Ứng dụng phần mềm Mathcad và Geogebra giải một số bài toán hình giải tích

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHẦN MỀM
MATHCAD VÀ GEOGEBRA
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH
GIẢI TÍCH

1
SKKN : ỨNG DỤNG PHẦN MỀM
MATHCAD VÀ GEOGEBRA
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH GIẢI TÍCH


PHẦN MỞ ĐẦU
I. Bối cảnh của đề tài :
Trong các năm học gần đây Bộ Giáo dục và Đào tạo đã phát động và khuyến
khích việc đổi mới phương pháp giảng dạy theo hướng phát huy tính tích cực của
học sinh, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy, do đó mỗi thầy cô
giáo cả nước đang cố gắng làm và phát huy việc ứng dụng công nghệ thông tin để hỗ
trợ cho việc dạy và học. Mỗi giáo viên cần ph
ảI có những biện pháp, phương tiện
thích hợp để cảI tiến việc dạy và học sao cho kết quả đạt được ngày càng nhiều hơn,
ít tốn thời gian hơn, và học sinh ham thích học tập hơn. Hoà vào xu thế đó , tôi cố
gắng ứng dụng công nghệ thông tin vào việc giải toán là nghiên cứu dùng các phần
mềm toán học Mathcad, GeoGebra để giải một số bài toán một cách tự động, tạo ra
các bài toán tương tự có th
ể dùng làm các đề trắc nghiệm khác nhau nhưng có chất

lượng như nhau, sáng tạo ra các bài toán mới dành cho thi đại học, thi học sinh giỏi,
thi máy tính bỏ túi …
II. Lý do chọn đề tài
- Bài toán hình giải tích có liên quan về đường phân giác, trung tuyến, đường
cao trong tam giác là một bài toán thường gặp trong các kì thi đại học, thi học sinh
giỏi máy tính bỏ túi thường được cho với nhiều dạng khác nhau . Học sinh đã
được trang bị kiến thức về phương trình đường thẳng từ lớp 10 nhưng đến lớp 12 thì
đã quên khá nhiều và các em rất lúng túng trong cách giải quyết và thậm chí là mất
khá nhiều thời gian vẫn không giải quyết được.
- Trong sáng kiến kinh nghiệ
m này tôi xin đóng góp một số bài toán và
phương pháp giải quyết các bài toán hình giải tích có liên quan đến đường phân giác
trong tam giác; sử dụng phần mềm Mathcad để tạo ra các bài tập tương tự cho học
sinh luyện tập, dùng phần GeoGebra để kiểm chứng, từ đó nâng cao được khả năng
giải quyết các bài toán thuộc dạng này.
III. Phạm vi và đối tượng của đề tài :
Đối tượng nghiên cứu của tôi là một số bài toán và phương pháp giải quyết
các bài toán hình giải tích có liên quan đến đường phân giác trong tam giác, đường
phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng, đường phân giác của góc nhọn, góc tù và
vận dụng giải toán hình giải tích phẳng ở đề thi đại học. Đề tài được áp dụng cho các
học sinh lớp 10, lớp12 luyện thi đại học.
IV. Mục đích nghiên cứu :
- Góp phần giải quyết một số các bài toán hình giải tích có liên quan đến
đường phân giác trong tam giác, đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng,
đường phân giác của góc nhọn, góc tù và vận dụng giải toán hình giải tích phẳng ở
đề thi đại học; sử dụng phần mềm Mathcad, GeoGebra để tạo ra các bài tập tương tự

2
cho học sinh luyện tập từ đó nâng cao được khả năng giải quyết các bài toán thuộc
dạng này trong các đề thi Đại học.

