Ứng dụng tính chất của tập lồi giải một số bài toán hình học tổ hợp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
==***==

NGUYỄN THỊ HOA

ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI GIẢI MỘT SỐ BÀ
HÌNH HỌC TỔ HỢP
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI - 2012


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
==***==

NGUYỄN THỊ HOA

ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI GIẢI MỘT SỐ BÀ
HÌNH HỌC TỔ HỢP
TÓM TẮT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn khoa học
ThS.GVC. Phan Hồng Trường

HÀ NỘI - 2012


LờI CảM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, trớc hết em xin đợc bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo tổ Hình học,

các thầy cô giáo khoa Toán trờng
Đại học s phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ em trong suốt
thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hớng
dẫn Phan Hồng Trờng đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ
bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm
2012 Sinh viên
Nguyễn Thị Hoa


LờI CAM ĐOAN
Khóa luận đợc hoàn thành với sự chỉ bảo tận tình của
các thầy cô giáo trong khoa Toán trờng Đại học s phạm Hà Nội
2, đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo Phan
Hồng Trờng.
Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Em xin
khẳng định kết quả của đề tài này không có sự trùng lặp
với kết quả của các đề tài khác. Nếu sai em xin chịu hoàn
toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm
2012 Sinh viên
Nguyễn Thị Hoa


MC LC
Mở đầu.......................................................................................................... 1

Chng 1: Hình lồi......................................................................................2
1.1. Các định nghĩa............................................................................. 2
1.2. Bao lồi và bao lồi đóng................................................................3
1.3. Nón lồi.................................................................................................5
Chơng 2: Một số vấn đề của hình học tổ hợp.............................7
2.1.....................Định lí Kelli trong không gian một chiều R1
7
2.2......................Định lí Kelli trong không gian hai chiều R2
8
2.3................................................................................ Ví dụ
10
Chng 3: Một số bài toán của hình học tổ hợp............................13
3.1.................................. Một số phơng pháp giải thông thờng
13
3.1.1................................Phơng pháp sử dụng định lí Kelli
13
3.1.2. Phơng pháp lấy bao lồi.......................................................16
3.2.................................................. Một số bài toán thờng gặp
28
Kết luận....................................................................................................... 39
Tài liệu tham khảo.................................................................................. 40



Mở đầu
1.
Lí do
chọn đề tài

Hình học là một môn học

quan trọng, tơng đối khó trong
chơng trình Toán phổ thông và
có rất nhiều ứng dụng trong đời
sống con ngời, để hiểu
đợc nó ngời học cần tởng tợng t
duy cao. Đặc biệt, hình học tổ
hợp là một nhánh của hình học
mà chúng ta thờng gặp trong các
kì thi chọn học sinh giỏi toán
trong nớc và quốc tế. Trong hình
học tổ hợp có rất nhiều kết quả
nghiên cứu đợc các nhà toán học
các ngành khác quan tâm. Với
mong muốn đợc nghiên cứu sâu
hơn về hình học tổ hợp và tìm
hiểu đợc nhiều phơng pháp giải
toán hình học tổ hợp hay hơn,
cụ thể hơn, trực quan hơn, nhằm
chuẩn bị cho mình kiến thức tốt
cho công việc giảng dạy sau này,
em đã chọn đề tài ứng dụng
tính chất của tập lồi giải một
số bài toán hình học tổ hợp
để làm đề tài khóa luận tốt
nghiệp.
2.

Mục đích nghiên cứu
7

- Tìm
hiểu sâu
hơn các
kiến thức
về tập
lồi.

pháp sử dụng tính chất của
tập lồi.
4.

Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày cơ sở lí thuyết về
tập lồi.

- Làm rõ

- Đề xuất một số phơng pháp

tính u việt của

giải bài toán hình học tổ

việc ứng dụng

hợp giải bằng phơng pháp sử

tính chất của
tập lồi giải một

dụng tính chất của tập lồi.
5.

Các phơng pháp nghiên cứu

số bài toán

- Nghiên cứu sử dụng các lí
luận, các công cụ toán học.

hình học tổ
hợp.

- Nghiên cứu sách tham khảo,
các tài liệu liên quan.

