Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

VŨ THỊ THUẦN

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ ĐỐI NGẪU
CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH THƯƠNG
ĐA MỤC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

VŨ THỊ THUẦN

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ ĐỐI NGẪU
CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH THƯƠNG
ĐA MỤC TIÊU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN - 2017


i

Mục lục
Mở đầu

1

Chương 1 Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch
thương không trơn với các hàm lồi suy rộng

4

1.1. Các khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Chương 2 Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch thương đa mục
tiêu qua dưới vi phân suy rộng

19

2.1. Phát biểu bài toán và các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . .

19

2.2. Điều kiện cần tối ưu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3. Điều kiện đủ tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

38


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài

Các bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu đóng một vai trò quan trọng
trong tối ưu, mô hình phân tích gói dữ liệu Charnes–Cooper– Rhodes là một
ví dụ cho bài toán quy hoạch thương trong kinh tế. Các điều kiện tối ưu và đối
ngẫu cho các bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu đã và đang được nhiều tác
giả quan tâm nghiên cứu. H. Kuk, G. M. Lee và T. Tanino ([16], 2001) đã thiết
lập các điều kiện Karush - Kuhn - Tucker và các định lí đối ngẫu cho bài toán
quy hoạch thương đa mục tiêu Lipschitz địa phương có ràng buộc bất đẳng thức
với các hàm lồi suy rộng Lipschitz địa phương. N. Gadhi ([8], 2008) đã dẫn các
điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán quy hoạch thương đa
mục tiêu có ràng buộc bất đẳng thức với các hàm liên tục, không nhất thiết
Lipschitz địa phương. Đây là đề tài được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.
Chính vì vậy tôi chọn đề tài: "Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy
hoạch thương đa mục tiêu".

2. Mục đích của đề tài luận văn
Luận văn trình bày các điều kiện Karush - Kuhn - Tucker cần và đủ và các
định lý đối ngẫu cho bài toán quy hoạch thương có ràng buộc bất đẳng thức với


2
các hàm lồi suy rộng Lipschitz địa phương của H. Kuk, G. M. Lee, T. Tanino
đăng trong tạp chí J. Math. Anal. Appl. 262 ([16], 2001), 365 - 375, và các
điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch thương đối với các hàm liên tục của N.
Gadhi đăng trong tạp chí Optimization 57 ([8], 2008), 527 - 537.

3. Nội dung của đề tài luận văn, những vấn đề cần giải quyết
Chương 1. Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy hoạch
thương không trơn với các hàm lồi suy rộng
Trình bày các kết quả về điều kiện Karush - Kuhn - Tucker cho nghiệm
hữu hiệu của bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu không trơn với các hàm

Lipschitz địa phương, có ràng buộc bất đẳng thức, dưới ngôn ngữ dưới vi phân
Clarke, và các định lý đối ngẫu yếu, mạnh, ngược chặt với các giả thiết về tính
lồi suy rộng. Các kết quả trình bày trong chương này là của Kuk - Lee - Tanino
([16], 2001).

Chương 2. Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch thương đa mục
tiêu qua dưới vi phân suy rộng
Trình bày các kết quả về điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài
toán quy hoạch thương đa mục tiêu với các hàm không nhất thiết Lipschitz địa
phương, có ràng buộc bất đẳng thức dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng. Các
điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu được trình bày với các giả thiết về tính lồi
suy rộng. Các kết quả trình bày trong chương này là của Gadhi ([8], 2008).
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Đỗ Văn Lưu. Tác giả


3
xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa
học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn
tận tình và đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công
tác và nghiên cứu của bản thân. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc
tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y; Nhà
trường và các phòng chức năng của Trường; Khoa Toán - Tin, trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời
gian học tập tại trường.
Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên,
ủng hộ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và học
tập.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017

Tác giả luận văn
Vũ Thị Thuần


4

Chương 1

Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho bài toán quy
hoạch thương không trơn với các hàm lồi suy
rộng
Chương 1 trình bày các kết quả của Kuk - Lee - Tanino [16] về điều kiện
Karush - Kuhn - Tucker cho nghiệm hữu hiệu của bài toán quy hoạch thương
đa mục tiêu không trơn có ràng buộc bất đẳng thức, với các hàm Lipschitz địa
phương, dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke, và các định lý đối ngẫu yếu, mạnh,
ngược chặt với các giả thiết về tính lồi suy rộng.

