tự động hóa chương 4

CHƯƠNG
4
118

Chương

4

KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA
HỆ THỐNG
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
4.1.1 Đònh nghóa
Hệ thống được gọi là ở trạng thái ổn đònh, nếu
với tín hiệu vào bò chặn thì đáp ứng của hệ cũng bò
chặn (Bounded Input Bounded Output = BIBO).
Yêu cầu đầu tiên đối với một hệ thống ĐKTĐ là
hệ thống phải giữ được trạng thái ổn đònh khi chòu tác
động của tín hiệu vào và chòu ảnh hưởng của nhiễu
lên hệ thống.
Hệ phi tuyến có thể ổn đònh trong phạm vi hẹp khi
độ lệch ban đầu là nhỏ và không ổn đònh trong phạm vi
rộng nếu độ lệch ban đầu là lớn.
Đối với hệ tuyến tính đặc tính của quá trình quá
độ không phụ thuộc vào giá trò tác động kích thích. Tính
ổn đònh của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể
loại và giá trò của tín hiệu vào và trong hệ tuyến tính
chỉ tồn tại một trạng thái cân bằng.
Phân biệt ba trạng thái cân bằng: biên giới ổn
đònh, ổn đònh và không ổn đònh. Trên hình 4.1 nếu thay
đổi nhỏ trạng thái cân bằng của quả cầu, chẳng hạn
cho nó một vận tốc ban đầu đủ bé thì quả cầu sẽ

tiến tới một trạng thái cân bằng mới (Hình 4.1a), hoặc
sẽ dao động quanh vò trí cân bằng (Hình 4.1b và d), hoặc
sẽ không trở về trạng thái ban đầu (Hình 4.1c). Trong


CHƯƠNG 4

119

trường hợp đầu, ta có vò trí cân bằng ở biên giới ổn
đònh, trường hợp sau là ổn đònh và trường hợp thứ ba là
không ổn đònh. Cũng ở vò trí b và d trên hình 4.1, nếu
quả cầu với độ lệch ban đầu là lớn thì cũng sẽ không
trở về trạng thái cân bằng ban đầu được. Hai trạng thái
b và d của quả cầu chỉ ổn đònh trong phạm vò hẹp mà
không ổn đònh trong phạm vi rộng.

Hình 4.1
Trong trường hợp này việc khảo sát tính ổn đònh
được giới hạn cho các hệ tuyến tính bất biến theo thời
gian. Đó là những hệ thống được mô tả bằng phương
trình vi phân tuyến tính hệ số hằng và có thể áp dụng
được nguyên lý xếp chồng.
4.1.2 Ổn đònh của hệ tuyến tính
Một hệ thống ĐKTĐ được biểu diễn bằng một
phương trình vi phân dạng tổng quát:
ao

dn c(t)
dtn

+ a1

dn−1c(t)
dtn−1

+ ...+ anc(t) = bo
bmr(t)

dmr (t)
dtm

+ b1

dm−1r(t)
dtm−1

+ ...+
(4.1)

Phương trình (4.1) ứng với tín hiệu vào hệ thống là r(t)
và tín hiệu ra c(t). Hàm truyền đạt của hệ thống được mô
tả bằng (4.1) có dạng:


KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

G(s) =

120

b sm + b sm− r + ..... + bm
C(s)
B(s)
= o n 1 n−1
=
R(s)
A(s)
aos + a1s
+ ..... + an

(4.2)

Nghiệm của (4.1) gồm hai thành phần:
c(t) = co(t) + cqđ(t)

(4.3)

trong đó: co(t) - nghiệm riêng của (4.1) có vế phải, đặc
trưng cho quá trình xác lập
cqđ(t) - nghiệm tổng quát của (4.1) không có vế
phải, đặc trưng cho quá trình quá độ.
Dạng nghiệm tổng quát đặc trưng cho quá trình quá
n

