HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC THƯỜNG docx

HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH
THÔNG QUA CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN
TRONG TAM GIÁC THƯỜNG
I. Kiến thức cần nhớ:
Biết được thế nào là hai tam giác bằng nhau.
Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: Cạnh – cạnh – cạnh
(c.c.c); Cạnh – góc – cạnh (c.g.c); Góc – cạnh – góc (g.c.g).
Biết được khái niệm và tính chất cơ bản của một số đường đặc biệt
như: Đường trung trực, đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác.
Biết được định lí về tổng ba góc của một tam giác, định lí về góc
ngoài của tam giác.
Công thức tính diện tích tam giác.
Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, bất đẳng thức tam
giác.
Hiểu được định nghĩa hai tam giác đồng dạng. Tỉ số của hai đoạn
thẳng, các đoạn thẳng tỉ lệ
II. Hệ thống bài tập:
Bài 1. (Luyện tập toán 7 – Nguyễn Bá Hòa – NXB Giáo dục) Cho tam
giác ABC có AC > AB. Trên cạnh BC lấy điểm D. Trên đoạn thẳng AD lấy
điểm E.
Ta chứng minh được EC – EB < AC – AB như sau:
Trong
AEC∆
ta có EC < AC + AE (1)
Trong
ABE∆
ta có EB < AB + AE (2)
Trừ (1) và (2) vế theo vế ta có: EC – EB < AC – AB
Hãy tìm chỗ sai trong bài chứng minh trên.
GIẢI
1

A
B
C
D
E
Ta thấy hai bất đẳng thức (1) và (2) đúng hay sai, hai bất đẳng thức
trên không sai, nếu như lấy bất đẳng thức (1) trừ bất đẳng thức (2) thì đúng
hay sai, cái sai của bài chứng minh trên nằm ở chổ ta lấy hai bất đẳng thức
trên trừ cho nhau. Nhớ! Không trừ hai bất đẳng thức cùng chiều.
Nhận xét: Cần chú ý trong việc biến đổi bất đẳng thức.
Bài 2. Chứng minh rằng đường phân giác của một tam giác chia cạnh
đối diện thành 2 đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn thẳng ấy.
GIẢI
GT
ABC∆
, AD là phân giác.
KL
AB DB
AC DC
=
Qua B vẽ đường thẳng song song AC cắt AD tại E.
AC // BE
2 1
A E
∧ ∧
⇒ =
mà
1 2
A A
∧ ∧

=
nên
1 1
A E
∧ ∧
=
ABC
⇒ ∆
cân tại B.
⇒
AB = BE (1)
Từ
EDB∆
và
ADC
∆
có BE//AC
⇒
BE DB
AC DC
=

Kết hợp với (1) ta có
AB DB
AC DC
=
. (đpcm)
Bài chứng minh trên ta kẻ đường thẳng qua B song song AC. Vậy nếu
như ta cũng kẻ đường thẳng qua B mà song song với AD thì có thể chứng
minh được bài toán trên hay không.

Cách 2:
Qua B vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC tại F.
BF // AD
⇒
1 2
F A
∧ ∧
=
,
1 1
B A
∧ ∧
=
.
Có
1 2
A A
∧ ∧
=
nên
1 1
F B ABF
∧ ∧
= ⇒ ∆
cân tại A.
AF AB
⇒ =
BFC∆
có BF // AD
⇒

AF DB
AC DC
=
do đó
AB DB
AC DC
=
.
2
1
1
2
1
F
D
A
B
C
2
1
1
E
D
A
B
C
Cũng với cách vẽ đường phụ với mỗi đường phụ hợp lí ta lại có thêm
một cách chứng minh, ta sẽ xét một cách chứng minh khác.
Cách 3: Vẽ DE // AC; DF // AB ( E
∈

AB, F
∈
AC )
AFDE
⇒
là hình bình hành.
Có AD là phân giác
AFDE⇒
là hình thoi.
⇒
AF = DE = DF = AE.
ABC
∆
có DE // AC
DB EB
DC EA
⇒ =
;
DB AE
DC CF
=
Suy ra
DB EB AE EB AE AB
DC AF CF AF CF AC
+
= = = =
+
(đpcm)
Bài 3. Cho tam giác ABC biết AB < AC. Trên tia BA lấy điểm D sao
cho BC = BD. Nối C với D. Gọi E là giao điểm của AC với phân giác của

góc B.
a) Chứng minh rằng CE = DE
b) Dựng đường cao AH của tam giác ACD. Chứng minh rằng AH //
BE.
Hệ thống câu hỏi:
1. Giả thuyết và kết luận của bài toán trên là gì?
2. Dạng của bài toán là dạng gì? (dạng chứng minh)
a) Chứng minh rằng CE = DE
- Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta thường có những cách
nào?
- Tại sao hai tam giác BEC và BED bằng nhau?
- Từ hai tam giác bằng nhau đó ta suy ra được điều gì?
b) Chứng minh rằng AH // BE.
- Ta đã có
AH CD
⊥
vậy muốn chứng minh AH // BE ta cần chứng
minh điều gì?
3
2
1
E
F
D
A
B
C
- Muốn chứng minh
BI CD⊥
ta phải làm sao?

