Vectơ trong mặt phẳng và các bài toán

Khóa luận tốt nghiệp đại học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

-------------------VŨ THỊ VUI

[

VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG
VÀ CÁC BÀI TOÁN
• BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
• BÀI TOÁN ĐỊNH LƯỢNG
• BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
GV. BÙI VĂN BÌNH

HÀ NỘI - 2012

SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

1


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã động
viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Văn Bình đã tạo điều
kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong
khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, Ngày 10 tháng 5 năm 2012
Sinh viên
VŨ THỊ VUI


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy
giáo Bùi Văn Bình cùng với sự cố gắng của bản thân em. Trong quá trình
nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học,
các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên
cứu của bản thân em, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, Ngày 10 tháng 5 năm 2012
Sinh viên
VŨ THỊ VUI


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Bài toán “Tìm tập hợp điểm” hay “Bài toán quỹ tích” là bài toán rất hay
gặp trong các đề thi học sinh giỏi hay thi tuyển vào các trường chuyên, trường
ĐH, CĐ,…một đề tài đã làm say mê bao người, góp phần không nhỏ làm cho
người học yêu thích môn hình học hơn.
Không thể nào phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng của bài toán quỹ tích
trong việc rèn luyện tư duy toán học nói riêng và đối với việc rèn luyện tư duy
linh hoạt nói chung, một phẩm chất cần thiết cho các hoạt động sáng tạo của
con người. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với học sinh trong việc tiếp
nhận các kiến thức và phương pháp, càng khó hơn trong việc vận dụng các
kiến thức và phương pháp ấy trong việc giải bài tập.
Có rất nhiều phương pháp để giải một bài toán hình học trong đó
phương pháp vectơ là phương pháp có hiệu quả. Nó cho ta lời giải một cách
chính xác tránh được những yếu tố trực quan, các suy diễn phức tạp của
phương pháp tổng hợp và là phương tiện hiệu quả để giải các bài toán hình
học.
Xuất phát từ sự say mê của mình và được sự giúp đỡ tận tình của thầy
Bùi Văn Bình em đã chọ đề tài:
“Vectơ trong mặt phẳng và các bài toán”
Khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1. Kiến thức cơ bản về vectơ.
Chương 2. Phương pháp vectơ để giải bài toán quỹ tích.
Chương 3. Sử dụng tích vô hướng giải các bài toán định lượng-định


tính.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Đưa ra hệ thống lý thuyết phù hợp, một số dạng toán thường gặp thông
qua phương pháp chung và các ví dụ minh họa. Giúp học sinh bước đầu thấy
được tầm quan trọng của những ứng dụng của vectơ trong giải toán, coi đây là
một công cụ mới nhằm giải toán một cách có hiệu quả hơn.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Với khuôn khổ, phạm vi của khóa luận, tác giả tập trung đi sâu tìm hiểu
về phương pháp vectơ để giải bài toán quỹ tích và sử dụng tích vô hướng giải
các bài toán định lượng- định tính.


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ
1.1. VECTƠ
1.1.1. Định nghĩa
Cho đoạn thẳng AB . Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm
điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B . Khi đó ta nói AB là một
đoạn thẳng có hướng.
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng


Vectơ có điểm đầu A , điểm cuối B được kí hiệu là AB và đọc là
“vectơ AB ”.

B
A

 

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như AA , BB ,… được gọi
là vectơ-không.
1.1.2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là
giá của vectơ đó.
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc

trùng nhau.



được gọi là cùng hướng, nếu chiều
Hai vectơ cùng phương AB và


CD


từ A đến B trùng với chiều từ C đến D . Kí hiệu AB ↑↑ CD .


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Hai vectơ cùng phương AB
và
RS

 được gọi là ngược hướng, nếu




chiều từ A đến B ngược với chiều từ R đến S . Kí hiệu AB ↑↓ RS .
Như vậy, nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc
ngược hướng.
B
A

R
S
D

C
Chú ý :
+ Ta quy ước rằng vectơ-không cùng hướng với mọi vectơ.
+ Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba khác vectơ-không thì
cùng hướng.
+ Ta chỉ có thể nói hai vectơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi
đã có hai vectơ đó cùng phương.
1.1.3. Độ dài của vectơ
Mỗi vectơ đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm


cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ AB được kí hiệu là AB .
 
Như vậy, đối với vectơ AB , PQ ,… ta có:


AB = AB = BA , PQ = PQ = QP ,…
Theo đó, độ dài của vectơ-không bằng 0.


Khóa luận tốt nghiệp đại học
1.1.4 Hai vectơ bằng nhau
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài

Nếu hai vectơ
AB



 

và
bằng nhau thì ta viết AB = CD .
CD

Chú ý:
+ Quan hệ bằng nhau giữa hai vectơ là một quan hệ tương đương trên
tập các vectơ. Tập hợp các vectơ bằng nhau tạo thành một lớp tương đương
 
và được kí hiệu bằng một chữ cái thường và có mũi tên trên đầu như: a , b ,…

+ Mọi vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0 .