độ trong hệ thống:

cqđ(t) =

∑ λi epit

i =1

(4.4)
trong đó pi là nghiệm của phương trình đặc tính:
A(s) = aosn + a1sn−1 + ... + an = 0

(4.5)

pi có thể là nghiệm thực cũng có thể là nghiệm phức
liên hợp và được gọi là nghiệm cực của hệ thống. Đa
thức mẫu số hàm truyền đạt là A(s) bậc n do đó hệ
thống có n nghiệm cực pi (Pole), i = 1, 2,..., n
Zero là nghiệm của phương trình B(s) = 0. Tử số hàm
truyền đạt G(s) là đa thức bậc m (m< n) nên hệ thống
có m nghiệm zero - zj với j = 1, 2,..., m
Hệ thống ổn đònh nếu:
lim cqđ(t) = 0
t→∞

(4.6)

Hệ thống không ổn đònh nếu:
lim cqđ(t) = ∞
t→∞

(4.7)

Trong phương trình (4.4) hệ số λ i là hằng số phụ
thuộc vào thông số của hệ và trạng thái ban đầu.
Nghiệm cực pi được viết dưới dạng: pi = α i ± j βi

lim λ epit =
t→∞ i

(4.8)

0 nếu αi < 0
Hệ ổn đònh
nếu pi là nghiệm phức
λi nếu αi = 0 nếu pi là nghiệm
thực
(Hệ ở biên giới ổn
đònh)
nếu αi > 0
Hệ không ổn đònh


CHƯƠNG 4

121

Phân biệt ba trường hợp phân bố cực trên mặt
phẳng phức số (H.4.2):
1- Phần thực của nghiệm cực dương αi > 0
2- Phần thực của nghiệm cực bằng không αi = 0
3- Phần thực của nghiệm cực âm αi < 0
Ổn đònh của hệ thống chỉ phụ thuộc vào nghiệm
cực mà không phụ thuộc vào nghiệm zero, do đó mẫu
số hàm truyền đạt là A(s) = 0 được gọi là phương trình
đặc tính hay phương trình đặc trưng của hệ thống.

Hình 4.2 Phân bố cực trên mặt phẳng S
Kết luận:
1- Hệ thống ổn đònh nếu tất cả nghiệm của
phương trình đặc tính đều có phần thực âm: Re{pi} < 0, αi
< 0 các nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức:
A(s) = aosn + a1sn−1 + ..... + an = 0

(4.9)

2- Hệ thống không ổn đònh nếu có dù chỉ là một
nghiệm phương trình đặc tính (4.9) có phần thực dương
(một nghiệm phải) còn lại là các nghiệm đều có phần
thực âm (nghiệm trái)


KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

122

3- Hệ thống ở biên giới ổn đònh nếu có dù chỉ
là một nghiệm có phần thực bằng không còn lại là
các nghiệm có phần thực âm (một nghiệm hoặc một
cặp nghiệm phức liên hợp nằm trên trục ảo).
Vùng ổn đònh của hệ thống là nửa trái mặt
phẳng phức số S. Đáp ứng quá độ có thể dao động
hoặc không dao động tương ứng với nghiệm của phương
trình đặc tính là nghiệm phức hay nghiệm thực.
Tất cả các phương pháp khảo sát ổn đònh đều xét
đến phương trình đặc tính (4.9) theo một cách nào đó.

Tổng quát, ba cách đánh giá sau đây thường được dùng
để xét ổn đònh:
1- Tiêu chuẩn ổn đònh đại số Routh - Hurwitz
2- Tiêu chuẩn ổn đònh tần số Mikhailov - Nyquist Bode
3- Phương pháp chia miền ổn đònh và phương pháp
quỹ đạo nghiệm số.

