Hệ thống hóa kiến thức toán 9

HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC
TOÁN 9


Mục lục
I

ĐẠI SỐ

6

1 CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
1.1 Căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Căn bậc hai số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Liên hệ giữa phép khai phương và thứ tự . . . . . . .
1.1.4 Số chính phương . . . . . . .√. . . . . . . . . . . . .
1.2 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = |A| . . . . . . .
1.2.1 Căn thức bậc hai√. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Hằng đẳng thức A2 = |A| . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Khai phương một tích, một thương. Nhân, chia các căn thức
bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Khai phương một tích. Nhân các căn thức bậc hai . .
1.3.2 Khai phương một thương. Chia hai căn thức bậc hai
1.4 Biến đổi đơn giản các căn thức bậc hai . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Đưa nhân tử ra ngoài dấu căn . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Đưa nhân tử vào trong dấu căn bậc hai . . . . . . . .
1.4.3 Khử mẫu trong biểu thức lấy căn . . . . . . . . . . .
1.4.4 Trục (khử) căn thức ở mẫu . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Bảng căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Căn bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Căn bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Quy đồng chỉ số các căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Định lí về tính chất vô tỉ của một căn số . . . . . . . . . . .

2

.
.
.
.
.
.
.
.

7
7
7
8
8
8
8
8
8

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

9
9
9
9
9
9
10
10
10
10
10
11
11

11
12
12
12


2 HÀM SỐ BẬC NHẤT
2.1 Nhắc lại và bổ xung khái niệm về hàm số . . . . . . . . . . .
2.1.1 Khái niệm hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Hàm số đồng biến. Hàm số nghịch biến . . . . . . . .
2.2 Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Hàm sốy = ax. Hệ số gốc của đường thẳng y = ax . . . . . .
2.3.1 Đồ thị của hàm số y = ax . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Góc hợp bởi đường thẳng y = ax và tia Ox . . . . .
2.3.4 Hệ số góc của đường thẳng y = ax . . . . . . . . . .
2.4 Đồ thị hàm số y = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Đồ thị hàm số y = ax + b . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b . . . . . . . . . . .
2.5 Hệ số góc của đường thẳng. Đường thẳng song song và đường
thẳng cắt nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Hệ số góc của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Điều kiện song song, điều kiện cắt nhau . . . . . . .
2.5.3 Điều kiện vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
3.1 Phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2 Tập nghiệm và biểu diễn hình học của tập nghiệm
3.2 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . .
3.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Minh họa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn .
3.3.1 Phương pháp cộng . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Giải toán bằng cách lập hệ phương trình . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

13
13
13
14
14
14
14
14
14
14

15
15
16
16
16
16

.
.
.
.

17
17
17
17

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

18

18
18
18
19
19
19
20
20
20
21
21

4 HÀM SỐ y = ax2 (a = 0). PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT
ẨN
4.1 Hàm số y = ax2 (a = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

22
22
22
23


4.2

4.3

4.4

4.5

II

Phương trình bậc hai một ẩn . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
4.2.3 Công thức nghiệm thu gọn . . . . . . . . . .
Hệ thức Viét và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Hệ thức Viét . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Ứng dụng hệ thức Viét . . . . . . . . . . . .
Phương trình quy về phương trình bậc hai . . . . .
4.4.1 Phương trình trùng phương . . . . . . . . .
4.4.2 Phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Phương trình chứa ẩn ở mẫu . . . . . . . . .
Giải bài toán bằng cách lập phương trình . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

HÌNH HỌC

23
23
23
24
24
24
24
25
25
25
25
25

26

5 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
5.1 Các hệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Một vài liên hệ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau . . . . . . . . .
5.2.4 Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt . . . . . . . .

