đối xứng qua tâm O. Kí hiệu:
ĐO.

+ Tính

chất:

M'

sao
cho

OM '
=
OM


gäi lµ
−PhÐp ®èi xøng trong E2 lµ phÐp dêi h×nh, trong E3 lµ
phÐp ph¶n chiÕu.
−PhÐp ®èi xøng t©m lµ phÐp ®èi hîp.
−O lµ ®iÓm bÊt ®éng duy nhÊt cña §O.




=


ĐO . ĐO T

2OO'

Phép tịnh tiến.

+ Định nghĩa: Trong không gian En (n= 2, 3) cho vectơ a .
Phép biến hình
của không gian cho ứng điểm M


với điểm tịnh tiến theo vectơ a .

M ' sao

cho

MM '

=a

gọi là
phép

Kí hiệu: Ta .
+ Tính chất:
Phép tịnh tiến là phép dời

hình.
Phép tịnh tiến không có điểm bất động nếu vevtơ
tịnh tiến khác 0


Phép quay quanh trục trong không gian.
+ Định nghĩa: Trong không gian E3 cho trục d và góc

phẳng định hớng

. Phép biến hình của E3 cho ứng mỗi
điểm M với điểm
Hai điểm M , M '
OM = OM '

M ' thoả mãn:

nằm trên mặt phẳng P vuông góc với d tại
O.

Nếu chiều dơng của mặt phẳng Plà chiều quay của
vặn nút chai tiến theo chiều dơng của trục d thì (OM ,
OM ') =



Gọi là phép quay trong không gian quanh trục d, góc
quay . Kí hiệu:
Q(d, ).
+ Tính chất:
Phép quay Q(d, ) là phép dời hình.


Phép quay Q(d, ) là phép đối hợp khi và chỉ khi ta có
= k 180
Phép quay Q(d, ) giữ bất động mọi điểm của
trục d.

Phép chuyển vị.
+ Định nghĩa: Phép quay quanh trục d, góc quay
đợc gọi là phép

chuyển vị, trục chuyển vị d nếu
= (2k + 1) 180
+ Tính chất:

. Kí hiệu: Cd


Phép chuyển vị là phép đối hợp
Tập hợp các điểm bất động của Cd là trục d.
1.1.6

Điểm bất động. Hình kép. Hình bất động.

- Cho phép biến hình f của không gian K. Điểm M của không
gian K
đợc gọi là điểm bất động (điểm kép, điểm tự ứng) của
phép biến hình f nếu
f(M) =M.
- Cho phép biến hình f của không gian K. Hình H bộ phận
của không gian K đợc gọi là hình kép đối với phép biến
hình f nếu ta có f(H) = H.
- Hình H đợc gọi là hình bất động đối với phép biến hình
f nếu ta có mọi điểm của H bất động đối với f.
1.2

Phép đồng dạng.

1.2.1

Định nghĩa:
M ' sao

- Phép biến hình của không gian En biến mỗi
điểm M thành điểm
M ' N'

cho với cặp điểm
bất kì M ,

N và cặp ảnh t-

ơng ứng

M',
N'

= k, k
th
ì MN là

một hằng số dơng ( k > 0 ) cho trớc đợc gọi là phép đồng
dạng tỉ số k.
- Kí hiệu: Zk
k đợc gọi là tỉ số đồng dạng của Zk.
1.2.2.Tính chất

- Phép đồng dạng Zk là phép afin.
- Trong E3 phép đồng dạng biến một hình cầu thành mặt
cầu.


- Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn góc phẳng.
1.2.3

Điều kiện xác định của phép đồng dạng

Trong E3 một phép đồng dạng đợc xác định bởi hai tứ
diện có các cặp cạnh tớng ứng tỉ lệ.


Tức là: trong E3, cho hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' đồng
dạng. Khi đó tồn tại duy nhất một phép đồng dạng biến A,
B, C, D tơng ứng thành A', B', C', D'.
1.2.4

Sự đồng dạng của các hình

- Định nghĩa : Nếu
H ' là ảnh của hình H qua một phép
hình
đồng dạng
Zk thì ta nói H đồng
dạng với

H ' theo tỉ số k.