- Đề tài cũng quan tâm đến vấn đề tạo bài tập tương tự bằng các phép biến
hình. Việc này cũng rất cần thiết cho giáo viên tự tạo ra các bài toán có độ khó
tương đương nhằm tạo nguồn bài tập cho học sinh thực hành, tạo thư viện bài
toán cho học sinh ki
ểm tra trắc nghiệm với các bài toán tương đương . Việc này
giúp giáo viên hạn chế được sự sao chép bài làm kiểm tra lẫn nhau giữa các học
sinh , góp phần phản ánh đúng trình độ học sinh hơn
V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu :
- Ứng dụng được phần mềm Mathcad, GeoGebra để giải quyết bài toán hình
học giải tích nói chung và lớp bài toán về đường phân giác, trung tuyến, đường cao
trong tam giác trong tam giác nói riêng đối với một số bài toán thi đại học, thi học
sinh giỏi máy tính cầm tay.
-Ứng dụng được phần mềm Mathcad , GeoGebra sáng tạo được các bài toán
mới, nhanh chóng, hiệu quả và cho kết quả chính xác.

PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ :
I.1.Thực trạng của vấn đề : Xin nêu ra một số bài toán hình giải tích
có liên quan đến đường phân giác trong tam giác trong một số đề thi đại học :
Bài 1 :
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy,
cho biết đỉnh C(4;3), đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một
đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là :
x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0 .
(Trích đề thi đại học Huế 2001)
Bài 2 :
Trong mặt phẳng cho ba điểm A(-1;7), B(4; -3), C(- 4;1).
Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
( Trích đề thi đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 2001)
Bài 3 :

Cho tam giác ABC có A(2; -1) và các đường phân giác trong
góc B và C lần lượt có phương trình : x – 2y +1 = 0; x+y + 3 = 0. Tìm
phương trình đường thẳng BC .
(
Trích đề thi Học viện Quan hệ Quốc tế – 2000)

Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn
22
4
():( 2)
5
−+=Cx y

và hai đường thẳng
1: 7 0Δ−=xy , 2: 0
Δ
−=xy .Xác định toạ độ tâm K và tính
bán kính đường tròn
1
()C
; biết đường tròn
1
()C
tiếp xúc với các đường
1
Δ
,
2
Δ

và có tâm K thuộc đường tròn
()C
.
( Trích đề thi đại học khối B 2009)
Bài 5 :
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A,
có đỉnh C(− 4; 1), phân giác trong góc A có phương trình
x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam
giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
(Trích đề thi ĐH khối B _2010)

3
Thc t ging dy nu giỏo viờn khụng ụn tp cho hc sinh mt cỏch cú h
thng cỏc kin thc v phng trỡnh ng thng lp 10 thỡ cỏc em s khụng gii
c nhng bi toỏn dng trờn. Nhng bi toỏn ny phi vn dng linh hot cỏc kin
thc ó hc lp 10 m a s hc sinh lp 12 ó quờn hoc ch nh m h . Do ú
vic dnh thi gian nh
t nh ụn tp cho cỏc em l rt cn thit.

I.2.C s lý lun :

Hc sinh cn ụn tp li cỏc kin thc v phng trỡnh ng thng trong mt phng
v mt s kin thc sau :
a) Tớnh cht ca ng phõn giỏc trong tam giỏc :


AD laứ phaõn giaực trong, AE laứ phaõn giaực ngoaứi goực A ca tam giỏc ABC thỡ


== =

J
JJG JJJG JJJGJJJG
;
DB AB EB AB AB
D
BDCEBEC
DC AC EC AC AC



b) Tớnh cht ca phộp i xng qua ng phõn giỏc:

Nu im M nm trờn ng thng AC , gi M l im i xng ca M qua phõn
giỏc AD hoc AE thỡ M phi thuc v ng thng AB.


c) Phng trỡnh cỏc ng phõn giỏc ca mt gúc :

Trong mp Oxy cho hai ng thng d1 v d2 cú phng trỡnh :

111 222
1: 0 ; 1: 0daxbyc daxbyc++= ++=
ct nhau thỡ phng trỡnh cỏc
ng phõn giỏc ca gúc to bi d1 v d2 l :