- Vì sao chúng ta có
0
90BIC BID
∧ ∧
= =
?
- Vậy ta có được điều phải chứng minh chưa?
GIẢI
GT
ABC
∆
; AB<BC; BC=BD;
ABE CBE
∧ ∧
=
;
AH CD
⊥
KL
a) CE = DE b) AH // BE
a) Xét hai tam giác BEC và BED có:
BE là cạnh chung;
ABE CBE
∧ ∧
=
(vì BE là tia phân giác của góc
B)
BC=BD (giả thuyết)
Vậy
BEC BED∆ = ∆

(c.g.c).
⇒
CE = DE (cạnh tương ứng) (đpcm).
b) Kéo dài BE cắt CD tại I.
Xét hai tam giác BIC và BID có:
BI là cạnh chung;
ABE CBE
∧ ∧
=
(vì BE là tia phân giác của góc
B)
BC=BD (giả thuyết)
Vậy
BIC BID
∆ = ∆
(c.g.c).
BIC BID
∧ ∧
⇒ =
.
Hai góc này bù nhau nên
0
90BIC BID
∧ ∧
= =
. Vậy BI là đường cao của
BCD∆
.
Vì
AH CD

⊥
và
BI CD
⊥
suy ra AH // BI hay AH // BE (đpcm).
Nhận xét: Qua bài toán cho ta thấy để chứng minh hai đoạn thẳng
bằng nhau ta có thể gép nó vào hai tam giác và chứng minh hai tam giác đó
bằng nhau; Chứng minh hai đoạn thẳng song song ta có thể chứng minh nó
cùng vuông góc với một đường thẳng khác.
Bài 4. Gọi M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC. Trên
4
L
H
E
A
B
C
D
cạnh AB lấy hai điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Chứng minh rằng:
a) ME // CD; b) Đoạn thẳng CD cắt đoạn thẳng AM ở trung điểm I của
nó.
c) CI = 3DI.
Hệ thống câu hỏi:
1. Vẽ hình, nêu giả thuyết và kết luận của bài toán?
2. Dạng của bài toán là dạng gì? (dạng chứng minh)
a) Chứng minh: ME // CD
- Để chứng minh ME // CD ta thường có những cách chứng minh
nào?
- Em có nhận xét gì về vị trí của M, E ở lần lược hai cạnh BC và BD?
- Vậy ME là gì của

BCD
∆
? . Ta có điều phải chứng minh?
b) Đoạn thẳng CD cắt đoạn thẳng AM ở trung điểm I của nó.
- Theo giả thuyết ta có D là gì của AE?
- Theo chứng minh ở câu a) thì DI như thế nào so với AM?
- Có D là trung điểm AE, DI // AM vậy DI là gì của
AEM∆
?
- Vậy I là gì của AM, ta suy ra được điều phải chứng minh chưa?
c) Chứng minh: CI = 3DI.
- ME là đường trung bình của
BCD∆
. Vậy ME bằng bao nhiêu lần
DC.
- Tương tự DI bằng bao nhiêu lần ME
- Từ hai điều đó ta có được đẳng thức cần chứng minh chưa?
GIẢI
GT
ABC∆
; BM = MC; AD = DE = EB
KL
a) ME // CD. b)
I CD AM= ∩
;
AI IM=
c) CI = 3DI
5
I
M

A
B
C
D
E
a) Xét
BCD∆
có:
M là trung điểm của cạnh BC (giả thuyết)
E nằm giữa B và D và DE = BE
⇒
E là trung điểm của cạnh BD
⇒
ME là đường trung bình của
BCD
∆
. Do đó ME // CD (đpcm)
b) Xét
AEM∆
có:
D là trung điểm của cạnh AE (vì D nằm giữa A và E và AD = DE)
Theo a) ta có: DI // ME.
⇒
DI là đường trung bình của
AEM∆
.
Vậy I là trung điểm của AM (đpcm)
c) Theo chứng minh ở hai câu trên ta có:
ME là đường trung bình của
BCD∆

