Nghiên cứu và ứng dụng lý thuyết hàng đợi trong bài toán mô phỏng hoạt động một siêu thị

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THU THỦY

NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI
TRONG BÀI TOÁN MÔ PHỎNG HOẠT ĐỘNG MỘT SIÊU THỊ

Ngành: Công nghệ thông tin
Chuyênngành: Kỹ thuật phần mềm
Mãsố: 60480103

LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

HàNội– 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THU THỦY

NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI
TRONG BÀI TOÁN MÔ PHỎNG HOẠT ĐỘNG MỘT SIÊU THỊ

Ngành: Côngnghệthông tin
Chuyênngành: Kỹthuậtphầnmềm
Mãsố: 60480103

LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TIẾN SĨ LÊ QUANG MINH

HàNội - 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu do chính tôi thực hiện trên cơ
sở tìm kiếm, thu thập, nghiên cứu, tổng hợp trình bày bằng văn bản. Các tài liệu tham
khảo đều đƣợc nêu ở phần cuối của luận văn. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn
là trung thực và không sao chép nguyên bản từ bất kì một nguồn tài liệu nào khác.
Nếu có gì sai sót, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
HỌC VIÊN

NGUYỄN THU THỦY

1


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................................1
MỤC LỤC .......................................................................................................................2
DANH MỤC HÌNH VẼ ..................................................................................................4
DANH MỤC CÁC BẢNG ..............................................................................................5
Chƣơng 1: LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI ............................................................................8
1.1

Các khái niệm cơ bản .........................................................................................8

1.1.1

Biến ngẫu nhiên...........................................................................................8

1.1.2

Phân phối sác xuất thƣờng gặp ...................................................................8

1.1.3

Khái niệm hàng đợi và lý thuyết hàng đợi ................................................11

1.1.4

Kí hiệu Kendall .........................................................................................15

1.1.5

Định nghĩa các độ đo hiệu suất .................................................................16

1.1.6

Luật Little ..................................................................................................17

1.2

Một số mô hình hàng đợi cơ bản .....................................................................18

1.2.1

Hệ thống một kênh phục vụ M/M/1 ..........................................................19

1.2.2

Hệ thống đa kênh phục vụ M/M/c.............................................................20

1.2.3

Hệ thống hàng đợi có thời gian phục vụ chính xác (M/D/1) ....................22

1.2.4

Hệ thống hàng đợi giới hạn kích thƣớc M/M/c/K.....................................22

1.3

Các điều kiện để bài toán có thể giải đƣợc bằng lý thuyết ..............................23

1.4

Phƣơng pháp giải quyết bài toán bằng lý thuyết hàng đợi...............................24

Chƣơng 2: CÔNG CỤ MÔ PHỎNG GPSS WORLD...................................................25
2.1

Cách tiếp cận mô phỏng ...................................................................................25

2.2

Hiện trạng một số công cụ mô phỏng chuyên dụng ........................................25

2.3

Giới thiệu về GPSS World ...............................................................................26

2.3.1

Đặc điểm nổi bật của ngôn ngữ GPSS World ...........................................26

2.3.2

Một số khái niệm trong GPSS World .......................................................27

2.3.3

Các thực thể trong GPSS ...........................................................................30

2.3.4

Cú pháp lệnh GPSS ...................................................................................33

2.3.5

Các khối cơ bản trong GPSS .....................................................................35

2.3.6

Một số hàm thƣ viện..................................................................................41

2.3.7

Cài đặt và sử dụng GPSS World Student Version ....................................41

2.4

Hàng đợi có ƣu tiên Priority Queueing ............................................................42
2


2.5

Các bƣớc mô phỏng bài toán trên GPSS World ..............................................44

CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI VÀ CÔNG CỤ MÔ PHỎNG
VÀO BÀI TOÁN HÀNG ĐỢI SIÊU THỊ ....................................................................48
3.1

Một số quan sát về hàng đợi siêu thị................................................................ 48

3.2

Bài toán xếp hàng gồm 1 phase phục vụ .........................................................49

3.2.1

Phát biểu bài toán ......................................................................................49

3.2.2

Phân tích bài toán bằng lý thuyết hàng đợi. ..............................................50

3.2.3

Mô phỏng bài toán bằng công cụ mô phỏng .............................................52

3.3

Bài toán xếp hàng nhiều phase phục vụ ...........................................................56

3.3.1

Phát biểu bài toán ......................................................................................56

3.3.2

Phân tích bài toán bằng lý thuyết hàng đợi ...............................................57

3.3.3

Mô phỏng bài toán bằng công cụ mô phỏng .............................................61

KẾT LUẬN ...................................................................................................................70

3


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1. 1- Sơ đồ chuyển trạng thái của phân phối Erlang-k với biến quy mô là .......11
Hình 1. 2- Thành phần cơ bản của hàng đợi .................................................................12
Hình 1. 3 - Mô hình hàng đợi M/M/1 ............................................................................19
Hình 1. 4- Mô hình hàng đợi M/M/1 .............................................................................19
Hình 1. 5 - Sơ đồ chuyển trạng thái của hàng đợi M/M/1 .............................................19

Hình 1. 6- Mô hình hàng đợi M/M/c .............................................................................20
Hình 1. 7 - Sơ đồ chuyển trạng thái hàng đợi M/M/c ...................................................21
Hình 1. 8- Mô hình hàng đơi M/M/c/K .........................................................................22
Hình 1. 9 - Sơ đồ chuyển trạng thái mô hình hàng đợi M/M/c/K .................................23
Hình 2. 1 - Mô tả chƣơng trình mô phỏng bằng GPSS .................................................35
Hình 2. 2- Một segment điển hình .................................................................................37
Hình 2. 3- Mô hình một chƣơng trình mô phỏng hệ thống hàng đợi đơn giản .............42
Hình 2. 4- Cách lấy yêu cầu của hàng đợi Priority Queueing .......................................43
Hình 2. 7- Quy trình mô phỏng .....................................................................................46
Hình 3. 1- Đồ thị sác xuất số khách hàng trong hệ thống .............................................51
Hình 3. 2- Mô hình thuật toán giải bài toán bãi đậu xe .................................................52
Hình 3. 3- Mã nguồn mô phỏng bài toán bãi đỗ xe .......................................................53
Hình 3. 4- Báo cáo thu đƣợc khi chạy mô phỏng ..........................................................54
Hình 3. 5- Mô tả mô hình hoạt động của siêu thị ..........................................................57
Hình 3. 6- Mô hình thuật toán hoạt động của siêu thị ...................................................61