111222
22 22
11 2 2

ax by c ax by c
ab ab
++ ++
=
++

d) V trớ tng i ca hai im i vi mt ng thng :
Trong mp Oxy cho ng thng
:0dax byc
+
+=
v hai im
(;),(;)
M
MNN
Mx y Nx y
.
M v N nm khỏc phớa i vi d


().()0
MM NN
ax by c ax by c
+
+++<

M v N nm cựng phớa i vi d


().()0

MM NN
ax by c ax by c
+
+++>

III. Cỏc bin phỏp tin hnh gii quyt vn :

4
III.1 Các bước tiến hành :
• Đối với bài toán phải xác định chân đường phân giác :
Trong mp Oxy cho tam giác ABC đã biết tọa độ A, B, C
.
Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC
Ta có thể tìm tọa độ điểm D từ công thức :

=−
JJJG JJJG
AB
D
BDC
AC

Gọi E là chân đường phân giác ngoài kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC
Ta có thể tìm tọa độ điểm E từ công thức :

=
JJJGJJJG
AB
E
BEC

AC

• Tìm phương trình đường phân giác góc tạo bởi hai đường thẳng :

Một số trường hợp :
• Xác định phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
12
,ΔΔ
:
Dùng công thức
111222
22 22
11 2 2
ax by c ax by c
ab ab
+
+++
=±
++

ta tìm được phương trình hai đường phân giác là d1 và d2.
• Xác định phân giác góc nhọn, phân giác góc tù của góc tạo bởi hai
đường thẳng
12
,ΔΔ
: có nhiều phương pháp , ở đây chỉ nêu một phương
pháp chẳng hạn : ta tìm phương trình hai đường phân giác là d1 và d2
sau đó tính số đo góc giữa
1
Δ

và d1; nếu số đo này nhỏ hơn
0
45
thì d1 là
phân giác góc nhọn ; nếu số đo này lớn hơn
0
45 thì d1 là phân giác góc tù
.

Ngoài ra cũng có thể dùng véc tơ đơn vị để tìm phương trình
phân giác góc nhọn hay tù của góc tạo bởi 2 đường thẳng :

Giả sử
12
,ΔΔ
cắt nhau tại A, trên
12
,
Δ
Δ
ta lấy các véc tơ đơn vị ,
A
BAC
JJJGJJJG


5
Sau đó dựng hình thoi ABDC thì
A
D

J
JJG
là véc tơ chỉ phương của đường phân
giác trong d1 ( nếu
.0AB AC >
JJJG JJJG
thì góc
n
B
AC là góc nhọn ), còn
CB
JJJG
là véc tơ
chỉ phương của đường phân giác d2.
Từ đó viết được phương trình của d1 và d2.
• Đối với bài toán phải xác định phương trình đường tròn nội tiếp
tam giác :
Cách 1
: có thể tìm phương trình phân giác trong AD, phương
trình phân giác trong BK của tam giác ABC , tâm đường tròn nội
tiếp là giao điểm của AD và BK. Bán kính đường tròn nội tiếp là
khoảng cách từ I đến BC.

Cách 2:
có thể tìm tọa độ điểm D, gọi I là tâm đường tròn nội
tiếp thì I là chân đường phân giác trong kẻ từ B của tam giác
ABD nên ta có

=−
J

JG J JG
BD
DA
I
I
BA

từ đây suy ra tọa độ điểm I.
• Đối với bài toán phải xác định tọa độ đỉnh hoặc phương trình cạnh
của tam giác:
Sử dụng tính chất của phép đối xứng qua đường phân giác: chẳng hạn
nếu điểm M nằm trên đường thẳng AC , gọi M’ là điểm đối xứng của M qua phân
giác AD hoặc AE thì M’ phải thuộc về đường thẳng AB; từ đó kết hợp với các giả
thiết còn lại của bài toán như đường trung tuyến, đường cao, diện tích, trọng tâm,
chân đường cao , để tìm ra các đỉnh hoặc các cạnh mà đề bài yêu cầu.
III.2 Các ví dụ minh họa :
Vấn đề 1 : Tìm toạ độ chân đường phân giác trong và ngoài
góc A của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy
Đầu tiên ta lập hàm tìm tọa độ điểm M chia đoạn AB ( đã biết tọa độ A, B) như sau :




6
Bài 1 :
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(2;4),
B(1; 3), C(5; 1) . Tìm toạ độ điểm D và điểm E chân đường phân giác trong và ngoài
góc A của tam giác ABC. Tìm phương trình phân giác trong AD và phân giác ngoài
AE.
Phương pháp giải như đã nêu ở phần trên.

