Bài tập trắc nghiệm giới hạn có lời giải chi tiết – nguyễn phú khánh, huỳnh đức khánh

CHỦ ĐỀ
4.

GIỚI HẠN

Bài 01
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vơ cực, nếu un có thể
nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un = 0 hay un → 0 khi n → +∞.
n →+∞

Định nghĩa 2
Ta nói dãy số (vn ) có giới hạn là a (hay vn dần tới a ) khi n → +∞, nếu

lim (vn − a ) = 0.

n →+∞

Kí hiệu: lim vn = a hay vn → a khi n → +∞.
n →+∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt
1
1
= 0; lim k = 0 với k ngun dương;
n →+∞ n
n →+∞ n

n
b) lim q = 0 nếu q < 1;
a) lim

n →+∞

c) Nếu un = c ( c là hằng số) thì lim un = lim c = c .
n →+∞

n →+∞

Chú ý: Từ nay về sau thay cho lim un = a ta viết tắt là lim un = a .
n →+∞

II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
Định lí 1
a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì

• lim (un + vn ) = a + b

• lim (un − vn ) = a − b

• lim (un .vn ) = a.b

u  a
• lim  n  = (nếu b ≠ 0 ).
 vn  b

lim u = a
lim un = a

n
b) Nếu 
thì 
.


un ≥ 0, ∀n
a ≥ 0


III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VƠ HẠN
Cấp số nhân vơ hạn (un ) có cơng bội q , với q < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vơ
hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn:

S = u1 + u2 + u3 +… + un +… =

u1
1− q

( q < 1).


IV – GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Định nghĩa
• Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là +∞ khi n → +∞ , nếu un có thể lớn hơn một
số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.

• Dãy số (un ) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ , nếu lim (−un ) = +∞

.

Kí hiệu: lim un = −∞ hay un → −∞ khi n → +∞.
Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim (−un ) = −∞.

2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau
a) lim n k = +∞ với k nguyên dương;
b) lim q n = +∞ nếu q > 1 .

3. Định lí 2
a) Nếu lim un = a   và limvn = ±∞ thì lim

un
=0 .
vn

b) Nếu lim un = a  > 0 , limvn = 0 và vn > 0, ∀n > 0 thì lim

un
= +∞.
vn

c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì lim un .vn = +∞.

CÂU HỎI V= B=I TẬP TRẮC NGHIỆM 11
NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH
Đăng ký mua trọn bộ trắc nghiệm 11 FILE WORD
Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975120189

/>Khi mua có sẵn
File đề riêng;
File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC

 sin 5n

Câu 1. Kết quả của giới hạn lim 
− 2 bằng:
 3n

A. −2.

B. 3.

C. 0.

D.

5
.
3


Lời

giải.

Ta

có

0≤

sin 5n 1
≤ ,
3n
n

mà

lim

1
=0
n

nên

lim

sin 5n
= 0,
3n

do

đó

 sin 5n

lim 
− 2 = −2. Chọn A.
 3n

Nhận xét : Có thể dùng MTCT để tính (có thể chính xác hoặc gần đúng) giới hạn như
sau (các bài sau có thể làm tương tự) :
sin (5 X )
Nhập
− 2.
3X
Bấm CALC và nhập 9999999999 (một số dòng MTCT khi bấm nhiều số « 9 » thì nó
báo lỗi, khi đó ta cần bấm ít số « 9 » hơn.
Bấm « = » ta được kết quả (có thể gần đúng), sau đó chọn đáp án có giá trị gần
đúng với kết quả hiện trên MTCT.
1
n − 2 n k cos
n = 1.
Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để lim
2n
2
A. 0.