5.3 Hệ thức lượng giữa các cạnh và các góc trong tam giác vuông

27
27
29
29
30
30
30
30

6 ĐƯỜNG TRÒN
6.1 Định nghĩa và sự xác định đường tròn . . . . . . . . . .
6.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Vị trí tương đối của một điểm đối với đường tròn
6.1.3 Liên hệ giữa độ dài dây cung và đường kính . . .
6.1.4 Sự xác định đường tròn . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Tính chất đối xứng của đường tròn . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Tính chất đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Liên hệ giữa đường kính và dây cung . . . . . . .
6.2.3 Liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm . . . .
6.3 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn . . . . .
6.4 Tiếp tuyến của đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến một đường tròn . . . . .
6.6 Vị trí tương đối của hai đường tròn . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
32
32

33
33
33
33
33
34
34
35
35
35
36
36

4

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

6.7

6.6.2 Tính chất của đường nối tâm . . . . . . . . . . . . . . 36
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . 37

7 GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
7.1 Góc ở tâm - Số đo cung . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Định nghĩa góc ở tâm . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Số đo cung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 So sánh hai cung . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Liên hệ giữa cung và dây . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Góc nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung . . . . . . . . .
7.5 Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn
7.6 Cung chứa góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Cung chứa góc α . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.2 Cách dựng cung chứa góc . . . . . . . . . .
7.7 Tứ giác nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.2 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.3 Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Đa giác đều ngoại tiếp - Nội tiếp đường tròn . . . .
7.8.1 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.2 Một vài liên hệ cần nhớ . . . . . . . . . . .
7.9 Độ dài đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9.1 Công thức tính độ dài đường tròn . . . . . .

7.9.2 Độ dài cung tròn . . . . . . . . . . . . . . .
7.10 Diện tích hình tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10.1 Diện tích hình tròn . . . . . . . . . . . . . .
7.10.2 Diện tích hình quạt tròn . . . . . . . . . . .
7.11 Vấn đề quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11.1 Các quỹ tích cơ bẳn . . . . . . . . . . . . .
7.11.2 Nội dung bài toán quỹ tích . . . . . . . . . .
7.11.3 Cách giải bài toán quỹ tích . . . . . . . . .
8 CÁC KHỐI TRÒN XOAY

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

38
38
38
39
39
40
40
40

40
41
41
41
42
42
43
43
43
44
44
44
44
44
44
44
45
45
45
45
45
45
46
46
47

5


Phần I

ĐẠI SỐ

6


Chương 1
CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC
BA
♦♦♦
1.1
1.2
1.3

1.1
1.1.1

Căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = |A| . .

7
8

Khai phương một tích, một thương. Nhân, chia
các căn thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Biến đổi đơn giản các căn thức bậc hai . . . . . .

9

1.5

Bảng căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6

Căn bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7

Căn bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8

Quy đồng chỉ số các căn thức . . . . . . . . . . . . 12

1.9

Định lí về tính chất vô tỉ của một căn số . . . . . 12

Căn bậc hai
Định nghĩa

Căn bậc hai của số thực a là số x thỏa mãn đẳng thức x2 = a
• Mỗi số a > 0 có đúng hai số đối
√ nhau là căn bậc hai của nó. Số dương

là căn
√ bậc hai của a, kí hiệu a. Số âm là căn bậc hai của a, kí hiệu
là − a
7


• Số 0 có căn bậc hai bằng 0
• Số a < 0 không có căn bậc hai (tức

1.1.2

√
a không có nghĩa với a < 0)

Căn bậc hai số học

√
Với số thực a ≥ 0 thì a được gọi là căn bậc hai số học của a.
Việc tìm căn bậc hai số học của một số không âm gọi là phép khai phương.
√
Dấu là dấu phép khai phương.