Bây giờ ta dùng phần mềm Mathcad để giải bài toán.





7

Ta có thể dùng phép tịnh tiến và đối xứng để biến đổi số liệu của bài toán ban đầu thành
bài toán khác có độ khó ngang bằng với bài toán ban đầu. Cách làm này cho ta tạo ra nhiều
bài tập trắc nghiệm với kết quả tương tự giúp giáo viên tạo nhiều đề khác nhau có chất
lượng ngang nhau.


Bài 2 :
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(0;5), B(-1; 4),
C(3; 2) . Tìm toạ độ điểm D và điểm E chân đường phân giác trong và ngoài góc A
của tam giác ABC. Tìm phương trình phân giác trong AD và phân giác ngoài AE.


Có thể kiểm tra lại kết quả bằng GeoGebra bằng cách nhập toạ độ A, B, C . Dùng
công cụ vẽ đường phân giác ta có kết quả như sau :



Tương tự ta có các bài toán sau :

8
Bài 3 :

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(
3
2
;3), B(
1
2
; 2),
C(
9
2
; 0) . Tìm toạ độ điểm D và điểm E chân đường phân giác trong và ngoài góc A
của tam giác ABC. Tìm phương trình phân giác trong AD và phân giác ngoài AE.



2) Sau đây ta thay đổi các giá trị nhập vào một cách ngẫu nhiên, kết quả đa phần là số có
chứa căn nhưng Mathcad vẫn tính ra kết quả chính xác, các bài toán này thường dùng cho
thi máy tính bỏ túi lấy kết quả gần đúng :
Bài 4 :





9

Kiểm tra kết quả bằng phần mềm vẽ đồ thị GeoGebra như sau :

10
Vaán ñeà 2 : Tìm phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù

Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng 1, 2ΔΔ có
phương trình 3x +4y +5 = 0, 4x+3y + 3 = 0. Tìm phương trình các đường phân giác
của góc tạo bởi
1, 2ΔΔ
. Chỉ rõ phương trình phân giác góc nhọn.

Ta giải kết hợp với Mathcad như sau :





Trên hình vẽ ta thấy d1 là phân giác góc tù, d2 là phân giác góc nhọn.

Thay đổi a1, b1, c1, a2, b2, c2 ta có kết quả do Mathcad giải ra như sau :



11
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng 1, 2ΔΔ có
phương trình 2x - y +1 = 0, 2x - 4y + 3 = 0. Tìm phương trình các đường phân giác
của góc tạo bởi 1, 2ΔΔ. Chỉ rõ phương trình phân giác góc nhọn.

Tương tự ta có đề toán và kết quả :


Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng
1, 2ΔΔ
có
phương trình x + 3y +3 = 0, y +1 = 0. Tìm phương trình các đường phân giác của
góc tạo bởi 1, 2ΔΔ. Chỉ rõ phương trình phân giác góc nhọn.

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng 1, 2ΔΔ có
phương trình 4x +3y + 2 = 0, 6x +8y + 1 = 0. Tìm phương trình các đường phân
giác của góc tạo bởi 1, 2ΔΔ. Chỉ rõ phương trình phân giác góc nhọn.

