Bài toán đuổi bắt trong trò chơi tuyến tính với hạn chế hình học trên thang thời gian (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

LÊ THỊ THÚY NGÀ

BÀI TOÁN ĐUỔI BẮT TRONG TRÒ CHƠI
TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ HÌNH HỌC
TRÊN THANG THỜI GIAN

THÁI NGUYÊN, THÁNG 11 NĂM 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

LÊ THỊ THÚY NGÀ

BÀI TOÁN ĐUỔI BẮT TRONG TRÒ CHƠI
TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ HÌNH HỌC
TRÊN THANG THỜI GIAN

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG

THÁI NGUYÊN, THÁNG 11 NĂM 2017


Mục lục
Mở đầu

3

1 Thang thời gian
6
1.1. Giải tích trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Định nghĩa thang thời gian và những khái niệm cơ bản 6
1.1.2. Tôpô trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.3. Đạo hàm trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.4. Phép tính tích phân trên thang thời gian . . . . . . . 18
1.1.5. Tính hồi quy trên thang thời gian . . . . . . . . . . . 22
1.2. Hệ động lực trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.1. Phương trình động lực tuyến tính bậc nhất . . . . . . 24
1.2.2. Công thức nghiệm của phương trình và hệ phương
trình động lực tuyến tính bậc nhất . . . . . . . . . . 25
2 Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học trên thang
thời gian
27
2.1. Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học trên thang
thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hình học và thông
tin chậm trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hỗn hợp trên thang
thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1. Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với hạn chế hỗn hợp

trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2. Trò chơi đuổi bắt tuyến tính rời rạc với hạn chế hỗn
hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1


2

2.3.3. Trò chơi đuổi bắt tuyến tính liên tục với hạn chế hỗn
hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4. Trò chơi đuổi bắt tuyến tính với thông tin chậm và hạn chế
hỗn hợp trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39


Mở đầu
Phương trình sai phân là một mô hình của nhiều bài toán thực tế. Đồng
thời có thể coi phương trình sai phân là sự rời rạc hóa của phương trình vi
phân và là mô hình xấp xỉ của phương trình sai phân. Lý thuyết phương
trình vi phân và phương trình sai phân phát triển song song. Khá nhiều
kết quả của phương trình vi phân (tính ổn định, tính điều khiển được, bài
toán trò chơi,...) được phát biểu lại một cách tương tự cho phương trình
sai phân. Vậy một câu hỏi tự nhiên đặt ra là: Liệu có thể hợp nhất hai mô
hình phương trình sai phân và phương trình vi phân trong một mô hình
thống nhất được không?
Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ của mình (dưới sự hướng dẫn của
Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực
liên tục (hệ phương trình vi phân) và hệ động lực rời rạc (hệ phương trình
sai phân), Stefan Hilger đã đưa ra khái niệm thang thời gian. Từ đó tới
nay, đã có một số quyển sách, hàng chục luận án Tiến sĩ và hàng nghìn bài
báo nghiên cứu về giải tích (phép toán vi phân và tích phân) và hệ động

lực trên thang thời gian.
Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép
nghiên cứu hai mặt bản chất của thực tế, đó là tính liên tục và tính rời
rạc. Trong toán học, thang thời gian cho phép thống nhất nhiều mô hình
khác nhau dưới cùng một khái niệm và công cụ.
Giải tích trên thang thời gian và hệ động lực trên thang thời gian đang
được nhiều nhóm các nhà toán học trong nước (GS Nguyễn Hữu Dư và
các học trò, xem thí dụ [1]) và ngoài nước (Đức, Mỹ, Nga, Trung Quốc,...)
quan tâm nghiên cứu. Đã có một số bài viết ứng dụng thang thời gian
trong nghiên cứu kinh tế vĩ mô, trong mô tả hệ sinh thái, bài toán tối ưu.
Lý thuyết trò chơi ra đời từ những năm 1950-1960 với những công trình
3


