Phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp tách giải bài toán chấp nhận tách (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN HỒNG NHÂN

PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN
VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN
GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN HỒNG NHÂN

PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN
VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN
GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

i

Mục lục

Danh sách ký hiệu

ii

Mở đầu

1

1

Một số kiến thức cơ bản

4

1.1

Bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert . . . . .

4

1.1.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert .

16

Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2
2

Phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp hiện giải bài toán
chấp nhận tách

21

2.1

Phương pháp lặp ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.1

Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.2

Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . .

22

Phương pháp lặp hiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.1

Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.2

Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . .

26

2.2

Tài liệu tham khảo

38

ii

Danh sách ký hiệu
Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định
trong bảng dưới đây:
R

tập số thực

H

không gian Hilbert thực

X

không gian tuyến tính

C

tập con đóng lồi của H

A

toán tử tuyến tính giới nội

T

toán tử phi tuyến

x, y

tích vô hướng của hai vectơ x và y

x

chuẩn của vectơ x

xn → x

xn hội tụ mạnh đến x

xn

xn hội tụ yếu x

x

F ix(T )

tập điểm bất động của T

I

ánh xạ đơn vị

PC

phép chiếu từ H lên C

KM

Krasnosel’skii-Mann


1

Mở đầu
Đề tài luận văn nghiên cứu bài toán chấp nhận tách và một số phương
pháp giải: Cho C và Q là các tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Hilbert tương ứng H1 và H2 . Bài toán chấp nhận tách được phát biểu: Tìm
điểm x∗ với tính chất
x∗ ∈ C và Ax∗ ∈ Q,

(1)

ở đây A : H1 → H2 là toán tử tuyến tính giới nội. Bài toán chấp nhận
tách trong không gian Hilbert hữu hạn chiều đã được đề xuất bởi Censor
và Flfving để mô hình hóa bài toán ngược xuất hiện trong khôi phục ảnh
và trong y học. Mới đây, người ta tìm thấy bài toán này cũng có thể dùng
để mô hình hóa sự bức xạ.
Lưu ý rằng bài toán chấp nhận tách (1) có thể phát biểu dưới dạng
phương trình bất động
PC I − γAT (I − PQ ) A x∗ = x∗ .

(2)

ở đây, AT là ánh xạ đối ngẫu của A, PC và PQ là các phép chiếu mêtric
tương ứng lên C và Q. Ta thấy, x∗ là nghiệm của bài toán chấp nhận tách (1)
khi và chỉ khi x∗ là điểm bất động của PC I − γAT (I − PQ ) A . Từ đó

suy ra rằng ta có thể sử dụng các phương pháp tìm điểm bất động giải bài
toán chấp nhận tách. Một thuật toán cơ bản giải bài toán (1) là thuật toán
CQ của Byrne. Thuật toán này sử dụng một phương pháp chiếu gradient
(GPM) trong bài toán cực tiểu lồi. Tiếp đó, Byrne áp dụng bước lặp cho


2
thuật toán CQ và Zhao sử dụng bước lặp cho thuật toán CQ nhiễu giải bài
toán chấp nhận tách. Chúng ta biết rằng thuật toán CQ và thuật toán KM
cho bài toán chấp nhận tách không nhất thiết hội tụ mạnh trong không gian
Hilbert vô hạn chiều.
Mới đây, Wang và Xu đề xuất thuật toán CQ cải biên với sự hội tụ mạnh
bằng cách đưa vào đường cong xấp xỉ cho bài toán chấp nhận tách trong
không gian Hilbert vô hạn chiều và nhận được nghiệm có chuẩn cực tiểu
của bài toán chấp nhận tách là giới hạn mạnh của đường cong xấp xỉ.
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học
Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Bường.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng
dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời
gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt
quá trình làm luận văn.
Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích
cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn
sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán
K9Y (khóa 2015–2017); Nhà trường và các phòng chức năng của Trường;
Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, lãnh
đạo đơn vị công tác đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học
tập.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K9Y
(khóa 2015–2017), các đồng nghiệp đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả

rất nhiều trong quá trình học tập, nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã
động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên
cứu.