Mở rộng bài toán trong không gian :
Baøi 1 :
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho tam giác ABC có A(0; -7; -2),
B(5; 3; -2), C(-3; -1; -2). Tìm toạ độ điểm D và điểm E chân đường phân giác trong
và ngoài góc A của tam giác ABC.
Ta lập kịch bản giải bài toán như sau trên Mathcad :

12


Tương tự ta có các bài tập và kết quả như sau :
Bài 2 :
với toạ độ A,B,C ta có toạ độ điểm D và E tương ứng

Với bài toán này ta dùng phép tịnh tiến và đối xứng tâm để tạo đề toán
mới
Bài 3 :

13
Bài 4 :

Xác định rõ phân giác góc nhọn, góc tù
Baøi 1 :
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng cắt nhau có phương
trình :

12
12
2
332
1: 1 4 2: 5
112
xt x t
dy t d y t
zzt
==+
⎧⎧
⎪⎪
=− − =− −
⎨⎨
⎪⎪
==+
⎩⎩

Tìm phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù tạo bởi d1 và d2.


Ta dựng hình thoi có 2 cạnh là 2 véc tơ đơn vị trên , véc tơ tổng của 2 véc tơ đơn vị trên
chính là véc tơ chỉ phương của một đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2; véc tơ hiệu
của 2 véc tơđơn vị trên chính là véc tơchỉ phương của một đường phân giác của góc tạo
bởi d1 và d2;



14


Kết quả :
PT phân giác góc nhọn :
319
517
110
xm
ym
zm
=+
⎧
⎪
=− −
⎨
⎪
=+
⎩

PT phân giác góc tù :
3
57
110
xn
yn
zn
=−
⎧
⎪
=− −
⎨
⎪
=−
⎩


Baøi 2 :
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng cắt nhau có phương
trình :

12
12
2
23 52
1: 1 4 2: 5
222
xt xt
dy t d y t
zzt

=+ =+
⎧⎧
⎪⎪
=+ =+
⎨⎨
⎪⎪
==+
⎩⎩

Tìm phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù tạo bởi d1 và d2.

PT phân giác góc nhọn :
519
517
210
xm
ym
zm
=+
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=+
⎩
PT phân giác góc tù :
5
57
210

xn
yn
zn
=−
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=−
⎩

Vaán ñeà 3 : Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
Phương pháp giải có 2 cách đã trình bày ở phần trên, bây giờ sẽ sử dụng cách 2 để giải .
Cách 2: tìm tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong
AD của tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp thì I
là chân đường phân giác trong kẻ từ B của tam giác ABD nên
ta có

=−
JJG JJG
BD
DA
I
I
BA

từ đây suy ra tọa độ điểm I và bán kính r .

15

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(2;6),
B(-3;-4), C(5;0) . Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta lập kịch bản sau để giải bài toán :






Ta dùng phép tịnh tiến và đối xứng tâm để tạo bài toán tương tự :

Ta có bài toán :
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(0;4),
B(-5;-6), C(3;-2) . Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Kết quả :



16
Ta có bài toán :
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(2;-2),
B(7;8), C(-1;4) . Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Kết quả :





Với phép đối xứng trục qua đường thẳng x – y - 7 = 0 .Ta có bài toán :
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(11;-7),

B(1;-12), C(5;-4) . Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Kết quả :
22
(6)(7)5xy−++=


Với phép đối xứng trục qua đường thẳng x + y - 4 = 0 . Ta có bài toán :
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(0;4),
B(10; 9), C(6; 1) . Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Kết quả :
22
(5)(4)5xy−+−=

Ta xét bài toán tương tự là cho phương trình 3 cạnh của tam giác, hãy
tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác .
Bài 1:
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác có phương trình 3 cạnh
là
1: 3 4 6 0xyΔ+−=
,
2:4 3 1 0xyΔ+−=
,
3: 0y
Δ
=
. Tìm phương trình đường tròn nội
tiếp tam giác ABC.

17

Bài tập tương tự :
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác có phương trình 3 cạnh
là 1:3410xyΔ−+=, 2: 4 3 6 0xy
Δ
+−=, 3: 0x
Δ
= . Tìm phương trình đường tròn nội
tiếp tam giác ABC.

Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác có phương trình 3 cạnh
là
1: 1 0Δ++=xy
,
2: 7 0Δ+=xy
,
3: 0
Δ
−=xy
. Tìm phương trình đường tròn nội tiếp
tam giác ABC.






18

Bài toán ngược :
Ở phần trên cho 3 đường thẳng tạo thành tam giác, yêu cầu tìm phương trình
đường tròn nội tiếp. Bây giờ ta xét ngược lại , cho đường tròn tiếp xúc với 2 đường
thẳng còn tâm của nó lại thuộc về một đường thẳng hoặc một đường tròn.
a) Tâm thuộc đường thẳng :
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho ba đường thẳng có phương trình
1: 2 1 0Δ++=xy , 2: 2 0Δ+=xy , 3: 2 1 0Δ−+=xy . Tìm phương trình đường tròn tiếp xúc
với
1Δ
,
2Δ
và có tâm thuộc
3Δ
.










Thử lại bằng GeoGebra

19

Kết quả hoà toàn chính xác.
Ta có bài tập tương tự

Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho ba đường thẳng có phương trình
1: 2 3 0Δ−+=xy , 2:2 1 0Δ−+=xy , 3: 2 3 1 0
Δ
−+=xy . Tìm phương trình đường tròn tiếp
xúc với
1Δ
,
2Δ
và có tâm thuộc
3Δ
.

Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho ba đường thẳng có phương trình
1: 4 1 0Δ++=xy , 2: 4 2 0Δ++=xy , 3: 0
Δ
+=xy . Tìm phương trình đường tròn tiếp xúc
với
1Δ
,
2Δ
và có tâm thuộc
3Δ
.

b) Tâm thuộc đường tròn :

Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) :
22
4
(2)

5
−+=xy
và hai
đường thẳng
1: 7 0Δ−=xy
,
2: 0Δ−=xy
.Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính đường
tròn
1
()C
; biết đường tròn
1
()C
tiếp xúc với các đường
1
Δ
,
2
Δ
và có tâm K thuộc đường
tròn ()C .
( Trích đề thi đại học khối B 2009 )
Ta lập kịch bản giải bài toán như sau :

20



Hệ vô nghiệm.

Vậy đường tròn (C1) có phương trình như trên.

Bài tương tự :
Bài 5 :
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) :
22
82150+−−+=xy xy
và hai đường thẳng 1: 2 1 0Δ++=xy , 2:2 0
Δ
+=xy .Xác định toạ độ tâm K và tính bán
kính đường tròn
1
()C
; biết đường tròn
1
()C
tiếp xúc với các đường
1
Δ
,
2Δ
và có tâm K
thuộc đường tròn
()C
.

Bài 6 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) :
22
12 4 32 0+− −+=xy xy

và hai đường thẳng 1: 2 3 0Δ+=xy , 2:3 2 0
Δ
+=xy .Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính
đường tròn
1
()C
; biết đường tròn
1
()C
tiếp xúc với các đường
1
Δ
,
2
Δ
và có tâm K thuộc
đường tròn ()C .




21
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) :
22
16 4 48 0
+
−−+=xy xy
và hai đường thẳng 1: 2 3 0Δ+=xy , 2:3 2 0
Δ

+=xy .Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính
đường tròn
1
()C
; biết đường tròn
1
()C
tiếp xúc với các đường 1
Δ
, 2
Δ
và có tâm K thuộc
đường tròn ()C .


Bài toán vận dụng :
Các bài toán sau đòi hỏi học sinh phải vận dụng các kiến thức về đường
thẳng, đường tròn ở mức cao mới có thể giải quyết được, đó là các bài toán
thi đại học .