+ Khi cho trước vectơ và điểm O , thì ta luôn tìm được một điểm A
a
 
duy nhất sao cho OA = a .
1.1.5. Góc giữa hai vectơ



Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Từ
 
 

vectơ OA
và OB = b . Khi đó A□OB
0
=a
góc
0


gọi là góc giữa hai vectơ a và b .


Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a
và b là:

một điểm O nào đó, ta vẽ các
với số đo từ

0
đến 180 được



( a,b ) .

A

O

Nếu a,b

( )=

0

90

 
 
a
hoặc b ⊥ a
⊥ .
b


thì ta nói rằng a

B

và vuông góc với nhau, kí hiệu là
b


Nhận xét :
+ 



⇔

a và b cùng hướng.

( a,b) =
0

0



( ) = 180

+ a,b

⇔ a




0

và
b

ngược hướng.


1.2. Các phép toán vectơ
1.2.1. Phép cộng vectơ
1.2.1.1. Định nghĩa




Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm
   

B và C sao cho AB = a , BC = b . Khi đó vectơ AC được gọi là tổng
của hai


vectơ a và b   
.
Kí hiệu : AC = a + b
Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng hai vectơ.

a

B

b

A
Chú ý :

C




+ Nếu tổng của hai vectơ
và là vec tơ không thì ta nói là vectơ
a

b
a



đối của b hoặc b là vectơ đối của a .


Vectơ đối của vectơ a được kí hiệu là −a .


+ Vectơ đối của vectơ a là vectơ ngược hướng với vectơ a và có cùng



độ dài với vectơ a . Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0 .
1.2.1.2. Các tính chất
  
Với ba vectơ a , b , tùy ý ta có:
   
c
1. Tính chất giao hoán : a + b = b + a


   
 
2. Tính chất kết hợp : a + b + c = a + b + c

(

)
)

(


   

3. Tính chất của
a vectơ không : a + 0 = 0 + a
1.2.1.3. Các quy tắc cần nhớ
Từ định nghĩa tổng của hai vectơ ta suy ra hai quy tắc sau đây :

a. Quy tắc ba điểm
b
  
Với ba điểm bất kì M , N , P ta có : MN + NP = MP
M
N
b. Quy tắc hình bình hành

 

P



Nếu OABC là hình bình hành thì ta có: OA + OC = OB
O

A

B

C
1.2.2. Hiệu của hai vectơ
1.2.2.1. Định nghĩa




 

Hiệu của hai vectơ
và b , kí hiệu a
là tổng của vectơ a và
a
−b
  


vectơ đối của vectơ b , tức là : a − b = a
+ −b .

(

Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ

b


a
SVTH : Vũ Thị Vui
Lớp : k34 cử nhân Toán

 
ab


a

b
14


1.2.2.2. Quy tắc về hiệu hai vectơ

Nếu MN là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kỳ, ta luôn có :
  
MN = ON − OM .
1.2.3. Tích của một vectơ với một số
1.2.3.1. Định nghĩa
a

Tích của vectơ




với số thực k là một vectơ, kí hiệu là : ka được xác

định như sau :


k ≥ 0 thì vectơ cùng hướng với vectơ a .

ka
Nếu
 ngược hướng với vectơ a .
k < 0 thì vectơ
ka
 bằng

2. Độ dài
k.a
ka

1. Nếu

Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một
số (hoặc phép nhân số với vectơ).
1.2.3.2. Các tính chất của phép nhân vectơ với số
 
Với hai vectơ bất kỳ a , b và mọi số thực k,l ta có :


1) k l.a = (kl ).a




2) (k + l a = ka + la
 


 



( )
(

)

(

)

3) k a + b = ka + kb , k a − b = ka − kb
 
1.3.1. Định nghĩa
4) ka = 0 khi và chỉ khi k
= 0 hoặc
1.3. Tích vô hướng của hai vectơ






a= 0




Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác
  

định bởi : a.b = a . b .cos a,b

(

Lưu ý :




a.b
+ Công thức tính góc giữa hai vectơ : cos a,b =
a.b

( )

(

+ Biểu thức tích vô hướng của1hai vectơ còn được viết dưới dạng sau :
2
- Dạng độ dài : a.b =
a
+ b 2 − a2
− b hay


)

  

2

 
 
a.b = a + 2 b − a2 − b
14

(

- Dạng tọa độ : Trong hệ tọa độ đêcac vuông góc Oxy cho vectơ



a ( x, y ) và b ( x′, y ′ ) . Khi đó : a.b = x.x′ + y.y′
   


′
′
- Dạng hình chiếu : a.b = a.b , trong đó b là hình chiếu trên
của b

đường thẳng chứa vectơ a .
1.3.2. Tính chất của tích vô hướng
  

Với ba vectơ a , b , tùy ý và mọi số thực k , ta có :
 
c
1) Tính chất giao hoán : a.b = b.a

 
2) a.b = 0
⇔ a⊥ b
  

 
3) ka b = a

( )
( kb ) = k (a.b)