4


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1. 1- Một số hàm phân phối thƣờng gặp ................................................................8
Bảng 1. 2 - Một số tham số của hàng đợi ......................................................................16
Bảng 1. 3-Một số mô hình hàng đợi cơ bản ..................................................................18
Bảng 2. 1- Một số Block cơ bản làm việc với giao tác .................................................36
Bảng 2. 2- Một số khối làm việc với thực thể thiết bị ...................................................38
Bảng 2. 3 Một số khối cơ bản điều khiển dịch chuyển của giao tác .............................40
Bảng 3. 1- Kết quả mô phỏng với thời gian 8h .............................................................54
Bảng 3. 2. Kết quả mô phỏng với thời gian khác nhau .................................................55
Bảng 3. 3- Bảng so sánh độ lệch giữa mô phỏng và tính toán từ lý thuyết của lƣợng xe
đƣợc phục vụ .................................................................................................................55

Bảng 3. 4- Kết quả tính toán hàng đợi gửi xe ô tô ........................................................58
Bảng 3. 5-Bảng kết quả tính toán hàng đợi bãi gửi xe máy ..........................................58
Bảng 3. 6- Kết quả tính toán hàng đợi giỏ hàng trong 8h .............................................59
Bảng 3. 7- Kết quả tính toán hàng đợi xe đẩy trong 8h.................................................60
Bảng 3. 8 – Kết quả mô phỏng hoạt động của siêu thị ..................................................66
Tƣơng tự cách tiến hành với mô hình bài toán bãi gửi xe, thực hiện thay đổi thời gian
mô phỏng bằng cách cài đặt lại biến thời gian v_time_work lần lƣợt bằng các giá trị:
16*60*60, 24*60*60, 40*60*60, 80*60*60 sau đó chạy mô phỏng. Đem so sánh kết
quả từng trƣờng hợp với lý thuyết. Bảng 3. 9 đƣa ra so sánh thời gian phục vụ của các
quầy phục vụ với thời gian trung bình tính toán từ lý thuyết (225 giây). .....................68
Bảng 3. 10. Bảng so sánh thời gian thanh toán trung bình ............................................68

5


LỜI MỞ ĐẦU
Hàng đợi ảnh hƣởng đến nhiều mặt trong cuộc sống thực tế cũng nhƣ lĩnh vực kỹ
thuật. Trong hoạt động xã hội, hàng đợi là điều không mong muốn của các hệ thống
phục vụ đám đông, từ thực tế đó các nhà quản lý luôn mong muốn đánh giá đƣợc hiệu
quả hệ thống dịch vụ của họ để cải tiến chất lƣợng phục vụ, giảm chi phí vô ích.
Trong các hoạt động sản xuất kinh doanh cũng nhƣ đời sống hàng ngày đều tồn tại
những hệ thống phục vụ nhƣ: Bến cảng, khách sạn, nhà hàng, trạm điện thoại, cửa
hàng bán xăng dầu... Trong các hệ thống ấy thƣờng diễn ra 2 quá trình: Quá trình nảy
sinh các yêu cầu và quá trình phục vụ các yêu cầu. Tuy nhiên, trong quá trình hoạt
động của hệ thống do nhiều nguyên nhân khác nhau thƣờng dẫn đến các tình trạng:
-

Khả năng phục vụ của hệ thống không đáp ứng yêu cầu dẫn đến kết quả là một
số yêu cầu không được phục vụ hoặc phải chờ đợi để được phục vụ.
Khả năng phục vụ của hệ thống vượt quá yêu cầu dẫn đến kết quả là hệ thống

không sử dụng hết năng lực về lao động, vật tư, thiết bị.

Cả hai tình trạng trên đều gây nên thiệt hại về mặt kinh tế nói chung. Vì vậy bài toán
đặt ra là phân tích bản chất của các quá trình diễn ra trong hệ thống và thiết lập mối
quan hệ về lƣợng giữa các đặc trƣng của các quá trình ấy. Trên cơ sở các mối liên hệ
đã đƣợc xây dựng và các số liệu thu thập đƣợc từ hệ thống, tính toán, phân tích và đƣa
ra quyết định nhằm điều khiển hệ thống hoạt động có hiệu quả.
Để trả lời cho những câu hỏi về hàng đợi, chúng ta có 2 phƣơng pháp cơ bản để phân
tích là phƣơng pháp phân tích bằng lý thuyết hàng đợi (hay còn gọi là phƣơng pháp
giải tích) và mô phỏng hàng đợi. Lý do dùng 2 phƣơng pháp thay vì chỉ dùng một
phƣơng pháp là: phân tích bằng lý thuyết chỉ khả thi với các hệ thống hàng đợi đơn
giản nhƣ hàng đợi đơn, hệ thống với những đặc điểm riêng về quy tắc đến và phân
phối thời gian dịch vụ (phân phối Possion hay Normal); hầu hết hệ thống phức tạp đều
cần sử dụng mô phỏng, nhƣ hệ thống cần quan sát dữ liệu thật hoặc phụ thuộc vào yếu
tố thời gian, sẽ khó phân tích bằng lý thuyết.
Trên thực tế, mỗi hệ thống phục vụ đám đông có tính đặc thù riêng và cần đƣợc phân
tích kỹ lƣỡng bằng mô hình toán học cũng nhƣ mô phỏng. Mô phỏng tính toán là
phƣơng pháp xem xét thông tin về hành vi của hệ thống. Khi phân tích hiệu suất của
hàng đợi, chúng ta cần tìn hiểu, thiết kế và điều khiển năng lực của hệ thống phục vụ
và quyết định khi nào mở hay đóng dịch vụ. Sử dụng thông tin ƣớc lƣợng giá trị lãng
phí, xác định đƣợc hạn chế của dịch vụ taị mỗi thời điểm xác định để có giá trị lãng
phí nhỏ nhất (giá trị dịch vụ + thời gian chờ đợi)

