tích phân suy rộng

TÍCH PHÂN SUY RỘNG
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2016.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

1 / 89


NỘI DUNG

1

TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1

2

TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2

3

TÍNH CHẤT CHUNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 VÀ 2

4

GIÁ TRỊ CHÍNH CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

2 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Định nghĩa tích phân dạng a+∞ f (x)dx

ĐỊNH NGHĨA 1.1
Cho hàm số f (x) xác định ∀x a và khả tích
trên mọi đoạn [a, b]. Khi đó trên [a, +∞) xác
định hàm số Φ(b) =

b

f (x)dx. Giới hạn
a

I = lim Φ(b) = lim
b→+∞

b→+∞ a

b

f (x)dx

gọi là tích phân suy rộng loại 1 của hàm số
+∞

f (x) trên [a, +∞) và ký hiệu là
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

f (x)dx.
a
TP. HCM — 2016.

3 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Định nghĩa tích phân dạng a+∞ f (x)dx

ĐỊNH NGHĨA 1.2
b

Nếu giới hạn I = lim

b→+∞ a

f (x)dx tồn tại và

hữu hạn thì tích phân suy rộng loại 1 được
gọi là hội tụ. Nếu giới hạn I không tồn tại
hoặc bằng ∞ thì tích phân suy rộng loại 1
được gọi là phân kỳ.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

4 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Ý nghĩa hình học

Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Nếu f (x) 0, ∀x ∈ [a, +∞), thì giá trị của tích
phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học là
diện tích của hình phẳng vô hạn được giới
hạn bởi x = a, trục Ox và đồ thị hàm f (x)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

5 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Ý nghĩa hình học

CHÚ Ý.

Từ ý nghĩa hình học của tích phân suy rộng,
ta được nếu f (x) 0, ∀x ∈ [a, +∞) và tồn tại
giới hạn hữu hạn và khác 0
lim f (x) = A = 0,

x→+∞

f (x) khả tích trên mọi đoạn [a, b] ⊂ [a, +∞) thì
+∞

tích phân suy rộng

f (x)dx phân kỳ
a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

6 / 89


b f (x)dx
Định nghĩa tích phân dạng −∞

Tích phân suy rộng loại 1

ĐỊNH NGHĨA 1.3
Cho hàm số f (x) xác định ∀x b và khả tích
trên mọi đoạn [a, b]. Khi đó trên (−∞, b] xác
định hàm số Ψ(a) =

b

f (x)dx. Giới hạn
a

I = lim Ψ(a) = lim
a→−∞

a→−∞ a

b

f (x)dx

gọi là tích phân suy rộng loại 1 của hàm số
b

f (x) trên (−∞, b] và ký hiệu là

f (x)dx.
−∞

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

7 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

b f (x)dx
Định nghĩa tích phân dạng −∞

ĐỊNH NGHĨA 1.4
b

Nếu giới hạn I = lim

a→−∞ a

f (x)dx tồn tại và

hữu hạn thì tích phân suy rộng loại 1 được
gọi là hội tụ. Nếu giới hạn I không tồn tại
hoặc bằng ∞ thì tích phân suy rộng loại 1
được gọi là phân kỳ.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

8 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Ý nghĩa hình học

Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Nếu f (x) 0, ∀x ∈ (−∞, b], thì giá trị của tích
phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học là
diện tích của hình phẳng vô hạn được giới
hạn bởi x = b, trục Ox và đồ thị hàm f (x)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

9 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

+∞
Định nghĩa tích phân dạng −∞

ĐỊNH NGHĨA 1.5
Nếu hàm số f (x) xác định trên R và khả tích
trên mọi đoạn [a, b] thì ∀c ∈ R tích phân suy
rộng loại 1 của hàm f (x) trên (−∞, +∞) được
xác định bởi
c

+∞

f (x)dx =
−∞

+∞

f (x)dx +
−∞

f (x)dx
c

Tích phân suy rộng này được gọi là hội tụ
nếu cả hai tích phân ở vế phải đều hội tụ
không phụ thuộc lẫn nhau.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

10 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Công thức Newton-Leibniz

CÔNG THỨC NEWTON-LEIBNIZ
Cho hàm số f (x) có nguyên hàm là F(x) trên
[a, +∞) và khả tích trên mọi đoạn [a, b]. Tích
+∞

phân suy rộng loại 1

f (x)dx hội tụ khi và
a

chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạn
lim F(b) = F(+∞). Khi đó

b→+∞

+∞
a

f (x)dx = F(+∞) − F(a) = F(x)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

+∞
a

TP. HCM — 2016.

11 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Công thức Newton-Leibniz

Lập luận tương tự, ta cũng có
b

f (x)dx = F(b) − F(−∞) = F(x)
−∞

b

−∞

b

Tích phân suy rộng

f (x)dx hội tụ khi và
−∞

chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạn
lim F(a) = F(−∞)

a→−∞

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

12 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Công thức Newton-Leibniz

+∞

f (x)dx = F(c) − lim F(a) +

a→−∞

−∞

+ lim F(b) − F(c)
b→+∞

+∞

Tích phân suy rộng

f (x)dx hội tụ khi và
−∞

chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạn lim F(a) và
a→−∞

lim F(b)

b→+∞

+∞

f (x)dx = F(+∞) − F(−∞) = F(x)
−∞
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

+∞

−∞

TP. HCM — 2016.