4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.1 Điều kiện cần
Điều kiện cần để hệ thống ổn đònh là tất cả các
hệ số của phương trình đặc trưng phải khác 0 và cùng
dấu.
Ví dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng:
g s3 + 3s2 − 2s + 1 = 0

không ổn đònh

g s4 + 2s2 + 5s + 3 = 0

không ổn đònh

g s4 + 4s3 + 5s2 + 2s + 1 = 0 chưa kết luận được



4.2.2 Tiêu chuẩn ổn đònh Routh
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng
aosn + a1sn−1 + K + an−1s + an = 0
Muốn xét tính ổn đònh của hệ thống theo tiêu
chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo qui

tắc:


CHƯƠNG 4

123

- Bảng Routh có n+1 hàng.
- Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ
số chẵn.
- Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ
số lẻ.
- Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh (i ≥ 3) được
tính theo công thức:
cij = ci −2, j +1 − α i ⋅ ci −1, j +1
αi =

với:

ci −2,1
ci −11
,

sn

c11 = ao

c12 = a2

c13 = a4

c14 = a6

…

sn–1

c21 = a1

c22 = a3

c23 = a5

c24 = a7

…

α3 =

c11
c21

sn–2

c31 = c12 − α 3c22

c32 = c13 − α3c23

c33 = c14 − α3c24

c34 = c15 − α 3c25

…

α4 =

c21
c31

sn–3

c41 = c22 − α4c32

c42 = c23 − α 4c33

c43 = c24 − α4c34

c44 = c25 − α 4c35

…

…

…

…

…

…

…

…
αn =

cn − 2,1
cn −1,1

s0

cn1 = cn− 2, 2 −
α n cn−1, 2

Phát biểu tiêu chuẩn Routh

Điều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của
phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức là
tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều
dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của
bảng Routh bằng số nghiệm nằm bên phải mặt phẳng
phức.
Ví dụ 4.1 Hãy xét tính ổn đònh của hệ thống có
phương trình đặc trưng là:
s4 + 4s3 + 5s2 + 2s + 1 = 0
Giải:
Bảng Routh


KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

s4

1

5

1

s3

4

2

0

1

α3 =

1
4

s2

1
9
5 − .2 =
4
2

α4 =

8
9

s1

8
10
2 − .1 =
9
9

81
20

s0

1

α5 =

124

Vì tất cả các phần tử ở cột 1 bảng Routh đều
dương nên tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính
đều nằm bên trái mặt phẳng phức, do đó hệ thống
ổn đònh. 
Ví dụ 4.2 Hãy xét tính ổn đònh của hệ thống tự động

có sơ đồ khối như sau:

Hình 4.3
G(s) =

50

H (s) =

2

s(s + 3)(s + s + 5)

1
s+ 2

Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là
1 + G(s) ⋅ H (s) = 0
50

1
=0
s(s + 3)(s + s + 5) (s + 2)



1+

⋅



s(s + 3)(s2 + s + 5)(s + 2) + 50 = 0



s5 + 6s4 + 16s3 + 31s2 + 30s + 50 = 0

2

Bảng Routh

α3 =

1
6

s5

1

16

30

s4

6

31

50

3

s

16 −

1
⋅ 31 = 10, 83
6

30 −

1
⋅ 50 = 21, 67
6

0


CHƯƠNG 4

125

α4 =

6
10, 83

s2

31 −

6
× 21, 67 = 18, 99
10, 83

α5 =

10, 83
18, 99

s1

21, 67 −

s0

50

10, 83
× 50 = −6, 84
18, 99

0

50

Vì các phần tử ở cột 1 bảng Routh đổi dấu hai lần
nên phương trình đặc tính đều có hai nghiệm nằm bên
phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn đònh.