: nên
1
2
ME CD=
hay
2CD ME=

(1)
DI là đường trung bình của
AEM∆
: nên
1
2
DI ME=
hay
2ME DI=

(2)
Từ (1) và (2) suy ra: CD = 4DI hay CI + DI = 4DI
⇒
CI = 3DI
(đpcm)
Nhận xét: Ta có thể áp dụng tính chất đường trung bình để chứng
minh hai đoạn thẳng song song, và cũng có thể chứng minh một điểm là
trung điểm của đoạn thẳng.
Bài 5. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AC người ta lấy một
điểm D sao cho AB = AD. Gọi AI là tia phân giác xuất phát từ đỉnh A của
tam giác ABC. Chứng minh rằng: AI // BD.
Hệ thống câu hỏi:
1. Hãy vẽ hình và nêu giả thuyết và kết luận của bài toán?

2. Để chứng minh AI // BD ta thường có những cách chứng minh nào?
3. Làm sao để tạo ra đường thẳng mà cả hai đường thẳng trên cùng
6
vuông với đường thẳng đó.
4. AI là gì của
BAC
∧
. Theo em thì đường nào trong tam giác sẽ vuông
góc với đường thẳng AI.
5. Làm sao chứng minh được AE
⊥
DB.
6. Có được AE
⊥
DB ta suy ra được điều phải chứng minh chưa?
GIẢI
GT AB = AD;
BAI CAI
∧ ∧
=
KL AI // BD.
Dựng tia phân giác AE của
BAD
∧
.
Xét hai tam giác ABE và ADE có:
AE là cạnh chung;
BAE DAE
∧ ∧
=

(vì AE là tia phân giác của
BAD
∧
)
AB = AD (giả thuyết)
Vậy
ABE ADE∆ = ∆
(c.g.c). Ta suy ra
0
90AEB AED
∧ ∧
= =
.
Hai tia AI và AE là hai tia phân giác của hai góc kề bù nhau nên
vuông góc với nhau, Tức là
0
90EAI
∧
=
. Suy ra BD và AI cùng vuông với AE
nên chúng song song với nhau tức là: AI // BD (đpcm)
Nhận xét: Qua bài toán cho ta khả năng nhận xét và vẽ đường phụ,
muốn chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể chứng minh nó cùng
vuông góc với đường thẳng thứ 3.
Bài 6: Cho tam giác ABC. D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các
cạnh Bc, CA, AB. Chứng minh rằng:
a) Đường trung tuyến AD cắt đoạn EF tại điểm I.
b) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng EF.
HƯỚNG DẪN GIẢI
GT

ABC
∆
; BD = DC; AE = EC; AF = FB.
KL a)
I AD EF= ∩
b) EI = IF
7
E
I
D
A
B
C
I
F
E
D
A
B
C
a) Đường trung tuyến AD cắt đoạn EF tại điểm I.
- Ta có AD nằm giữa hai tia AB và AC.
- Nếu chọn AD làm bờ chia mặt phẳng ra làm hai phần thỉ E, F nằm ở
hai mặt phẳng như thế nào?
- Vậy AD có cắt đoạn EF hay không?
b) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng EF.
- Ta có EF là đường trung bình của
ABC∆
vậy ta có thể chứng minh
FI, EI lần lược là đường trung bình của

ABD∆
,
ACD
∆
hay không?
- Khi đó ta sẽ có
1
2
FI BD=
và
1
2
IE DC=
, mà DC như thế nào so với
DB, từ đó ta có được điều phải chứng minh chưa?
Nhận xét: Qua bài toán nhằm khắc sâu thêm kiến thức về đường
trung bình của tam giác và áp dụng nó vào bài toán cụ thể.
Bài 7: Cho tam giác ABC và một điểm O tùy ý ở trong tam giác ấy.
Chứng minh:
1
2
(AB+BC+CA) < OA+OB+OC < AB+BC+CA
Hệ thống câu hỏi:
1. ta có thể chia bài toán thành 2 bài toán nhỏ được không?
2. Trước tiên ta sẽ chứng minh
1
2
(AB+BC+CA) < OA+OB+OC .
3. Ta thấy
ABC∆

bị chia thành 3 tam giác nhỏ
OAB∆
,
BOC∆
,
COA∆
,
mỗi tam giác điều có chứa một cạnh của
ABC
∆
.
4. Trong tam giác thì tổng của 2 cạnh như thế nào so với cạnh thứ 3?
5. Vậy ta có thể áp dụng tính chất đó vào từng tam giác kia hay
không?
6. Khi đó ta cộng theo từng vế của những bất đẳng thức đó thì ta có
điều phải chứng minh chưa.
7. Tiếp theo ta sẽ phải chứng minh OA+OB+OC < AB+BC+CA. Ta
8
có thể chứng minh tương tự.
8. Ta thấy AB+BC+CA chính là gì của
ABC
∆
, em có thể phát biểu bài
toán trên thành một định lí được không?
GIẢI
Xét
OAB∆
có: AB < OA + OB (1)
Tương tự xét
BOC