4

nền móng của các nhà toán học Isaacs R., Pontriagin L. S, Kraxopxkii N.
E. Sau đó lý thuyết trò chơi đã phát triển mạnh mẽ, rất nhiều các nhà
toán học trên thế giới nghiên cứu vấn đề này. Lý thuyết trò chơi có nguồn
gốc từ các bài toán thực tế: Khảo sát hệ động lực có nhiều đối tượng điều
khiển, trong đó mỗi đối tượng có một mục đích riêng, thậm chí trái ngược
nhau; nghiên cứu các đối tượng điều khiển khi không có đầy đủ thông tin
về trạng thái pha của nó; đưa một đối tượng điều khiển chịu những tác
động bởi ngẫu nhiên không biết trước về một trạng thái cho trước; bài
toán đuổi bắt một đối tượng này bởi một đối tượng khác,....
Bài toán đuổi bắt là một trong các bài toán cơ bản của lý thuyết trò
chơi. Bài toán này có thể phát biểu như sau: cho hai đối tượng (người đuổi
và người chạy) mà chuyển động của chúng được mô tả bởi các hệ phương
trình vi phân có tham gia biến điều khiển. Mục tiêu của người đuổi là làm
sao để tiến gần đến người chạy càng nhanh càng tốt. Mục đích của người

chạy là làm thế nào để tránh được người đuổi càng lâu càng tốt, càng xa
càng tốt. Vì vậy có thể nói mục đích của người đuổi là làm cực tiểu một
hàm nào đó, còn của người chạy là làm cực đại hàm ấy. Để giải quyết vấn
đề này người ta thường tập trung vào tìm điều kiện đủ hoặc điều kiện cần
đề kết thúc trò chơi.
Luận văn "BÀI TOÁN ĐUỔI BẮT TRONG TRÒ CHƠI TUYẾN TÍNH
VỚI HẠN CHẾ HÌNH HỌC TRÊN THANG THỜI GIAN" nghiên cứu về
trò chơi tuyến tính trên thang thời gian. Luận văn gồm phần Mở đầu, 2
chương, phần Kết luận và các Tài liệu tham khảo.
Chương 1 Nhắc lại khái niệm thang thời gian, các khái niệm về toán
tử nhảy tiến, toán tử nhảy lùi, hàm hạt, các điểm trù mật và các điểm cô
lập; các khái niệm và tính chất của các phép tính vi phân, tích phân trên
thang thời gian cũng như đối chiếu kết quả trên một số thang thời gian
thường gặp. Tiếp đó đưa ra công thức nghiệm của hệ động lực tuyến tính
trên thang thời gian.
Chương 2 Trình bày khái niệm trò chơi đuổi bắt tuyến tính trên thang
thời gian với hạn chế hình học và điều kiện kết thúc trò chơi; chứng minh
điều kiện đủ kết thúc trò chơi đuổi bắt tuyến tính trên thang thời gian với
hạn chế hình học hoặc hạn chế hỗn hợp với thông tin chậm. Các định lí
trong chương này là kết quả chung của ba tác giả Vi Diệu Minh, Lê Thị


5

Thúy Ngà và Lê Văn Quý được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.
TS. Tạ Duy Phượng.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS. Tạ Duy Phượng,
người thầy đã dành thời gian hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện
và giúp đỡ trong trang bị kiến thức, trong nghiên cứu và tổng hợp tài liệu
để hoàn thành luận văn.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thày, cô trong Ban
giám hiệu, Phòng Sau đại học, Phòng Đào tạo, Khoa Toán-Tin trường Đại
học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi về mọi mặt
trong suốt quá trình học tập tại trường và trong qua trình làm luận văn.
Xin được cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chuyên môn cùng các đồng nghiệp
trong Trường trung học phổ thông Hưng Yên, tỉnh Hưng Yên, nơi tôi công
tác, đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập.
Xin chân thành cảm ơn Thạc sĩ Vi Diệu Minh, giảng viên môn Toán,
trường Đại học Nông Lâm, Đại học Thái Nguyên đã cùng cộng tác và giúp
đỡ tôi về chuyên môn trong suốt quá trình làm luận văn.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến những người thân,
gia đình, đồng nghiệp và những người bạn đã tạo mọi điều kiện thuận lợi,
động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận
văn.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017
Tác giả luận văn

Lê Thị Thúy Ngà


Chương 1

Thang thời gian
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số vấn đề về giải tích trên
thang thời gian và hệ động lực trên thang thời gian có liên quan đến nội
dung nghiên cứu của đề tài. Các kiến thức trong chương được tham khảo
trong các tài liệu [1], [4], [5], [7], [8], [9].

1.1.

Giải tích trên thang thời gian

1.1.1.