1.1.

Các khái niệm và định nghĩa

Cho Rn là không gian Euclide n chiều. Trong suốt chương này, ta sử dụng
mối quan hệ so sánh giữa các vectơ trong Rn như sau:
x > y ⇔ xi > yi , với mọi i = 1, ..., n,
x ≥ y ⇔ xi ≥ yi , với mọi i = 1, ..., n.
Hàm giá trị thực f : Rn → R được gọi là Lipschitz địa phương nếu với bất
kì z ∈ Rn , tồn tại một hằng số dương K và một lân cận N của z sao cho, với


5

mỗi x, y ∈ N ,
| f (x) − f (y) |≤ K
trong đó,

.

x−y ,

là kí hiệu chuẩn trong Rn .

Trong chương này, ta xét bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu sau:


min f1 (x) , ..., fp (x) ,
g1 (x)
gp (x)
(F P ) :

x ∈ X = {x ∈ Rn | hj (x) ≤ 0, j = 1, ..., m },
trong đó fi : Rn → R, gi : Rn → R, i = 1, ..., p và hj : Rn → R, j = 1, ..., m
là các hàm Lipschitz địa phương.
Giả sử rằng fi (x) ≥ 0; gi (x) > 0 trong Rn với i = 1, ..., p. Giả thiết gi (x) > 0
là để hàm mục tiêu được xác định. Giả thiết fi (x) ≥ 0 (i = 1, . . . , p) cần để
chứng minh các kết quả trong luận văn.
Định nghĩa 1.1. Đạo hàm theo phương suy rộng Clarke [6] của hàm Lipschitz
địa phương f tại x theo phương d được kí hiệu bởi f ◦ (x; d) được định nghĩa
như sau:
f ◦ (x; d) = lim sup t−1 (f (y + td) − f (y) ).
y−→x;t↓0

Gradient suy rộng Clarke [6] của f tại x được định nghĩa bởi
∂f (x) = ξ | f ◦ (x; d) ≥ ξ T d, ∀d ∈ Rn }.
Mệnh đề 1.1. [1] Giả sử f Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz K tại x.
Khi đó,
(i) Hàm v −→ f ◦ (x; v) hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính trên Rn , và
| f ◦ (x; v) |≤ K

v ;


6
(ii) f ◦ (x; v) nửa liên tục trên theo (x, v); f ◦ (x, ·) Lipschitz với hằng số K trên
Rn ;
(iii) f ◦ (x; −v) = (−f )◦ (x; v).
Mệnh đề 1.2. [1] Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x với hằng số
Lipschitz K. Khi đó,
a) ∂f (x) = ∅, lồi, compắc và
ξ ≤ K (∀ξ ∈ ∂f (x));
b) Với mọi v ∈ Rn , ta có
f ◦ (x; v) = max { ξ, v : ξ ∈ ∂f (x) }.
Ví dụ 1.1. Cho hàm affine trên Rn :
f (x) = x∗ , x +α (x∗ ∈ Rn , α ∈ R).
Ta có
∂f (x) = {x∗ } (∀x ∈ Rn ).
Ví dụ 1.2. Cho hàm f (x) =| x | (x ∈ R)
Ta có

∂f (x) =




 1 , nếu x > 0,

 −1 , nếu x < 0.

Với x = 0, ta có
f ◦ (0; v) =| v | (với mọi v ∈ R),
∂f (0) = [−1, 1].


