Điều kiện cần, đủ đạt cực trị và đối ngẫu trong bài toán tối tưu véctơ

UBND THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
------------  ------------

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐỦ ĐẠT CỰC TRỊ VÀ ĐỐI
NGẪU TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉCTƠ
Mã số: CS2013-13

Chủ nhiệm đề tài: TS. Thái Doãn Chương

TP. HỒ CHÍ MINH, 11/2013


UBND THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
------------  ------------

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐỦ ĐẠT CỰC TRỊ VÀ ĐỐI
NGẪU TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉCTƠ
Mã số: CS2013-13

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng
khoa học nghiệm thu đề tài

Chủ nhiệm đề tài

TS. Thái Doãn Chương

TP. HỒ CHÍ MINH, 11/2013


UBND TP HỒ CHÍ MINH
Trường ĐH Sài Gòn

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Điều kiện cần, đủ đạt cực trị và đối ngẫu trong bài toán tối ưu véctơ.
- Mã số: CS2013-13.
- Chủ nhiệm: TS. Thái Doãn Chương.
- Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Sài Gòn.
- Thời gian thực hiện: 12/2012 - 12/2013.
2. Mục tiêu:
- Thiết lập các điều kiện cần và điều kiện đủ tối ưu cho các nghiệm hữu hiệu, nghiệm
hữu hiệu yếu, nghiệm cô lập (địa phương) và nghiệm chính thường (địa phương) trong
bài toán tối ưu véctơ nửa vô hạn.
- Phát biểu bài toán đối ngẫu cho bài toán tối ưu véctơ nửa vô hạn và khảo sát các
quan hệ đối ngẫu (đối ngẫu yếu và đối ngẫu mạnh) cho các nghiệm nêu trên.
3. Tính mới và sáng tạo:
- Sử dụng Nguyên lý cực trị (approximate extremal principle) và một số công cụ hiện
đại của giải tích biến phân, chúng tôi thiết lập các điều kiện cần tối ưu cho lớp bài toán
tối ưu véctơ nửa vô hạn không khả vi.
- Đề xuất khái niệm lồi suy rộng và lồi chặt suy rộng cho một họ các hàm Lipschitz
địa phương.

- Các điều kiện đủ tối ưu và các quan hệ đối ngẫu trong bài toán tối ưu véctơ nửa vô
hạn được nghiên cứu lần đầu tiên ở đây dưới giả thiết lồi (chặt) suy rộng.
4. Kết quả nghiên cứu:
- Ba định lý về điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ nửa vô hạn.
- Ba định lý về điều kiện đủ tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ nửa vô hạn.
- Bốn định lý về các quan hệ đối ngẫu trong bài toán tối ưu véctơ nửa vô hạn.
5. Sản phẩm:
- T. D. Chuong and D. S. Kim, Nonsmooth semi-infinite multiobjective optimization
problems, J. Optim. Theo. Appl. (2013) DOI: 10.1007/s10957-013-0314-8 (online-first).
- T. D. Chuong and J.-C. Yao, Isolated and proper efficiencies in semi-infinite vector
optimization problems, J. Optim. Theo. Appl. (2013) DOI: 10.1007/s10957-013-0425-2
(online-first).


▼ô❝ ❧ô❝
❚r❛♥❣

▼ë ➤➬✉

✶

❈❤➢➡♥❣ ✶✿ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ✈Ð❝t➡ ♥ö❛ ✈➠ ❤➵♥

✹

✶✳✶✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❜æ trî

✹

✶✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ✈Ð❝t➡ ♥ö❛ ✈➠ ❤➵♥ ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉②

✼

❈❤➢➡♥❣ ✷✿ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tè✐ ➢✉ tr♦♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ✈Ð❝t➡ ♥ö❛ ✈➠ ❤➵♥

✶✵

✷✳✶✳ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ tè✐ ➢✉

✶✵

✷✳✷✳ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ tè✐ ➢✉

✶✼

❈❤➢➡♥❣ ✸✿ ➜è✐ ♥❣➱✉ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ✈Ð❝t➡ ♥ö❛ ✈➠ ❤➵♥

✷✸

✸✳✶✳ ➜è✐ ♥❣➱✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ✈➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ②Õ✉

✷✸

✸✳✷✳ ➜è✐ ♥❣➱✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ö♠ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣

✷✼

❑Õt ❧✉❐♥

✸✵

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✸✶


▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉
F :X⇒Y

➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ tõ

X

Rn

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡

Rn+

t❐♣ ❝➳❝ ✈Ð❝t➡ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❝ñ❛

R

t❐♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝

R := R ∪ {±∞}

t❐♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝ s✉② ré♥❣

X∗

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ t➠♣➠ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

x∗ , x

❝➷♣ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❣✐÷❛

x

❝❤✉➮♥ ❝ñ❛ ✈Ð❝t➡

✈➭♦

Y

n✲❝❤✐Ò✉

X∗

✈➭

Rn

X

X

x

|x|

❣✐➳ trÞ t✉②Öt ➤è✐ ❝ñ❛

BX

❤×♥❤ ❝➬✉ ➤➡♥ ✈Þ ➤ã♥❣ tr♦♥❣

BX (x, ρ)