3
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017
Tác giả luận văn

Trần Hồng Nhân


4

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản
Chương này gồm 2 mục: Mục 1.1 giới thiệu về không gian Hilbert thực
và một số tính chất của không gian Hilbert; trình bày định nghĩa toán tử
đơn điệu và bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert thực. Mục
1.2 trình bày một số bổ đề bổ trợ cho chương tiếp theo. Các kiến thức của
chương này được viết trên cơ sở tổng hợp các tài liệu [1], [2].

1.1

Bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert

1.1.1

Không gian Hilbert

a) Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.1.1. Một tập X được gọi là không gian tuyến tính trên R nếu
với mỗi cặp (x, y) ∈ X × X, một phần tử của X, ta gọi là tổng của x và y,
ký hiệu là x + y; với mỗi α ∈ R và x ∈ X, một phần tử của X, gọi là tích
của α và x, ký hiệu là αx thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X (tính chất giao hoán);
(2) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp);
(3) tồn tại phần tử không của X, ký hiệu 0, sao cho: x + 0 = 0 + x với
mọi x ∈ X;


5
(4) với mọi x ∈ X, tồn tại phần tử đối của x, ký hiệu là −x, sao cho
x + (−x) = 0 với mọi x ∈ X;
(5) 1 · x = x · 1 = x, với mọi x ∈ X (1 là phần tử đơn vị);
(6) α(βx) = (αβ)x, với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X;
(7) (α + β)x = αx + βx, với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X;
(8) α(x + y) = αx + αy, với mọi α ∈ R, với mọi x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.1.2. Cho H là một không gian tuyến tính trên trường số thực
R. Tích vô hướng trên không gian H là một ánh xạ đi từ tích Descartes
H × H vào R, ký hiệu là ., . , thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) x, y = y, x với mọi x, y ∈ H.
(2) x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H.
(3) αx, y = α x, y với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R.
(4) x, x > 0 khi và chỉ khi x = 0 và x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Nhận xét 1.1.3. Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy ra
(1) x, αy = α y, x với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R;
(2) x, y + z = x, y + x, z với mọi x, y, z ∈ H.

Định nghĩa 1.1.4. Không gian tuyến tính H cùng với một tích vô hướng
trên nó được gọi là một không gian tiền Hilbert.
Định lí 1.1.5. (bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H,
với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau:
| x, y |2 ≤ x, x y, y .

(1.1)


6
Chứng minh. Với mọi số thực α và với mọi x, y ∈ H ta có
0 ≤ x − αy, x − αy = x, x − 2α x, y + α2 y, y .
Từ đây suy ra
∆ = | x, y |2 − x, x y, y ≤ 0 với mọi

x, y ∈ H.

Hay
| x, y |2 ≤ x, x y, y

với mọi x, y ∈ H.

Định lý được chứng minh.
Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.1) xảy ra khi và chỉ khi x và y
phụ thuộc tuyến tính.
Định lí 1.1.6. Không gian tiền Hilbert H là một không gian tuyến tính định
chuẩn với chuẩn được xác định bởi
x, x

x =

với mọi

(1.2)

x ∈ H.

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng.
Hàm số x =

x, x với mọi x ∈ H là một chuẩn trên H.

Chứng minh. Thật vậy, từ điều kiện (4) của Định nghĩa 1.1.2 ta có x > 0
nếu x = 0 và x = 0 nếu x = 0 với x ∈ H. Từ điều kiện (1) và (3) của
Định nghĩa 1.1.2 ta suy ra αx = |α|. x với mọi α ∈ R và mọi x ∈ H.
Từ bất đẳng thức Schwarz và cách định nghĩa chuẩn ta có
| x, y | ≤ x . y

với mọi x, y ∈ H.

(1.3)

Từ đó với mọi x, y ∈ H ta có:
x + y, x + y = x, x + 2 x, y + y, y
≤ x

2

+2 x . y + y

Suy ra x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ H.

2

=

x + y

2

.