7
Ví dụ 1.3. Cho hàm f : R −→ R được xác định bởi
f (x) = max xi (x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn )
1≤i≤n

Đặt I(x) = {i : x1 = max1≤j≤n xj }. Ta có (xem [1]):




∂f (x) = (ζ1 , ..., ζn ) : ζi ≥ 0,
ζi = 1, ζj = 0, j ∈
/ I(x)


i∈I(x)

f ◦ (x; v) = max vi (v = (v1 , ..., vn ) ∈ Rn ) .
i∈I(x)

Egudo và Hanson [7] đã định nghĩa tính lồi bất biến của hàm Lipschitz địa
phương như sau
Định nghĩa 1.2. Một hàm Lipschitz địa phương f được gọi là lồi bất biến trên
X0 ⊂ Rn nếu với mỗi x, u ∈ X0 tồn tại một hàm
η (x, u ): X0 × X0 → Rn
thỏa mãn
f (x) − f (u) ≥ ξ T η(x, u), với mọi ξ ∈ ∂f (u).
Egudo và Hanson [6] đã tổng quát tính V - lồi bất biến của Jeyakumar và
Mond [10] cho các trường hợp không trơn như sau
Định nghĩa 1.3. Một hàm vectơ f : X0 → Rn được gọi là V - lồi bất biến nếu
tồn tại các hàm η : X0 × X0 → Rn và αi : X0 × X0 → R+ \ {0 } thỏa mãn
fi (x) − fi (u) − αi (x, u)ξiT η(x, u) ≥ 0, với mỗi ξi ∈ ∂fi (u).
Kuk, Lee và Kim [15] định nghĩa V - ρ - lồi bất biến cho các trường hợp
không trơn như sau :


8
Định nghĩa 1.4. Cho fi : Rn → R, gi : Rn → R, i = 1, ..., p, và hj :
Rn → R, j = 1, ..., m là các hàm Lipschitz địa phương, cho υ ∈ Rp và đặt
e = (1, ..., 1) ∈ Rp .
(a)f − υge := (f1 − υ1 g1 , ..., fp − υp gp ) được gọi là V - ρ - lồi bất biến theo
các hàm η và θ : Rn × Rn → Rn nếu tồn tại αi : Rn × Rn → R+ \ {0 }
và ρi ∈ R, i = 1, ..., p sao cho với bất kì x, u ∈ Rn và bất kì ξi ∈ ∂fi (u) và
ζi ∈ ∂gi (u),
αi (x, u) {fi (x) − υi gi (x) − fi (u) + υi gi (u) }
≥ (ξi − υi ζi )η(x, u) + ρi

θ(x, u)

2

(1.1)

.

Nếu ta có bất đẳng thức chặt trong (1.1) với mọi x, u ∈ Rn , với x = u thì f −υge
được gọi là V - ρ - lồi bất biến chặt theo các hàm η và θ : Rn × Rn → Rn .
(b) h được gọi là V - σ - lồi bất biến theo các hàm η và θ : Rn × Rn → Rn nếu
tồn tại βj : Rn × Rn → R+ \ {0 } và σj ∈ R, j = 1, ..., m, sao cho với bất kì
x, u ∈ Rn và bất kì µj ∈ ∂hj (u),
βj (x, u) hj (x) − hj (u) ≥ µj η(x, u) + σj

θ(x, u)

2

.

Nhận xét 1.1. Nếu trong định nghĩa trên ρi = 0 với mọi i, thì hàm đã cho là V
- lồi bất biến.
Để chỉ ra sự tồn tại của các hàm V - ρ - lồi bất biến, ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.4. Xem xét hàm số fi : X0 = [−1; 1] → R, i = 1, 2, xác định bởi


2x2 , −1 ≤ x ≤ 0,
f1 (x) =

x,
0 ≤ x ≤ 1,

9

f2 (x) =



5x4 , −1 ≤ x ≤ 0,

2x,

Với
f1 (x) =

0 ≤ x ≤ 1.



2x2 , −1 ≤ x ≤ 0,

x,

0 ≤ x ≤ 1,

ta có



d,

d ≥ 0,
f1 (y + td) − f1 (y)
=

t
y−→0;t↓0
0, d < 0.


d ≥ ξd, d ≥ 0,
◦
⇔ 0 ≤ ξ ≤ 1.
f1 (0; d) ≥ ξd ⇔

0 ≥ ξd, d < 0,

f1◦ (0; d) = lim sup

Với
f2 (x) =



5x4 , −1 ≤ x ≤ 0,

2x,

0 ≤ x ≤ 1,

ta có



2d,

f2 (y + td) − f2 (y)
=

t
y−→0;t↓0
0,

f2◦ (0; d) = lim sup

f2◦ (0; d)

≥ ξd ⇔



2d ≥ ξd,

d ≥ 0,


0 ≥ ξd,

d < 0,

d ≥ 0,

d < 0.

