H12_MATCAU

MẶT CẦU
1. C/mr: Tám đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu.
2. Cho ∆ABC ⊥ tại B, đoạn DA vuông góc với (ABC)
a) Xác đònh mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b) Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a tính bán kính của mặt cầu nói trên.
3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = b. Xác đònh tâm và tính bán kính
của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.
HD: Gọi S(O ; R) tiếp xúc với 3 cạnh ∆ABC tại A’, B’, C’. Gọi I là hình chiếu của O trên (ABC) ⇒ IA’ = IB’ =
IC’ ⇒ I là tâm của đường tròn (c) nội tiếp ∆ABC ⇒ O ∈ ∆ trục của (c) . Ngược lại lấy ∀ O ∈ ∆ ⇒ S(O ; R) tiếp
xúc với 3 cạnh ∆ABC tại A’, B’, C’ có R = OA’với A’, B’, C’ ∈ (c) . Vậy: có vô số mặt cầu tiếp xúc với ba
cạnh của một tam giác có tâm nằm trên ∆ trục của đường tròn nội tiếp ∆ABC.
4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Đặt OA = a, OB = b, OC = c.
a) Xác đònh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC theo a, b, c.
b) C/mr: O, I và trọng tâm ∆ABC là ba điểm thẳng hàng.
HD: Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là giao điểm I của trung trực cạnh OA và trục d của đáy (d qua
trung điểm M cạnh BC và // OA) R =
2 2 2
1
2
a b c+ +
. Gọi G = AM ∩ OI . Vì AO // IM ⇒
2
GA AO
GM IM
= =
. ⇒
G là trọng tâm ∆ABC.
5. Ba cạnh của một tam giác có độ dài 13, 14, 15. Một mặt cầu có bán kính 5 tiếp xúc với ba cạnh tại các tiếp
điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính k/cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác.
LG: Gọi (c) là đường tròn nội tiếp ∆ABC có r = 4. Xét ∆OIA’ ⊥ tại I ⇒ OI = 3.
6. Cho mặt cầu (O ; R) tiếp xúc với mp(P) tại I, M là một điểm nằm trên mặt cầu. Hai tiếp tuyến tại M của mặt

cầu cắt (P) tại A và B . C/mr:
·
·
AMB AIB=
.
HD: ∆AMB = ∆AIB ⇒
·
·
AMB AIB=
7. C/mr: Nếu có một mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của một hình tứ diện thì tổng các cặp cạnh đối của tứ diện
bằng nhau.
HD: Gọi M, N, P, Q, E, F là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh tứ diện . Dùng đlí 2 ⇒ ĐPCM
8. Một hình tứ diện có các cạnh đối bằng nhau. C/mr: Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó là trọng tâm của tứ
diện và cách đều bốn mặt của tứ diện.
HD: Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều S.ABCD là giao điểm I của trung trực cạnh bên và trục của đáy ⇒
R = a.
9. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống (BCD)
a) C/mr: H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD. Tính AH.
b) Xác đònh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
c) Gọi K là trung điểm AH. C/mr: KB, KC, KD đôi một vuông góc .
HD: Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều là giao điểm của trung trực cạnh bên và trục của đáy AH =
6
3
a
,
R =
6
4
a
, KB = KC = KD =

2 2
2
2
a
BH KH+ =
⇒ KB
2
+ KC
2
= BC
2
⇒ KB ⊥ KB.
10. Cho ∆ABC cân có
·
0
120BAC =
và đường cao AH =
2a
. Trên đường thẳng d ⊥ (ABC) tại A lấy 2 điểm I, J
ở hai bên điểm A sao cho ∆IBC đều và ∆JBC vuông cân.
a) Tính các cạnh của ∆ABC.
b) Tính AI, AJ và C/mr: ∆BIJ,∆CIJ là các tam giác vuông.
c) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC.
HD: a) ∆ABC cân tại A ⇒ H là trung điểm BC ⇒ AB = AC =
2 2a
, BC =
2 6a
b) IB = IC = BC ⇒ IA = 4a, JB = JC =
2
BC

⇒ JA = 2a,
c) • Ta có
·
·
0
90IBJ ICJ= =
⇒ mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC có đường kính IJ ⇒ R = 3a.
• Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC (d // IJ). Tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC là giao
điểm O của d và trung trực OM của đoạn IA (M ∈ IA) ⇒ OM = AK =
2 3a
(AK là bán kính đường tròn ngoại
tiếp ∆ABC)