7
Định nghĩa 1.1.7. Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ
đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.2) thì H được gọi
là không gian Hilbert thực.
Ví dụ 1. Không gian
∞
2

|xn |2 < +∞

l = x = {xn }n ∈ R :
n=1

là không gian Hilbert với tích vô hướng
∞

x, y =

x n yn ,

x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l2

n=1

và chuẩn
∞

x =

∞
2

|2

|xn =

x, x =

|xn |

n=1

1
2

.

n=1

Ví dụ 2. Không gian L2 [a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng:
b

x, y =

x(t)y(t)dt,

∀x, y ∈ L2 [a, b]

a

và chuẩn

1
2

b

|x(t)|2 dt

x =

.

a

Ví dụ 3. Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên khoảng
đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R. Trong C[a, b] xét tích vô hướng

b

x(t)y(t).dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b].

x, y =
a

Không gian C[a, b] với chuẩn
b
2

|x(t)| .dt

x =

1
2

a

là không gian tiền Hilbert, nhưng không phải là không gian Hilbert.


8
Định lí 1.1.8. Giả sử {xn }n∈N , {yn }n∈N là hai dãy lần lượt hội tụ mạnh
đến x0 , y0 trong không gian tiền Hilbert thực H. Khi đó,
lim xn , yn = x0 , y0 .

n→∞

Chứng minh. Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 trong không gian Hilbert
n→∞

n→∞

H.
Ta sẽ chứng minh
lim xn , yn = x0 , y0

n→∞

trong R.

Thật vậy,
| xn , yn − x0 , y0 | = | xn , yn + xn , y0 − xn , y0 − x0 , y0 |
≤ | xn , yn − y0 | + | xn − x0 , y0 |
≤ xn . yn − y0 + xn − x0 . y0 .
Vì dãy {xn }n∈N hội tụ trong H nên tồn tại một số M > 0 sao cho
xn ≤ M với mọi n ∈ N. Do đó,
lim xn , yn = x0 , y0 .

n→∞

Định lý được chứng minh.
Nhận xét 1.1.9. Tích vô hướng là một phiếm hàm song tuyến tính liên tục
trên H × H.
Định lí 1.1.10. Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H, ta luôn có
đẳng thức hình bình hành sau:
x+y

2

+ x−y

2

=2

x

2

+ y

2

.


9
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, ta có
x+y

2

= x + y, x + y = x

2

+ y

2

+ 2 x, y

x−y

2

= x − y, x − y = x

2

+ y

2

− 2 x, y .

và

Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức cần chứng minh.
Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho x − y và x − z ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.1.11. Cho H là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H. Khi
đó, ta có đẳng thức Apollonius:
2

x−y

2

+ x−z

2

y+z
=4 x−
2

2

+ y − z 2.

Nhận xét 1.1.12. (ý nghĩa của đẳng thức hình bình hành)
(1) Đẳng thức trên nói lên một tính chất hình học: Tổng bình phương các
cạnh của hình bình hành bằng tổng bình phương hai đường chéo.
(2) Từ định lý trên ta thấy, muốn đưa được tích vô hướng vào một không
gian định chuẩn thì không gian này phải thỏa mãn điều kiện hình bình
hành. Ngược lại nếu H là một không gian định chuẩn trong đó đẳng
thức hình bình hành được thỏa mãn với mọi phần tử thuộc H thì trên
H sẽ tồn tại một tích vô hướng ., . sao cho chuẩn được xác định nhờ
tích vô hướng. Điều này được thể hiện qua định lý sau.
Định lí 1.1.13. Giả sử (H, ||.||) là một không gian định chuẩn trên R trong
đó đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H. Nếu đặt
x, y =

1
4

x+y

2

− x−y

2

,

thì ., . là một tích vô hướng trên H và ta có x, x = x 2 .

(1.4)


10
Chứng minh. Ta chứng minh ., . xác định như trên thỏa mãn các điều kiện
trong định nghĩa về tích vô hướng. Thật vậy, các điều kiện (1) và (4) trong
Định nghĩa 1.1.2 hiển nhiên được thỏa mãn.
Đặt
p(x, y) =

1
4

2

x+y

2

− x−y

,

Để ý rằng, ., . : H × H −→ R là một hàm liên tục và
p(x, 0) = 0,

p(−x, y) = −p(x, y) ∀x, y ∈ H.

