1 cach CM cong thuc E=mc2

MỘT CÁCH CHỨNG MINH CÔNG THỨC E=M.C
2
TRONG THUYẾT TUƠNG ĐỐI
HẸP CỦA ALBERT EINSTEIN
z

'z

, ', , ', , 'u u F F m m
r ur uur uur

O

'O

, 'x x
I. Các tiên đề.
1 . Tiên đề 1 ( Nguyên lý tương đối ) :
Mọi hiện tượng vật lý đều diễn ra như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính.
2. Tiên đề 2:
Vận tốc của ánh sáng trong chân không là như nhau đối với mọi hệ quy chiếu quán tính, có giá trị là
c=3.10
8
(m/s), và là vận tốc cực đại trong tự nhiên.
II. Các công thức.
1.Tính tương đối của khối lượng:
Ta thấy, theo tiên đề 2, khi vật chuyển động càng gần tới vận tốc ánh sáng thì càng khó thay đổi vận tốc
(tăng tốc độ lên nữa), tức là, quán tính của vật càng lớn, hay nói cách khác, vật có khối lượng càng lớn. Vậy,
một cách tổng quát, ta thấy khối lượng của vật thay đổi khi nó chuyển động hay khối lượng của vật phụ
thuộc vào hệ quy chiếu.
2.Công thức E=M.C

2
:
a) Xét hai hệ quy chiếu quán tính K và K'. K' chuyển động với vận tốc không đổi
v
r
so với K sao cho:
+)
Ox
uuur
trùng với
' 'O x
uuuur
.
+)
Oy
uur

↑ ↑

O'y'
uuur
;
Oz
uur

↑ ↑

' 'O z
uuuur
.

+) Và tại thời điểm t
≡
t' = 0 thì O
≡
O'.
Khi đó phép biến đổi Lozentz:
x=
2
2
' . '
1
x v t
v
c
+
−
; y=y' ; z=z' ; t=
2
2
2
' . '
1
v
t x
c
v
c
+
−
Xét một chất điểm chuyển động với các thông tin như hình vẽ. Phương trình động lực học chất điểm tổng

quát là
F
ur
=
( . )d m u
dt
r
, theo tiên đề 1, phải bất biến đối với phép biến đổi Lozentz:

F
ur
=
( . )d m u
dt
r
Phép biến đổi Lozentz
'F
ur
=
( '. ')
'
d m u
dt
ur
, (1)
Chiếu (1) lên phương chuyển động của chất điểm, ta được:

( )d mu
F
dt

=
Phép biến đổi Lozentz
( ' ')
'
'
d m u
F
dt
=
Theo phép biến đổi Lozentz ta có:

2
2
' '
1
dx vdt
dx
v
c
+
=
−
;
2
2
2
' '
1
v
dt dx

c
dt
v
c
+
=
−
Suy ra :
2
'
'
'
1
'
dx
v
dx
dt
u
v dx
dt
c dt
+
= =
+
=
2
'
1 . '
u v

v
u
c
+
+
(2)
Và:
2
2
2 2
2
2
1 ( )
( ) ( )
' ' ' '
1
v
d mu
d mu d mu
c
F
v v
dt
dt dx dt dx
c c
v
c
−
= = =
+ +

−
phải có dạng
( ' ')
'
'
d m u
F
dt
=
.
Do đó, ta có:

2
2
2
1 ( )
( '. ')
'
' '
v
d mu
d m u
c
v
dt
dt dx
c
−
≡
+

⇔
2
2 2
'. ( 1 ) '. ( ' ') . '. ( '. ')
v v
dt d mu dt d m u dx d m u
c c
− ≡ +

⇔
2 2 2
2
' '
'. ( 1 ) '. ( ' ')
mc u v m c u
dt d dx d m u
v c v
− − ≡

2 2 2
2
' ' ( ' ')
( 1 ) ' '. '
'
mc u v m c u d m u
d dx dx F
v c v dt
⇔ − − ≡ =
Do

' 'dx F↑↑
uuur uur

⇒

'. ' '. ' W'dx F dx F d= =
uuur uur
- Biến thiên năng lượng của chất điểm trong hệ K', theo định luật bảo
toàn năng lượng, có giá trị bằng công của ngoại lực thực hiện lên chất điểm trong hệ K'.
Từ đó suy ra :
2 2 2
2
' '
W' = 1
mc u v m c u
A
v c v
− − +
(3)
Tương tự, ta có năng lượng của chất điểm trong hệ K:

2 2 2
2
mc ' '
W = 1
u m c u v
B
v v c
− − +
(4)

Với A, B là các hằng số.
b) Nhận xét:
+) Cho
' 0u
v c
=


=

( Chất điểm là photon), thay vào (2)
⇒
vận tốc của photon đối với K là
u c=
.Vậy khi
K' chuyển động với vận tốc bằng vận tốc ánh sáng thì vận tốc của photon đối với K' là
' 0u
=
( K' là hệ quy
chiếu gắn liền với photon, trong thực tế không có bất kỳ hệ quy chiếu nào chuyển động với vận tốc bằng vận
tốc ánh sáng, vì nếu không, tiên đề 2 sẽ sai).
+) Cho
' 0u
v c
=