6


Có nhiều cách để mô phỏng hàng đợi nhƣ: xây dựng giải thuật và triển khai bằng ngôn
ngữ lập trình; Mô phỏng bằng các công cụ chuyên nghiệp nhƣ (Petri Nets, MatLab,
GPSS, NS2,…). Công cụ mô phỏng cần sinh ngẫu nhiên sự kiện và quản lý vòng đời
của sự kiện theo thời gian và mô phỏng vận hành của của hệ thống, vì vậy sử dụng

công cụ lập trình để triển khai thuật toán tốn khá nhiều thời gian. Công cụ mô phỏng
sự kiện rời rạc của IBM phát triển vào khoảng thập niên 1960 - General Purpose
Simulation System (viết tắt là GPSS) là công cụ đƣợc lựa chọn để giới thiệu và sử
dụng trong luận văn này.
Vấn đề nghiên cứu và ứng dụng ngôn ngữ mô phỏng GPSS tại Liên bang Nga,
cũng nhƣ một số quốc gia phát triển khác không còn xa lạ [1]. Ở Việt Nam, việc ứng
dụng GPSS cũng đã đƣợc đề cập tới ở một số công trình, luận văn khoa học; tuy nhiên
việc áp dụng GPSS để mô phỏng chƣa áp dụng theo một phƣơng pháp có tính tổng
quát. Trên cơ sở các nghiên cứu về phƣơng pháp giải bài toán hệ thống phục vụ đám
đông, luận văn đã tập trung vào các mục tiêu sau:
Luận văn tập trung nghiên cứu về một số kiến thức cơ bản trong “ Lý thuyết hàng
đợi”, các mô hình hàng đợi, công cụ mô phỏng hàng đợi là GPSS. Đề xuất quy trình
xây dựng mô phỏng bằng GPSS và vận dụng để giải quyết bài toán xếp hàng tại siêu
thị có thành phần ƣu tiên và không ƣu tiên.
Luận văn đƣợc trình bày trong ba chƣơng với nội dung chính của mỗi chƣơng nhƣ sau
Chƣơng 1: Lý thuyết hàng đợi.
Luận văn tập trung trình bày về lý thuyết hàng đợi, các mô hình hàng đợi có thể sẽ liên
quan đến bài toán hoạt động của một siêu thị.
Chƣơng 2: Công cụ mô phỏng GPSS
Luận văn tập trung trình bày về các công cụ mô phỏng GPSS các cách tiếp cận mô
phỏng. Quy trình mô phỏng bài toán thực tế bằng GPSS
Chƣơng 3: Ứng dụng lý thuyết hàng đợi và công cụ mô phỏng vào bài toán hàng
đợi siêu thị.
Trình bày bài toán mô phỏng hoạt động của siêu thị cụ thể; bằng phƣơng pháp phân
tích sử dụng lý thuyết hàng đợi. Áp dụng công cụ mô phỏng GPSS World và áp dụng
quy trình mô phỏng hệ thống hàng đợi để giải quyết bài toán. Từ kết quả thu đƣợc đƣa
ra so sánh và đánh giá hiệu quả của mô phỏng.
Kết luận
Tóm lƣợc kết quả chính của luận văn, nêu lên các hạn chế của nghiên cứu từ đó định
hƣớng phát triển trong thời gian tới.

7


CHƢƠNG 1. LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI
Chƣơng này tập trung trình bày các khái niệm liên quan đến lý thuyết hàng đợi.
Đây là những kiến thức tổng quan, cơ bản nhất để phân tích và giải bài toán hàng đợi.
1.1 Các khái niệm cơ bản
1.1.1 Biến ngẫu nhiên
Trong hệ thống hàng đợi dễ dàng nhìn thấy 2 quá trình ngẫu nhiên độc lập: quá
trình khách hàng xuất hiện ở đầu vào hệ thống và quá trình phục vụ khách hàng tại đầu
ra của hệ thống. Số lƣợng khách hàng tại một thời điểm đƣợc đặc trƣng bởi một biến
ngẫu nhiên rời rạc. Tốc độ đến tại một thời điểm cũng nhƣ thời gian phục vụ đƣợc đặc
trƣng bởi các biến ngẫu nhiên.
Biến ngẫu nhiên đƣợc ký hiệu bởi X, Y có giá trị kỳ vọng E(X). Phƣơng sai:
với độ lệch chuẩn
. Hệ số biến thiên là đại lƣợng mô tả mức độ biến động
tƣơng đối của biến ngẫu nhiên . Tính hệ số biến thiên:
1.1.2 Phân phối sác xuất thƣờng gặp
Mục tiêu của việc phân tích hàng đợi bằng lý thuyết là xây dựng mô hình chuyển
trạng thái để xác định phân phối dựa vào xác suất ở đầu vào và phân phối xác suất ở
đầu ra của hệ thống. Tốc độ đến và thời gian phục vụ đƣợc đặc trƣng bởi một phân
phối xác suất. Các phân phối thƣờng gặp [2] hai đại lƣợng này đƣợc trình bày trong
bảng 1.1.
Bảng 1. 1- Một số hàm phân phối thường gặp
STT

Viết tắt

Tên

1

M

Phân phối
mũ

2

Ek

Phân phối
Erlang

3

Hk

Phân phối
siêu bội

Hàm phân phối

f (t ) 

k

q
j 1

j

(1  e

 jt

)