Bài 1
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4;1), phân giác
trong góc A có phương trình
50+−=xy
. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện
tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
( Trích đề thi đại học khối B 2010
Phương pháp giải thể hiện qua phần chương trình Mathcad sau :

22


Phương trình đường thẳng BC là : 3x – 4y +16 = 0
Bài 2
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-2,1),phân giác
trong góc A có phương trình
50+−=xy
. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện
tích tam giác ABC bằng 9 và đỉnh A có hoành độ dương.
Phương trình đường thẳng BC là : x-2y+4 = 0
Bài 3
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-3; 1) ,phân giác
trong góc A có phương trình 20+−=xy . Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện
tích tam giác ABC bằng 21 là đỉnh A có hoành độ dương.
Phương trình đường thẳng BC là : 21x -8y +71 = 0
Bài 4
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy, cho biết đỉnh B(4;3),
đường phân giác trong AD và đường trung tuyến CM của tam giác có phương trình lần lượt
là : x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0 .
( Đề thi đại học Huế 2001)
Ta lập chương trình giải như sau :




23

Bài tập tương tự
Bài 5
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy, cho biết đỉnh B(0;-2),
đường phân giác trong AD và đường trung tuyến CM của tam giác có phương trình lần lượt
là : x –y+1 = 0 và x+y = 0 .
Kết quả :

Bài 6
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy, cho biết đỉnh B(1;-1),
đường phân giác trong AD và đường trung tuyến CM của tam giác có phương trình lần lượt
là : x – 2y = 0 và x - y +1 = 0 .
Kết quả :

Bài 7
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy, cho biết đỉnh B(3;0),
đường phân giác trong AD và đường trung tuyến CM của tam giác có phương trình lần lượt
là : 3 x +y +1 = 0 và x +2y = 0 .
Kết quả :



24
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm :
- Qua thực tế giảng dạy , nếu học sinh được ôn tập các kiến thức
về phương trình đường thẳng, đường tròn, phương trình các
đường phân giác có hệ thống như trên thì các em làm tốt và
đúng hơn bài hình giải tích phẳng có liên quan đến các kiến thức

trên .
- Khi đã thông hiểu các em vận dụng ngày càng linh hoạt, sáng
tạo các kiến thức trên để giải quyết được nhiều bài toán về
đường thẳng, đường tròn trong các đề thi
đại học.
- Giữa 2 lớp 12A có ôn tập kỹ theo hệ thống trên và lớp 12H cho
học sinh tự ôn tập, hệ thống cách giải thì nhiều học sinh lớp 12H
không định hướng được cách giải quyết bài toán , hoặc có lời
giải quá dài dòng, phức tạp, mất nhiều thời gian.



PHẦN KẾT LUẬN
I. Những bài học kinh nghiệm :

- Sử dụng phần mềm MATHCAD hỗ trợ nghiên cứu giải và sáng
tạo bài toán mới rất nhanh chóng và chính xác. Tính chính xác và hiệu
quả cao hơn gấp nhiều lần khi sử dụng phần mềm Mathcad hỗ trợ để
tính toán và tạo lập bài toán tương tự. Với MATHCAD giáo viên sau khi
đã lập trình giải bài toán trên Mathcad xong thì kết quả có ngay lập tức.
Chỉ cần thay đổi số liệu ban đầ
u là giáo viên có ngay bài toán tương tự
với kết quả tức thì và rất chính xác vì vậy tạo được niều bài tập cho học
sinh thực tập.
II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm :
Sáng kiến kinh nghiệm góp thêm một phần thiết thực vào việc ôn
thi đại học của học sinh. Nó giúp học sinh thấy được cách giải quyết vấn
đề nhanh chóng và hiệu quả khi đã nắm vững phương pháp.
III. Khả năng ứng dụ
ng, triển khai :

Có thể áp dụng cho các học sinh khối 10, khối 12 luyện thi đại
học, các lớp 10, 12 chuyên toán thi học sinh giỏi các cấp.
IV. Những kiến nghị và đề xuất :
• Cần phổ biến phần mềm Mathcad sâu rộng để giáo viên có thêm
công cụ hỗ trợ giảng dạy.
• Để học sinh tiếp cận được đề thi Đại học và giải được chúng, cần tổ
chức ôn tập s
ớm các chuyên đề có nội dung tương tự như trên.