Với mọi x, y, z ∈ H ta có
4 (p(x, z) + p(y, z)) = x + z

2

− x−z

2

+ y+z

⇔ p(x, z) + p(y, z) = 2p

2

− y−z

x+y
,z .
2

2

(1.5)

Trong đẳng thức (1.5) lấy y = 0 được
p(x, z) = 2p

x
,z .
2

(1.6)

Như vậy ta có
2p

x+y
,z
2

= p(x + y, z).

Nghĩa là p(x, z) + p(y, z) = p(x + y, z). Vậy điều kiện (2) trong Định
nghĩa 1.1.2 được chứng minh. Thay thế x bằng 2x trong (1.6) ta được
2p(x, z) = p(2x, z),

∀x, y, z ∈ H.

Bằng quy nạp ta kiểm tra được
p(nx, z) = np(x, z),

∀n ∈ N

và bằng lập luận như trên ta có
p(rx, z) = rp(x, z),

∀r ∈ Qvàx, z ∈ H.


11
Nhờ tính liên tục của chuẩn ||.|| suy ra hàm p(., z) liên tục, qua giới hạn ta
có
và

p(ax, z) = ap(x, z) ∀x, z ∈ H

a ∈ R.

Vậy p(x, y) là một tích vô hướng trên H và hiển nhiên
x, x = p(x, x) = x

2

.

Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.1.14. Trong không gian Hilbert H
(i) Dãy {xn }∞
n=1 được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu
lim xn , y = x, y

n→∞

∀y ∈ H.

(ii) Dãy {xn }∞
n=1 được gọi là hội tụ mạnh đến x ∈ H nếu
lim xn − x = 0.

n→∞

Ký hiệu xn

x chỉ sự hội tụ yếu, xn → x chỉ sự hội tụ mạnh của dãy

{xn } đến phần tử x ∈ H.
Chú ý 1.1.15.
(1) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, nhưng
điều ngược lại không đúng.
(2) Mọi không gian Hilbert đều có tính chất Kadec–Klee, tức là nếu dãy
{xn } trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện xn → x
và xn

x, thì xn → x khi n → ∞.

Chứng minh. Thật vậy, trong không gian Hilbert nếu xn
x0 thì xn → x0 . Với mọi x, ta có
xn − x0

2

= xn − x0 , xn − x0

x0 và xn →


12
= xn

2

− x0 , xn − xn , x0 + x0

2

.

Từ giả thiết suy ra
lim xn

x→∞

2

= x0 2 ,

lim xn , x0 = x0 2 ,

x→∞

lim x0 , xn = x0 2 .

x→∞

Do đó
lim xn − x0

x→∞

2

= x0 2 .

Đó là điều phải chứng minh.
b) Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.16. Cho hai không gian tuyến tính X và Y . Một ánh xạ
A : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu:
(i) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 với mọi x1 , x2 ∈ X;
(ii) A(αx) = αAx với mọi x ∈ X và mọi α ∈ R.
Chú ý 1.1.17.
(1) Điều kiện (i) và (ii) trong Định nghĩa 1.1.16 tương đương với:
A(α1 x1 + α2 x2 + ... + αk xk ) = α1 Ax1 + α2 Ax2 + ... + αk Axk
với mọi xi ∈ X với mọi αi ∈ R, i = 1, . . . , k.
(2) Nếu Y ≡ X thì ta cũng nói A là toán tử trong X.
Ký hiệu R(A) là miền giá trị của toán tử A, tức là tập hợp các phần tử
y ∈ Y sao cho y = Ax với một x ∈ X nào đó. Nếu y1 , y2 ∈ R(A) thì
α1 y1 + α2 y2 ∈ R(A) với mọi α1 , α2 ∈ R nên R(A) là một không gian con
của Y .

13
Định nghĩa 1.1.18. Một toán tử A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi nó
bị chặn (giới nội), nghĩa là tồn tại một hằng số dương K sao cho:
Ax ≤ K x

∀x ∈ X.