∆
và
COA
∆
, ta có:
BC < OB + OC (2)
CA < OC +OA (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
AB + BC + CA < 2OA + 2OB + 2OC
⇒

1
2
(AB + BC + CA) < OA + OB + OC (4)
Gọi A’, B’, C’ lần lược là giao điểm của AO, BO, CO với các cạnh BC, CA,
AB. Ta có:
Vì OB < OA’ + A’B nên
OA + OB < OA + OA’ + A’B
⇒
OA + OB < AA’ +A’B
Mà AA’ < AC +CA’ nên ta có:
OA + OB < AC +CA’ +A’B
⇒
OA + OB < CA +CB (5)
Tương tự, ta có: OB +OC < AB + AC (6)
và OC +OA < BC + BA (7)
Cộng (5), (6), (7) vế theo vế ta được:
2OA + 2OB + 2OC < 2AB + 2BC + 2CA
⇒
OA+OB+OC < AB+BC+CA (8)

Từ (4) và (8) ta có:
1
2
(AB+BC+CA) < OA+OB+OC < AB+BC+CA (đpcm)
Nhận xét: Từ bài toán này ta có thể phát biểu định lí: Cho một tam
9
A'
B'
C'
A
B
C
O
giác và một điểm O tùy ý trong tam giác. Tổng khoảng cách từ điểm O đến
ba đỉnh của tam giác lớn hơn nữa chu vi và bé hơn chu vi của tam giác đó.
Bài 8: Chứng minh rằng cạnh lớn nhất của một tam giác lớn hơn hoặc
bằng
1
3
chu vi của tam giác đó và nhỏ hơn
1
2
chu vi của nó.
Hệ thống câu hỏi:
1. Bài toán yêu cầu chứng minh điều gì? Ta có được những gì?
2. Nếu giả sữ BC là cạnh lớn nhất thì ta sẽ có điều gì?
3. Từ AB + AC
≤
2BC ta có thể suy ra BC lớn hơn hoặc bằng
1

3
chu
vi?
4. Theo bất đẳng thức tam giác thì Bc như thế nào so với AB + BC.
5. Từ BC < AB + AC ta có thể suy ra BC nhỏ hơn
1
2
chu vi ?
6. Kết hợp hai yếu tố trên ta đã giải quyết được bài toán trên hay
chưa?
GIẢI
Giả sữ
ABC
∆
có
AB AC BC
≤ ≤
. Ta suy ra:
AB + AC
≤
BC + BC
⇒
AB + AC
≤
2BC
⇒
AB + AC + BC
≤
3BC
⇒

BC
≥

1
3
(AB + AC +BC) (1)
Ta lại có: BC < AB + AC
⇒
2BC < AB + AC + BC
⇒
BC <
1
2
(AB + AC +BC) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
1
3
(AB + AC +BC)
≤
BC <
1
2
(AB + AC +BC) (đpcm)
Nhận xét: Sử dụng bất đẳng thức tam giác kết hợp chia nhỏ một bài
10
A
B
C
toán dể chứng minh sẽ dễ dàng hơn.
Bài 9: Cho tam giác ABC với AB < AC. Gọi AD là đường phân giác

của góc A, I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác và H là hình
chiếu của I trên BC. Chứng minh rằng:
a)
BIH CID
∧ ∧
=
b)
0
90
2
A
BIC
∧
∧
= +
.
Hệ thống câu hỏi:
a) Chứng minh
BIH CID
∧ ∧
=
- Trong
IBH∆
ta có thể tính được
BIH
∧
không?
- Vậy bây giờ ta phải chứng minh
0
90

2
B
CID
∧
∧
= −
.
- Ta nhận thấy
CID
∧
là góc gì của
AIC∆
? Vậy
CID
∧
bằng gì?
- Kết hợp với
0
90
2 2 2
A B C
∧ ∧ ∧
+ + =
ta có điều phải chứng minh chưa?
b) Chứng minh:
0
90
2
A
BIC

∧
∧
= +
.
- Ta nhận thấy
BID
∧
,
DIC
∧
lần lược là 2 góc gì của hai tam giác
AIB∆
,
AIC
∆
. Từ đó ta suy ra được gì?.
- Từ
2 2
A B
BID
∧ ∧
∧
= +
và
2 2
A C
DIC
∧ ∧
∧
= +

kết hợp với
0
90
2 2 2
B C A
∧ ∧ ∧
+ = −
ta có điều
phải chứng minh không?
GIẢI
a) Trong tam giác vuông IHB ta có:
0
90
2
B
BIH
∧
∧
= −
(1)
CID
∧
là góc ngoài ở đỉnh I của
AIC
∆
nên:
2 2
A C
CID
∧ ∧