⇔ 0 ≤ ξ ≤ 2.

Do đó ∂f1 (0) = {ξ | 0 ≤ ξ ≤ 1 } và ∂f2 (0) = {ξ | 0 ≤ ξ ≤ 2 } .
Xác định
η : X0 × X0 → R , η(x, u) = 2x2 − 1 − u,
θ : X0 × X0 → R , θ(x, u) =

2x2 − 1 + u2 ,


10
α1 : X0 × X0 → R+ \ 0 , α1 (x, u) = 2x2 + 1,
và
α2 : X0 × X0 → R+ \ 0 , α2 (x, u) = u2 + 3.
Với ρ1 = 1 và ρ2 = 2, hàm vectơ f (x) = (f1 (x), f2 (x)) là V - ρ - lồi bất biến
tại u = 0. Trong ví dụ này, chú ý rằng khi phát biểu kết quả thì đã cố định
η, θ, α và ρ rồi.
Định nghĩa 1.5. Một điểm u ∈ X được gọi là một nghiệm hữu hiệu của (F P )
nếu không tồn tại x ∈ X thỏa mãn
fi (x) fi (u)
≤
, với mọi i = 1, ..., p,
gi (x)
gi (u)
và
fk (x) fk (u)
<
, với k nào đó.

gk (x) gk (u)

1.2.

Điều kiện tối ưu

Phần này trình bày các điều kiện cần Karush - Kuhn - Tucker và các điều
kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán (F P ).
Xét bài toán cực tiểu vô hướng sau:


min l(x)
(P ) :

hj (x) ≤ 0, j = 1, ..., m,
trong đó l, hj : Rn → R, j = 1, ..., m là các hàm Lipschitz địa phương.
Tại một điểm u ∈ Rn , ta định nghĩa
I ∗ = {j ∈ I | hj (u) = 0 }, với I = {1, ..., m },


11

Ω=



 d ∈ Rn | h◦ (u; d) ≤ 0, j ∈ I ∗ },
j



Rn ,


 d ∈ Rn | h◦ (u; d) < 0, j ∈ I ∗ },
j
◦
Ω− =

Rn ,

nếu I ∗ = ∅,
nếu I ∗ = ∅,
nếu I ∗ = ∅,
nếu I ∗ = ∅.

Với bài toán (P ), ta xét điều kiện chính quy sau:
Điều kiện chính quy 1.1. Tại điểm u, Ω◦− = ∅.
Bổ đề 1.1. [18 ] Nếu u là cực tiểu địa phương của (P ) và Điều kiện chính quy
1.1 thỏa mãn thì tồn tại λ1 , ..., λm sao cho
m

0 ∈ ∂l(u) +

λj ∂hj (u),
j=0

λj hj (u) = 0, j = 1, ..., m,
λj ≥ 0, j = 1, ..., m.
Bổ đề 1.2. [16 ] u là một nghiệm hữu hiệu của (F P ) nếu và chỉ nếu u là nghiệm
của (F Pk ), k = 1, ..., p, với (F Pk ) là bài toán dưới đây :



fk (x)


min
,


g
(x)

k

fi (x) fi (u)
(F Pk )
≤
với mọi i = k,

g
(x)
g
(u)

i
i





hj (x) ≤ 0, j = 1, ..., m.
Ta phát biểu điều kiện cần Karush - Kuhn - Tucker suy rộng cho (F P ) mà
chứng minh của nó bằng một phương pháp tương tự như chứng minh trong [17,
định lý 3.2.9].