❤×♥❤ ❝➬✉ ➤ã♥❣ t➞♠

{xi }✱ {xi }∞
i=1

❞➲② sè ❤♦➷❝ ❞➲② ✈Ð❝t➡

∅

t❐♣ rç♥❣

0

sè ❦❤➠♥❣ ❤♦➷❝ ✈Ð❝t➡ ❦❤➠♥❣

A⊂B

A

A×B

tÝ❝❤ ❉❡s❝❛rt❡s ❝ñ❛ ❤❛✐ t❐♣ ❤î♣

∀x

✈í✐ ♠ä✐

A\B

❤✐Ö✉ ❝ñ❛ ❤❛✐ t❐♣ ❤î♣

A+B

tæ♥❣ ✈Ð❝t➡ ❝ñ❛ ❤❛✐ t❐♣ ❤î♣

cl A

❜❛♦ ➤ã♥❣ t➠♣➠ ❝ñ❛ t❐♣

int A

♣❤➬♥ tr♦♥❣ t➠♣➠ ❝ñ❛ t❐♣

locS(P )

t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭P✮

locS w (P )

t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ②Õ✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭P✮

locS iν (P )

t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝➠ ❧❐♣ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭P✮

locS p (P )

t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭P✮

∂f (x)

❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤ ❝ñ❛ ❤➭♠

∂f (x)

❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❋rÐ❝❤❡t ❝ñ❛ ❤➭♠

Ω◦

♥ã♥ ❝ù❝ ❝ñ❛ t❐♣

N (x; Ω)

♥ã♥ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤ ❝ñ❛ t❐♣

N (x; Ω)

♥ã♥ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ❋rÐ❝❤❡t ❝ñ❛ t❐♣

✷

❦Õt t❤ó❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤

❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❝ñ❛

x∈R

x∈X

X

❜➳♥ ❦Ý♥❤

ρ

tr♦♥❣

X

B
A

✈➭

B

x
A

✈➭

B
A

✈➭

B

A
A

f

t➵✐

f

t➵✐

x

x

Ω

Ω

t➵✐

x

Ω

t➵✐

x


ở
ổ q tì ì ứ ý ọ ề t

r ờ số ú t tờ ữ t r qết ị ứ ự
ề ợ í t tí ố ự ọ
t ú t tí ế ề ế tố t ộ ề tệ
tờ ế t ủ t r tì ộ ề tệ ũ é
ụ t t ộ ề tệ r tr t ở tr ó
ố ù ố ú t tì r ột tốt
t t ột t ó ố ớ ụ t t tì
ợ tốt t t ột ĩ ó ố ớ tt ụ t ợ ọ
t tố ụ t



t tố ét

ố ét ợ r ờ ố tế ỷ ột tr ữ ồ ố í
ủ ó t t từ ọ tết ú ợ tế qr
r trs ủ rt Prt ế ữ
ủ tế ỷ trớ s t ổ tế ủ
r ề ề ệ ủ ệ ữ ệ tr tố
ét tố ét ớ ợ r ột t ọ ộ

t trể ột ẽ s ó ú t ó tể
tì t rt ề ố s trì ột ệ tố s s
í ủ ý tết tố ét tí ụ
r tr
ột t tố ó t r ộ ợ ớ ở ột t tù ý ó tể
tứt tứ ợ ọ

t tố ử

tt r ò ợ ọ

q ử

st
st

rr t q ử ợ tì t rt ề tr
ì tự tế ề ể sự ễ í ố ớ từ ệ tố
ể ứ s t ố ệ t tố ét
ử ợ ứ ề ột số í tí st
tí ử tụ trớ ủ ệ ữ ệ ớ ột số é ễ
t t số ợ st tr ò tết tí trù
t ủ t tt t tố ồ ổ ị ố ớ
ủ

ố

ề ệ tố

tr t tố ét ử ú t t rt ít




ết q ề ề ú ý ột số ết q ợ ố ở rst
rrr ts tr r ó t tết ột
số ề ệ tố q ệ ố t tố ét ử ồ




ở ụ t t r ộ ữ r ộ
ở tr ột t ỉ số

ụ tộ tụ



ú t ợ ết

ết q t ứ t tố ét ử



ó

ì ú t ọ ề t ể ứ t tố ét ử
ồ

tr ó r ộ ỉ tộ ột

t ỉ số tù ý ó tí t t tụ

ụ t ề t

ết ề ệ ề ệ ủ tố
ệ ữ ệ ế ệ


ị





ệ ữ ệ

ệ í tờ

ị

ủ t tố ét ử

Pt ể t ố t tố ét ử st
ố q ệ ố ố ế ố ệ ở tr

tế ứ ứ



tế

ế ệ tố t ử í t ệ ó q ế ĩ ự
ứ ủ ề t ệt ợ ố tr t í qố tế tr
ữ
ế ị tí

ụ

ý ự trị ỉ

rt tr

r ể tết ề ệ tố ề t ữ ớ
ồ

t



s rộ



ể ề ệ ủ ứ q ệ ố

P ứ

ụ ế tứ tí ũ ợ ề tí trị tí tí
ồ ý tết tố t tứ ế t tố ét ó t số
r ổ t t ộ t ớ ột số t ù ớ ứ ết
ử tr t í ể ể ị ết q ứ