3.
Đối tợng,
phạm
vi
nghiên cứu
- Đối tợng
nghiên
cứu: Kiến
thức về
tập lồi.
- Phạm vi
nghiên
cứu: Một

số bài
toán
hình
học tổ
hợp giải
bằng phơng
8


CHƯƠNG 1: hình lồi
Giả sử X là không gian tuyến tính, R là tập số
thực.
1.1. Các định nghĩa:
Định nghĩa 1.1.1: Cho a, b X , khi đó đoạn thẳng
nối a với b là tập tất cả
những
điểm

x
thỏa mãn:
với t [0;1] .

x = ta
X
+ (1 t)b

Nhận xét 1.1.1: Nếu trong En có hệ tọa độ trực chuẩn O,
x , x , , x và
1

2

n

a(a1,a2,,an), b(b1, b2, , bn); O(0, 0, , 0) thì đoạn nối ab
là tập hợp các
điểm y(y1, y2, , yn) thỏa mãn:
yi = tai + (1 t)bi

, i = 1, n với t [0;1] .

Ví dụ 1.1.1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy có

x

a(5;2), b(3;1). Khi đó nếu x(x1; x2) có tọa độ thỏa

[a;b

mãn:

x1 = t.5 + (1 t).3

với t [0;1]
x2 = t.2 + (1 t).1

Định nghĩa
Tập hợp
a, b
P, x

X

]

thỏa
mãn:

1.1.2:

P X,
P

đợc gọi là tập lồi
nếu

x = ta
th x P .
+ (1 t)b ì

Quy ớc: Tập là tập lồi.
Ví dụ 1.1.2: Đoạn thẳng [a;b] là tập lồi.
Định lí 1.1.1: Giao của các tập lồi bất kì là tập
lồi, tức: Nếu Pi


X (i
I ) là

các tập lồi, với I là tập chỉ số
bất kì thì

P=

cũng là tập lồi.

P
i

Chứng minh:

iI

Lấ
x1, x2 Pi (i I )
y
Với i
I

do Pi lồi nên tx1+(1 t)x2 Pi

tx1
+ (1 t)x 2
P

(t

[0;1])

(điều phải chứng minh).

Nhận xét 1.1.2: Nếu P1, P2 là tập lồi thì P1 P2 cha
chắc đã là tập lồi.


Thật
vậy:

H1 =

A.

{A}, H 2 = {a} với a là đờng thẳng không qua
L
B H . AB H1 H 2 .
ấ
Khi đó
y
Định nghĩa
1.1.3: Cho

x1, x2 ,..., xn X .

Ta gọi vectơ
n

n

x1, x2 ,..., xn nếu ti 0 : i
= 1, n; t i = 1 sao cho
i =1

x
là tổ hợp
lồi của
X

x
=


ti
x .

i
i =1

Định lí 1.1.2:
Cho P là tập lồi,
tổ hợp
lồi của

A P

x1, x2 ,..., xn A . Khi
.Giả sử đó với x là

x1, x2 ,..., xn x A .

thì

Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp.
+) Với
m=2. Với

t1,t2 0 : t1 + t2 = 1; x1, x2 A .

Theo định nghĩa 1.1.2 ta có:

t1x1 + t2 x2 A . Vậy khẳng định đúng với m =

2.
+) Giả sử khẳng
định đúng với

m k . Ta chứng minh

khẳng định đúng với
k +1

k +1

k+1, tức là: x1, x2 ,..., xk +1 A; ti 0, i = 1,
k +1; t i = 1: x = t i xi A .
i=1

Nếu tk +1 = 1 thì
t1 = t2 = ... = tk
= 0

N

ế

i=1

u 0 tk +1 1 , khi
đó:


ta có x hẳn tk +1 ) + tk
g
+1 = 1 , do

địn đó:
h là
Ađún
x = (1 tk +1) y + tk +1xk +1 A
(điều phải chứng minh).
g.
.
là họ tất cả
1.2. Bao lồi và bao lồi đóng.
K
Định nghĩa 1.2.1: Giả sử là các tập
t
0
tập lồi tùy ý thuộc X, {Pi }iI
1
(i
k
= 1

+
+, k )
1
+
.



k

B
ởi
v
ì

t

i
=1

t

i

= 1 cho

nên

1theo giả

thiết


quy nạp

ta có:
k
+
1

t
y = 1 x t xk
1 tk 1 k
1
+A
+ +
1

1



.
.t
.
+

Với
y A;
cáxk +1

c A ,
đi
ta có 1
ể tk +1
m> 0;(1

lồi chứa , với I là
tập chỉ số. Khi đó
Kí hiệu co .