12
Định lý 1.1. (Điều kiện cần tối ưu) Nếu u là một nghiệm hữu hiệu của (F P ) và
thỏa mãn Điều kiện chính quy 1.1 cho (F Pk ), k = 1, ..., p thì tồn tại τ ∈ Rp và
λ ∈ Rm sao cho
p

0∈

m

τi {∂fi (u) − yi ∂gi (u)} +
i=1

trong đó yi =

λj ∂hj (u),

(1.2)

j=1

λj hj (u) = 0, j = 1, ..., m,

(1.3)

τ > 0, λ ≥ 0,

(1.4)

fi (u)
, i = 1, ..., p.
gi (u)

Định lý 1.2. (Điều kiện đủ tối ưu) Cho (u, τ, λ) ∈ Rn × Rp × Rm thỏa mãn
điều kiện (1.2) - (1.4), Giả sử rằng f − yge := (f1 − y1 g1 , ..., fp − yp gp ) là V ρ- lồi bất biến và h là V - σ- lồi bất biến theo cùng η và θ và
p

m

λj σj ≥ 0,

τ i ρi +
i=1

trong đó yi =

(1.5)

j=1

fi (u)
, i = 1, ..., p. Khi đó, u là một nghiệm hữu hiệu của (F P ).
gi (u)

Chứng minh. Giả sử rằng u không là một nghiệm hữu hiệu của (F P ). Khi đó,
tồn tại x ∈ X thỏa mãn
fi (x) fi (u)
≤
, i = 1, ..., p,
gi (x)
gi (u)
và
fk (x) fk (u)
<
, với k nào đó.
gk (x) gk (u)
Do gi (x) > 0 với mọi i = 1, ..., p, ta có
fi (x) − yi gi (x) ≤ fi (u) − yi gi (u), với mọi i = 1, ..., p,


13
và
fk (x) − yk gk (x) < fk (u) − yk gk (u), với k nào đó.
Do τ > 0 và αi (x, u) > 0 với mọi i = 1, ..., p, ta có
p

p

τi αi (x, u) {fi (x) − fi (u)} <
i=1

τi αi (x, u) {yi gi (x) − yi gi (u)} .
i=1

Do tính V -ρ - lồi bất biến của f − yge, ta có
p

p

τi (ξi − yi ζi )η(x, u) +
i=1

τi ρi

θ(x, u)

2

< 0,

(1.6)

i=1

với mỗi ξi ∈ ∂fi (u) và ζi ∈ ∂gi (u). Từ (1.2) và (1.5), (1.6) ta suy ra
m

m

λj µj η(x, u) +
j=1

λj σj

θ(x, u)

2

> 0,

j=1

với µj nào đó thuộc ∂hj (u).
Do tính V - σ - lồi bất biến của h, ta nhận được
m

λj βj (x, u) {hj (x) − hj (u) }> 0.
j=1

Bởi vì λj hj (u) = 0 với mọi j = 1, ..., m, ta có
m

λj βj (x, u)hj (x) > 0.
j=1

Điều này mâu thuẫn với các điều kiện βj (x, u) > 0, λj ≥ 0, hj (x) ≤ 0 với mọi
j = 1, ..., m.
Vì vậy u là một nghiệm hữu hiệu của (F P ).


14

1.3.

Đối ngẫu

Theo cách tiếp cận của Bector, Chandra và Husain [4 ] ta xây dựng bài toán
đối ngẫu cho (F P ).
(FD): max (υ1 , ..., υp ) ,
p

0∈

m

τi {∂fi (u) − υi ∂gi (u)} +
i=1

λj ∂hj (u),

(1.7)

j=1

fi (u) − υi gi (u) ≥ 0, i = 1, ..., p,

(1.8)

λj hj (u) ≥ 0, j = 1, ..., m,

(1.9)

τ ∈ Rp , λ ∈ Rm , υ ∈ Rp , τ > 0, λ ≥ 0, υ ≥ 0.