Ví dụ 4.3 Cho hệ thống có sơ đồ khối như sau

G(s) =

K
2

s(s + s + 1)(s + 2)

Hình 4.4
Xác đònh điều kiện của K để hệ thống ổn đònh.
Giải: Phương trình đặc tính
1 + G(s) = 0
⇔ 1+

K
2

s(s + s + 1)(s + 2)

=0

⇔ s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + K = 0


KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

126

Bảng Routh
s4

1

3

K

3

s

3

2

0

1
7
3− ⋅ 2 =
3
3

K

α3 =

1
3

s2

α4 =

9
7

s1
s0

2−

9
⋅K
7

0

K

Điều kiện để hệ thống ổn đònh
9

2 − K > 0
7


 K > 0

⇔ 0< K <

14
9



Các trường hợp đặc biệt
Trường hợp 1: nếu có hệ số ở cột 1 của hàng
nào đó bằng 0, các hệ số còn lại của hàng đó khác 0
thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi số ε dương, nhỏ
tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục.
Ví dụ 4.4 Xét tính ổn đònh của hệ thống có phương trình
đặc trưng:
s4 + 2s3 + 4s2 + 8s + 3 = 0
Giải:
Bảng Routh

α3 =

α4 =

s4

1

4

3

s3

2

8

0

1
2

s2

1
4− ⋅8= 0
2

3

⇒

s2

ε>0

3

2
ε

s1
s0

8−

2
⋅ 3< 0
ε

0

3

Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu hai lần
nên phương trình đặc tính của hệ thống có hai nghiệm
nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không
ổn đònh.



CHƯƠNG 4

127

Trường hợp 2: nếu tất cả các hệ số của hàng
nào đó bằng 0
- Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàng

trước hàng có tất cả các hệ số bằng 0, gọi đa
thức đó là Ap(s).
- Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một
hàng khác có các hệ số chính là các hệ số
dA p(s)
của
. Sau đó quá trình tính toán tiếp tục.
ds
Chú ý: Nghiệm của đa thức phụ Ap(s) cũng chính là
nghiệm của phương trình đặc trưng.
Ví dụ 4.5 Xét tính ổn đònh của hệ thống có phương trình
đặc trưng:
s5 + 4s4 + 8s3 + 8s2 + 7s + 4 = 0
Xác đònh số nghiệm của phương trình đặc tính nằm
bên trái, bên phải hay trên trục ảo của mặt phẳng
phức.
Giải:
Bảng Routh
s5

1

4

8

7

s

4

8

4

1
α3 =
4

s3

1
8− × 8 = 6
4

1
7− × 4 = 6
4

0

α4 =

4
6

s2

8−

4
×6= 4
6

4

α5 =

6
4

s1

6−

6
×4= 0
4

0

⇒

s1

8

0

KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
α6 =

4
8

s0

4−

128

4
×0= 4
8

Đa thức phụ A p (s) = 4s2 + 4 ⇒

dA p (s)
ds

= 8s + 0

Nghiệm của đa thức phụ (cũng chính là nghiệm của
phương trình đặc trưng):
A p (s) = 4s2 + 4 = 0 ⇔ s = ± j

Kết luận:
- Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên

phương trình đặc trưng không có nghiệm nằm bên
phải mặt phẳng phức.
- Phương trình đặc tính có hai nghiệm nằm trên trục
ảo.
- Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 – 2
= 3.
⇒ Hệ thống ở biên giới ổn đònh.

4.2.3 Tiêu chuẩn ổn đònh Hurwitz
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng
aosn + a1sn−1 + K + an−1s + an = 0
Muốn xét tính ổn đònh của hệ thống theo tiêu
chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz
theo qui tắc:
- Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n× n.
- Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ
a1 đến an.
- Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có
chỉ số lẻ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải
đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường
chéo.
- Hàng chẵn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số
có chỉ số chẵn theo thứ tự tăng dần nếu ở bên
phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái
đường chéo.