∧
= +
11
H
I
D
A
B
C
Vì
0
90
2 2 2
A B C
∧ ∧ ∧
+ + =
nên
0
90
2 2 2
A C B
CID
∧ ∧ ∧
∧
= + = −
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
BIH CID
∧ ∧
=

(đpcm)
b)
BID
∧
là góc ngoài ở đỉnh I của
AIB∆
nên
2 2
A B
BID
∧ ∧
∧
= +
(3)
DIC
∧
là là góc ngoài ở đỉnh I của
AIC∆
nên
2 2
A C
DIC
∧ ∧
∧
= +
(4)
Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được:
2 2
B C
BID DIC A

∧ ∧
∧ ∧ ∧
+ = + +

2 2
B C
BIC A
∧ ∧
∧ ∧
⇒ = + +
(5)
Vì
0
90
2 2 2
B C A
∧ ∧ ∧
+ = −
thay vào (5)
0
90
2
A
BIC
∧
∧
⇒ = +
(đpcm)
Nhận xét: Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác, kết hợp với
những khả năng biến đổi đẳng thức để giải bài toán.

Bài 10:
ABC∆
có
2A B
∧ ∧
=
. Chứng minh rằng: BC
2
= AC
2
+ AB.AC
Hệ thống câu hỏi:
1. AD là đường phân giác vậy ta có đẳng thức nào?
2. Sao khi biến đổi đẳng thức đó ta được?
3. Vậy so với đề bài ta cần chứng minh điều gì?
4. Muốn có được tỉ số trên ta phải xét sự đồng dạng của 2 tam giác
nào?
5. Từ đó ta có được điều phải chứng minh chưa?
GIẢI
Vẽ phân giác AD của góc A.
Theo tính chất đường phân giác ta có:
DB DC
AB AC
=

12
D
A
B
C

Do đó:
DC DB DC DC BC
AC AB AC AC AB AC
+
= ⇒ =
+ +
(1)
Mặt khác
1
2
DAC BAC
∧ ∧
=
(vì AD là đường phân giác)
1
2
B BAC
∧ ∧
=
(vì
1
2
B BAC
∧ ∧
=
) nên ta có Nên
DAC B
∧ ∧
=
Xét

DAC
∆
và
ABC
∆
có:
C
∧
là góc chung;
DAC B
∧ ∧
=
(chứng minh trên)
Suy ra hai tam giác DAC và ABC đồng dạng với nhau.
DC AC
AC BC
⇒ =
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
BC AC
AB AC BC
=
+
hay BC
2
= AC
2
+ AB.AC (đpcm)
Nhận xét: Bài toán này nhằm nhấn mạnh thêm về tính chất đường
phân giác, kết hợp thêm tính chất đồng dạng của hai tam giác.

Bài 11: Cho tam giác ABC ba đường cao AA’, BB’, CC’ và trực tâm
H. Chứng minh hệ thức:
' ' '
1
' ' '
HA HB HC
AA BB CC
= = =
.
Hệ thống câu hỏi:
1. Nêu giả thuyết , kết luận của bài toán?
2. Dạng của bài toán? (Dạng chứng minh).
3. Hệ thức cần chứng minh liên quan đến những đường nào trong tam
giác? (Đường cao).
4. Hãy tính diện tích của tam giác ABC theo 3 đường cao?
5. Em có nhận xét như thế nào về điện tích của tam giác ABC và diện
tích của các tam giác HBC, HCA, ABH.
6. Từ những điều trên ta có điều phải chứng minh chưa.
GIẢI
GT
ABC∆
; AA’
⊥
BC; BB’
⊥
AC
13
H
C'
B'

A'
A
B
C
CC’
⊥
AB, trực tâm H
KL
' ' '
1
' ' '
HA HB HC
AA BB CC
= = =
Gọi S là điện tích tam giác ABC.
Ta có:
1 1 1
'. '. '.
2 2 2
S AA BC BB AC CC AB= = =
Suy ra
2
'
S
BC
AA
=
;
2
'

S
AC
BB
=
;
2
'
S
AB
CC
=
.
Mặt khác ta có:
1 '.
. '
2 '
HBC
HA S
S BC HA
AA
= =
(1)
1 '.
. '
2 '
HCA
HB S
S AC HB
BB
= =

(2)
1 '.
. '
2 '
HAB
HC S
S AB HC
CC
= =
(3)
Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta được:
' ' '
' ' '
HA HB HC
S S
AA BB CC
 
= + +
 ÷
 

⇒

' ' '
1
' ' '
HA HB HC
AA BB CC
= = =
(đpcm).