1.1.3

Liên hệ giữa phép khai phương và thứ tự

Định lí: Với a, b là các số dương ta có:
√
√
• Nếu a < b thì a < b

√
√
• Nếu a < b thì a < b
Nội dung định lí được kí hiệu là:
a>b≥0⇔

1.1.4

√

√
a>

b

Số chính phương

Số a nguyên dương có căn a là số nguyên dương thì a được gọi là số chính
phương

1.2
1.2.1

Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
|A|

√

A2 =

Căn thức bậc hai

√
Cho A là một biểu thức thì A là một căn thức bậc hai. Biểu thức A được
gọi là biểu thức lấy
√ căn hay biểu thức dưới dấu căn.
Căn thức bậc hai A có nghĩa (xác định) khi A ≥ 0

1.2.2

Hằng đẳng thức

Với mỗi biểu thức A ta có:
−A nếu A < 0

√

A2 = |A|

√
√
√
A2 = |A|, nghĩa là A2 = A nếu A ≥ 0, A2 =

8


1.3

Khai phương một tích, một thương. Nhân,

chia các căn thức bậc hai

1.3.1

Khai phương một tích. Nhân các căn thức bậc
hai

Định lí: Với các biểu thức A, B mà A ≥ 0, B ≥ 0 ta có
√ √
√
AB = A. B
(1)
Công thức (1) được phát biểu thành quy tắc sau:
Muốn khai phương một tích các biểu thức không âm ta có thể khai phương
từng biểu thức rồi nhân các kết quả với nhau. Muốn nhân các căn thức bậc
hai của các biểu thức không âm ta có thể nhân các biểu thức dưới dấu căn
rồi khai phương tích đó.

1.3.2

Khai phương một thương. Chia hai căn thức bậc
hai

Định lí: Nếu A, B là các biểu thức sao cho A ≥ 0, B > 0 thì
√
A
A
=√
(2)
B

B
Đẳng thức (2) phát biểu thành quy tắc sau:
A
• Muốn khai phương một thương B
trong đó A ≥ 0, B > 0 ta có thể
khai phương A rồi khai phương B rối lấy kết quả trước chia cho kết
quả sau.

• Muốn chia căn bậc hai của biểu thức A ≥ 0 cho căn bậc hai của biểu
thức B > 0 ta có thể chia A cho B rồi khai phương thương đó

1.4
1.4.1

Biến đổi đơn giản các căn thức bậc hai
Đưa nhân tử ra ngoài dấu căn
Nếu B ≥ 0 thì

1.4.2

√

√
A2 B = |A| B

Đưa nhân tử vào trong dấu căn bậc hai
√
A B=

√

A2 B nếu A ≥ 0, B ≥ 0
√
− A2 B nếu A < 0, B ≥ 0
9


1.4.3

Khử mẫu trong biểu thức lấy căn

Nếu A, B là các biểu thức sao cho tích A.B ≥ 0, B =0 thì
√
A
A.B
AB
=
=
B
B2
|B|

1.4.4

Trục (khử) căn thức ở mẫu

Biểu thức liên hợp
Biểu thức A có chứa căn thức. Khi nhân A với biểu thức B ta được tích AB
là biểu thức không chứa dấu căn (hoặc giảm số dấu căn so với A) ta bảo B
là biểu thức liên hợp với A, đảo lại A là biểu thức liên hợp với B hay A và
B là các biểu thức liên hợp với nhau.

Quy tắc trục căn thức ở mẫu
Muốn trục căn thức ở mẫu một biểu thức ta nhân tử và mẫu của biểu thức
đó với biểu thức liên hợp của mẫu

1.5

Bảng căn bậc hai

Nếu không có máy tính ta có thể dùng bảng tính sẵn các căn bậc hai. Bảng
tính căn bậc hai được sử dụng ở đây là bảng IV trong các bảng số với 4 chữ
số thập phân của tác giả V.M. Bradixo, do nhà xuất bảng Giáo dục phát
hành

1.6

Căn bậc ba

1.6.1

Định nghĩa

√
√
Căn bậc ba của số a là số x, sao cho x3 = a, kí hiệu x = 3 a. Dấu 3 chỉ
phép lấy căn bậc ba.
√
Từ định nghĩa ta thấy: Mỗi a ∈ R đều có một x ∈ R mà x = 3 a
√
• Nếu a < 0 thì 3 a < 0
√