(







)

4) Tính chất phân phối đối với phép cộng : a b + c = a.b + a.c
 
  
Tính chất phân phối đối với phép trừ : a b − c = a.b − a.c

(

1.4. Định lí



  

+ Cho ba vectơ a , b , trong mặt phẳng ( không cùng phương với



c
a


b ) khi đó ta luôn tìm được cặp số thực m , n duy nhất sao cho : c = na
+ mb
1.5. Một số bài toán cơ bản Bài
toán 1.
1) Gọi M là trung điểm đoạn thẳng

AB . Chứng minh rằng


  
MA + MB = 0 .
2) Chứng minh rằng điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB khi và chỉ
 


khi với điểm M bất kỳ, ta có MA + MB =
2MI .
Chứng minh
   
1. Theo quy tắc ba điểm, ta có MA + AM = MM = 0 . Mặt khác, vì M
  là trung
điểm của AB nên AM = MB . Vậy
  
MA + MB = 0
2. Với điểm M bất kỳ, ta có :
  
MA = MI + IA
  
MB = MI + IB
 
  
Như vậy MA + MB = 2MI
+ IA + IB .

 



Ta biết rằng I là trung điểm của AB khi và chỉ khi IA + IB = 0 . Từ
đó suy
ra điều phải chứng minh.
Bài toán 2.
1) Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi
   

GA + GB + GC = 0 .
2) Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta luôn có:
  

GA + GB + GC = 3GO .
Chứng minh


A

G
C

B
I
D

1. Trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trung tuyến AI . Lấy D là
điểm đối xứng với G qua I . Khi đó BGCD là hình bình hành và G là trung
  
  
điểm của đoạn thẳng AD . Suy ra GB + GC và GA + GD = 0 . Ta
= GD có :
     
GA + GB + GC = GA + GD = 0 .
   
Ngược lại, giả sử GA + GB + GC = 0 . Vẽ hình bình hành
BGCD có I
  
là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó GB + GC = GD , suy

ra
  
GA + GD nên G là trung điểm đoạn thẳng AD . Do đó ba điểm A , G , I
= 0
thẳng hàng GA = 2GI , điểm G nằm giữa A và
I . Vậy trọng tâm của tam giác ABC .
2. Do G là trọng tâm □
nên ta có:
ABC
   
GA + GB
+ GC = 0
     




⇔ GO + OA + GO + OB + GO + OC = 0 , với
O là điểm bất kỳ.
  

⇔ OA + OB + OC = 3OG , với O là điểm bất kỳ.


CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
2.1. Lớp bài toán tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn điều kiện K
2.1.1. Phương pháp chung
Với dạng bài toán này ta cần chú ý một số quỹ tích cơ bản sau:
+ Với 3 điểm A , B , C và một số k ∈ R cho trước ta luôn có:



thì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng
• Nếu =
AB
MA MB


 thì M thuộc đường tròn tâm C bán kính k AB
• Nếu = k
MC
AB
(với k ≠
0)




+ Nếu MA = k
BC

thì:

• Với k ∈ R thì điểm M thuộc đường thẳng qua A và song
song với
BC
+

• Với k ∈ R thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A và song
song


với BC theo hướng BC
−

• Với k ∈ R thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A và song
song

với BC theo hướng CB


2.1.2. Các ví dụ minh họa Ví
dụ 1:
Cho tam giác ABC , tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:




a . MA + k MB − k MC
= 0




b . (1 − k + M − k MC
B
= 0
) MA
Lời giải

(1)

(2)



 

⇔ k MB − MC
= 0
(1)
MA +


⇔ MA = −kCB


⇔ MA = k BC


Vậy (1) ⇔ MA thuộc đường thẳng qua A và song song
= k BC ⇔ M
a . Ta có

(

với BC .


 
 
⇔

−
b . Ta có ( 2 )
MA
k MA + MB − k MC = 0
 
 

⇔ MA + MB − k MA + MC = 0

(

Gọi E, F theo thứ tự lần lượt là trung điểm của AB và AC , ta được:

(

)

2 


ME EA
ME 
EB
MF
FA k
MF 
FC 
0

( )

   

 
⇔ 2ME − 2k MF = 0


⇔ ME = k MF ⇒
bình EF của tam giác ABC .

M thuộc đường trung

Ví dụ 2 :
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:
  
 
3
a . MA + MB
= MB +
(1)
+ MC
MC
2



  
b . MA + 3MB − = 2MA − MB
(2)
2MC

− MC
Lời giải
a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ta có :
  

MA + MB + MC = 3MG


Gọi I là trung điểm của BC , ta có:
 

MB + MC = 2MI


3
Khi đó: (1) 3M = 2MI
2
G
⇔
 
⇔ MG = MI