CHƯƠNG 4

129

 a1
a
 o
0

0
M

 0

a3
a2
a1
ao
M
K

a5
a4
a3
a2
M
K

a7
a6
a5
a4
M

K

K
K
K
K
K

0
0 
0

0
M

an 

Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz
Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn đònh là tất
cả các đònh thức con chứa đường chéo của ma trận
Hurwitz đều dương.
Ví dụ 4.6
trưng là

Cho hệ thống tự động có phương trình đặc
s3 + 4s2 + 3s + 2 = 0

Hỏi hệ thống có ổn đònh không?
Giải: Ma trận Hurwitz
 a1 a3

a a
 o 2
 0 a1

0   4 2 0
0  = 1 3 0
a3   0 4 2

Các đònh thức:
∆1 = a1 = 1
∆2 =

a1 a3 4 2
=
= 4 × 3 − 1 × 2 = 10
ao a2 1 3

a1 a3
∆ 3 = ao a2
0 a1

0
a
0 = a3 1
a0
a3

a3
4 2
= 2×

= 2 × 10 = 20
a2
1 3

Vì tất cả các đònh thức con chứa đường chéo của
ma trận Hurwitz đều dương nên hệ thống ổn đònh.



KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

130

4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.1 Khái niệm
- Xét hệ thống có phương trình đặc tính
s2 + 4s + K = 0

(4.10)

- Nghiệm của phương trình đặc tính ứng với các giá
trò khác nhau của K:
K = 0:

s1 = 0 ,

s2 = −4

K = 1:

s1 = −0, 268 ,

s2 = −3,732

K = 2:

s1 = −0, 586 ,

s2 = −3, 414

K = 3:

s1 = −1 ,

s2 = −3

K = 4:

s1 = −2 ,

s2 = −2

K = 5:

s1 = −2 + j ,

s2 = −2 − j

K = 6:

s1 = −2 + j 1, 414 ,

s2 = −2 − j 1, 414

K = 7:

s1 = −2 + j 1,732 ,

s2 = −2 − j 1,732

K = 8:

s1 = −2 + j 2 ,

s2 = −2 − j 2

…

Hình 4.5 Quỹ đạo nghiệm số
Vẽ các nghiệm của phương trình (4.10) tương ứng với
các giá trò của K lên mặt phẳng phức. Nếu cho K thay
đổi liên tục từ 0 đến +∞, tập hợp tất cả các nghiệm
của phương trình (4.10) tạo thành đường đậm nét như
trên hình vẽ. Đường đậm nét trên hình vẽ được gọi là
quỹ đạo nghiệm số.


CHƯƠNG 4

131

Đònh nghóa: Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các
nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thống khi có một
thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 → ∞ .

4.3.2 Qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số

Hình 4.6
Xét hệ thống điều khiển có sơ đồ khối ở hình 4.6.
Phương trình đặc tính của hệ:
1 + G(s)H (s) = 0

(4.11)

Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số,
trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặc
tính về dạng:
1+ K

N (s)
=0
D(s)

(4.12)

trong đó K là thông số thay đổi.
Đặt:

Go(s) = K

N (s)
D(s)

Gọi n là số cực của G0(s), m là số zero của Go(s)
(4.12) ⇔ 1 + Go(s) = 0
 Go(s) = 1
⇔ 
∠Go(s) = (2l + 1)π

Điề
u kiệ
n biê
n độ
Điề
u kiệ
n pha

Sau đây là 11 qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số của
hệ thống có phương trình đặc tính có dạng (4.12):


KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

132

Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc
của phương trình đặc tính = số cực của G0(s) = n.
Qui tắc 2: Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm
số xuất phát từ các cực của Go(s).
Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số

tiến đến m zero của Go(s), n-m nhánh còn lại tiến đến ∞
theo các tiệm cận xác đònh bởi qui tắc 5 và 6.
Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục
thực.
Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ
đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của Go(s) bên
phải nó là một số lẻ.
Qui tắc 5: Góc tạo bởi các đường tiệm cận của
quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác đònh bởi:
α=

(2l + 1)π
( l = 0, ±1, ±2,K )
n−m

(4.13)