P = đợc gọi là bao lồi

i

iI

của tập .


Ví dụ 1.2.1: Trong B(O, r ) = {x : d (O; x ) r}. Khi đó co
E2 cho
B(O,1) = B (O,1) .
Nhận xét 1.2.1: a) co là tập
lồi nhỏ nhất chứa .
b) lồi


= co .

Định lí 1.2.1:

co trùng với tất
cả các tổ hợp lồi
của . Chứng
minh:
Theo định nghĩa 1.2.1
thì co mà theo nhận
xét 1.2.1 co lồi nên
co chứa tất cả các tổ hợp lồi
của (định lí 1.1.1).
Mặt khác, tập tất cả các tổ
hợp lồi của là lồi, chứa .
Do đó nó chứa
co
Hệ quả 1.2.1: Tập là lồi khi
và chỉ khi chứa tất cả các tổ
hợp lồi của .
Bây giờ giả sử X là không
gian lồi địa phơng.
Định nghĩa 1.2.2: Giả sử



X . Bao lồi đóng của tập

đợc định nghĩa là giao của
tất cả các tập lồi đóng chứa ,


và đợc kí hiệu là
co .

Ví dụ 1.2.2:
Trong ví dụ 2.1.1
ta cũng có
coB(O,1) = B(O,1) .
N
h
ậ
n
x
é
t
1.
2.
2:

là tập lồi đóng.
Đó là tập lồi
đóng nhỏ nhất
chứa .

co



M
A lồi. Khi đó:
ện
h
đ

ề X
1.
2.
1:
Giả
sử
a)Phần trong intA
và bao đóng A
của A là các tập
lồi.
b)
x1 intA, x 2 A

thì [x1, x2 ) = {tx1
+ (1 t)x 2 : 0 < t
1} int A.

Nói
riêng,
nếu int

A

Định lí
1.2.2:
Với

t A = int A,int A = int A .
h
ì

ta có co = co .

X

Chứng
minh:
Ta có
là tập đóng, chứa
là tập .
lồi suy
ra co
Do đó co co .
(1)
Mco
ặ
t
co

bởi vì co là giao của
tất cả các tập lồi (không
cần

k
h
á
c

đóng) chứa . Vì vậy
co co .

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
co = co .


1.3. Nón lồi
Giả sử X là không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.3.1:
Cho tập là nón có

K X , thỏa mãn: x
K , > 0 x
K

đợc gọi

đỉnh tại O.
Tập K đợc gọi là nón có đỉnh tại x0, nếu K - x0 là nón có đỉnh
tại O.
Định nghĩa 1.3.2: Nón K có đỉnh tại O đợc gọi là nón lồi
nếu K là tập lồi, có nghĩa là:
x, y K , , à > 0 x

+ ày K.

Nhận xét 1.3.1: Khi xét trong En.
Tập

K

n
E

thỏa
mãn:

a K ,t 0
t
V (a) K , với

V

là phép vị
tự

t
O

tâm O tỉ số k,
với O E n

O

đợc gọi là nón có đỉnh tại O.

Mệnh đề 1.3.1:
Ki (i I ) là các nón lồi có đỉnh tại O, với
Giả sử
I là tập chỉ số
bất kì. Khi

đó là nón lồi có đỉnh tại O.
Ki
iI

Định lí
1.3.1: Tập

K

X

là một nón lồi có đỉnh tại O khi và chỉ
khi

a,b K , 0 a + b K ,
a K .

Chứng
minh:

a) Giả sử K là nón lồi. Khi đó K là tập lồi và ta có c =

(a + b )

K.

1


2

Do K là nón lồi có đỉnh tại O, ta lại có: a + b = 2c K .
b)Ngợc lại, với

a K
a K . Vậy K là một
, > 0 , ta có nón có đỉnh
tại O.
Với 0 < < 1, a, b K , ta có: và (1 )a + b K
(1 )a K , b K
.