•

P❤➵♠ ✈✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉

✲ ❚è✐ ➢✉ ✈Ð❝t➡

✵✳✹✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉

◆❣♦➭✐ ♣❤➬♥ ♠ë ➤➬✉✱ ❦Õt ❧✉❐♥ ✈➭ t➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦✱ ➤Ò t➭✐ ❣å♠ ✸ ❝❤➢➡♥❣✳
❈❤➢➡♥❣ ✶ ➤➢î❝ ❞➭♥❤ ➤Ó ❝✉♥❣ ❝✃♣ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❜æ trî ❝➬♥
t❤✐Õt ❝❤♦ ❜➳♦ ❝➳♦ ♥➭②✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ➤Ó ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳ ▼ô❝ ✶✳✶ ♥➟✉ ❧➟♥
♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❜æ trî ✈Ò ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ▼ô❝ ✶✳✷ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉
❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ✈Ð❝t➡ ♥ö❛ ✈➠ ❤➵♥✱ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥❣❤✐Ö♠ ❝➬♥ t❤✐Õt ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤
q✉② r➭♥❣ ❜✉é❝✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ t❤✐Õt ❧❐♣ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tè✐ ➢✉ ✭➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ✮ ❝❤♦ ❜➭✐
t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ✈Ð❝t➡ ♥ö❛ ✈➠ ❤➵♥✳ ▼ô❝ ✷✳✶ ➤➢î❝ ❞➭♥❤ ➤Ó tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥
tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ②Õ✉✱ ♥❣❤✐Ö♠ ❝➠ ❧❐♣ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣
➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ❈➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ ë tr➟♥ ➤➢î❝ t❤✐Õt ❧❐♣ t➢➡♥❣ ø♥❣
tr♦♥❣ ▼ô❝ ✷✳✷✳
❈❤➢➡♥❣ ✸ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ q✉❛♥ ❤Ö ➤è✐ ♥❣➱✉ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ✈Ð❝t➡ ♥ö❛ ✈➠

❤➵♥✳ ▼ô❝ ✸✳✶ ❦❤➯♦ s➳t q✉❛♥ ❤Ö ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ✈➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉
②Õ✉✳ ❈➳❝ q✉❛♥ ❤Ö ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ö♠ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ➤➢î❝ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ë tr♦♥❣ ▼ô❝ ✸✳✷✳

✸




ế tứ ị t tố ét ử
r trớ ết ú t r ột số ệ ết q
ổ trợ sẽ ợ sử ụ tr ó ú t ớ tệ t tố
ét ử ệ ệ tết ề ệ í q r ộ

ệ ết q ổ trợ

rừ ợ ỉ r ụ tể tr sốt
st

ó ỗ ủ ó

s

ề ó ố t t ứ ớ

X ìY

ở tr tí

x X, y Y.
ủ ó

X

ố t ữ

ợ í ệ ở

ệ t ứ ở


X

ợ ị ĩ ở

cl



ớ t t

ị ó tr

X

ã,ã .

int .

xX

||(x, y)|| := ||x|| + ||y||

X

BX (x, r)

í



ớ ọ

ố t

X

ó tr t ủ
í ệ

ã .

ợ í

ù ể ỉ ì ó tr

r > 0 tr ó BX

ó ự ủ

X

ể tị ì

t

:= {x X | x , x 0 x }.
r t ù

Rm
+

ể ỉ ó ồ ét t rtt ủ

Rm .
trị

F : X X

Lim sup F (x) := x X

từ

X



X

t sử ụ

tồ t

xn x



x
x

tỏ
ể í ệ
ệ

w




s
t

x

ớ tr t Pérts



ỉ sử ộ tụ t t ế ủ

X

ợ ọ

cl U

ớ ọ



xn F (xn )

X

ó ị

t ó ó


t

w

xn x

ớ ọ

ủ

F

nN
x x.

ở í

N := {1, 2, . . .}
x

ế ó ột

U

ủ

x

ó ị ế ó ị

x

X

ó ị t

x


ó tế rét ủ t x

ợ ị ĩ ở

x , x x
0 ,
x x

N (
x; ) := x X lim sup

x
x
ở ó



x
x

ĩ

x x

ớ

x

ế

x
/

tì t q ớ



N (x; ) := .

ó tế r N (x; ) ủ t x ợ ị ĩ q ó
tế rét q ớ t Pérts s



N (
x; ) := Lim sup N (x; ).

x
x
ế

x
/ tì t t N (x; ) := . ệt ế ồ ị t x ĩ tồ

t

U X

x s U

ủ

t ồ tì t ó Prst

N (
x; ) = {x X | x , x x 0 x U }.
ó

x 1 2

{1 , 2 }

t

a BX

tr

X



ể ự trị ị

ế tồ t

U

ủ

tr t ủ

x

s ớ t ỳ

> 0

tồ t

tỏ

(1 + a) 2 U = .
ý r ề ệ
ủ

{1 , 2 }.

1 2 = {
x}

s r

ể ọ ề t ét

x

ể ự trị ị

1 := {(x, x) | x R}



2 := {(x, x) | x R}.
r
ý ự trị ỉ

>0

s t ị



rt tr r ú ở tr ó

r ó
t ỳ

X

ế

tồ t

x 1 2

ể ự trị ị ủ

x1 1 BX (
x, ), x2 2 BX (
x, ), x X

{1 , 2 }

ớ

tì ớ

||x || = 1

s



x N (x1 ; 1 ) + BX N (x2 ; 2 ) + BX .



: X R := [, ]



t í ệ

:= {x X | (x) < },

ớ r

:= {(x, à) X ì R | à (x)}.

ớ rét

ủ



t

x X

ớ

|(
x)| <

ợ ị ĩ t ứ ở

(
x) := {x X | (x , 1) N ((
x, (
x)); )}

(
x) := {x X | (x , 1) N ((
x, (
x)); )}.
ế

|(
x)| =

tì t t



(
x) = (
x) := .

ừ ị ĩ t ó

(
x) (
x)
ớ ọ

x X.

ệt ế



ồ tì ớ ị ĩ ở

trù ớ ớ t ĩ tí ồ
ét ỉ

(ã; )

ở

(x; ) := 0

ế

x



(x; ) :=

ế

x
/

ó ố ệ ữ ó tế r ớ r
ủ ỉ s Prst



N (
x; ) = (
x; )
x .
t

rt tr

Prst q trọ tr

ề ứ ụ ợ t ể s ế

x



ự tể ị

ủ

ớ

|(
x)| <

tì



0 (
x) (
x).
r ú t ũ sử ụ



ớ rét tr

ủ

t x

ó

+ (
x) := ()(
x).



t tổ ớ rét ợ t ể s

ổ ề

i = 1, 2.

