Đề thi hình học sơ cấp và thực hành giải toán

ĐỀ I
Câu 1 (3 điểm)
a) Tồn tại hay không hai tứ giác có cùng chu vi nhưng một tứ giác có
diện tích gấp 20 lần tứ giác kia?
b) Hãy nêu cách phân hoạch tứ diện ABCD đã cho thành bốn tứ
diện, kể trên những tứ diện đó. Từ đó, hãy phân hoạch một tứ
diện thành 18 tứ diện bằng một số ít nhất mặt phẳng cắt.
c) Thế nào là đa diện đều loại {p; q}, các loại đa diện đều. Chứng minh
số cạnh c của đa diện đều loại {p; q} được tính theo công thức
1 1 1
1
= + −
c
p q 2
Câu 2 (2 điểm) Gọi AH, BI, CK là các đường cao của tam giác ABC.
Chứng minh rằng nếu các cặp đường thẳng BC và IK, CA và HK, AB
và HI cắt nhau thì ba giao điểm của chúng thẳng hàng
Câu 3 (2 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a. Hai nửa đường thẳng Ax và By
nằm cùng phía đối với AB và vuông góc AB. Hai điểm M, N di động
lần lược trên Ax và By sao cho diện tích hình thang ABN M không
đổi. Tìm quỹ tích hình chiếu H của trung điểm AB lên đoạn M N.
Câu 4 (3 điểm) Cho ∆ABC(AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn
(O, R). Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC vẽ đường
kính AK. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) ∆ABD, ∆AKC đồng dạng với nhau. Từ đó suy ra S =

AB.BC.CA
4R

b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh EF DM nội tiếp đường
tròn.

1


ĐỀ II
Câu 1 (3 điểm)
a) Chứng minh rằng mọi hình chữ nhật đều đồng phân với một tam
giác và ngược lại mọi tam giác đều đồng phân với một hình chữ
nhật
b) Cho đa diện đều loại {p; q}. Chứng minh rằng số đỉnh d và số mặt
m của đa diện đều được tính theo công thức:
d=

4p
2p + 2q − pq

m=

4q
2p + 2q − pq

c) Hãy phân hoạch một hình hộp thành 5 tứ diện
Câu 2 (2 điểm) Cho (O; R), (I, r) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp, đường
tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh OI 2 = R2 − 2Rr
Câu 3 (2 điểm) Cho tam giác ABC có hai điểm A, B cố định và điểm C
di động sao cho ACB = 110o . Trên tia đối của tia CA lấy M sao cho
CM = CB. Tìm quỹ tích điểm M khi C di động
Câu 4 (3 điểm) Cho tam giac đều ABC. Gọi O là trung điểm BC. Trên
cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động M, N sao cho M ON = 60o .
Chứng minh rằng:

a) Hai tam giac OM B, N OC đồng dạng. Từ đó suy ra BM, CN không
đổi
b) Các tia M O, N O lần lượt là các tia phân giác của các góc BM N , CN M

2


ĐỀ III
Câu 1 (3 điểm)
a) Chứng minh rằng tồn tại hình chữ nhật đồng phân với một tam
giác đã cho.
b) Thế nào là đa diện đều loại {p; q}. Kể tên các loại đa diện đều
c) Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a
Câu 2 (2 điểm) Gọi AH, BI, CK là ba đường cao của tam giác ABC. Chứng
minh rằng nếu các cặp đường thẳng BC và IK, CA và KH, AB và HI
cắt nhau thì ba giao điềm thằng hàng
Câu 3 (3 điểm) Cho tam giác ABC có A, B cố định và điểm C di động sao
cho góc ACB = 60o . Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp tam
giác ABC khi C di động
Câu 4 (2 điểm) Xét bài toán “Cho tam giác ABC, ha , hb , hc lần lượt là
đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C và r là bán kính đường tròn
nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh h1a + h1b + h1c = 1r ” .Bằng cách
sử dụng những suy luận có lý hãy đề xuất một bài toán mới và giải bài
toán đó.

3


ĐỀ IV
Câu 1 (3 điểm)

a) Chứng minh rằng đường trung tuyến của tam giác chia tam giác đó
thành hai tam giác đồng phân
b) Cho khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19, 20, 37, chiều
cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các đáy.Tính thể
tích khối lăng trụ đã cho.
c) Bằng một số ít nhất các mặt phẳng hãy phân hoạch một tứ diện
thành 12 hình tứ diện
Câu 2 (2 điểm) Cho phép đảo cực O phương tích k. Gọi M , N là ảnh của
hai điểm M, N qua phép đảo cực đã cho. Chứng minh rằng
MN =

|k|M N
OM.ON

Câu 3 (2 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có hai điểm
A, B cố định và điểm di động C trên (O). Tìm quỹ tích trực tâm H
của tam giác ABC khi C di động trên (O)
Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, BC = a, AC = b. Vẽ các
đường phân giác BD, CE
a) Chứng minh rằng DE
b) Chứng minh rằng

1
DE

BC
=

1
a

+

1
b

4


ĐỀ V
Câu 1 (3 điểm)
a) Dựng hình bình hành đồng phân với một tam giác đã cho và ngược
lại dựng tam giác đồng phân với một hình bình hành đã cho
b) Chứng minh rằng tam giác đều có diện tích lớn nhất trong các tam
giác có cùng chu vi 2P . Tính diện tích tam giác đều theo P
c) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại
o
A và D với AB = 2a,
√ DC = a, ABC = 60 .SA vuông góc đáy
(ABCD) và SA = a 2. Tính thể tích khối chóp đã cho.
Câu 2 (2 điểm) Cho đường tròn (O; R) và hai điểm P, Q không thuộc đường
tròn (O). Một đường thẳng d thay đổi đi qua P và cắt (O) tại M, M
a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác QMM’ đi qua một
điểm cố định.
b) Một cát tuyến ∆ bất kỳ qua Q cắt (O) tại A, B (khác M, N ). Xác
định ảnh của đường thẳng ∆ qua phép nghịch đảo tâm P tỉ số
k = OP 2 − R2
Câu 3 (2 điểm) Cho tam giác ABC. Tìm quỹ tích M trong mặt phẳng sao
cho M A2 + M B 2 = M C 2
Câu 4 (3 đểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi P, Q, R

theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung bị chắn BC, CA, AB
a) Chứng minh rằng AP ⊥QR
b) Giả sử AP cắt CR tại I. Chứng minh CP I là tam giác cân

5