• Nếu a = 0 thì 3 a = 0
√
• Nếu a > 0 thì 3 a > 0

10


1.6.2

Tính chất

• Nếu a < b thì

√
3

a<

√
3

b. Đảo lại nếu

√
3

a<

√
3

b thì a < b

• Với các số a, b bất kì ta đều có:
√
√ √
3
3
a.b = 3 a. b
• Với a, b bất kì, b = 0 ta đều có
3

√
3
a
a
= √
3
b
b

Dựa vào định nghĩa và tính chất của căn bậc ba ta có thể so sánh và thực
hiện các phép biến đổi trên các căn thức bậc b như với các căn thức bậc hai
√
√
(so sánh, đưa nhân tử vào dấu 3 , đưa một nhân tử ra ngoài dấu 3 , trục căn
thức ở mẫu...)

1.7

Căn bậc n

1.7.1

Định nghĩa

Cho số nguyên dương n ≥ 2 ta gọi x là căn bậc n của số a nếu xn = a.
Chú ý:
• Mỗi số nguyên n lẻ được viết dưới dạng n = 2k + 1, k ∈ Z
• Mỗi số nguyên n chẳn được viết dưới dạng n = 2k, k ∈ Z
Ta có một số mệnh đề sau:
√
• Mỗi số thực a có một số thực x là căn bậc n lẻ của nó, kí hiệu x = 2k+1 a
√
• Số không âm có căn bậc n chẳn. Điều này có nghĩa là 2k a chỉ có nghĩa
nếu a ≥ 0
• Mỗi số a ≥ 0 có hai số đối nhau là căn bậc n chẳn của nó, kí hiệu:
√
. 2k a chỉ căn bậc n chẳn dương của số a > 0
√
. − 2k a chỉ căn bậc n chẳn âm của số a > 0
• Căn bậc n của số 0 bằng 0

11


1.7.2

Tính chất

• Với a ≥ 0, m, n, k nguyên dương thì:
√
nk
am =
amk
√
n √
k
a = nk a

√
n

Phép biến đổi đưa

√
√
amk = n am gọi là phép hạ bậc căn thức

nk

• Với a ≥ 0, b ≥ 0, n, k nguyên dương thì
√
√ √
n
n
a.b = n a. b
√
√
n

( n a)k = ak
• Với a ≥ 0, b > 0 thì
n

√
n
a
a
√
= n
b
b

Áp dụng các tính chất trên ta thực hiện các phép biến đổi trên các căn thức
bậc n tương tự như đã làm với căn thức bậc hai bậc ba

1.8

Quy đồng chỉ số các căn thức

√
n
A thì các số tự nhiên n để chỉ bậc của căn thức được gọi là
Trong kí hiệu
√
n
chỉ số của A.
Khi thực hiện các phép toán trong biểu thức chứa các căn thức với những
chỉ số khác nhau ta phải quy đồng các chỉ số các căn thức đó. Sử dụng các
tính chất để quy đồng chỉ số các căn thức

1.9

Định lí về tính chất vô tỉ của một căn số

Ta biết rằng một số có dạng m
, m, n ∈ Z, n = 0 là số hữu tỉ. Mỗi số hữu tỉ
n
viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạng tuần hoàn. Đảo lại
mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ.
Số viết dưới dạng số thập phân vô hạng không tuần hoàn là số vô tỉ
Định
lí: Không có số hữu tỉ nào mà bình phương của nó bằng 2. Nói khác đi
√
2 là số vô tỉ.
Tổng
√ quát, người ta chứng minh rằng, nếu a không phải là số chính phương
thì a là số vô tỉ
12


Chương 2
HÀM SỐ BẬC NHẤT
♦♦♦

2.1
2.1.1

2.1

Nhắc lại và bổ xung khái niệm về hàm số . . . . . 13

2.2

Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3

Hàm sốy = ax. Hệ số gốc của đường thẳng y = ax

2.4

Đồ thị hàm số y = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5

Hệ số góc của đường thẳng. Đường thẳng song
song và đường thẳng cắt nhau . . . . . . . . . . . . 17