Định nghĩa 1.1.19. Một toán tử A từ X vào Y được gọi là bị chặn (giới
nội) nếu có một hằng số K > 0 sao cho:
A = sup
x=0

Ax
= sup Ax ≤ K.
x
x=0

Ký hiệu mặt cầu tâm a bán kính r > 0 trong không gian X là S(a, r),
nghĩa là
S(a, r) = {x ∈ X : x − a = r}.
Hệ quả 1.1.20. Toán tử tuyến tính A bị chặn (liên tục) nếu tập các trị của
nó trên một mặt cầu (tùy ý) bị chặn.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử Ax ≤ N với mọi x ∈ S(x0 , α). Khi đó,
với mọi x mà x = 1 thì αx + x0 ∈ S, cho nên A(αx + x0 ) ≤ N , và do
đó Aαx + Ax0 ≤ N hay α Ax ≤ N + Ax0 .
Từ đó suy ra
Ax ≤ (N + Ax0 )/α.
Vậy theo Định nghĩa 1.1.19 ta có:
sup
x=0

Ax
= sup Ax ≤ K,
x
x=0

với K = (N + Ax0 )/α.
Ví dụ 4. Toán tử A : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] xác định bởi
1

(Ax)(t) =

x(s)ds,
0

t ∈ [0, 1]


14
là toán tử tuyến tính liên tục.
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
 0
2
2
1
t
x(s)ds

≤
0

0

|x(s)|2 ds = x 2 ,

|x(s)| ds ≤
0

với mọi t ∈ [0, 1]. Suy ra, A bị chặn. Do đó
2

t

1

x(s)ds dt ≤ x 2 .
0

0

Dễ dàng thấy rằng, A là một toán tử tuyến tính. Do đó, A là toán tử
tuyến tính liên tục.
Ví dụ 5. Cho X = Rk , Y = Rm , A(ξ1 , ξ2 , . . . , ξk ) = (η1 , η2 , . . . , ηm ) với
k

ηi =

aij ξj

i = 1, 2, 3, . . . , m,

(1.7)

j=1

trong đó aij là những hằng số. Ma trận


a
. . . a1k
 11

 .. . .

.
.
. . 
 .


am1 · · · amk
là ma trận của toán tử A. Thật vậy, (1.7) là dạng tổng quát của toán tử
tuyến tính từ Rk vào Rm . Cho A là toán tử tuyến tính bất kì từ Rk vào Rm .
Gọi e1 , e2 , . . . , ek và f1 , f2 , . . . , fk là các cơ sở của Rk và Rm sao cho với
mọi x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξk ) ∈ Rk , y = (η1 , η2 , . . . , ηm ) ∈ Rm :
k

x=

ξj ej

j=1

và

m

y=

ηi fi
i=1


15
với
e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , ek = (0, 0, . . . , 1),
f1 = (1, 0, . . . , 0), f2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , fm = (0, 0, . . . , 1).
Vì A là toán tử tuyến tính nên
k

Ax =

ξj (Aej ).
j=1

Đặt
Ax = (η1 , η2 , . . . , ηm )
Aej = (a1j , a2j , . . . , amj )
ta có (1.7).
Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con của H.
Định nghĩa 1.1.21. Tập C ⊂ H là một tập lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ C và

với mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta đều có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C.
Từ định nghĩa trên ta thấy tập ∅ là một tập lồi.
Định nghĩa 1.1.22. Hàm f : C → R được gọi là:
(i) lồi trên C nếu với mọi λ ∈ [0, 1], với mọi x, y ∈ C thì
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ;
(ii) lồi chặt trên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), với mọi x, y ∈ C, x = y thì
f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) .
Định nghĩa 1.1.23. Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của không
gian Hilbert thực H, A : C → H là một ánh xạ. Ánh xạ A được gọi là
L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho
A(x) − A(y) ≤ L x − y

∀x, y ∈ C.


16
Nếu 0 < L < 1 thì A là ánh xạ co, nếu L = 1 thì A là ánh xạ không
giãn.
Định nghĩa 1.1.24. Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của không
gian Hilbert thực H, A : C → H là một ánh xạ. Ánh xạ A được gọi là:
(i) đơn điệu trên C, nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ C;
(ii) η-đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số η dương sao cho
A(x) − A(y), x − y ≥ η x − y

2

∀x, y ∈ C.

(iii) hemi-liên tục (hemicontinuous) trên C nếu A(x+ty)

Ax khi t → 0

với mọi x, y ∈ C và demi-liên tục (demicontinuous) trên C nếu từ
xn → x suy ra Axn

Ax khi n → ∞.