(1.10)

Ta thiết lập định lý đối ngẫu yếu, mạnh và ngược chặt giữa (F P ) và (F D).
Định lý 1.3. (Đối ngẫu yếu) Cho x là một điểm chấp nhận được của (F P ) và
cho (u, τ, λ, υ) là một điểm chấp nhận được của (FD). Giả sử rằng f − υge :=
(f1 − υ1 g1 , ..., fp − υp gp ) là V - ρ - lồi bất biến và h là V - σ - lồi bất biến theo
cùng η và θ và

p

m

λj σj ≥ 0

τ i ρi +
i=1

(1.11)

j=1

Khi đó,
fi (x)
≤ υi , với mọi i = 1, ..., p,
gi (x)

(1.12)

fk (x)
< υk , với k nào đó,

gk (x)

(1.13)

và

không thể xảy ra.


15
Chứng minh. Giả sử ngược lại kết luận của định lý không xảy ra, tức là với
điểm x chấp nhận được nào đó của (FP) và (u, τ, λ, υ) của (FD).
fi (x)
≤ υi , với mọi i = 1, ..., p,
gi (x)
và
fk (x)
< υk , với k nào đó.
gk (x)
Khi đó, ta có
fi (x) − υi gi (x) ≤ 0, với mọi i = 1, ..., p,
và
fk (x) − υk gk (x) < 0, với k nào đó.
Vì vậy, từ (1.8) và (1.10), ta nhận được
p

p

τi {fi (u) − υi gi (u)} .

τi {fi (x) − υi gi (x)} <
i=1

i=1

Do tính V - ρ - lồi bất biến của f − υge, ta có
p

p

τi (ξi − υi ζi )η(x, u) +

τi ρi

θ(x, u)

2

< 0,

(1.14)

i=1

i=1

với mọi ξi ∈ ∂fi (u) và mọi ζi ∈ ∂gi (u).
Từ (1.7) và giả thiết

p

m

λj σj ≥ 0,

τi ρi +
i=1

j=1

ta suy ra tồn tại µj ∈ ∂hj (u) sao cho
p

m

λj µj η(x, u) +
j=1

λi σi
i=1

θ(x, u)

2

> 0.

(1.15)

16
Từ (1.9), (1.10) và βj (x, u) > 0 với mọi j = 1, ..., m, ta có
βj (x, u)λj hj (x) ≤ βj (x, u)λj hj (u),
với mọi j = 1, ..., m.
Do tính V - ρ - lồi bất biến của h ta có
m

m

λj µj η(x, u) +
j=1

λ j σj

θ(x, u)

2

≤ 0,

j=1

với mọi µj ∈ ∂hj (u).
Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức (1.15).
Hệ quả 1.1. Giả sử rằng các điều kiện của định lý đối ngẫu yếu (Định lý 1.3)
thỏa mãn. Nếu x là điểm chấp nhận được của bài toán (F P ) và (u, τ , λ, υ) là
fi (x)
điểm chấp nhận được của bài toán (F D) với υi =
, i = 1, ..., p thì x và
gi (x)

(u, τ , λ, υ) tương ứng là các nghiệm hữu hiệu của bài toán (F P ) và bài toán
(F D).
Định lý 1.4. (Đối ngẫu mạnh) Cho x là một nghiệm hữu hiệu của (FP) và giả
sử rằng x thỏa mãn Điều kiện chính quy 1.1 cho (F Pk ), k = 1, ..., p. Khi đó,
tồn tại τ ∈ Rp , λ ∈ Rm , và υ ∈ Rp sao cho (x, τ , λ, υ) là điểm chấp nhận được
của (F D). Nếu các điều kiện của định lý đối ngẫu yếu (Định lý 1.3) cũng đúng
thì (x, τ , λ, υ) là một nghiệm hữu hiệu của (F D).
Chứng minh. Bởi vì x là một nghiệm hữu hiệu của (F P ), từ Bổ đề 1.2, x giải
được (F Pk ) với mỗi k = 1, ..., p. Từ Định lý 1.1, tồn tại τ ∈ Rp , λ ∈ Rm , và
υ ∈ Rp sao cho (x, τ , λ, υ) là một điểm chấp nhận được của (F D) và υ i =
fi (x)
, i = 1, ..., p. Do định lý đối ngẫu yếu giữa (F P ) và (F D), tính hữu hiệu
gi (x)
của (x, τ , λ, υ) của (F D) được suy ra từ Hệ quả 1.1.