- Nhận xét: Trong các hình đồng dạng, các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ các góc tơng ứng bằng nhau.
1.2.5

Phép vị tự

a. Định nghĩa
-Trong không gian En cho điểm O và
cho số thực
của không gian biến mỗi điểm M
thành điểm

M ' thỏa

mãn

k 0 . Phép biến

hình
OM ' =
k.OM

gọi là

một phép vị tự tâm O tỉ số k.
- Kí hiệu:k V O .
b.
Tính
chất
- Phép vị
tự V O

là phép đồng dạng tỉ số k mà đờng thẳng
nối điểm bất
k

kì với ảnh của nó luôn đi qua O.
- Với

k 1 , phép
vị tự V O

có duy nhất O là điểm bất động.
k

Với k = 1 , mọi điểm là điểm
bất động. V 1
- Phép vị tự V O

k

0

= I d.

bảo tồn phơng của đờng thẳng.


- Trong E3 phép vị tự là phép đồng dạng thuận hay nghịch tùy
theo tỉ số vị tự là dơng hay âm.
- Tích hai phép vị tự cùng tâm là một phép vị tự.

Tích hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự hoặc một
phép tịnh tiến.
1.2.6

Phân loại phép đồng dạng

- Phép đồng dạng là phép afin loại 1 đợc gọi là phép đồng
dạng thuận.
- Phép đồng dạng là phép afin loại 2 đợc gọi là phép đồng
dạng nghịch.


Chú ý:
+ Phép vị
tự V O

là phép đồng dạng thuận tỉ số k .
k

+ Tất cả các phép dời hình là phép đồng dạng
tỉ số k =1.
Z1 ( k 0
)
+ Phép đảo ngợc của phép đồng dạng Z là
k

phép đồng dạng

k

2

+ Tích của hai phép
đồng dạng

Zk
và
1

Zk là phép đồng
dạng Zk

với tỉ
số

k = k1 k2
1.2.7

Dạng chính tắc của phép đồng dạng

Định lí 1:
a, Trong E3, tích của một phép vị tự và một phép dời
hình là một phép
đồng dạng thuận, tích của một phép vị tự và một phép phản
chiếu là một phép
đồng dạng nghịch.
b, Ngợc lại, một phép đồng dạng có thể phân tích bằng
vô số cách thành tích của một phép vị tự với một phép dời
hình hoặc là một phép phản chiếu tùy theo phép đồng dạng
là thuận hay nghịch.

Chứng minh:

M

(a)
M

M

N

N
N


Gi¶ sö D lµ phÐp dêi V O
= V lµ phÐp vÞ tù cña E3. XÐt
h×nh.
kcÆp M, N
trong E3 vµ qua V chóng biÕn thµnh M’, N’ vµ qua D cÆp M’,
N’ biÕn thµnh M”, N”. Ta cã M, N biÕn thµnh M”, N” qua V.D.
Do M’N’ = k . MN nªnV . D = Z|k|


Nếu k > 0 do V là đồng dạng thuận nên Z|k| cũng là thuận.
k < 0 do V là đồng dạng nghịch nên Z|k| cũng là
nghịch.
(b) Giả sửkZ là phép đồng dạng của E3
Lấy O tùy ý trong gian, xét O
V =

V . Dễ thấy rằng
V. Z
1
k

k

là một
phép

đẳng cự f
-1

Từ f = V . Zk suy ra Zk
= (V)

. fO = V
.f
k

+ Nếu Zk là đồng dạng thuận do k >O
cũng là đồng dạng
0 nên Vk
thuận
suy ra f là dời hình.
+ Nếu Zk là đồng dạng nghịch thì f là phản chiếu nênO
ta phân tích Vk =
O

O

O

XO. . Vk . Nh vậy ta sẽ có Zk = Vk . XO.f = Vk .(XO.f)
Phép biến hình tích XO.f là phép dời hình.
Định lí 2:
Một phép đồng dạng thuận có thể phân tích thành tích
một phép quay và một phép vị tự với tâm quay và tâm vị
tự trùng nhau, tỉ số vị tự bằng tỉ số đồng dạng.
Một phép đồng dạng nghịchcó thể phân tích thành
tích một phép phản chiếu và một phép vị tự có tâm là
điểm bất động của phép phản chiếu.
Chứng minh:
Xét điểm A của E3 và A
k = Z (A). Giả sử Olà điểm chia
đoạn AA theo tỉ số k hoặc (-k) tùy theo Zk thuận hay nghịch.
Xét V là phép vị tự tâm O, tỉ số k hoặc (-k) tùy theo
Zk là thuận hay