Nhận xét: Bài toán nhấn mạnh việc sữ dụng công thức tính diện tích
để giả bài toán chứng minh đẳng thức, ngoài ra còn rèn luyện khả năng biến
đổi đẳng thức cho người thực hiện.
Bài 12. Cho tam giác ABC. D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các
cạnh BC, CA, AB. Trên đường trung tuyến AD người ta lấy điểm G sao cho
G nằm giữa A và D và AG = 2GD. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm B, G, E thẳng hàng và ba điểm C, G, F thẳng hàng.
b) BG = 2GE và CG = 2GF.
Hệ thống câu hỏi:
1. Giả thuyết, kết luận của bài toán?
a) Ba điểm B, G, E thẳng hàng và ba điểm C, G, F thẳng hàng.
- Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có những cách nào?
- Theo những giả thuyết đã cho thì cách nào khả thi nhất?
14
- Ta sẽ gọi giao điểm BG với AC là E’ và ta sẽ chứng minh E’
≡
E.
- Bài toán bây giờ trở thành chứng minh E’
≡
E.
- Ta sẽ sữ dụng những tính chất nào đã học để chứng minh E’
≡
E.
- Có được E’
≡
E. Vậy ba điểm B, G, E thẳng hàng chưa?
- Có thể chứng minh tương tự ba điểm C, G, F thẳng hàng không?
b) Chứng minh BG = 2GE và CG = 2GF.
- Muốn chứng minh BG = 2GE ta có những cách nào.
- Làm sao chứng minh QG = GE với Q là trung điểm BG.

- Em có nhận xét gì về hai tam giác DGE và IGQ.
- Hai tam giác đó bằng nhau ta suy ra được QG = GE chưa.
- Từ đó ta có BG = 2GE chưa?
- Tương tự như vậy chứng minh CG = 2GF.
GIẢI
GT
ABC
∆
; BD=DC; CE=EA
AF=FB; AG=2GD
KL
a) B, G, E thẳng hàng
C, G, F thẳng hàng.
b) BG = 2GE và CG = 2GF.
a) Kéo dài BG cắt AC ở E’. Ta sẽ chứng minh E
≡
E’.
Gọi I là trung điểm của AG. Ta có AI = IG = GD.
Từ I và D kẻ các đường thằng song song với BG cắt AC tại K và M.
Trong
'AGE
∆
có IK là đường trung bình
nên K là trung điểm AE’ hay AK = KE’.
Trong
'BCE
∆
có DM là đường trung bình
nên M là trung điểm CE’ hay CM = ME’.
Từ I dựng đường thẳng song song với AC cắt BE’ ở P và DM ở N.

Trong
IDN∆
, GP là đường trung bình nên P là trung điểm của IN hay IP =
15
P
E'
N
Q
K
M
I
G
F
E
D
A
B
C
PN.
IP và KE’ là hai đoạn thẳng song song và bị chắn bởi hai đường thẳng song
song nên IP = KE’
Tương tự PN = E’M. Vì IP = PN nên KE’ = E’M.
Vậy AK = KE’ = E’M = MC nên E’
≡
E. Tức là ba điểm B, G, E thẳng
hàng
Tương tự chứng minh được C, G, F thẳng hàng. (đpcm)
b) Gọi Q là trung điểm của BG. Ta sẽ chứng minh QG = GE.
Có: QI là đường trung bình của
ABG

∆
nên QI // AB và QI
1
2
=
AB.
DE là đường trung bình của
ABC∆
nên DE // AB và DE
1
2
=
AB.
⇒
QI // DE và QI = DE.
Xét hai tam giác DGE và IGQ có:
DGE IGQ
∧ ∧
=
(đối đỉnh); DG = IG (chứng minh trên)
GDE GIQ
∧ ∧
=
(so le trong)
Vậy
DGE IGQ∆ = ∆
(g.c.g).
⇒
GE = GQ và từ đó ta có BG = 2GE
Tương tự, CG = 2GF (đpcm)