14

Nhắc lại và bổ xung khái niệm về hàm số
Khái niệm hàm số

• Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng biến đổi x sao cho mỗi giá trị của
x ta luôn xác định được một giá trị của y, ta bảo y là hàm số của x,
đại lượng x là biến số. Để chỉ y là hàm số của biến x ta thường viết
y = f (x), hay y = g(x), y = h(x).... Một hàm số có thể cho bằng công
thức, bằng bảng, hay bằng đồ thị
• Cho hàm số y = f (x). Cho x giá trị x = x0 , ta xác định được giá trị

tương ứng của hàm số y. Ta bảo y0 là giá trị của hàm số tại x = x0 và
kí hiệu y0 = f (x0 )

13


2.1.2

Đồ thị của hàm số

Hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp A. Mỗi x0 ∈ A xác định được giá trị
y0 tương ứng của hàm số ta có một cặp giá trị tương ứng (x0 , y0 ) được biểu
diễn bằng một điểm trên mặt phẳng tọa độ. Hình gồm tất cả các điểm biểu
diễn các cặp số (x; y) với mọi x ∈ A được gọi là đồ thị của hàm số y = f (x).

2.1.3

Hàm số đồng biến. Hàm số nghịch biến

Cho hàm số y = f (x) với biến số x lấy các giá trị thuộc tập hợp A. Ta nói
hàm số f (x) đồng biến trên A nếu với x1 , x2 bất kì thuộc A sao cho x1 < x2
ta có f (x1 ) < f (x2 ). Nghĩa là biến x lấy giá trị tăng lên thì hàm số lấy giá
trị tăng lên. Hàm số f (x) là nghịch biến trên A nếu với x1 , x2 bất kì thuộc
A sao cho x1 < x2 ta có f (x1 ) > f (x2 ). Nghĩa là biến x lấy giá trị tăng lên
thì hàm số lấy giá trị giảm xuống.

2.2
2.2.1

Hàm số bậc nhất

Định nghĩa

Hàm số y = f (x) được cho bởi công thức: y = ax + b, trong đó a, b là các số
thực xác định và a = 0 thì gọi y là hàm số bậc nhất với biến số x. Hàm số
S = at + b (a, b ∈ R, a = 0) là hàm số bậc nhất với biến số t

2.2.2

Tính chất

• Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x ∈ R
• Trên tập hợp số thực R, hàm số y = ax + b đồng biến nếu a > 0, nghịch
biến nếu a < 0

2.3
2.3.1

Hàm sốy = ax. Hệ số gốc của đường thẳng
y = ax
Đồ thị của hàm số y = ax

Đồ thị hàm số y = ax là một đường thẳng qua gốc tọa độ O. Đường thẳng
là đồ thị hàm số y = ax được nói gọn là đường thẳng y = ax. Đường thẳng
y = ax nằm trong các góc (I) và (III) của mặt phẳng tọa độ nếu a > 0 và
nằm trong các góc (II) và (IV ) nếu a < 0
14


2.3.2

Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax

• Cho biến số x giá trị x0 tùy ý tính giá trị tương ứng của hàm số y0 = ax0
• Vẽ trên mặt phẳng tọa độ điểm A(x0 , y0 )
• Kẻ đường thẳng qua O, A. Nói khác đi đường thẳng OA là đồ thị cần
vẽ
Thông thường hàm số y = ax có hệ số a không quá nhỏ hoặc không qua lớn
thì đường thẳng y = ax là đường thẳng OA với A(1, a)

2.3.3

Góc hợp bởi đường thẳng y = ax và tia Ox

Góc α hợp bởi đường thẳng y = ax và tia Ox là góc hợp bởi nửa đường
thẳng y = ax nằm trong nửa mặt phẳng bờ x x có chứa tia Oy.
• Nếu a > 0 thì góc α là góc nhọn
y
y = ax