13 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Công thức Newton-Leibniz

VÍ DỤ 1.1
+∞

Tính tích phân suy rộng I =

cos xdx.
0

I = sin x

+∞
0

= lim sin b − sin 0 = lim sin b.
b→+∞

b→+∞

Giới hạn này không tồn tại nên tích phân

suy rộng I phân kỳ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

14 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Công thức Newton-Leibniz

VÍ DỤ 1.2
−1

Tính tích phân suy rộng I =
1
I=−
x

−1

dx
2
−∞ x

1
= 1.

a→−∞ a

= 1 + lim
−∞

Như vậy, tích phân I hội tụ.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

15 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Công thức Newton-Leibniz

VÍ DỤ 1.3
+∞

Tính tích phân suy rộng I =
−∞

I = arctan x

+∞
−∞

dx
1 + x2

= lim arctan b − lim arctan a =
b→+∞

=

a→−∞

π
π
− − = π.
2
2

Vậy, tích phân I hội tụ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

16 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Công thức Newton-Leibniz

VÍ DỤ 1.4
+∞

Tính tích phân I =

2

xe−x dx

0

1 2
I = − e−x
2

+∞
0

1 2 1 1
= lim − e−b + =
b→+∞ 2
2 2

Như vậy, tích phân I hội tụ.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

17 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Công thức Newton-Leibniz

VÍ DỤ 1.5
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng
+∞

I=

dx
,
xα

a

a > 0, α ∈ R

Nếu α = 1 thì
I =−

1
α−1

lim

x→+∞ x

1

−
α−1

1
aα−1

a1−α
Khi α > 1 ta có lim α−1 = 0 nên I =
.
x→+∞ x
α−1
Tích phân I hội tụ.
1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

18 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Khi α < 1 ta có lim

Công thức Newton-Leibniz

1

x→+∞ xα−1

= +∞ nên I phân kỳ.

Khi α = 1 ta có I = lim ln |x| − ln a = +∞ nên I
x→+∞
phân kỳ.
TÓM LẠI
+∞

dx
hội tụ.
xα
a
+∞
dx
1 thì I =
phân kỳ.
α
x
a

1

Nếu α > 1 thì I =

2

Nếu α

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

19 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Tính chất cơ bản của tích phân suy rộng loại 1

TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 I

1

Cho f (x) khả tích trên mọi đoạn
[a, b] ⊂ [a, +∞) và c > a. Khi đó tích phân
+∞

+∞

f (x)dx cùng hội tụ hoặc

f (x)dx,
a

c

cùng phân kỳ. Nếu chúng cùng hội tụ thì
c

+∞

f (x)dx =
a
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

+∞

f (x)dx +
a

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

f (x)dx
c
TP. HCM — 2016.

20 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Tính chất cơ bản của tích phân suy rộng loại 1

TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 II
+∞
2

Nếu tích phân
+∞

tụ thì
a

+∞

a

a

λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) dx hội tụ và

+∞

+∞

[λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x)]dx = λ1
a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

f2 (x)dx hội

f1 (x)dx,

+∞

f1 (x)dx + λ2
a

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

f2 (x)dx
a

TP. HCM — 2016.

21 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

DẤU HIỆU HỘI TỤ CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1
1

Ta chỉ xét những hàm f (x) 0, ∀x ∈ [a, +∞)
còn trường hợp f (x) 0, ∀x ∈ [a, +∞) thì ta
+∞

đưa về hàm −f (x)

0 vì

+∞

−
2

f (x)dx và
a

f (x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân
a

kỳ
Nếu hàm f (x) có dấu thay đổi trên [a, +∞)
+∞

thì ta xét sự hội tụ của

f (x) dx
a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

22 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

ĐỊNH LÝ 1.1
Cho f (x) và g(x) khả tích trên mọi đoạn
[a, b] ⊂ [a, +∞) sao cho 0 f (x) g(x), ∀x a.
+∞
1

Nếu
tụ.

+∞

g(x)dx hội tụ thì
a

f (x)dx hội
a

+∞
2

Nếu

+∞

f (x)dx phân kỳ thì
a

a

phân kỳ.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

g(x)dx

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

23 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

Chú ý. Bất đẳng thức 0
thể chỉ cần đúng ∀x

f (x)

c > a vì

c

g(x), ∀x
c

a có

f (x)dx và
a

g(x)dx là tích phân xác định nên giá trị
a

của chúng không ảnh hưởng đến sự hội tụ
của tích phân suy rộng.
VÍ DỤ 1.6
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng
+∞

I=
0

dx
x2 + 2x + 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

24 / 89


Tích phân suy rộng loại 1

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

1
1
<
, ∀x > 0. Tuy nhiên
2 + 2x + 2
x+∞
x2
dx
1
nếu xét
thì
không
được
vì
không
x2
x2
0
xác định tại x = 0. Do đó

Ta có 0 <

1

I=
0

dx
+
x2 + 2x + 2

+∞
1

dx
,
x2 + 2x + 2

+∞

+∞
dx
dx
trong đó
hội
tụ
vì
hội
2 + 2x + 2
2
x
x

1
1
1
dx
tụ , còn
là tích phân xác định
2 + 2x + 2
x
0
nên I hội tụ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2016.

25 / 89