Trong đó: μj >0, qj>0, j∈{1..k},

8


5

G

Phân phối
hình học
Phân phối
Possion

6

1.1.2.1 Phân phối hình học (Geometric distribution)
Là phân phối đặc trƣng cho số các biến cố sảy ra trong một khoảng thời gian cho
trƣớc. Một biến ngẫu nhiên hình học [2 tr.18] với phân phối xác suất:

Với phân phối này chúng ta có một số công thức sau

1.1.2.2 Phân phối Poisson (Poisson distribution)
Là phân phối thƣờng gặp nhất trong các mô hình hàng đợi phân phối Poisson [6
tr.6-7] đƣợc đặc trƣng cho những quá trình đến và phục vụ hoàn toàn ngẫu nhiên, độc
lập. Một biến phân phối Poisson với tham số có phân phối
,

n=0, 1, 2,…

Trong đó:
-

là xác suất để trong khoảng thời gian τ có n yêu cầu xuất hiện;

- n là số yêu cầu xuất hiện trong khoảng thời gian quan sát τ;
- là số yêu cầu trung bình xuất hiện trong từng khoảng thời gian quan sát τ.
Phân phối Poisson ta có:

Biến ngẫu nhiên tuân có phân phối Poisson khi dòng đến có đủ các đặc điểm của
quá trình Poisson. Quá trình Poisson có 3 tính chất sau:
Tính không hậu quả: Dòng yêu cầu có tính không hậu quả có nghĩa là: nếu xác
suất xuất hiện một số yêu cầu nào đó trong một khoảng thời gian nhất định không phụ
thuộc vào việc đã có bao nhiêu yêu cầu xuất hiện trƣớc khoảng thời gian đó. Hay nói
khác, số yêu cầu xuất hiện trƣớc và sau thời điểm nào đó không chịu ảnh hƣởng qua
lại lẫn nhau.
9


Tính đơn nhất Dòng yêu cầu có tính chất đơn nhất có nghĩa là: nếu xét trong
khoảng thời gian khá bé thì biến cố “có nhiều hơn một yêu cầu xuất hiện” hầu nhƣ
không xảy ra. Về mặt thời gian, chúng ta có thể xem dòng yêu cầu có tính chất đơn

nhất nếu thời điểm xuất hiện các yêu cầu không trùng nhau.
Tính dừng (tính thuần nhất theo thời gian) Dòng yêu cầu có tính chất dừng có
nghĩa là: nếu xác suất xuất hiện k yêu cầu trong khoảng thời gian τ chỉ phụ thuộc vào
giá trị của τ và của k chứ không phụ thuộc vào việc khoảng thời gian τ này nằm ở vị trí
nào trên dòng thời gian. Điều này có nghĩa là với những khoảng thời gian τ dài bằng
nhau thì xác suất xuất hiện k yêu cầu nhƣ nhau.
1.1.2.3 Phân phối mũ (Exponential Distributions)
Mật độ của một phân phối mũ [2 tr.20]với tham số
,

đƣợc cho bởi hàm

t>0.

Có hàm phân phối xác suất:

Với hàm phân phối này ta có một số công thức tính kỳ vọng và phƣơng sai nhƣ
sau:

1.1.2.4 Phân phối Erlang (Erlang distribution)
Một biến

có một phân phối Erlang-k [9 tr.5] (k=1,2,…) với

của E biến độc lập
hoặc ngắn gọn là

có phân phối mũ chung

nếu X là tổng

. Ký hiệu chung là

.

Hàm phân phối xác suất bằng:

Tham số

đƣợc gọi là tham số quy mô (scale parameter),

(shape parameter) Một sơ đồ trạng thái của

là tham số hình dạng

đƣợc biểu diễn bởi Hình 1.1

10


Hình 1. 1- Sơ đồ chuyển trạng thái của phân phối Erlang-k với biến quy mô là
Các đặc trƣng phƣơng sai, phƣơng sai và hệ số bình phƣơng bằng nhau đều bằng nhau

1.1.2.5 Phân phối siêu bội
Một biến ngẫu nhiên
là phân phối siêu bội [2 tr.24] nếu
i=1,...,k một biến phân phối mũ

,

với 1/ . Biến ngẫu nhiên này đƣợc ký hiệu là

hoặc thu gọn là

Hệ số biến thiên của

là xác suất

. Hàm mật độ cho bởi:

hàm này luôn lớn hơn 1 hoặc bằng 1

1.1.3 Khái niệm hàng đợi và lý thuyết hàng đợi
Hàng đợi (hay dòng chờ) [11] là một dòng đợi dịch vụ. Yêu cầu đƣợc phục vụ từ
khách hàng sinh ra theo thời gian thông qua 1 nguồn đầu vào. Khách hàng sẽ phải chờ
trong hàng đợi đến lƣợt đƣợc phục vụ. Khách rời khỏi hệ thống sau khi đã đƣợc phục
vụ.
Đầu những năm 1900, A. K. Erlang, kỹ sƣ điện thoại Đan Mạch bắt đầu nghiên
cứu sự tắc nghẽn và thời gian chờ trong những cuộc gọi điện thoại. Từ đó, lý thuyết
hàng đợi đã phát triển và đƣợc sử dụng rộng rãi cho nhiều tình huống. Mô hình hàng
đợi gồm những biểu thức và những mối liên hệ đƣợc dùng để xác định những chỉ tiêu
phản ảnh đặc trƣng của các hệ thống.