Nhận xét: Cho ta thêm khả năng vẽ đường phụ, sữ dụng kết hợp
nhiều tình chất để có thể giải được bài toán.
Bài 13. Cho tam giác ABC với AB < AC. Trên đường phân giác AD
người ta lấy một điểm E tùy ý.
a) Chứng minh rằng AC – AB > EC – EB
b) Trên tia AD lấy O sao cho OB = OC. Chứng tỏ rằng nếu F là một
điểm bất kì trên tia đối của tia OA thì AC – AB > FB – FC.
Hệ thống câu hỏi:
1. Đọc đề, tóm tắt, vẽ hình cho bài toán.
16
a) Chứng minh rằng AC – AB > EC – EB
- Em có nhận xét gì về 4 đoạn thẳng trên.
- Lấy K trên AC sao cho AB = AK. Vậy bài toán trở thành?
- Giờ ta phải chứng minh KC > EC – EB.
- Xét trong
CEK∆
ta có KC > EC – EK. Vậy kết hợp với điều kiện
trên ta cần phải chứng minh EB = EK.
- Em có nhận xét gì về hai tam giác AEB và AEK .
- Vậy ta có EB = EK. Vậy suy ra điều phải chứng minh chưa?
b) Chứng tỏ rằng nếu F thuộc tia đối của tia OA thì AC – AB > FB – FC.
- Trước tiên ta thấy FB như thế nào so với FC.
- Ta có thể chứng minh tương tự như câu a).
GIẢI
a) Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AB = AK.
Như vậy: AC – AB = AC – AK = CK.
Xét hai tam giác AEB và AEK có:
AE là cạnh chung;
BAE KAE
∧ ∧

=
(gt)
AB = AK (gt)
AEB AEK
⇒ ∆ = ∆
(c.g.c), ta suy ra EB = EK
Xét
CEK∆
ta có: EC – EK < CK
⇒
EC – EB < CK
⇒
EC – EB < AC – AB hay AC – AB > EC – EB (đpcm)
b) Có OB = OC
⇒
O nằm trên đường trung trực của BC.
Mặt khác O
∈
CD nên O là giao điểm của AD và đường trung trực của đoạn
BC.
Nếu F nằm trên tia đối của tia OA: FB > FC
Chứng minh tương tự như câu a) ta được AC – AB > FB – FC.
17
K
O
D
A
B
C
E

F
(đpcm)
Nhận xét: Sử dụng kết hợp vẽ đường phụ và bất đẳng thức tam giác,
khả năng biến đổi bất đẳng thức để có thể giải bài tập.
Bài 14. Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, AC = b và a – b = b –
c. Gọi M là giao điểm các trung tuyến. P là giao điểm các đường phân giác
các góc trong của tam giác. Chứng minh rằng MP // AC. (Đề thi học sinh
giỏi toán cấp II, 1977)
Hệ thống câu hỏi:
1. Đọc đề, vẽ hình và nêu giả thuyết và kết luận của bài toán.?
2. Hướng đi của bài toán là gì? Làm sao chứng minh được PH = MN.
3. Ta thấy điện tích tam giác ABC bằng tổng điện tích của những tam
giác nào? Thay công thức tính điện tích vào ta được đẳng thức nào?
4. Kết hợp với điều kiện a – b = b – c thì đẳng thức trên trở thành?
5. Ta có BE = 3BH, Vậy ta cần phải chứng minh BE = 3MN.
6. Em có nhận xét gì về điện tích của hai tam giác BAD và MAD, từ
đó có thể suy ra được BE = 3MN hay chưa.
7. Từ những dữ kiện trên ta có thể suy ra được PH = MN từ đó suy ra
được PM // AC hay chưa?
GIẢI
GT
a – b = b – c; BM =
2
3
BD
PH = PI = PK
KL MP // AC.
Gọi diện tích tam giác ABC là
ABC
S

.
Ta có:
ABC APB BPC CPA
S S S S= + +
(1)
Dựng BE và BD theo thứ tự là đường cao và đường trung tuyến của
ABC∆
.
Dựng các đường cao PK, PI, PH của các tam giác APB, BPC, CPA. Từ đẳng
18
N
H
I
K
E
P
M
D
B
A
C
thức (1) ta có:
1 1 1 1
. . . .
2 2 2 2
b BE c PK a PI b PH= + +

. . . .b BE c PK a PI b PH
⇒ = + +

(2)
Vì P là giao điểm của ba đường phân giác trong nên: PH = PI = PK
Vậy đẳng thức (2) trở thành
( )
.b BE a b c PH⇒ = + +

(3)
Theo giả thuyết a – b = b – c nên a + c = 2b thay vào (3) ta được:
b.BE = 3b.PH
⇒
BE = 3 PH
(4)
Dựng MN
⊥
AC. Ta có:
3
BAD MAD
S S=
(vì BD=3MD, đường cao xuất phát từ
đỉnh A chung của hai tam giác trùng nhau).
Tương tự:
3
BDC MDC
S S=
Ta suy ra:
3 3 3
ABC BAD BDC MAD MDC AMC
S S S S S S= + = + =
Từ đây ta suy ra: BE = 3MN (5)
Từ (4) và (5) ta được: PH = MN.