ế

r

+ 2 (
x) =

i : X R

ữ t

x X

ớ

tì

[1 (
x) + x ].

(1 + 2 )(
x)
x + 2 (
x)

ị ĩ tí ớ

f : X Rm

t

y , f (x) := y , f (x) , x X, y Rm

gph f := {(x, y) X ì Rm | y = f (x)}.

ết ế tứ ớ ó ủ

ổ ề t

y Rm

sử

ố

f : X Rm

ó





ết q s ợ
rt

st ị t

x X.

Prst

x y , f (
x) (x , y ) N ((
x, f (
x)); gph f ).

r

x y , f (
x) (x , y ) N ((
x, f (
x)); gph f ).

ệ q t tổ ờ s r ớ rét

ổ ề
tỏ

1



st ị t

>0

tồ t

i : X R, i = 1, 2

x dom1 dom2

1 + 2

ớ t ể sử tổ
ớ t ỳ



xi x + BX

ớ

í tờ


2

ử tụ

t ự tể ị t

|i (xi ) i (
x)| , i = 1, 2,

x.

ó

s

0 1 (x1 ) + 2 (x2 ) + BX .

ố ù tr ụ tứ tổ ớ r

ổ ề

r

ử tụ ớ q ể
ột st ị t

x.

i : X R, i = 1, 2, ..., n, n 2,



x X. sử tt ó tể trừ
ó

(1 + 2 + ã ã ã + n )(
x) 1 (
x) + 2 (
x) + ã ã ã + n (
x).

t tố ét ử ề ệ í q r ộ



X

t ó ị rỗ

ó tể t

gt , t T

f := (f1 , f2 , ..., fm )



st ị từ

ét t

tố ét ử

gT := (gt )tT
X



T

t ỉ số t tù ý

ở

C



P

ợ ở



C := x | gt (x) 0, t T .

ị ĩ




R.

minRm
f (x) | x C ,
+
ở ó t r ộ

fi , i = 1, . . . , m

ó r tử

ủ t P ế tồ t

x U C,

U

ủ

x

x C



s

f (x) f (
x)
/ Rm
+ \ {0}.


ệ ữ ệ ị


P tử

x C

t P ế tồ t

U

ợ ọ
ủ

x

ế tồ t

U

x C

ủ

x

f (x) f (
x)
/ int Rm
+.

ợ ọ

số

x U C,

ủ

s

x U C,
P tử

ệ ữ ệ ế ị

ệ ị

>0

ủ t P

s

max {fk (x) fk (
x)} ||x x||.

1km

P P tử

x C

ủ t P ế tồ t

U

ợ ọ

ủ

x U C,

x



ệ í tờ ị

int Rm
+

s

, f (x) , f (
x) .

í ệ t ệ ữ ệ ị t ệ ữ ệ ế ị
t ệ ị t ệ í tờ ị ủ t P
ợt ở
t ứ
tờ

ở

locS(P ), locS w (P ), locS i (P ), locS p (P )



U := X t ó ệ

ệ ữ ệ ệ ữ ệ ế ệ



ệ í

t P r trờ ợ t í ệ t ứ t ệ

S(P ), S w (P ), S i (P ), S p (P ).

ét

ó

locS (P ) locS w (P ) tứ ó tể t ó

ĩ ó ề ợ ố ớ t ở tr t ó
ị

locS i (P ) locS(P ),

locS p (P ) locS(P )

tứ ợ ú r từ s

t t t ệ

locS i (P )



r trờ ợ ớ ó
ở tr trù ớ

ệ t

locS p (P )

m = 1

tr

ó tể

ệ ệ ị

ở tr ó t ó tể tì t

ột số ề ệ tố ể ễ q ớ r ó tế
r t tố ớ ột ụ t
ể tế tụ t í ệ
ữ ể ủ

T

(T )

R+

ọ tt

:T R

trị t

t ể ò ết ớ t r ộ




❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭P✮ ë tr♦♥❣ ✭✵✳✶✶✮✱ t❛ sÏ sö ❞ô♥❣ t❐♣ ❝➳❝

♥❤➞♥ tö r➭♥❣ ❜✉é❝ ❤♦➵t

t➵✐

x¯ ∈ Ω

♥❤➢ s❛✉✿
(T )

A(¯
x) := {λ ∈ R+ | λt gt (¯
x) = 0

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✷✳

t➵✐

x¯

❈❤♦

✈í✐ ♠ä✐

t ∈ T }.

✭✵✳✶✷✮

x¯ ∈ C. ❚❛ ♥ã✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② r➭♥❣ ❜✉é❝ ✭▲❈◗✮ t❤á❛ ♠➲♥

♥Õ✉

N (¯
x; C) ⊂

λt ∂gt (¯
x) + N (¯
x; Ω).
λ∈A(¯
x)

❈❤ó ý r➺♥❣✱ ❦❤✐ ①❡♠ ①Ðt

C

✭✵✳✶✸✮

t∈T

ë tr♦♥❣ ✭✵✳✶✶✮ ✈í✐

Ω := X ✱ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✵✳✶✸✮ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ➤✐Ò✉

❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ➤➢❛ r❛ tr♦♥❣ ❬✺❪ ♥Õ✉ t❛ ❝è ➤Þ♥❤ t❤❛♠ sè✳ ❚r♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ➤ã✱ ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯
➤➲ sö ❞ô♥❣ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② t❤❛♠ sè ➤Ó ➢í❝ ❧➢î♥❣ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤
❝ñ❛ ❤➭♠ ❣✐➳ trÞ tè✐ ➢✉ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ❝ã t❤❛♠ sè✳ ◆❣➢ê✐ ➤ä❝ ❝ã t❤Ó t❤❛♠
❦❤➯♦ ❬✺❪ ✈Ò ♥❤✐Ò✉ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ➤Ó ❦✐Ó♠ tr❛ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ë tr➟♥✳ ◆❣♦➭✐ r❛✱ ❝❤ó♥❣
t❛ ❝ò♥❣ ❝ã t❤Ó t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶✵✱✶✶✱✶✾❪ ✈Ò ♠ét sè ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ ➤➯♠ ❜➯♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭▲❈◗✮
tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ➤➷❝ ❜✐Öt ❦❤✐

gt

❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ✈í✐ ♠ä✐

✾

t ∈ T.




ề ệ tố tr t tố ét ử
r ú t sẽ tết ề ệ tố t tố
ét ử ụ tể trớ ết ú t ụ ột số ụ ệ ủ

tí ế tổ qt ý ự trị ỉ q t tổ
tổ ờ ớ rét q t tổ ớ r
q t ớ ó ủ ố ể tết ề ệ


ệ ữ ệ ế ệ ị





ệ í tờ ị

ủ t tố ét ử P ó ú t ề t ớ

ồ t s rộ ể r ề ệ ủ t ợ ữ ệ ở tr

ề ệ tố

ết q t tr trì ề ệ rsr


ệ ữ ệ ế

ó

ệ ữ ệ

ủ t P

ớ ề ệ í q

ị ý sử ề ệ í q
tì tồ t

:= (1 , 2 , ..., m ) Rm
+

ớ



tỏ t

|||| = 1



A(
x)

x C. ế x S w (P )
ở tr



s

m

0

i fi (
x) +
i=1

ứ



> 0.

y := f (
x)

t



t gt (
x) + N (
x; ).
tT

sử r

f

st ị t

rớ ết t sẽ ứ r ớ ỗ

k N

tồ t

x

ớ

x1k C

BX (
x, k1 ), x2k BX (
x, k1 ), y k (
y Rm
y , k1 ), xk N (x1k ; C) ớ ||xk || + 1
+ ) BRm (


k N (y k ; y Rm
+)

ớ

||k || = 1

s

1

0 xk + k , f (x2k ) + BX .
k



t t

1 := C ì (
y Rm
+ ),
ị r
ớ t ỳ

2 := {(x, f (x)) | x X}.

(
x, y) ể ự trị ị ủ {1 , 2 }. ế ợ tì

U

ủ

(
x, y)

tồ t

U > 0

(1 + a) 2 U = ,

s

a U BXìRm .






a := (a1 , a2 ) U BXìRm

sự tồ t

(x, f (x)) U

ớ

a1 := 0 X, a2 int Rm
+ . ó từ s r

tỏ
2
(x, f (x)) C ì (
y Rm
+ ) + (0, a ).

xC

ề é t



f (x) y a2 Rm
+.

ó

f (x) f (
x) int Rm
+,
t ớ
ọ

x S w (P ). ì (
x, y) ể ự trị ị ủ {1 , 2 }.

k > 0

tỏ

k < min

1
1
1
,
,
.

2k 2(5 + 3 ) 2k(1 + )(4 + 3 )

ý ự trị ỉ ú tr
tr tồ t


X ì Rm



t ó ớ ỗ

k

ở

x, y), k ), (uk , v k ) 2 BXìRm ((
x, y), k )
(x1k , y k ) 1 BXìRm ((

(xk , yk ) X ì Rm

ớ

||(xk , yk )|| = 1

s

(xk , yk ) N ((x1k , y k ); 1 ) + k BX ìRm N ((uk , v k ); 2 ) + k BX ìRm .
ề é t

x1k C BX (
x, k1 ), y k (
y , k1 )
y Rm
+ ) BRm (

tồ t

(uk , vk ) N ((uk , v k ); 2 )



1
1 1




2 2
(x1
k , yk ) + k (ak , bk ) = (xk , yk ) = (uk , vk ) + k (ak , bk )



1
1k
k
(x1
k , yk ) N ((x , y ); 1 ),

s

ớ

(a1k , b1k ), (a2k , b2k ) BX ìRm .

ú ý r

N ((x1k , y k ); 1 ) = N (x1k ; C) ì N (y k ; y Rm
+)
Prst ì tế t ó

Rm
+ ).

1k
1
k
x1

k N (x ; C), yk N (y ; y

ử ụ ị ĩ ó tế rét t ợ từ ề ệ

(uk , vk ) N ((uk , v k ); 2 )

t tứ s

uk , x uk + vk , y v k k ||(x, y) (uk , v k )|| 0

ớ ọ

(x, y) 2

ủ

(uk , v k ).

ì

(x, y), (uk , v k ) 2





y = f (x), v k = f (uk ).

ó ết ợ ớ ế
1
2
k
x1
yk1 k (b1k b2k ), f (x) f (uk )
k k (ak ak ), x u

k (||x uk || + ||f (x) f (uk )||) 0

ớ ọ

xX

ủ

uk .

r

k
x1
+ yk1 , f (x) f (uk ) + 3k (1 + )||x uk || 0
k ,x u

ớ ọ

xX

ủ

uk .