11


Tiến trình đến

Tiến trình phục vụ

Đặc điểm hàng đợi:
· Kích thước của hàng đợi
· Nguyên tắc phục vụ

Đặc điểm dòng đến
· Kích thước khách hàng
· Quy tắc của dòng đến
· Hành vi (tính chất) của
tiến trình đến

Tiến trình ra

Đặc điểm dịch vụ:
· Thiết kế của hệ thống dịch vụ
· Phân bố thời gian phục vụ

Hình 1. 2- Thành phần cơ bản của hàng đợi

Các thành phần cơ bản của hàng đợi [6 tr.6-7] bao gồm:
Tiến trình đến
Dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng các đối tƣợng đi đến hệ thống và đòi hỏi
đƣợc thoả mãn yêu cầu phục vụ. Ví dụ: Dòng khách tới trung tâm bƣu điện, dòng các
tàu biển đến cảng để bốc dỡ hàng hóa...
Dòng các yêu cầu đến hệ thống hàng đợi đƣợc đặc trƣng bởi tốc độ đến (arrival
rate), ký hiệu là λ. Là một biến ngẫu nhiên đƣợc đặc trƣng bởi phân phối xác suất của
các lần khách hàng đến liên tiếp. Dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng biến cố ngẫu
nhiên và tuân theo những phân phối xác suất nhất định, nhƣ đã nêu ở mục 1.2.2.
Tiến trình phục vụ
Bao gồm hàng đợi phục vụ và quá trình phục vụ. Hàng đợi phục vụ: là tập hợp
các yêu cầu sắp xếp theo một trật tự để chờ đƣợc phục vụ theo một nguyên tắc phục vụ

nhất định.
Trong đó nguyên tắc phục vụ là cách thức nhận các yêu cầu vào các kênh phục
vụ. Nguyên tắc phục vụ cho biết trƣờng hợp nào thì các yêu cầu đƣợc nhận vào phục
vụ và cách thức phân bố các yêu cầu vào các kênh nhƣ thế nào. Đồng thời nguyên tắc
phục vụ cũng cho biết trong trƣờng hợp nào yêu cầu bị từ chối.
Một số quy tắc xếp hàng là FCFS (Fist-come-fist-server), LCFS (Last-come-fistserver), SIRO (Service-in-random-order), dịch vụ ƣu tiên. Tùy thuộc vào loại dịch vụ
mà hệ thống phục vụ đƣợc thiết kế theo mô hình đơn hàng (có một hàng đợi), hay đa
12


hàng (nhiều hàng đợi), một bƣớc phục vụ hay nhiều bƣớc phục vụ. Thời gian phục vụ
đƣợc đặc trƣng bởi phân phối xác suất khoảng thời gian mà khách hàng sử dụng các
dịch vụ.
Quá trình phục vụ hay kênh phục vụ là những thiết bị kỹ thuật, con ngƣời hoặc tổ
hợp các thiết bị kỹ thuật và con ngƣời mà hệ thống sử dụng để phục vụ các yêu cầu
đến hệ thống. Một đặc trƣng quan trọng nhất của các kênh phục vụ là thời gian phục
vụ, đó là thời gian ít nhất mỗi kênh phải tiêu hao để phục vụ xong một yêu cầu.
Tiến trình ra.
Là dòng các yêu cầu đi ra khỏi hệ thống bao gồm các yêu cầu đã đƣợc phục vụ
và các yêu cầu bị từ chối. Ở đây chúng ta chỉ chú ý đến dòng yêu cầu đã đƣợc phục vụ;
vậy có thể coi tiến trình ra là dòng các yêu cầu đã đƣợc phục vụ rời khỏi hệ thống,
dòng ra đƣợc đặc trƣng bởi tốc độ ra (departure rate), ký hiệu là 𝛍.
1.1.1. Các đặc điểm của hàng đợi
a) Đặc điểm của tiến trình đến
Kích thước khách hàng đến
Là giới hạn hoặc không giới hạn. Ví dụ: không ƣớc lƣợng đƣợc số xe đến bãi rửa
xe trong thành phố lớn hoặc lƣợng sinh viên đăng ký môn học tại một trƣờng đại học
lớn, đó là những hàng đợi không xác định đƣợc kích thƣớc giới hạn của tiến trình đến.
Hầu hết mô hình hàng đợi có kích thƣớc đến là không giới hạn.
Quy tắc của dòng đến

Khách hàng đến với dịch vụ theo một lịch trình (VD: Cứ 15 phút có một bệnh
nhân đến khám hoặc đúng 30 phút có một sinh viên đến đăng ký học) hoặc đến một
cách ngẫu nhiên không xác định chính xác đƣợc thời gian khách hàng kế tiếp đến.
Để tính toán số khách hàng trung bình đến dịch vụ trong một khoảng thời gian,
hay trung bình số lần xảy ra thành công của một sự kiện trong một khoảng thời gian
nhất định ta sử dụng phân phối Possion [6 tr.8] với giá trị trung bình này đƣợc ký hiện
là . Những hàng đợi có khách hàng đến ngẫu nhiên, độc lập và không xác định trƣớc
thời gian đến. Số yêu cầu đến tại một thời điểm bất kỳ có thể ƣớc lƣợng bằng phân
phối xác suất Possion đƣợc biểu diễn bởi hàm sau:

Trong đó: P(x) = xác suất xuất hiện x khách hàng vào hệ thống
x= Số yêu cầu đến trong 1 đơn vị thời gian
13


tốc độ đến (arrivals rate) của khách hàng

Ví dụ: với

Khách hàng đến/1 giờ thì xác suất không có khách hàng (k=0)

đến tại thời điểm bất kỳ là 13%, khả năng 1 khách hàng là 27%, 2 khách hàng khoản
27%, 3 khách hàng là 18%, 4 khách hàng là khoảng 9%.
Hành vi (tính chất) của tiến trình đến
Con ngƣời hay máy móc nói chung thƣờng tuân theo quy luật xếp hàng cho đến
khi đƣợc phục vụ mà không chuyển giữa các hàng. Nhiều khách hàng từ chối chờ hoặc
thiếu kiên nhẫn nên từ bỏ giữa chừng. Những khách hàng đó sẽ đến và rời khỏi khi
chƣa đƣợc phục vụ. Trên thực tế, cả hai trong số các trƣờng hợp này chỉ phục vụ để
làm nổi bật sự cần thiết cho lý thuyết xếp hàng.
b) Đặc điểm hàng đợi