Khi = 0 hoặc = 1 ta vẫn có
(1 )a + b K . Vậy K là nón

lồi có đỉnh tại O.
K
Hệ quả

1.3.1: Tập
X

n


i =1

i

xi K.

là tập lồi
Nếu

x1,..., xn K
; 1 ,..., n 0

th
ì


Hệ quả 1.3.2: Giả sử A là tập bất kì thuộc X. Nếu
với a1,...,an A,1,...,n > 0
n

mà
i a i

thì K là nón lồi nhỏ nhất chứa A.

K
i =1

Định nghĩa 1.3.3: Ta gọi là nón lồi sinh bởi A là một tập hợp
là giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại O) chứa A và điểm
O. Kí hiệu là KA.
Mệnh đề 1.3.2:
a) KA = KcoA.
b) Nếu A là tập
lồi thì

K A = A =
A}.
0

{a

X : a = b, 0,b


Chơng 2: một số vấn đề của hình học tổ hợp
Một câu hỏi đợc đặt ra là nếu cho trớc một họ các hình
lồi thì khi nào họ hình lồi này khác rỗng ?
Trong không gian một chiều, câu hỏi này đợc trả lời
bằng việc chứng minh định lí sau:
2.1. Định lí Kelli trong không gian một chiều R1.
Định lí 2.1: Trên đờng thẳng cho n hình lồi (n 3).
Biết rằng giao của hai hình lồi bất kì trong chúng khác
rỗng. Khi đó giao của cả n hình lồi cũng khác rỗng.
Chứng minh:
Ta thấy hình lồi trên đờng thẳng chỉ có thể là
đoạn thẳng [a; b], khoảng (a;b), hay [a; b), (a; b] (ở đây a
có thể là -, còn b có thể là +).
Ta chỉ xét với các hình lồi là các đoạn thẳng, các trờng hợp còn lại chứng minh hoàn toàn tơng tự.
Giả sử có n đoạn thẳng [ai; bi], i = 1, n có tính chất
sau: Bất kì giao của hai đoạn thẳng nào trong chúng cũng
khác rỗng, tức là: [ai; bi] [ai; bi] ,
n

[ai , bi ]

i j. Ta sẽ chứng minh
i=1

.

Ta chứng minh bổ đề sau: [ai; bi][aj; bj]
min{bi;bj} max{ai; aj}
Thật vậy: giả sử [ai; bi][aj; bj] , khi đó c
[ai; bi] [aj; bj]
a c b


i
i


j c
a
j

hay max{a ; a } c min{b ; b }
i

j

i

j

§¶o l¹i, gi¶ sö max{ai; aj} ≤ min{bi; bj}. Khi ®ã
ta cã thÓ chän c sao cho max{ai; aj} ≤ c ≤ min{bi;
bj}

(1)

⇒ c ∈ [ai; bi]
⇒ c ∈ [aj; bj]

Tõ (1) suy ra ai ≤ c ≤ bi
a j ≤ c ≤ bj

⇒ [ai; bi] ∩ [aj; bj] ≠ ∅ . Bæ ®Ò ®îc chøng
minh.


Tõ bæ ®Ò trªn
suy ra

min bi
≥ max ai

(2)

1≤i≤n

1≤i≤n

Tõ

m
(2
i
)n
sb
ui
y≥
ra
c
tå
n≥
t¹i
cm
sa
ax
oai
c
h
o

1≤i≤n

(3)

1≤i
≤n
n

⇒
c

∈
[
ai
;
b
i]
,
∀
i
=
1,
n

h
a
y

[ai
;bi


]

tron



g

i=1

Định lí
Kelli trong
R1 đợc
chứng
minh.

F3
F4

chún

A

g

3

khác



rỗng.

2.2. Định lí Kelli
trong
không
gian hai chiều
R2.
Định lí 2.2: Trong

mặt phẳng cho n
hình lồi (n 4).
Biết rằng giao của
ba hình lồi bất kì
trong

chúng

khác

rỗng. Khi đó giao
của



n

hình

lồi

cũng khác rỗng.
Chứng minh:
Ta chứng minh
bằng quy nạp theo
số n các hình lồi.
1. Xét khi n 4.
Gọi F1, F2, F3, F4
là 4 hình lồi sao
cho giao của ba

hình lồi bất kì

Vì
F2

F3

F4



nê
n
tồn
tại
A1

F2

F3

F4.
Tơng
tự
tồn
tại:
A2

F1

F
1


F
2


F
4

A
4


F
1


F
2


F
3


Có hai trờng hợp xảy
ra:
a.Nếu bốn điểm A1,

A2, A3, A4 không

3

,
A

hoàn toàn khác

4

nhau. Khi đó
không giảm tính

c

tổng quát, giả sử

h

A1 A2.
Từ đó suy ra:
F1

F3

nên : F1

F4

A

í
A1
F2
F4
F2
F3

Vậy kết luận của
định lí Kelli
đúng khi n = 4.