ề t ớ ị r

k
k (x) := x1
+ yk1 , f (x) f (uk ) + 3k (1 + )||x uk ||
k ,x u

t ự tể ị t
ở tr ổ ề

yk1 , f (x) f (uk )

ụ q t tổ ờ ủ ớ rét

uk .

k
1k (x) := x1
+ 3k (1 + )||x uk ||
k ,x u

t tì ợ

x2k BX (uk , k ) BX (
x, k1 )



2k (x) :=

s

2k
1
0 x1
k + yk , f (x ) + k (4 + 3 )BX .

ó tồ t

zk yk1 , f (x2k )



ak BX



s



x1
k = zk + k (4 + 3 )ak .

tí st ị ủ

f

x ớ

t

t ó

||zk || ||yk1 ||

Prst ì

1
||x1
k || ||yk || + k (4 + 3 ).



1
1 1
||x1
k || + ||yk || = ||(xk , yk )|| 1 k ,



ữ

ở ó t tứ ú ở ì ết ợ ớ ể ý ế
t t ợ
t

xk :=

||yk1 ||
x1
k
||yk1 ||

||xk || + 1

1
2(1+ )

> 0.

N (x1k ; C)



ì tế t ó tể ế ủ
yk1
||yk1 ||

k :=

N (y k ; y Rm
+ ),

t s r

||yk1 ||.

||k || = 1



ở t tứ ú ở ì ể ý ế t

t ợ từ
ế t t sẽ ỉ r r tồ t

N (

y ; y Rm
+)

ớ

|||| = 1

s



0 , f (
x) + N (
x; C).
ị tr

{xk }



{k }

ị ữ ì

s t ó tể sử r t tí tổ qt

x X

k Rm



k

ớ

|||| = 1.



N (
y ; y Rm
+ ).



w

xk

ừ ị ĩ ó tế

r ở tr t ị

x N (
x; C)

X

s r ớ ỗ

kN

xk k , f (x2k )

tồ t

bk BX

s

bk b BX







1
xk := xk bk .
k
tr t tí tổ qt tr sử r

k

ó

x


k w

x



k .

w

ổ ề tứ

xk k , f (x2k )
t ớ

(
xk , k ) N ((x2k , f (x2k )); gph f ),


k



k N.

tr ể ý ế t ợ

(x , ) N ((
x, f (
x)); gph f ),
ề t ớ

x , f (
x)
t ổ ề ì ợ ứ
ề ệ í q tỏ t

N (
x; C)

A(
x)

tT

ợ ị ĩ ở tr ề ó ù ớ ế

0 , f (
x) +

t gt (
x) + N (
x; ).

m
N (

y ; y Rm
+ ) = R+ ,



tT

A(
x)



ĩ

t gt (
x) + N (
x; ),
A(
x)

ở ó

x

t ó tể t

:= (1 , 2 , ..., m ) Rm
+.

ụ

tứ tổ ớ r t t ợ từ ố ệ
s
m

0

i fi (
x) +
i=1

t gt (
x) + N (
x; ).
A(
x)



tT



ề ứ

ột í ụ s ỉ r r ết ủ ị ý sẽ ú
ữ ế t ỏ tết ề ề ệ í q

sử

í ụ

ớ ọ

f : R R ở f (x) := x gt : R R ở gt (x) := tx2

x R ọ t T := (0, +). ét t P ớ m := 1 := R ó

C = {0} ó x := 0 S w (P ). ì gt (
x) = 0 ớ ọ t T t ó
t gt (
x) + N (
x; ) = {0}.
A(
x)

r ó

tT

N (
x; C) = R. ì tế ề ệ í q tỏ t x. ự

tế ũ ú
ị ý tế t ề ệ
ó

ị ý

locS i (P )

ớ

ệ

ủ t P ớ ề ệ í q

sử ề ệ í q

>0

ệ ị



tỏ t

ế

m

t gt (
x) | i 0, i = 1, . . . , m,

i fi (
x) +
i=1

i = 1, A(
x)
i=1

tT



+ N (
x; ),
ở

A(
x)

ợ ị ĩ tr

ứ

x

ó tì t ó

m

BX

x C.

sử

x locS i (P ).



t

(x) := max {fi (x) fi (
x)} ||x x||,
1im

xX

ét t tố ớ



min (x).
xC



x locS i (P )

tồ t

U

ủ

x

s

(x) 0 = (
x),
ề ỉ r r

x

x U C.

ự tể ị ủ t ó

x

ự

tể ị ủ t tố ớ r ộ s

min (x) + (x; C).
xX



ụ q t rt tr t t t ợ
0 + (ã; C) (
x).

t

1 (x) := max1im {fi (x) fi (
x)} + (x; C)

+ (ã; C) = 1 + 2

2 (x) := ||x x||.



ó

ó trở t



0 (1 + 2 )(
x).
ì

2

ồ t ó

+ 2 (

x) = (2 )(
x) = (|| ã
x||)(
x) = BX = .
ử ụ ổ ề ể ý ế t ợ

[1 (
x) + x ].