Qui tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục
thực là điểm A có tọa độ xác đònh bởi:
n

cực − ∑ zero ∑
∑
OA =
= i =1
n−m

pi −

m

∑ zi
i =1

(4.14)

n−m

(pi và zi là các cực và các zero của Go(s)).
Qui tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo
nghiệm số nằm trên trục thực và là nghiệm của phương
dK
=0
trình:
ds
Qui tắc 8: Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với
trục ảo có thể xác đònh bằng một trong hai cách sau
đây
- Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz.
- Thay s = j ω vào phương trình đặc tính (4.12), cân bằng
phần thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với
trục ảo và giá trò K.
Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số
tại cực phức pj được xác đònh bởi:
θ j = 180° +

m

∑
i =1

arg( pj − zi ) −

n

∑ arg( p
i =1
i≠ j

j

− pi )

(4.15)


CHƯƠNG 4

133

Dạng hình học của công thức trên là:
θj = 180o + (∑góc từ các zero đến cực pj )
– (∑góc từ các cực còn lại đến cực p j)
Qui tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay
đổi
từ
0 → +∞.
Qui tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo
nghiệm số có thể xác đònh từ điều kiện biên độ
K

N (s)
=1
D(s)

(4.16)

Ví dụ 4.7 Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau
G(s) =

K
s(s + 2)(s + 3)

Hình 4.7
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0 → +∞.
Giải: Phương trình đặc tính của hệ thống
1 + G(s) = 0 ⇔ 1 +

K
=0
s(s + 2)(s + 3)

(1)

(1)
Các cực: ba cực.
p1 = 0 ,

p2 = −2 ,

p3 = −3

Các zero: không có.
⇒ QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi
K = 0.
Khi K → +∞, ba nhánh của QĐNS sẽ tiến đến vô cùng
theo các tiệm cận xác đònh bởi:


KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

134

- Góc giữa các tiệm cận và trục thực
π

(l = 0)
α1 = 3

π

(2l + 1)π (2l + 1)π
(l = – 1)
 α 2 = −
α=
=
3
n−m
3− 0


α 3 = π
(l = 1)


- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực

∑ cực − ∑ zero = [0 + (−2) + (−3)] − 0 = − 5

OA =

n−m

3− 0

3

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình
Ta có (1):
⇒
Do đó

⇔

dK
=0
ds

K = − s(s + 2)(s + 3) = −(s3 + 5s2 + 6s)

dK

= −(3s2 + 10s + 6)
ds

 s1 = −2,549 (loại )
dK
= 0 ⇔ −(3s2 + 10s + 6) = 0 ⇔ 
ds
 s2 = −0,785

- Giao điểm của QĐNS với trục ảo có thể xác đònh
bằng một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Áp dụng tiêu chuẩn Routh
(1) ⇔ s3 + 5s2 + 6s + K = 0
Bảng Routh

α3 =

1
5

s3

1

6

s2

5

K

s1

1
6− × K = 0
5

0

s0

K

Điều kiện để hệ thống ổn đònh
1

6 − K > 0
⇔ 0 < K < 30
5

 K > 0
Vậy hệ số khuếch đại giới hạn là Kgh = 30.
Thay giá trò Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương
trình ta được giao điểm của QĐNS với trục ảo.


CHƯƠNG 4

135

s3 + 5s2 + 6s + 30 = 0
 s1 = −5

⇔  s2 = j 6

 s3 = − j 6
Cách 2: Giao điểm (nếu có) của QĐNS và trục ảo
phải có dạng s = j ω . Thay s = j ω
vào phương trình (1) ta được:

( j ω) 3 + 5( j ω) 2 + 6( j ω) + K

=0

⇔ − j ω3 − 5ω2 + 6 j ω + K = 0
⇔

⇔

 − j ω3 + 6 j ω = 0

2
 −5ω + K = 0
ω = 0

K = 0
ω = ± 6

 K = 30

Hình 4.8

Ví dụ 4.8 Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vò, trong đó
hàm truyền hở là:
K
G(s) =
2
s(s + 8s + 20)
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0→ +∞.
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống
1 + G(s) = 0
K
=0
⇔ 1+ 2
s(s + 8s + 20)