x

x

α
O

• Nếu a < 0 thì góc α là góc tù
y
y = ax

α

x

x

O

15


2.3.4

Hệ số góc của đường thẳng y = ax

Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ các hàm số dạng y = ax với các giá trị
khác nhau của a ta có nhận xét.
• Ứng với mỗi giá trị của hệ số a của x xác định một góc α hợp bởi đường
thẳng y = ax với tia Ox
• Với a > 0 góc α nhọn và giá trị a càng lớn thì góc α càng lớn (nhưng
vẫn nhỏ hơn 900 )
• Với a < 0 góc α tù và giá trị a càng lớn thì góc α càng lớn (nhưng vẫn
nhỏ hơn 1800 )
Vì sự liên hệ giữa hệ số góc a và góc α như vậy nên người ta là hệ số góc của
đường thẳng y = ax. Sự liên hệ của a và α được xác định như sau:
• Với a > 0 thì a = tan(α)
• Với a < 0 thì |a| = tan(1800 − α)

2.4
2.4.1

Đồ thị hàm số y = ax + b
Đồ thị hàm số y = ax + b

Đồ thị hàm số y = ax + b (a = 0, b = 0) là đường thẳng song song với đường
thẳng y = ax và cắt trục tung tại điểm có trung độ bằng b. Đồ thị hàm số
y = ax + b còn được gọi là đường thẳng y = ax + b số b được gọi là tung độ
gốc của đường thẳng đó

2.4.2

Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b

Phương pháp chung là xác định hai điểm thuộc đồ thị rồi kẻ đường thẳng
qua hai điểm đó. Cho x = x1 ta tính được y1 = ax1 + b.Vẽ điểm A(x1 ; y1 ).
Cho x = x2 tính được y2 = ax2 + b. Vẽ điểm B(x2 ; y2 ). Kẻ đường thẳng qua
A, B là đồ thị hàm số y = ax + b.
Thông thường ta xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ. Cho
x = 0 ta được y = b suy ra giao điểm với truc tung P (0; b). Cho y = 0, tính
được x = − ab ta có giao điểm với trục hoành Q(− ab ; 0). Vẽ đường thẳng qua
P, Q ta có đồ thị hàm số

16


2.5
2.5.1

Hệ số góc của đường thẳng. Đường thẳng
song song và đường thẳng cắt nhau

Hệ số góc của đường thẳng

• Đồ thị của hàm số y = ax + b, (a = 0) là đường thẳng d. Ta gọi d là
đường thẳng y = ax + b. Ta cũng nói y = ax + b là phương trình của
đường thẳng d
• Đường thẳng y = ax + b(a = 0) cắt trục hoành x x tại điểm A − ab ; 0
• Góc α tạo bởi đường thẳng y = ax + b với tia Ox, là góc tạo bởi tia
Ax và phần đường thẳng y = ax + b nằm trong mặt phẳng bờ x x có
chứa tia Oy.
– Nếu a > 0 thì 00 < α < 900 , a càng lớn thì α càng lớn, tan α = α
– Nếu a < 0 thì 900 < α < 1800 , a càng lớn thì α càng lớn tan(1800 −
α) = |α|

2.5.2

Điều kiện song song, điều kiện cắt nhau

Hai đường thẳng (d) và (d ) có phương trình theo thứ tự là y = ax + b, y =
a x + b . Ta có
• d//d ⇔ a = a , b = b
• d cắt d ⇔ a = a
• d trùng d ⇔ a = a , b = b

2.5.3

Điều kiện vuông góc

Hai đường thẳng y = ax + b và y = a x + b vuông góc với nhau khi va chỉ
khi a.a = −1

17


Chương 3
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
♦♦♦

3.1
3.1.1

3.1

Phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . 18

3.2

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . 19

3.3

Các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4

Giải toán bằng cách lập hệ phương trình . . . . . 21

Phương trình bậc nhất hai ẩn
Khái niệm

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c (1) trong đó a, b, c là các
hằng số đã biết (với ít nhất một trong hai số a, b = 0), x, y là các ẩn số.
Nếu thay x = x0 , y = y0 ta có ax0 + by0 = c thì cặp số (x0 ; y0 ) được gọi là
một nghiệm của phương trình (1)