17
Định lý 1.5. (Đối ngẫu ngược chặt) Giả sử x là một điểm chấp nhận được
của (F P ) và cho (u, τ , λ, υ) là một điểm chấp nhận được của (F D), với υ i =
fi (x)
, i = 1, ..., p. Giả sử rằng f − υge là V - ρ - lồi bất biến chặt và h là V gi (x)
σ - lồi bất biến theo cùng η và θ và
p

m

i=1

(1.16)

λj σj ≥ 0.

τ i ρi +
j=1

Khi đó x = u, hay u là một nghiệm hữu hiệu của (F P ).
Chứng minh. Ta giả sử rằng x = u.
Bởi vì (u, τ , λ, υ) là một điểm chấp nhận được của (F D), tồn tại ξi ∈ ∂fi (u)
và ζi ∈ ∂gi (u), i = 1, ..., p và µj ∈ ∂hj (u), j = 1, ..., m sao cho
p

m

τ i (ξi − υ i ζi ) +

λj µj = 0,

(1.17)

λj βj (x, u)hj (u) ≥ 0

(1.18)

j=1

i=1
p

m

τ i αi (x, u) {fi (u) − υ i gi (u)} +
i=1

j=1

Từ (1.17), ta thu được
p

m

τ i (ξi − υ i ζi ) η (x, u) +
i=1

λj µj η (x, u) = 0.
j=1

Do đó, từ (1.16) và các định nghĩa của tính V - ρ - lồi bất biến chặt và V - σ lồi bất biến của f − υge và h, ta nhận được
p

m

τ i αi (x, u) {fi (x) − υ i gi (x)} +
i=1

λj βj (x, u)hj (x)
j=1

p

m

λj βj (x, u)hj (u). (1.19)

τ i αi (x, u) {fi (u) − υ i gi (u)} +

>
i=1

j=1


18
Do υ i =

fi (x)
, i = 1, ..., p và λj hj (x) ≤ 0, từ (1.19) ta suy ra
gi (x)
p

m

τ i αi (x, u) {fi (u) − υ i gi (u)} +
i=1

Điều này mâu thuẫn với (1.18).
Định lý được chứng minh.

λj βj (x, u)hj (u) < 0.
j=1

19

Chương 2

Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch thương
đa mục tiêu qua dưới vi phân suy rộng
Chương 2 trình bày các kết quả của Gadhi [8] về điều kiện cần cho nghiệm
hữu hiệu yếu của bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu không trơn có ràng
buộc bất đẳng thức dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng. Các điều kiện đủ cho
nghiệm hữu hiệu yếu được trình bày với các giả thiết về tính lồi suy rộng.

2.1.

Phát biểu bài toán và các kết quả bổ trợ

Xét bài toán quy hoạch thương đa mục tiêu


min f1 (x) , ..., fp (x) ,
g1 (x)
gp (x)
(P ) :

hj (x) ≤ 0, j = 1, ..., m,
trong đó fi , gi , hj là các hàm liên tục thỏa mãn fi (x) ≥ 0; gi (x) > 0 với mọi
i, j với mọi x ∈ X, X là không gian Banach.
Giả sử X là một không gian Banach và f : X → R là hàm giá trị thực mở
rộng, trong đó R := R ∪ {∞}. Không gian đối ngẫu của X được kí hiệu bởi
X ∗ và trang bị với tôpô yếu∗ . Bao lồi và bao lồi đóng của tập A trong X ∗ được

kí hiệu tương ứng bởi co(A) và co(A). Giả sử x ∈ X tại đó f là hữu hạn. Đạo


20
hàm theo phương Dini dưới và trên của f tại x theo phương v được định nghĩa
tương ứng bởi
f − (x, v) := lim inf