Hàng đợi gồm 2 đặc điểm:
Kích thước: Chiều dài của hàng đợi cũng có thể là giới hạn hoặc vô hạn. Giới
hạn khi số yêu cầu phục vụ chỉ tăng đƣợc đến một số lƣợng hữu hạn. Ngƣợc lại, Dòng
đợi vô hạn có kích thƣớc không bị giới hạn.
Nguyên tắc phục vụ:Hầu hết các hàng đợi thƣờng sử dụng nguyên tắc phục vụ là
Fist-in, Fist-out hay còn gọi là Fist come – fist server (FCFS). Một phòng cấp cứu của
bệnh việc hoặc quầy thanh toán của một siêu thị thƣờng áp dụng FCFS. Tuy nhiên
trong một số trƣờng hợp nhƣ bệnh nhân đƣa đến cấp cứu có mức độ nghiêm trọng cao
hơn thì sẽ đƣợc phục vụ trƣớc, từ đó việc tính toán các yếu tố của hàng đợi cần đảm
bảo một số quy tắc ƣu tiên. Với những hàng đợi có ƣu tiên, ta cũng cần tính xác suất
xuất hiện yêu cầu cần ƣu tiên.
c) Đặc điểm dịch vụ
Phần thứ 3 của mỗi hệ thống hàng đợi là đặc điểm về dịch vụ. Hai thuộc tính
quan trọng của dịch vụ là: Thiết kế của hệ thống phục vụ và phân phối thời gian phục
vụ.
Thiết kế của hệ thống dịch vụ là cách thiết kế số kênh, số bƣớc (phase) phục vụ
để thực hiện các giao dịch với khách hàng. Hầu hết các ngân hàng và các siêu thị lớn
hiện nay đều có nhiều quầy phục vụ, và tùy vào tính chất dịch vụ mà số bƣớc giao dịch
đƣợc thiết kế cho phù hợp. Trong một hệ thống với một bƣớc xử lý duy nhất, khách
hàng đến dịch vụ chỉ thực hiện giao dịch tại 1 trạm sau đó rời khỏi hệ thống. Các hệ
thống dịch vụ công thực hiện chức năng tiếp nhận yêu cầu, xử lý hồ sơ và trả kết quả
cho ngƣời làm thủ tục là mô hình với 1 bƣớc xử lý duy nhất. Tuy nhiên cũng có những
14


thủ tục hành chính cần thực hiện nộp hồ sơ tại một bộ phận, thanh toán lệ phí tại một
bộ phận và nhận kết quả tại 1 bộ phận khác là mô hình với nhiều bƣớc xử lý.
Phân phối thời gian phục vụ. Thời gian phục vụ thƣờng là chính xác hoặc ngẫu
nhiên. Thời gian phục vụ chính xác là khoảng thời gian phục vụ giống nhau với mọi
khách hàng, phân phối này thƣờng đặc trƣng cho hoạt động của máy móc. Trong thực

tế, hầu hết thời gian phục vụ thƣờng tuân theo phân phối ngẫu nhiên.
1.1.4 Kí hiệu Kendall
Kendall [3 tr.14] sử dụng ký tự để mô tả một cách ngắn gọn cấu trúc hệ thống
hàng đợi, bao gồm 3 phần cơ bản: A/B/c, với:
-

-

-

A: là hàm phân phối thời gian của các lần đến liên tiếp. Tùy thuộc vào đặc điểm
của hàng đợi mà luật phân phối đƣợc thể hiện trong ký hiệu sẽ có giá trị tƣơng
ứng nhƣ sau: M (phân phối mũ), G (phân phối chung), D (phân phối đều), Er(
phân phối Erlangian), H (phân phối siêu mũ)
B: hàm phân phối thời gian phục vụ. Tƣơng tự nhƣ phân phối thời gian đến, luật
phân phối đƣợc thể hiện trong ký hiệu sẽ một trong những giá trị tƣơng ứng nhƣ
sau: M (phân phối mũ), G (phân phối chung), D (phân phối đều), Er( phân phối
Erlangian), H (phân phối siêu mũ)
c: Số kênh phục vụ (c>0)
Ký tự mô tả có thể mở rộng thêm một số thông số sau:

-

K: Số lƣợng khách hàng lớn nhất có thể có trong hệ thống (trong hàng đợi và
đang đƣợc phục vụ)
n: Nguồn khác hàng vô hạn (∞) hoặc hữu hạn (n)
D: Nguyên tắc phục vụ

Một số ví dụ để hiểu rõ về ký hiệu Kendall:
Ví dụ 1: hệ thống hàng đợi M/M/1, là mô hình hệ thống hàng đợi cổ điển, đơn

giản nhất với 3 thành phần:
- Thời gian giữa các lần tín hiệu xuất hiện liên tiếp tuân theo luật phân phối mũ
(M).
- Thời gian phục vụ theo luật phân phối mũ (M).
- Có 1 kênh phục vụ (c=1).
Ví dụ 2: Hệ thống có cách thành phần G/G/1/∞/∞/FCFS nghĩa là:
- Thời gian giữa các tín hiệu xuất hiện liên tiếp tuân theo luật phân phối G
(General);
- Thời gian phục vụ theo luật phân phối G;
15


- Dung lƣợng hệ thống là vô hạn;
- Kích thƣớc dòng đến (population size) là vô hạn;
- Nguyên tắc phục vụ FCFS;
- Có 1 kênh phục vụ.
1.1.2. Hệ số sử dụng dịch vụ
Giá trị đến λ, thời gian phục vụ E(B) công việc đến trong 1 đơn vị thời gian là
λE(B). Quầy phục vụ thực hiện 1 công việc trên 1 đơn vị thời gian. Điều kiện dừng là:
λE(B) < 1 Với B là thời gian phục vụ trung bình.
Nếu ρ < 1 thì ρ đƣợc gọi là hệ số sử dụng bởi nó đặc trƣng cho thời gian hệ thống
phục vụ làm việc. Với hệ thống có c quầy phục vụ thì ta có λE(B)< c. Vậy hệ số phục
vụ là: ρ = λE(B)/c
1.1.5 Định nghĩa các độ đo hiệu suất
Đo hiệu suất của hàng đợi là việc sử dụng cơ sở toán học để xác định đƣợc các
tham số sau:
-

Phân phối thời gian chờ đợi và tạm trú của một khách hàng (thời gian tạm trú
bằng thời gian chờ + thời gian phục vụ).