3.1.2

Tập nghiệm và biểu diễn hình học của tập nghiệm

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm
của nó được biểu diễn bằng một đường thẳng (d) gọi là đường thẳng ax+by =
c. Ta còn gọi phương trình của đường thẳng (d) là ax + by = c.
18


• Nếu a = 0 và b = 0, phương trình ax + by = c có công thức tổng quát
của nghiệm là:
x∈R
y = − ab x + cb
Tập nghiệm của nó được biểu diễn bằng đường thẳng d là đồ thị của
hàm số
a c
y=− +
b b
• Nếu a = 0 và b = 0 phương trình có dạng 0x + by = c. Công thức
nghiệm tổng quát là
x∈R
y = cb
Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng d song song với trục tung:

y = cb
• Nếu a = 0, b = 0, phương trình có dạng ax + 0y = c. Công thức tổng
quát của nghiệm là
x = ac
y∈R

3.2
3.2.1

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Định nghĩa

Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng
(I)

ax + by = c
ax+by =c

(1)
(2)

trong đó ax + by = c, a x + b y = c là phương trình bậc nhất hai ẩn. Một
cặp số (x0 ; y0 ) là nghiệm của phương trình (1), đồng thời cũng là nghiệm của
phương trình (2) thì (x0 ; y0 ) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (I)
Nếu hệ phương trình không có nghiệm ta nói hệ phương trình vô nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ

3.2.2

Minh họa hình học

Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
(I)

ax + by = c
ax+by =c
19

(1)
(2)


Trên cùng một hệ tọa độ vẽ đường thẳng ax + by = c (d1 ) và đường thẳng
a x + b y = c (d2 ). Tọa độ giao điểm nếu có là nghiệm hệ phương trình (I)
Nếu (d1 ) song song (d2 ) hệ (I) vô nghiệm, nếu (d1 ) trùng (d2 ) thì hệ (I) vô số
nghiệm. Tọa độ của mỗi điểm thuộc đường thẳng là một nghiệm của hệ đó

3.3
3.3.1

Các phương pháp giải hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn
Phương pháp cộng

Định nghĩa hệ hai phương trình tương đương
Hệ hai phương trình gọi là tương đưng với nhau nếu chúng có cùng một tập
nghiệm, nghĩa là mỗi nghiệm của hệ phương trình này cũng là nghiệm của
hệ phương trình kia và ngược lại
Quy tắc cộng đại số
Trong một hệ phương trình nếu thay thế một phương trình của hệ bằng một

phương trình có được bằng cách cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của
hệ thì ta được một hệ phương trình tương đương với hệ phương trình đã cho.
Giải bằng phương pháp cộng đại số
• Nếu cần thiết nhân các vế của phương trình với số thích hợp để xuất
hệ các hệ số của một ẩn bằng nhau hay đối nhau
• Sử dụng quy tắc cộng đại số để được một hệ phương trình, trong đó
có một phương trình chỉ có một ẩn
• Giải hệ phương trình thu được

3.3.2

Phương pháp thế

Trong một hệ phương trình, ta có thể từ một phương trình biểu thị một ẩn
qua ẩn còn lại, rồi thế vào phương trình kia để có một hệ phương trình tương
đương trong đó có một phương trình chỉ có một ẩn

20


3.3.3

3.4

Phương pháp đồ thị

Giải toán bằng cách lập hệ phương trình

Tương tự như cách giải toán bằng cách lập phương trình một ẩn, ở đây ta
chọn hai ẩn số thay thế cho các đại lượng chưa biết và sử dụng quan hệ giữa

các đại lượng đã biết và chưa biết lập hệ phương trình

21


Chương 4
HÀM SỐ y = ax2 (a = 0).
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
MỘT ẨN
♦♦♦

4.1
4.1.1

4.1

Hàm số y = ax2 (a = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2

Phương trình bậc hai một ẩn . . . . . . . . . . . . 23

4.3

Hệ thức Viét và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4

Phương trình quy về phương trình bậc hai . . . . 25

4.5

Giải bài toán bằng cách lập phương trình . . . . . 25

Hàm số y = ax2 (a = 0)
Tính chất

Hàm số y = ax2 xác định với mọi giá trị x ∈ R:
• Nếu a > 0 thì:
– y > 0 với mọi x = 0, y = 0 khi x = 0 và y = 0 là giá trị nhỏ nhất
của hàm số
– Nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