(1)


KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

Các cực:

p1 = 0 , p2,3 = −4 ± j 2

Các zero

không có

136

⇒ QĐNS gồm ba nhánh xuất phát tại các cực khi K
= 0. Khi K → +∞, ba nhánh tiến đến vô cùng theo tiệm
cận xác đònh bởi:
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực
π

(l = 0)
α1 = 3

π

(2l + 1)π (2l + 1)π
(l = – 1)
⇒ α 2 = −
α=
=
3
n−m
3− 0

α 3 = π
(l = 1)


- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực
OA =

∑ cực − ∑ zero = [0 + (−4 + j 2) + (−4 − j 2)] − (0) = − 8

n−m

3− 0

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình

3

dK
=0
ds

Ta có:
(1) ⇔

s3 + 8s2 + 20s + K = 0

⇔

K = −(s3 + 8s2 + 20s)

⇒

dK
= −(3s2 + 16s + 20)
ds

Do đó

 s1 = −3, 33

dK
= 0 ⇔ 3s2 + 16s + 20 = 0 ⇔ 
ds
 s2 = −2, 00

Vậy QĐNS có hai điểm tách nhập.
- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác đònh
cách thay s = j ω vào phương trình đặc tính.
(1) ⇔ s3 + 8s2 + 20s + K = 0
Thay s = j ω ta được:
( j ω)3 + 8( j ω)2 + 20( j ω) + K = 0 ⇔ − j ω3 − 8ω2 + 20 j ω + K = 0


CHƯƠNG 4

137

 −8ω + K = 0
⇔  3
 −ω + 20ω = 0
2

⇔

ω = 0

K = 0
ω = ± 20

 K = 160

Vậy giao điểm của QĐNS và trục ảo là s = ± j 20 .
- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2 là
θ2 = 180° − [arg( p2 − p1 ) + arg( p2 − p3 )]
= 180° − { arg[(−4 + j 2) − 0] + arg[(−4 + j 2) − (−4 − j 2)]}


 2
= 180° −  tg−1 
 + 90 = 180° − { 153, 5 + 90}
−
4




⇒ θ2 = −63,5°

Hình 4.9
Ví dụ 4.9 Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vò, trong đó


KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

G(s) =

hàm truyền hở là:

138

K (s + 1)
s(s + 3)(s2 + 8s + 20)

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0 → +∞.
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống
1 + G(s) = 0
⇔ 1+

K (s + 1)
s(s + 3)(s2 + 8s + 20)

=0

(1)

Các cực p1 = 0 , p2 = −3 , p3,4 = −4 ± j 2
z1 = −1

Các zero

⇒ QĐNS gồm bốn nhánh xuất phát tại các cực khi K
= 0. Khi K → +∞, một nhánh tiến đến zero, ba nhánh còn
lại tiến đến vô cùng theo tiệm cận xác đònh bởi:
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực
π

α1 = 3

π


(2l + 1)π (2l + 1)π
⇒ α 2 = −
α=
=
3
n−m
4−1

α 3 = π



(l = 0)
(l = – 1)
(l = 1)

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực
OA =

∑ cực − ∑ zero = [0 + (−3) + (−4 + j 2) + (−4 − j 2)] − (−1) = − 10
n−m

3− 0

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình
Ta có
(1) ⇔

s(s + 3)(s2 + 8s + 20) + K (s + 1) = 0
s(s + 3)(s2 + 8s + 20)

(s + 1)