0
x BX

ề é t

BX 1 (
x)

ó



BX 1 (
x) = max {fi (ã) fi (
x)} + (ã; C) (
x).
1im



max1im {fi (ã) fi (

x)}

st ị t

x



(ã; C)

ử

tụ ớ t ể ụ q t tổ ớ r
ể ý ế t ợ



BX max {fi (ã) fi (
x)} (
x) + N (
x; C).
1im

ột t ề ệ í q tỏ t

N (
x; C)

é t

t gt (
x) + N (
x; ),
tT

A(
x)

ở ó

x

A(
x) ợ ị ĩ ở tr

t ụ tứ ớ

r ủ r q t tổ ớ
r t t ợ
m

max {fi (ã) fi (
x)} (
x)
1im

m

i fi (
x) | i 0, i = 1, . . . , m,
i=1

i = 1 .
i=1


ết ợ ớ t ế ứ ết tú



tự ị ý í ụ tế t ũ ỉ r t q trọ ủ ề
ệ í q ó ết ủ ị ý sẽ ú ữ ế t
ỏ tết í q




í ụ

sử

f : R R2 ở f (x) := (f1 (x), f2 (x)) ở ó
f1 (x) = f2 (x) := x,

gt

: R R ở
gt (x) := tx2 ,

ét t P ớ
ỳ

xR

x R,

t T := (0, +).

m := 2 := R ó C = {0} ó x := 0 S i (P ) ớ t

> 0. gt (
x) = 0 ớ ọ t T
t gt (
x) + N (
x; ) = {0}.
tT

A(
x)

r ó

N (
x; C) = R. ì ề ệ í q tỏ t x. ự

tế ũ ú
ố ù tr ụ ú t tết ề ệ
ó

í tờ ị

ệ í tờ

ệ

ủ t P

ớ ề ệ í q

ị ý sử ề ệ í q
tì tồ t

:= (1 , 2 , ..., m ) int Rm
+

tỏ t x




A(
x)

ở tr

C. ế x locS p (P )

s

m

0

i fi (
x) +
i=1

ứ

sử

(1 , . . . , m ) int Rm
+



t gt (
x) + N (
x; ).
tT

x locS p (P ).

ó tồ t

U

ủ

x

:=



s
m

i [fi (x) fi (
x)] 0,

x U C.

i=1

ề ỉ r r

x

ự tể ị ủ t tố ớ s

min (x)
xC

ớ
m

(x) :=

i fi (x).



i=1

ó

x

ự tể ị ủ t tố ớ r ộ

min (x) + (x; C).
xX






ụ q t rt tr t t ó


0 + (ã; C) (
x).
ì

st ị t

x



(ã; C)

ử tụ ớ t ể

ụ tứ tổ ớ r ồ tờ ể ý
ế t t ợ

0 (
x) + (
x; C) = (
x) + N (
x; C).
ữ ề ệ í q tỏ t

N (
x; C)

é t

t gt (
x) + N (
x; ),

A(
x)

ở t

x





tT

A(
x) ợ ị ĩ ở tr

ớ r



ế t ụ tứ tổ

ở tr t t ợ từ

ố ệ ệ s
m

0
i=1

ớ

A(
x)

t gt (
x) + N (
x; )

i fi (
x) +
tT



ứ ết tú

ét

tự ị ý ết ủ ị ý

ó tể s ế ề ệ í q tỏ t ể st
ể t ề ú t ỉ í ụ

ề ệ ủ tố

ể tết ề ệ ủ t ợ ệ ữ ệ ệ ữ ệ ế
ệ í tờ ở tr ụ ú t ớ tệ ệ
rộ

ồ t s rộ

ột ọ st ị

f := (f1 , . . . , fm )

ị ĩ

t

ó

ồ s rộ

(f, gT )

ồ s

tr



gT := (gt )tT .

t x ế ớ ỗ x , zi fi (
x), i =

1, . . . , m xt gt (

x), t T, tồ t y N (
x; ) s
fi (x) fi (
x) zi , y , i = 1, . . . , m,
gt (x) gt (
x) xt , y , t T.



ó

(f, gT )

t x ế ớ ỗ x \{
x}, zi

tr

ồ t s rộ

fi (
x), i = 1, . . . , m xt gt (
x), t T, tồ t y N (
x; ) s
fi (x) fi (
x) > zi , y , i = 1, . . . , m,
gt (x) gt (
x) xt , y , t T.

ét

tì

ễ t r ế

t ồ fi , i = 1, . . . , m, gt , t T ồ

(f, gT ) ồ s rộ tr t t ỳ x ớ y := x x ỗ x . ữ

í ụ s ỉ r r

í ụ



ớ ồ s rộ

ó tể ứ ữ

f : R R2 ợ ị ở f (x) := (f1 (x), f2 (x)) ở
f1 (x) = f2 (x) := x2 + 1,

gt

xR

: R R, t T := [0; ) ợ ị ở
gt (x) := tx2 , x R, t T \ {0} g0 (x) :=

t

ồ



1x
2

ế

x 0,


x

ế

x < 0.

:= R ị ĩ t ó tể ể tr ợ (f, gT ) ồ t s rộ tr

t t ỳ

x . r ó g0 ồ ở ì t g0 (0) = { 21 , 1} ồ

ờ t s ề ệ ủ ột ể ợ ủ
t P trở t

ệ ữ ệ ế

ị ý sử




ế
ế

(f, gT )
(f, gT )

ứ

x C

tỏ



ệ ữ ệ



t

x

tì

x S w (P ).

ồ t s rộ tr



t

x

ồ s rộ tr





tì

x S(P ).

x C tỏ tồ t := (1 , . . . , m ) Rm
+ ớ

|||| = 1 A(
x) ở tr zi fi (
x), i = 1, . . . , m, xt gt (
x), t T s

m

i zi +

i=1

t xt

N (
x; ).



tT

rớ t t ứ sử ợ r

x
/ S w (P ). ó tồ t x C

s

f (
x) f (
x) int Rm
+.