22


• Nếu a < 0 thì:
– y < 0 với mọi x = 0, y = 0 khi x = 0 và y = 0 là giá trị lớn nhất
của hàm số
– Đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

4.1.2

Đồ thị

Đồ thị hàm số y = ax2 là một đường cong đi qua gốc tọa độ O (gọi là
parabol), nhận Oy là trục đối xứng, O là đỉnh của parabol
• Nếu a > 0 thì đồ thị hàm số nằm ở nửa mặt phẳng bờ x x có chứa tia
Oy
• Nếu a < 0 thì đồ thị hàm số nằm trong nửa mặt phẳng bờ x x chứa

tia đối của tia Ox

4.2
4.2.1

Phương trình bậc hai một ẩn
Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0, trong
đó x là ẩn số; a, b, c là những hằng số cho trước gọi là các hệ số và a = 0
Số γ là một nghiệm của phương trình nếu giá trị của biểu thức vế trái của
phương trình tại x = γ bằng 0

4.2.2

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a = 0)
Ta gọi số ∆ = b2 − 4ac là biệt thức của phương trình
• Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm
b
• Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − 2a

• Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
√
√
−b + ∆
−b − ∆
x1 =
, x2 =

2a
2a
Các trường hợp đặc biệt:

23


• Nếu c = 0 phương trình có dạng ax2 + bx = 0. Đưa phương trình về
phương trình tích:
x(ax + b) = 0 ⇔ x = 0, x = −

b
a

• Nếu b = 0 ta có ax2 + c = 0, vô nghiệm nếu ac > 0, có hai nghiệm nếu
ac < 0, hai nghiệm đó là:
x1 =

4.2.3

c
c
− , x2 = − −
a
a

Công thức nghiệm thu gọn

Trong trường hợp phương trình ax2 + bx + c = 0 có b = 2b ta sử dụng công
thức nghiệm thu gọn sau đây:

Tính biệt thức ∆ = b 2 − ac
• Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm
• Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − ba
• Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
√
√
−b + ∆
−b − ∆
x1 =
, x2 =
a
a

4.3
4.3.1

Hệ thức Viét và ứng dụng
Hệ thức Viét

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a = 0) có hai nhiệm x1 , x2 thì:
b
c
x1 + x2 = − , x1 .x2 =
a
a

4.3.2

Ứng dụng hệ thức Viét

Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
Khi biết trước một nghiệm của phương trình bậc hai, ta không cần giải ta
vẫn tìm được một nghiệm còn lại.
Hai trường hợp đặc biệt trong tính nhẩm nghiệm:
24


• Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0, có a + b + c = 0 thì phương trình
có một nghiệm là x1 = 1 và nghiệm còn lại là x2 = ac
• Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0, có a − b + c = 0 thì phương trình
có một nghiệm là x1 = −1 và nghiệm còn lại là x2 = − ac
Tìm hai số cho biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích của chúng bằng P thì các số đó là các
nghiệm của phương trình:
x2 − Sx + P = 0

4.4
4.4.1

Phương trình quy về phương trình bậc
hai
Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương có dạng:
ax4 + bx2 + c = 0 (a = 0)
Cách giải: Đặt t = x2 với điều kiện t ≥ 0. Giải phương trình bậc hai at2 +
bt + c = 0. Loại nghiệm âm của phương trình theo ẩn t. Khi đó các nghiệm
của phương trình đã cho là những căn bậc hai của những nghiệm không âm
của phương trình theo t

4.4.2

Phương trình tích

4.4.3

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

4.5

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một số bài toán được giải bằng cách lập phương trình dẫn đến giải phương
trình bậc hai. Các bước giải bài toán tuân theo quy tắc chung về cách giải
bài toán bằng cách lập phương trình

25