⇔

K =−

⇒

dK
3s4 + 26s3 + 77s2 + 88s + 60
=−
ds
(s + 1)2

Do đó

dK
= 0 ⇔ 3s4 + 26s3 + 77s2 + 88s + 60 = 0
ds

3

dK
=0
ds


CHƯƠNG 4

139

 s1,2 = −3, 67 ± j 1, 05
⇔ 
(loại)
 s3,4 = −0, 66 ± j 0.97
Vậy QĐNS không có điểm tách nhập.
- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác đònh
cách thay s = j ω vào phương trình đặc tính.
(1) ⇔
⇔

s(s + 3)(s2 + 8s + 20) + K (s + 1) = 0
s4 + 11s3 + 44s2 + (60 + K )s + K = 0

Thay s = j ω ta được
ω4 − 11 j ω3 − 44ω2 + (60 + K ) j ω + K = 0
⇔

ω4 − 44ω2 + K = 0

3
 −11ω + (60 + K )ω = 0
ω = 0

K = 0

⇔

ω = ±5, 893


 K = 322
ω = ± j 1, 314
(loại)

 K = −61,7

Vậy giao điểm cần tìm
là:
s = ± j 5, 893
Hệ số khuếch đại giới
hạn là:
K gh = 322

Hình 4.10

- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p 3
θ3 = 180 + β1 − (β2 + β3 + β4 )


KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

140

= 180 + 146, 3 − (153, 4 + 116, 6 + 90)
θ3 = −33,7

Ví dụ 4.10 Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vò, trong đó
hàm truyền hở là:
400
G(s) =

s(s + 6)(s + a)
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi a = 0→ +∞.
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống
1 + G(s) = 0
400
=0
s(s + 6)(s + a)

⇔

1+

⇔

s(s + 6)(s + a) + 400 = 0

⇔

s2(s + 6) + 400 + as(s + 6) = 0

⇔

1+
(1)

as(s + 6)
3

s + 6s2 + 400

=0

Các cực p1 = −10 , p2,3 = 2 ± j 6
Các zero z1 = 0 ,

z2 = −6

⇒ QĐNS gồm ba nhánh xuất phát tại các cực khi K =
0. Khi K → +∞, hai nhánh tiến đến hai zero, nhánh còn lại
tiến đến vô cùng theo tiệm cận xác đònh bởi:
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực
α=

(2l + 1)π (2l + 1)π
⇒ α = π , (l = 0)
=
n−m
3− 2

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực
OA =

∑ cực − ∑ zero = [−10 + (−2 + j 6) + (−2 − j 6)] − [0 + (−6)] = −8
n−m

3− 2

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình
Ta có (1) ⇔
⇔

s3 + 6s2 + 400 + as(s + 6) = 0
a= −

s3 + 6s2 + 400
s2 + 6s

da
=0
ds


CHệễNG 4

141



da
s3 + 6s2 + 400 s4 + 12s3 + 36s2 800s 2400
=
=
ds
s2 + 6s
(s2 + 6s)2

Do ủoự

da
= 0 s4 + 12s3 + 36s2 800s 2400 = 0

ds
s1 = +6, 9

s2 = 2, 9
s = 8 j 7, 48
3,4

(loaùi )
(loaùi )

Vaọy QẹNS 1 coự ủieồm taựch nhaọp taùi 2,9.


KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

142

- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác đònh
bằng cách thay s = j ω vào phương trình đặc tính.
(1)

⇔

s3 + 6s2 + 400 + as( s + 6) = 0

⇔

s3 + (6 + a) s2 + 6as + 400 = 0

Thay s = j ω ta được

− j ω3 − (6 + a)ω2 + 6aj ω + 400 = 0
⇔

 −(6 + a)ω2 + 400 = 0
 3
 −ω + 6aω = 0
ω = 0

a = ∞

⇔

ω = ±5, 85

 a = 5,7
ω = ± j 8, 38
(loại)

 a = −11,7

Vậy giao điểm cần tìm là s = ± j 5, 85 , tương ứng với
giá
trò
giới hạn của hệ số a là agh = 5,7
- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p 2
θ2 = 180 + (β1 + β2 ) − (β3 + β4 ) = 180 + (71, 6 + 36,7) − (26, 6 + 90)
θ2 = 171,7°

Hình 4.11