(iv) bức trên C nếu
lim

x →+∞

1.1.2

Ax, x
= +∞,
x

x ∈ C.

Bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert

Cho C và Q là các tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert
tương ứng H1 và H2 . Bài toán chấp nhận tách được phát biểu: Tìm điểm x∗
với tính chất
x∗ ∈ C và Ax∗ ∈ Q,

(1.8)

ở đây A : H1 → H2 là toán tử tuyến tính giới nội.
Lưu ý rằng bài toán chấp nhận tách (1.8) có thể phát biểu dưới dạng phương
trình bất động
PC (I − γA∗ (I − PQ ) A) x∗ = x∗ ,

(1.9)


17
ở đây, A∗ là ánh xạ đối ngẫu của A, PC và PQ là các phép chiếu mêtric
tương ứng lên C và Q. Ta thấy, x∗ là nghiệm của bài toán chấp nhận tách
(1.8) khi và chỉ khi x∗ là điểm bất động của PC (I − γA∗ (I − PQ ) A). Từ
đó suy ra rằng ta có thể sử dụng các phương pháp tìm điểm bất động giải
bài toán chấp nhận tách.
Thuật toán 1.1.25. Cho một điểm xuất phát x0 , dãy lặp xk

k≥0

được tạo

bởi quá trình lặp
xk+1 = (1 − βk ) xk + βk PC (1 − αk )U xk , k ≥ 0,

(1.10)

ở đây U = I − γA∗ (I − PQ ) A, {αk } và {βk } là hai dãy số thực trong
[0,1].
Định lý 1.1.26. Cho {αk } và {βk } là hai số thực trong (0,1) thỏa mãn các
điều kiện sau
(C1)

(C2)
(C3)

lim αk = 0 và

k→∞

= ∞,

lim |αk − αk+1 | = 0,

k→∞

0 < lim inf βk ≤ lim sup βk < 1.
k→∞

Khi đó, x

k

1.2

∞
k=0 αk

k→∞

tạo bởi (1.10) hội tụ mạnh đến một điểm trong C ∩ A−1 (Q) .

Một số bổ đề cần thiết

Cho H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng ., . và chuẩn
||.|| tương ứng, và cho K là tập con lồi đóng khác rỗng của H. Ta gọi
f : K → H là một κ − co nếu tồn tại một hằng số κ ∈ [0, 1) sao cho
||f (x) − f (y)|| ≤ κ||x − y|| với mọi x, y ∈ K.
Một toán tử tuyến tính giới nội B được gọi là dương mạnh trên H nếu tồn
tại một hằng số α > 0 sao cho
Bx, x ≥ α||x||2 ,

∀x ∈ H.


18
Một ánh xạ F : C → H được gọi là đơn điệu nếu
F x − F y, x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ C.

Bài toán bất đẳng thức biến phân VI là tìm một điểm x∗ ∈ C với tính chất
F x∗ , x − x∗ ≥ 0,

∀x ∈ C.

Nhắc lại rằng phép chiếu mêtric từ H lên K, kí hiệu PK được định nghĩa
như sau, với mỗi x ∈ H, PK x là phần tử duy nhất trong K với tính chất
||x − PK x|| = min {||x − y|| : y ∈ K} .
Ta biết rằng PK thỏa mãn
x − y, PK x − PK y ≥ ||PK x − PK y||2 ,

∀x, y ∈ H.

Hơn nữa, PK được đặc trưng bởi các tính chất sau:
(1.11)

x − PK x, y − PK x ≤ 0,
và
||x − y||2 ≥ ||x − PK x||2 + ||y − PK x||2 ,
với mọi x ∈ H và y ∈ K.

Xét một vài toán tử phi tuyến được đưa ra ở dưới đây. Cho T : H → H là
toán tử phi tuyến.
(a)

T là không giãn nếu ||T x − T y|| ≤ ||x − y|| với mọi x, y ∈ H.

(b)

T là không giãn chặt nếu ||2T − I|| là không giãn. Tương đương,

T = (I + S)/2, ở đây S : H → H là không giãn. Hay nói cách khác, T là
không giãn chặt khi và chỉ khi
||T x − T y||2 ≤ T x − T y, x − y ,

x, y ∈ H.