Phân phối số lƣợng khách hàng trong hệ thống (bao gồm hoặc không bao gồm
những khách hàng đang đƣợc phục vụ).
Phân phối khối lƣợng các công việc trong hệ thống (Tổng thời gian khách hàng
chờ đợi và thời gian còn lại của khách hàng trong dịch vụ).
Phân phối thời gian bận rộn của kênh phục vụ (là khoảng thời gian phục vụ liên
tục của kênh).
Đặc biệt, đối với hệ thống hàng đợi chúng ta quan tâm đến một số các tham số

sau:
Bảng 1. 2 - Một số tham số của hàng đợi
STT

Ký
hiệu

Mô tả

1.

λ

Tốc độ đến (arrival rate) của khách hàng

2.

µ

Tốc độ phục vụ (service rate)

3.

tn

Khoảng thời gian giữa khách hàng liên tiếp (tn= τn - τn-1 )

4.

Wq

Thời gian chờ để đƣợc phục vụ trong hàng đợi

16


5.
Ws

Thời gian tạm trú của khách hàng trong hệ thống (thời gian
đợi + thời gian phục vụ) của khách hàng thứ n
Sn=Wq+ 𝓍 n

6.
An(t)

Hàm phân phối xác suất thời gian giữa hai khách hàng liên
tiếp
( An(t)=P[tn≤t] )

7.

B(𝓍)

Phân phối thời gian phục vụ

8.

Số khách hàng đến trong khoảng thời gian (0,t)

9.

Số khách hàng ra khỏi hệ thống trong khoảng thời gian (0,t)

10.

Số khách hàng ở trong hệ thống tại thời điểm t
L(t)

11.

Lq

Số khách hàng trong hàng đợi

12.

T

Tổng thời gian phục vụ của toàn bộ hệ thống

13.

Hệ số sử dụng hệ thống
ρ

14.

pK

xác suất có K khách hàng trong hệ thống

1.1.6 Luật Little
Luật Little [12 tr.82] phát biểu nhƣ sau: “Trong điều kiện trạng thái dừng, số
lượng trung bình khách hàng trong một hệ thống hàng đợi bằng với tốc độ trung bình
khách hàng đến nhân với thời gian trung bình mà một khách hàng sử dụng trong hệ
thống”
Luật Little đƣa ra mối quan hệ quan trọng giữa
- số khách hàng trong hệ
thống,

thời gian lƣu trú của khách hàng trong hệ thống và

– số khách hàng

trung bình đến trong một đơn vị thời gian [4 tr.26].
Luật Little ký hiệu nhƣ sau:
E(L)= λE(S)

(3.1)

17

Để mô tả cho luật Little ta xét với mô hình hàng đợi 1 quầy phục vụ. Với mô
hình này chúng ta có thể thu đƣợc một số thông số hiệu suất khi áp dụng luật. Áp
dụng luật cho hàng đợi (không gồm quầy phục vụ) thu đƣợc mối quan hệ giữa chiều
dài hàng đợi và thời gian đợi
nhƣ sau:

Cuối cùng, khi áp dụng luật Little cho quầy phục vụ ta có

Với

là số khách hàng ở trong quầy phục vụ (áp dụng tƣơng tự với hàm thời

gian phục vụ) và

là thời gian phục vụ.

1.2 Một số mô hình hàng đợi cơ bản
Trong thực tế có rất nhiều mô hình hàng đợi đƣợc áp dụng trong quản lý, Bảng
1.2 liệt kê một số mô hình thƣờng thấy áp dụng trong các ứng dụng. Với mỗi mô hình
sẽ có những đặc điểm và quá trình chuyển trạng thái riêng; các đặc điểm và phƣơng
pháp tính hiệu suất của từng mô hình sẽ đƣợc trình bày trong các tiểu mục của mục 1.2
này.
Bảng 1. 3-Một số mô hình hàng đợi cơ bản
Tên hàng đợi

Số kênh Số
phục vụ bƣớc
phục

vụ

Phân
Phân phối Kích
Nguyên
phối tín thời gian thƣớc
tắc phục
hiệu đến phục vụ
của dòng vụ
đến

Hệ thống đơn 1
hàng M/M/1

1

Luật
Luật phân Không
phân phối phối mũ
giới hạn
mũ

FIFO

Hệ thống đa hàng c (c>1)
M/M/c

1

Possion

Luật phân Không
phối mũ
giới hạn

FIFO

Hệ thống hàng 1
đợi có thời gian
phục vụ chính
xác (M/D/1)

1

Possion

Luật phân Không
phối mũ
giới hạn

FIFO

Hệ thống hàng c(c>1)
đợi M/M/c/K

c

Possion

Luật phân Giới hạn

phối mũ

FIFO

18


Trong phần tiếp theo, luận văn nêu chi tiết đặc điểm cũng nhƣ các độ đo hiệu
suất của những hàng đợi đã nêu trong bảng 1.3.
1.2.1 Hệ thống một kênh phục vụ M/M/1
a) Đặc điểm:
Là hàng đợi đơn giản nhất với một số đặc điểm:
-

Không giới hạn kích thƣớc dòng vào
Không giới hạn kích thƣớc hàng đợi
Có duy nhất một kênh phục vụ
Áp dụng quy tắc phục vụ FCFS
Phân phối tốc độ đến và thời gian phục tuân theo phân phối Poisson

Mô hình hàng đợi đƣợc miêu tả nhƣ sau:

Input

Hàng đợi
(queue)

K-1 vị trí

Output

FCFS

Server

W thời gian
đợi Hình
Hình 1.
1. 34-- Mô
Mô hình
hình hàng
hàng đợi
đợi M/M/1
M/M/1
b) Đo hiệu suất hàng đợi M/M/1