f (x + tv) − f (x)
,
t

f + (x, v) := lim sup

f (x + tv) − f (x)
.
t

t↓0

t↓0

Cho C ⊂ Rp là một nón lồi đóng nhọn (C ∩ −C = {0 } ) với phần trong khác
rỗng xác định quan hệ thứ tự bộ phận trong Rn , A là một tập con khác rỗng của
Rp . Điểm y ∈ A là một véctơ cực tiểu Pareto (tương ứng véctơ cực tiểu Pareto
yếu) của A theo C nếu
A ⊂ y + (Rp \ −C) ∪ {0 }
(tương ứng A ⊂ y + Rp \ −Int(C) ), trong đó Int là kí hiệu phần trong tôpô.
Bây giờ ta xét bài toán quy hoạch thương phi tuyến (P).
Định nghĩa 2.1. Điểm x ∈ E := {x ∈ X : hj (x) ≤ 0 với mọi j } là một

nghiệm hữu hiệu (tương ứng nghiệm hữu hiệu yếu) của (P ), nếu ϕ(x) là một
véctơ cực tiểu Pareto (tương ứng véctơ cực tiểu Pareto yếu) của ϕ(E).
Định nghĩa 2.2. x ∈ E là một nghiệm hữu hiệu địa phương (tương ứng hữu
hiệu yếu địa phương) của (P ), nếu tồn tại một lân cận V của x sao cho ϕ(x) là
một véctơ cực tiểu Pareto (tương ứng véctơ cực tiểu Pareto yếu) của ϕ(E ∩ V ).
Với một tập con S của X, ta xét hàm


d(x, S),
nếu x ∈ X \ S,
(x)
=
S

−d(x, X \ S), nếu x ∈ S,


21
trong đó d(x, S) = inf { u − x : u ∈ S } . Hàm này được đưa ra trong HirartUrruty [9].
Ta nhắc lại các kết quả sau trong [9]:
Mệnh đề 2.1. [9] Cho S ⊂ X là một nón lồi đóng với phần trong khác rỗng và
S = X. Hàm

S

là lồi, thuần nhất dương, l - Lipschitz, giảm trên X theo quan

hệ thứ tự được đưa vào bởi S. Hơn nữa,
(X \ S) = {x ∈ X :

S (x)

> 0 },

Int(S) = {x ∈ X :

S (x)

< 0}

và biên của S :
bd(S) = {x ∈ X :

S (x)

= 0 }.

Như một hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 2.1, ta có kết quả sau:
Mệnh đề 2.2. [5] Cho S ⊂ X là một nón lồi đóng khác rỗng với phần trong
khác rỗng. Khi đó, với mọi x ∈ X, 0 ∈
/∂

S

(x).

Ta cần các định nghĩa sau (xem [11]):
Định nghĩa 2.3. Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng trên
∂ ∗ f (x) tại x nếu ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,
f − (x, v) ≤

sup

x∗ , v .

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

Định nghĩa 2.4. Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng dưới
∂∗ f (x) tại x nếu ∂∗ f (x) ⊂ X ∗ là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,
f + (x, v) ≥

inf

x∗ ∈∂∗ f (x)

x∗ , v .


22
Định nghĩa 2.5. Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng
∂ ∗ f (x) tại x nếu nó đồng thời là dưới vi phân suy rộng dưới và trên của f tại x.
Điều này có nghĩa là ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,
f − (x, v) ≤

sup

x∗ , v ,

x∗ ∈∂ ∗ f (x)

f + (x, v) ≥

inf

x∗ ∈∂∗ f (x)

x∗ , v .

Điều đó tương ứng với điều kiện: với mỗi v ∈ X,
max f − (x, v) , −f + (x, −v) ≤ s v | ∂ ∗ f (x) ,
trong đó
s (v | C) := sup x∗ , v
x∗ ∈C

là hàm tựa của tập đóng yếu∗ C ⊂ X ∗ .
Chú ý rằng dưới vi phân suy rộng không nhất thiết lồi hoặc compắc yếu∗ . Sự
mở rộng này cho phép ta áp dụng được cho một lớp rộng hàm liên tục không
trơn.
Ví dụ 2.1. Hàm f : R → R xác định bởi

 √x,
nếu x ≥ 0,
f (x) =
 −√−x, nếu x < 0
có f − (0; v) = −∞ cho nên với ∂ ∗ f (0) = [α; ∞) (α ∈ R) thì Định nghĩa 2.5
thỏa mãn.
Ví dụ 2.2. Hàm f : R → R xác định bởi
f (x) = −|x|