Định nghĩa thang thời gian và những khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1 Thang thời gian (time scale) là tập con đóng tùy ý khác
rỗng trong tập số thực R. Thang thời gian thường được ký hiệu là T.
Ví dụ 1.1
1) Các tập hợp R, Z là thang thời gian vì chúng là các tập đóng trong R.
2) Các tập hợp
∞

T1 =

∞

[2k, 2k + 1] ; Pa,b =
k=0,k∈N

[k (a + b) , k (a + b) + a]
k=0,k∈N

(với a, b là các số thực dương) là thang thời gian vì chúng là các tập đóng
trong R.
3) Các khoảng mở trong R không là tập đóng trong R nên chúng không
phải là thang thời gian.
4) Các tập Q, R\Q; [0, 1) không phải là thang thời gian vì chúng không
phải là tập đóng trong R.
6

7

Thật vậy, tập Q không phải là tập đóng trên R vì trên Q dãy 1, 7; 1, 73; 1, 732; ...
√
có giới hạn √là √ 3√không thuộc Q. Tập R\Q không là tập đóng trên R vì
√
dãy số 2; 22 32 ; 42 ... trên R\Q nhưng có giới hạn là 0 không thuộc R\Q.
1 2 3 4
Tập [0, 1) không là tập đóng vì có dãy ; ; ; ; ... trên [0, 1) nhưng có
2 3 4 5
giới hạn là 1 không thuộc [0, 1).
5) Cho số cố định h ∈ R, h > 0. T được xác định như sau
T = hZ = {hn, n ∈ Z} = {..., −3h, −2h, −h, 0, h, 2h, 3h...} .
T là thang thời gian vì nó là tập đóng trong trong R.
6) Cho số cố định q ∈ R, q > 1. T được xác định như sau
T = q Z = {q n , n ∈ Z} = ..., q −3 , q −2 , q −1 , 1, q, q 2 , q 3 , ... .
T không là thang thời gian. Thật vậy, xét dãy số un =

1
q

n

trong T có

giới hạn bằng 0 không thuộc T nên T không là tập đóng.
7) Cho số cố định q ∈ R, q > 1. T được xác định như sau
T = q Z ∪ {0} = {q n , n ∈ Z} ∪ {0} = ..., q −3 , q −2 , q −1 , 1, q, q 2 , q 3 , ... ∪ {0} .

T là thang thời gian vì T là tập đóng.
8) Tập số phức C không phải thang thời gian vì C không phải là tập con
của R mặc dù C là tập đóng.
Định nghĩa 1.2 Cho T là thang thời gian.
Toán tử nhảy tiến (forward jump) là toán tử
σ:T→T
được xác định bởi công thức
σ(t) := inf{s ∈ T, s > t}.
Toán tử nhảy lùi (backward jump) là toán tử
ρ:T→T
được xác định bởi công thức
ρ(t) := sup{s ∈ T, s < t}.


8

Quy ước
inf ∅ = sup T;

sup ∅ = inf T.

Nhận xét
Nếu T có giá trị lớn nhất là M thì σ(M ) = M.
Nếu T có giá trị nhỏ nhất là m thì ρ(m) = m.
Định nghĩa 1.3 Cho T là thang thời gian.
Điểm t ∈ T được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered) nếu σ(t) > t;
Điểm t ∈ T được gọi là điểm cô lập trái (left-scattered) nếu ρ(t) < t;
Điểm t ∈ T được gọi là điểm cô lập (insolated) nếu ρ(t) < t < σ(t).
Định nghĩa 1.4 Cho T là thang thời gian.
Điểm t ∈ T được gọi là điểm trù mật phải (right-dence) nếu σ(t) = t;

Điểm t ∈ T được gọi là điểm trù mật trái (left-dence) nếu ρ(t) = t;
Điểm t ∈ T được gọi là điểm trù mật (dence) nếu ρ(t) = t = σ(t).
Định nghĩa 1.5 Cho thang thời gian T. Hàm hạt (grainiess) là toán tử
µ : T → [0; ∞)
được xác định bởi công thức
µ(t) := σ(t) − t.
Ví dụ 1.2
1) Khi T = Z (thang thời gian rời rạc) thì
σ(t) = t + 1;

ρ(t) = t − 1;

µ (t) = 1,

với mọi t thuộc Z.
Do t − 1 < t < t + 1, với mọi t thuộc Z nên mọi điểm trong Z đều là điểm
cô lập.
2) Khi T = R (thang thời gian liên tục) thì
σ(t) = t; ρ(t) = t;

µ (t) = 0,

với mọi t thuộc R.
Do σ(t) = ρ(t) = t, với mọi t thuộc R nên mọi điểm trong R đều là điểm


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full