19
(c)

T là toán tử trung bình nếu T = (1 − τ )I + τ S, ở đây τ ∈ (0, 1) và

S : H → H là không giãn. Trong trường hợp này, ta cũng nói rằng T là τ trung bình. Một ánh xạ không giãn chặt là 12 − trung bình.
Ta cũng biết rằng cả PK và I − PK đều là các toán tử không giãn chặt.
Chúng tôi sử dụng một số kí hiệu sau:
• F ix(T ) được đặt cho tập điểm bất động của T ;
• xn

x được đặt cho sự hội tụ yếu của {xn } đến x;

• xn → x được đặt cho sự hội tụ mạnh của {xn } đến x.
Bổ đề 1.2.1. Cho K là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert
thực H. Cho T : K → K là một ánh xạ không giãn với F ix(T ) = ∅. Khi
đó T là nửa đóng trên K, nghĩa là nếu xn

x ∈ K và xn − T xn → 0, thì

x = T x.
Bổ đề 1.2.2. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert
thực H. Giả sử rằng ánh xạ F : C → H là đơn ánh và liên tục yếu trên
F (x) khi t → 0). Khi đó bất đẳng thức

từng đoạn (tức là F (x + ty)
biến phân
x∗ ∈ C,

F x∗ , x − x∗ ≥ 0, x ∈ C.

là tương đương với bất đẳng thức biến phân đối ngẫu
x∗ ∈ C,

F x, x − x∗ ≥ 0, x ∈ C.

Bổ đề 1.2.3. Cho {xn } và {zn } là các dãy bị chặn trong không gian Banach
X và cho {βn } là một dãy trong [0,1] với
0 < lim inf βn ≤ lim sup βn < 1.
n→∞

n→∞


20
Giả sử xn+1 = (1 − βn )zn + βn xn với mọi số nguyên n ≥ 0 và
lim sup(||zn+1 − zn || − ||xn+1 − xn ||) ≤ 0
n→∞

thì lim ||zn − xn || = 0.
n→∞

Bổ đề 1.2.4. Giả sử {an } là một dãy số thực không âm thỏa mãn
an+1 ≤ (1 − γn )an + δn ,
ở đây{γn } là một dãy trong (0,1) và {δn } là một dãy thỏa mãn
(1)
(2)

∞
n=1 γn

= ∞;

lim supn→∞ δn /γn ≤ 0 hoặc

∞
n=1 |δn |

< ∞.

Thì limn→∞ an = 0.
Kết luận chương 1
Chương 1 trình bày sơ lược về không gian Hilbert trên trường số thực và
một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi như tập lồi, hàm lồi và toán tử đơn
điệu. Trong chương này chúng tôi cũng trình bày bài toán chấp nhận tách
và một số bổ đề cần thiết làm cơ sở nghiên cứu cho chương 2.


21

Chương 2

Phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp hiện
giải bài toán chấp nhận tách
Chương 2 gồm 2 mục. Trong mục 2.1, chúng tôi trình bày phương
pháp lặp ẩn giải bài toán chấp nhận tách. Mục 2.2 dành cho việc giới
thiệu phương pháp lặp hiện cho bài toán trên. Các tài liệu tham khảo trong
chương này là [3], [4].

2.1

Phương pháp lặp ẩn

2.1.1

Mô tả phương pháp

Xét bài toán chấp nhận tách (1.8) trong không gian Hilbert. Tôi xin
trình bày một thuật toán để xấp xỉ nghiệm của (1.8).
Cho C và Q là các tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert
tương ứng H1 và H2 . Cho f : C → H1 là một κ − co. A : H1 → H2 là toán
tử tuyến tính giới nội và B : H1 → H1 là toán tử tự liên hợp, dương chặt
với hệ số α > 0. Lấy hai hằng số σ và γ sao cho 0 < γ < 2/ρ (A∗ A) và
0 < σκ < α, ở đây ρ (A∗ A) là bán kính phổ của (A∗ A). Ánh xạ này được
xác định như sau:
Wt := PC [tσf + (I − tB) (I − γA∗ (I − PQ ) A)] .
Ta thấy Wt là ánh xạ từ C vào C. Lưu ý rằng PC , I − γA∗ (I − PQ ) A là