Mặt khác: PH // MN nên PM // HN hay MP // AC (đpcm)
Nhận xét: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác, khả năng vẽ
đường phụ, sử dụng tính chất bắc cầu để chứng minh hai đường thẳng song
song.
Bài 15. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường
cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho
MAN BAC
∧ ∧
=
. Chứng
minh rằng AM là tia phân giác của góc
NMF
∧
.
Hệ thống câu hỏi:
1. Mục đích ta sẽ chứng minh cái gì? (
AMF AMN
∧ ∧
=
)
2. Ta có
AMF
∧
bằng tổng hai góc nào?
19
3. Vậy ta chỉ cần chứng minh
1 1
AMN A D
∧ ∧ ∧
= +

.
4. Ta có thể chứng minh được
AMN AIN
∧ ∧
=
hay không?
5. Ta lại có
2 2
AIN A D
∧ ∧ ∧
= +
.
6. Từ đây ta chỉ việc chứng minh
1 2
D D
∧ ∧
=
là bài toán đã được giải
quyết
GIẢI
Xét tứ giác BFHD có:
2BFH HDB v
∧ ∧
+ =
nên tứ giác BFHD nội tiếp được
trong đường tròn.
1 1
B D
∧ ∧
⇒ =

(1)
Tương tự tứ giác CDHE nội tiếp
2 1
D C
∧ ∧
⇒ =
(2)
Tứ giác BFEC có F và E cùng nhìn đoạn BC
dưới góc vuông nên cũng nội tiếp được.
1 1
B C
∧ ∧
⇒ =
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có
1 2
D D
∧ ∧
⇒ =
.
Gọi I là điểm đối xứng của M qua DA ta có
I DE∈
. Do đó AD là
trung trực của MI.
Do:
MI BC⇒ P
Từ đó:
NIx NDC
∧ ∧
=

(4)
Xét tứ giác ABDE có E, D cùng nhìn AB dưới góc vuông nên tứ giác
ABDE nội tiếp, nên
NDC BAC
∧ ∧
=
(5)
Mà
MAN BAC
∧ ∧
=
(giả thuyết) (6)
Từ (4), (5), (6) cho ta
NIx MAN
∧ ∧
=
có nghĩa là tứ giác AMIN nội tiếp.
2 2 1 1
AMN AIN A D A D FMA
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
⇒ = = + = + =
20
}
MI AD
AC BC
⊥
⊥
x
2
1

2
1
H
I
N
F
D
E
A
B
C
M
Vậy
AMN FMA
∧ ∧
⇒ =
có nghĩa là AM là tia phân giác của
NMF
∧
. (đpcm)
Nhận xét: Sữ dụng kết hợp nhiều kiến thức liên quan đến tứ giác nội
tiếp, tính chất đường trung trực, kết hợp nhiều giả thuyết để chứng minh một
bài toán.
Bài tập tự rèn:
Bài 16: Trong tam giác ABC lấy điểm P, còn trên cạnh AC và BC lấy
các điểm tương ứng M và L sao cho
0
; 90PAC PBC PLC PMC
∧ ∧ ∧ ∧
= = =

.
a) Chứng minh: AM.PL = BL.PM
b) Giả sử D là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh: DM = DL
`Bài 17: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H và G lần lược
là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh: O, G, H thẳng hàng.
Bài 18: Giả sử H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Trên đoạn HB
và HC lấy hai điểm M, N sao cho
0
90AMC ANB
∧ ∧
= =
. Chứng minh rằng:
AN=AM.
Bài 19: Từ một đỉnh của một tam giác người ta vẽ các đường vuông
góc xuống bốn đường phân giác trong và ngoài của hai đỉnh kia. Chứng
minh rằng bốn chân đường vuông góc đó thẳng hàng.
Bài 20: Cho
ABC∆
, (AB > AC) có
A
α
∧
=
, trên cạnh AB lấy điểm D
sao cho BD = AC. Lấy điểm E là trung điểm AD, F là trung điểm BC. Tính
BEF
∧
.
Tác dụng qua những bài tập:
Qua những bài tập trên nhằm giúp cho học sinh bước đầu có được một

số kĩ năng cơ bản về các bài toán chứng minh trong tam giác thường.
Ngoài ra còn rèn luyện cách trình bài, lập luận chặc chẽ, chính xác
khả năng tư duy hợp lôgic, khả năng sáng tạo qua những bài tập nâng cao,
21
Thấy được mối quan hệ giữa các bài toán để có thể áp dụng vào
những bài toán khác có dạng tương tự, điển hình như những bài tập tự rèn ở
trên.
22