=

⇒

u c=
, thay vào (3) và (4) ta được:
2
W = m.c + B
W' = A



, Vậy A là năng lượng của photon
trong hệ quy chiếu gắn liền với nó, được gọi là năng lượng nghỉ.
Khi
0m
=
và
' 0m
=
thì W =W' = 0
⇒
A = B = 0. Vậy năng lượng nghỉ của photon bằng không, hay nói cách
khác, năng lượng của photon chỉ có nguồn gốc động học.Và năng lượng của photon so với K là W = m.c
2
, m
được gọi là khối lượng quán tính của photon, (mc
2
=hν, với h là hằng số Planck, ν là tần số của sóng điện từ
ứng với photon).
+) Cho
' 0u =
( Chất điểm đứng yên so với K' ), thì từ (2) suy ra
u v=

, thay các giá trị này vào (3) và
(4) ta được:
2
2
2
2
W' = mc 1
W = mc
v
c

−




( Vì A = 0, B = 0) (5)
Nếu
0v =
thì chất điểm đứng yên so với K (và vẫn đứng yên so với K', do đó W' không đổi). Khi đó từ (5)
suy ra
2
0 0
W m c=
, với
0
m
là khối lượng nghỉ của chất điểm. Và ta thấy K
≡
K', nên suy ra

2
2 2
0
0 0
2
2
2
W' W mc 1
1
m
v
m c m
c
v
c
= ⇒ − = ⇒ =
−
, (Chất điểm chuyển động thẳng đều so với K!).
c) Kết luận:
+) Một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc
u
so với hệ quy chiếu quán tính K thì có khối lượng:
0
0
2
2
, ( )
1
m
m m m

u
c
= ≥
−
(6)
+) Năng lượng của vật:
2
E m c=
.
3. Bây giờ ta tổng quát hoá công thức (6), tức là xét khi vật chuyển động với vận tốc
u
thay đổi theo thời
gian. Ta cần nghiệm lại tiên đề 1 khi
u
thay đổi (độ lớn):
Ta có :
2
0
0
2
2 2
2 2
2 2
2
2
1
1 1
( )
' ' (1 ') '
1

m u
v u
d m d
c
u u
d mu
c c
F
v v
dt
dt dx u dt
c c
v
c
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
 ÷  ÷
− −
 ÷  ÷
   
= = =
+ +
−
(7)
+)
2
2
2

2
2 2
2
2 2
2 3 3
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
1 .
2 1
1
1
1
1
1 1
u
u
c
u
c
u
u u
d u
c
c c
u

du
u
u u
c
c
c c
 
−
 ÷
 
− −
 
−
 ÷
− +
 ÷
= = =
 ÷
   
−
−
 ÷
− −
 ÷  ÷
 
   


3
2

2
2
2
2
1
1
u du
d
u
u
c
c
 
 ÷
 ÷
⇒ =
 ÷
 
−
 ÷
−
 ÷
 
 
(8)
Theo (2) :
2 2
'
'
'

'
1 1 . '
'
dx
v
u v
dt
u
v dx v
u
c dt c
+
+
= =
+ +
Suy ra:
( )
2
2
2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
1 '
1 ' '
1
'
1 ' 1 ' 1 '
v

v v
v
du
u u v
c
du
c c
c
du
du
v v v
u u u
c c c
 
 
−
+ − +
 ÷
−
 ÷
   
= = ⇒ =
     
+ + +
 ÷  ÷  ÷
     
(9)
Và:
( ) ( ) ( ) ( )
2

2
2
2 2 2 2
2 2 2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 4 4
2 2 2
2
'
1 '
' 2 ' ' 2 '
1
1 '
( ) ' 1
' '
1 ' 1 ' 1 '
1
u v
c
v

v
u
c u vu u v vu
u c u
c
c
c c c
v
c u
c
v
c v u
c c v u c v c v c u
c
v v v
c u c u c u
c c c
v
c
 
 ÷
+
−
 ÷
 ÷
+
+ + − − −
 
−
 

− = = = =
 ÷
 
 
+
 ÷
 
 
− − −
 ÷
− − − − −
 
= = =
     
+ + +
 ÷  ÷  ÷
     
= −
2
2
2 2
2
' 1
1 (10)
1 '
u
c
v
u
c

  
−
 ÷ ÷
 
  
+
 ÷
 
Th
ay (9) và (10) vào (8) ta có:

3
2
2 2
2
3 3 3
2
2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2
1 . '. 1 '
1 ' '
' '
1
1 ' 1 1 1 1
v v
v
du u

u du
c c
d u
c
du
u
v v u v u
u
c
c c c c c
  
 
 
− +
+
 ÷
 ÷ ÷
 ÷
 
   
 ÷
= =
 ÷
     
 
−
 ÷
+ − − − −
 ÷
 ÷  ÷  ÷

 
 
     
(11)
Thay (11) vào (7) ta có:
2
0
2 2
0
3 3
2 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 ' '
'
( )
' '
1 ' 1 1 . ' 1 . '
v v
m u du
m du
d mu
c c
F
dt
v v u u
u dt dt
c c c c
 
− +

 ÷
 
= = =
   
 
+ − − −
 ÷  ÷  ÷
 
   
(12)
Mặt khác ta có:

0
0
2 2
2 2
'
'
' '
1 1
( ' ')
'
' ' '
m
u
d u m d
u u
d m u
c c
F

dt dt dt
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
 ÷  ÷
   
= = =
,
Nhưng theo (8) thì:
0
3 3
2
2 2
2 2
2
2 2
'
' ' ( ' ')
'
'
'
' '
1
1 1 . '
m du
u du d m u
d F
dt

u
u u
dt
c
c c
 
 ÷
 ÷
= ⇒ = =
 ÷
   
−
 ÷
− −
 ÷  ÷
 
   
(13)
Từ (12) và (13) ta thấy:
( ) ( ' ')
'
'
d mu d m u
F F
dt dt
= ≡ =
qua phép biến đổi Lorentz.