n
h
l
à
t
ứ

b. A1, A2,
A3, A4 là

g

bốn

i

điểm

á

phân

c

biệt. Khi
đó có 2

l

khả

ồ

năng:

i

b1) Bao
lồi của
A1 , A2 ,

A
1

A

Do A1 F2 F3
F4 nên A1 F3
A2 F1 F3
F4 nên A2 F3
Vì F3 lồi, mà A1 F3, A2 F3 nên [A1,A2] F3. Do đó
O F3
Lập luận tơng tự suy ra O F1, O F2 , O F4
4

Nghĩa là O
i=1

4



Fi . Do đó
i=1

F

i



b2) Bao lồi của chúng là tam giác chứa một điểm còn
lại bên trong. Không giảm tính tổng quát ta có thể
giả sử A1A2A3 thuộc F4
Vì A1, A2, A3 đều thuộc
F4, mà F4 lồi. Mặt khác: A4

F1 F2 F3
4 F . Từ
i
A4
i=1
đó suy ra


4

F
i=1

i



Vậy định lí Kelli đúng khi n = 4.
2.Giả sử kết luận của định lí Kelli đúng đến n 4.
3. Xét trờng hợp có n + 1 hình lồi. tức là có n + 1 hình lồi F1,
F2,, Fn, Fn+1 sao cho với bất kì ba hình lồi nào trong chúng
đều có giao khác rỗng.
Xét các hình sau:


F 1 = F1


F 2 = F2
.

=F
Fn-1




n-1

Fn = Fn ∩ Fn+1

’

Râ rµng Fi lµ h×nh låi ∀i
= 1, n −1 (v× Fi

’

= Fi)

’

Fn còng lµ låi v× nã lµ giao cña hai h×nh låi Fn vµ Fn+1
’

’

’

’

’

’

XÐt 3 h×nh låi bÊt k× Fi , Fj , Fk trong n h×nh låi F1 , F2 ,…, Fn
’

NÕu trong chóng kh«ng cã Fn th× theo gi¶ thiÕt
i

∩
’
Fj ’ ∩’ = F ∩ F ∩ F ≠ ∅
F
i
j
k
Fk








Nếu trong chúng có Fn = Fn Fn+1. Khi đó, giả sử
Fk = Fn

Từ đó
= Fi Fj Fn Fn+1.
Fi
Fj Fk
Vì giao của 3 hình lồi trong các hình lồi Fi, Fj, Fn,
Fn+1 là khác rỗng (giả thiết) nên theo trờng hợp n = 4, ta
có Fi Fj Fn Fn+1






Vậy với hình lồi F1 , F2 ,
, Fn

thỏa mãn điều kiện giao của 3
hình lồi

bất kì
trong chúng khác rỗng
nên theo giả thiết quy nạp suy ra






F1 F2 Fn . Nghĩa là: F1 F2

Fn Fn+1 .
Vậy định lí Kelli đúng trong trờng hợp có n + 1 hình lồi.
Theo nguyên lí quy nạp suy ra định lí Kelli đúng với mọi
n 4.
Định lí Kelli đợc chứng minh.
2.3. Ví dụ:
Ví dụ 2.3.1: Cho bốn nửa mặt phẳng lấp đầy mặt phẳng.
Chứng minh rằng tồn tại ba nửa mặt phẳng trong bốn nửa
mặt phẳng ấy, sao cho chỉ riêng ba nửa mặt phẳng này
cũng lấp đầy mặt phẳng.
Giải:
Gọi P1, P2, P3, P4 là bốn nửa mặt phẳng. Từ giả thiết ta có:
P1 P2 2
P3 P4 =

(1)

Ta thấy Pi là lồi với mọi i = 1, 4
Từ (1) suy P1 P2 P3 P4 =
ra
25

(2)