Hình 1. 5 - Sơ đồ chuyển trạng thái của hàng đợi M/M/1

Đối với mô hình chuyển trạng thái nhƣ hình 1.4 [4 tr.30] tốc độ đến và tốc độ phục vụ
không phụ thuộc trạng thái, mà đƣợc đặc trƣng bởi số khách hàng trong hệ thống.
-

Phân phối thời gian đến

-

Phân phối thời gian phục vụ

-

Để hàng đợi đảm bảo điều kiện dừng (không vƣợt quá khả năng phục vụ) cần

đảm bảo ràng buộc [4 tr.29]

Ta có các biến cần tính toán sau:
19


= Số khách hàng đến trung bình trong một đơn vị thời gian
= Số khách hàng đƣợc phục vụ trong một đơn vị thời gian
Số lƣợng khách hàng lƣu trú trong hệ thống (lƣợng khách đang chờ đợi + đang
đƣợc phục vụ)

Thời gian trung bình khách hàng trong hệ thống (thời gian chờ đợi + thời gian
phục vụ)

= Số khách hàng trung bình trong hàng đợi

Thời gian chờ đợi trung bình trong hàng đợi

Xác suất không có khách hàng trong hệ thống (hệ thống nhàn rỗi)

1.2.2 Hệ thống đa kênh phục vụ M/M/c
Hàng đợi M/M/c đƣợc mô tả nhƣ sau: Mô hình hàng đợi với 2 hoặc nhiều quầy phục
vụ, khách hàng đến một hàng đợi và tiến đến quầy phục vụ đầu tiên trống. Đây là mô
hình áp dụng nhiều tại các ngân hàng hoặc các hệ thống tổng đài hỗ trợ.
a) Đặc điểm:

Server 1

Input

Hàng đợi
(queue)

FCFS

Server 2

Output

…
W thời gian
đợi

Server c

Hình 1. 6- Mô hình hàng đợi M/M/c

20


-

Phân phối thời gian đến là

-

Phân phối thời gian phục vụ

-

Hiệu suất phục vụ:

b) Đo điệu suất hệ thống M/M/c:

Hình 1. 7 - Sơ đồ chuyển trạng thái hàng đợi M/M/c
Sơ đồ chuyển trạng thái hình 1.7 [4 tr.43] cho thấy tốc độ phục vụ phụ thuộc vào
số kênh phục vụ; các biến của hệ thống M/M/c:
Số kênh phục vụ
= Số khách hàng đến trung bình trong một đơn vị thời gian
= Số khách hàng đƣợc phục vụ trong một đơn vị thời gian ở mỗi kênh
Xác xuất hệ thống không có khách hàng

Trung bình số khách hàng trong hệ thống là

Thời gian trung bình khách hàng trong hệ thống (bao gồm thời gian chờ và đƣợc phục
vụ)

Số khách hàng trong hàng đợi phục vụ

21


Thời gian trung bình khách hàng ở trong hàng đợi

1.2.3 Hệ thống hàng đợi có thời gian phục vụ chính xác (M/D/1)
Một số hàng đợi có thời gian phục vụ chính xác [6 tr.14] thay vì phân phối mũ.
Khi khách hàng yêu cầu dịch vụ quá trình phục vụ theo một vòng đời đƣợc định sẵn,
nhƣ trong trƣờng hợp máy rửa xe tự động. Vì thời gian phục vụ là cố định nên các giá
trị
[3 tr.61] luôn luôn nhỏ hơn các thông số tƣơng tự ở mô hình

M/M/1. Cả chiều dài hàng đợi và thời gian chờ đợi trung bình đều giảm một nửa.
Độ dài trung bình của hàng đợi

Thời gian đợi trung bình

Số khách hàng trung bình trong hệ thống

Thời gian đợi trung bình trong hệ thống

1.2.4 Hệ thống hàng đợi giới hạn kích thƣớc M/M/c/K
Là hệ thống đa kênh và chỉ có tối đa K khách hàng đƣợc phép lƣu trú trong hệ thống.
Hệ thống hàng đợi M/M/m/K đƣợc mô hình hóa trong Hình 1.8

Server 1

Input

Hàng đợi
(queue)

FCFS

Server 2

Output

…
W thời gian
đợi

Server c

Hình 1. 8- Mô hình hàng đơi M/M/c/K

22


a)
b)

Đặc điểm
Hàng gồm c kênh phục vụ
Nguyên tắc phục vụ FCFS
Không giới hạn kích thƣớc dòng vào
Giới hạn kích thƣớc khách hàng trong hàng đợi
Đo hiệu suất
Tốc độ đến và tốc độ phục vụ của của trạng thái i đƣợc xác định là i và

i

Hiệu suất hệ thống [4 tr.43]

 =




Sơ đồ chuyển trạng thái của hệ thống đƣợc mô tả hình 1.9

Hình 1. 9 - Sơ đồ chuyển trạng thái mô hình hàng đợi M/M/c/K

Trong mô hình trên, hệ thống ở trạng thái i khi có i khách hàng đƣợc phục vụ
đồng thời.
Chiều dài hàng đợi trung bình, xác suất có k khách hàng và 0 khách hàng trong
hệ thống [3 tr.55]:

Trung bình khách hàng trong hệ thống

Và do

Chúng ta có:

Ngoài các hệ thống hàng đợi đã giới thiệu (M/M/1, M/M/1/K, M/M/c, M/M/c/K)
trên đây, còn có rất nhiều mô hình hệ thống hàng đợi khác nhƣ M/M/c/K/M, M/G/1, M
/Er /1, Er /M/1, M/G/1,G/M/m, G/G/1 đƣợc trình bày khá chi tiết trong tài liệu [3].
1.3 Các điều kiện để bài toán có thể giải đƣợc bằng lý thuyết
Điều kiện 1: Dòng vào của hệ thống phải là dòng tối giản hoặc xấp xỉ tối giản.
23