❙ö ❞ô♥❣ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ♥ã♥ ❝ù❝ ✈➭ tÝ♥❤ ❧å✐ s✉② ré♥❣ ❝ñ❛

➤Þ♥❤ s❛✉✿ ✈í✐

(f, gT )✱ t❛ s✉② r❛ tõ ✭✵✳✹✹✮ ❦❤➻♥❣

xˆ ë tr➟♥✱ tå♥ t➵✐ y ∈ N (¯
x; Ω)◦ s❛♦ ❝❤♦

m

m

αi zi∗ , y

0≤

λt x∗t , y

+

i=1

≤

αi [fi (ˆ
x) − fi (¯
x)] +
i=1

t∈T

λt [gt (ˆ
x) − gt (¯
x)].
t∈T

❉♦ ➤ã✱
m

m

λt gt (¯
x) ≤

αi fi (¯
x) +
i=1

❈❤ó ý r➺♥❣

αi fi (ˆ
x) +
i=1

t∈T

λt gt (ˆ
x).
t∈T

λt gt (¯

x) = 0 ✈➭ λt gt (ˆ
x) ≤ 0 ✈í✐ ♠ä✐ t ∈ T ✳ ❱× t❤Õ✱ t❛ ❝ã

m

m

αi fi (¯
x) =
i=1

m

λt gt (¯
x) ≤

αi fi (¯
x) +
i=1

λt gt (ˆ
x) ≤

αi fi (ˆ
x) +
i=1

t∈T

➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ sù tå♥ t➵✐ i0

m

αi fi (ˆ
x).
i=1

t∈T

∈ {1, . . . , m} s❛♦ ❝❤♦
✭✵✳✹✻✮

fi0 (¯
x) ≤ fi0 (ˆ
x)
❜ë✐ ✈×

α ∈ Rm
+ \ {0}. ❑Õt ❤î♣ ✭✵✳✹✻✮ ✈í✐ ✭✵✳✹✺✮ ❞➱♥ ➤Õ♥ ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ❱× ✈❐②✱ ✭✐✮ ➤➲ ➤➢î❝

❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❚✐Õ♣ t❤❡♦✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✭✐✐✮✳ ●✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐

x¯ ∈
/ S(P ). ❑❤✐ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ xˆ ∈ C ➤Ó

f (¯
x) − f (ˆ
x) ∈ Rm
+ \{0}.

✭✵✳✹✼✮

❙ö ❞ô♥❣ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ♥ã♥ ❝ù❝ ✈➭ tÝ♥❤ ❧å✐ ❝❤➷t s✉② ré♥❣ ❝ñ❛
➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ α

(f, gT )✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❝❤ó ý ➤Õ♥

ˆ ë tr➟♥✱ tå♥ t➵✐ y ∈ N (¯
x; Ω)◦
∈ Rm
+ \{0}, t❛ s✉② r❛ tõ ✭✵✳✹✹✮ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉✿ ✈í✐ x

s❛♦ ❝❤♦
m

m

αi zi∗ , y +

0≤
i=1

λt x∗t , y <

αi [fi (ˆ
x) − fi (¯
x)] +
i=1

t∈T

λt [gt (ˆ
x) − gt (¯
x)].
t∈T

❉♦ ➤ã✱
m

m

αi fi (¯
x) +
i=1

❱×

λt gt (¯
x) <

αi fi (ˆ
x) +
i=1

t∈T

λt gt (ˆ
x).
t∈T

λt gt (¯
x) = 0 ✈➭ λt gt (ˆ
x) ≤ 0 ✈í✐ ♠ä✐ t ∈ T ♥➟♥ t❛ s✉② r❛
m

m

αi fi (¯
x) =
i=1

m

αi fi (¯
x) +
i=1

➜✐Ò✉ ♥➭② s✉② r❛ sù tå♥ t➵✐ i0

λt gt (¯
x) <

m

∈ {1, . . . , m} ➤Ó
fi0 (¯
x) < fi0 (ˆ
x),
✶✾

λt gt (ˆ
x) ≤

αi fi (ˆ
x) +
i=1

t∈T

t∈T

αi fi (ˆ
x).
i=1




t ớ ó ết tú ứ

ú ý r ột tử tộ t r ộ ủ t P tỏ ỉ ề ệ
sẽ

ợ

ệ ữ ệ ế t í t ét tr trờ

ợ ó tí ồ s rộ ủ

(f, gT ) sử ụ tr ị ý

tể ỏ í ụ s

í ụ

f : R R2 ở f (x) := (f1 (x), f2 (x)) ở ó

sử

f1 (x) = f2 (x) := x3 ,
gt

: R R ở
gt (x) := tx2 ,

ét t P ớ
r

xR

x R,

t T := (, 0).

m := 2 := R ó C = R ì tế x := 0 C ễ t

x tỏ x
/ S w (P ) ý (f, gT )

ồ s rộ

tr

t x
ị ý tế t ột ề ệ ủ ột ể ợ ủ
t P trở t

ệ í tờ

x C

ị ý
tì

tỏ



ế

(f, gT )

ồ s rộ tr



t

x

x S p (P ).

ứ

sử r tồ t

tr s

:= (1 , 2 , ..., m ) int Rm
x) ở
+ A(

x C tỏ ĩ tồ t zi fi (
x), i = 1, . . . , m

xt gt (
x), t T s
m

i zi +


i=1

t xt
tT

ử ụ ị ĩ ủ ó ự tí ồ s rộ ủ
ị s ớ ỗ

(f, gT ) t s r từ

x tồ t y N (
x; ) s

m

m

i zi , y

0



N (
x; ).

i=1

t xt , y

+



i [fi (x) fi (
x)] +
i=1

tT

t [gt (x) gt (
x)].
tT

ó
m

m

t gt (
x)

i fi (
x) +
i=1

i fi (x) +
i=1

tT



t gt (x).
tT