B. 1.

C. 4.

D. Vô số.

n − 2 n sin 2 n 1
n sin 2n
= −
.
2n
2
n
1
n k cos
n
Điều kiện bài toán trở thành lim
= 0.
n
1
Ta có lim cos = cos 0 = 1 nên bài toán trở thành tìm k sao cho
n
Lời giải. Ta có

lim

k
−1
nk
k
= lim n 2 = 0 ⇔ −1 < 0 ⇔ k < 2 
→ không tồn tại k (do k nguyên
k ∈ℕ * , k = 3 l
n

2

dương và chẵn). Chọn A.
Câu 3. Kết quả của giới hạn lim

3sin n + 4 cos n
bằng:
n +1

A. 1.

B. 0.
C. 2.
D. 3.
3sin n + 4 cos n
7
7
3sin n + 4 cos n
Lời giải. Ta có 0 ≤
≤
≤ → 0 
→ lim
= 0. Chọn B.
n +1
n +1 n
n +1

n cos 2n 
Câu 4. Kết quả của giới hạn lim 5 − 2
 bằng:


n + 1 
A. 4.

B.

1
.
4

C. 5.

D. −4.

Lời giải. Ta có

n cos 2n
n
1
n cos 2n
n cos 2n 
0≤ 2
≤ 2
≤ → 0 
→ lim 2
= 0 
→ lim 5 − 2
 = 5. Chọn C.

n +1

n +1 n
n +1
n + 1 


nπ
Câu 5. Kết quả của giới hạn lim n 2 sin
− 2n 3  là:


5
A. −∞.

B. −2.
C. 0.
 2

 1 sin nπ

n
π
3
3
Lời giải. Ta có lim n sin
− 2n  = lim n  .
− 2. Vì






5
n
5

D. +∞.


lim n3 = +∞
lim n3 = +∞


 1 sin nπ



→   1 sin nπ

→ lim n3  .
− 2 = −∞.

1
sin
n
π
1
0 ≤ .
lim  .
 n


5
≤ →0
− 2 = −2 < 0

  n

n
5
n
5
Chọn A.
n

(−1) 

Câu 6. Giá trị của giới hạn lim 4 +
 bằng:

n + 1 
A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 2.
n

(−1)
(−1)

(−1) 
1
1

Lời giải. Ta có 0 ≤
→ lim 4 +
≤
≤ → 0 
→ lim
= 0 
 = 4.
n +1
n +1 n
n +1
n + 1 

n

n

Chọn C.
n

Câu 7. Cho hai dãy số (un ) và (vn ) có un =

(−1)

n2 +1

và vn =

1
. Khi đó lim (un + vn )
n2 + 2

có giá trị bằng:
A. 3.

B. 0.
C. 2.
D. 1.

1
1
0 ≤ un ≤ 2
≤ →0

n +1 n

→ lim un = lim vn = 0 
→ lim (un + vn ) = 0.
Lời giải. Ta có 

1
1
0
≤
v
≤
≤

→
0

n
n2 + 2 n

Chọn B.
Chú ý : Cho P ( n) , Q (n) lần lượt là các đa thức bậc m, k theo biến n :

/ 0)
P ( x) = am n m + am−1n m−1 + ⋯ + a1n + a0 ( am =

Q ( n) = bk n k + bk −1n k −1 + ⋯ + b1n + b0 (bk =
/ 0)
Khi đó lim

P (n )
Q (n )

= lim

P (n) am n m
am n m
,
viết
tắt
, ta có các trường hợp sau :
∼
bk n k
Q (n ) bk n k

Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu ( m < k ) thì lim
Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu ( m = k ) thì lim
Nếu « bậc tử » > « bậc mẫu ( m > k ) thì lim

P (n )
Q (n )
P (n)
Q (n)

= 0.
=

am
.
bk

+∞ khi am bk > 0
= 
.
Q (n ) 
−∞ khi am bk < 0
P (n )

Để ý rằng nếu P ( n) , Q (n) có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể

m

nk

k
1
4
. Ví dụ n có bậc là , 3 n 4 có bậc là ,...
2
n
3
Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh
chóng !
−3
Câu 8. Giá trị của giới hạn lim 2
là:
4 n − 2n + 1
3
A. − .
B. −∞.
C. 0.
D. −1.
4

tì có bậc là


−3
0
−3
n2
Lời giải. Ta có lim 2
= lim
= = 0. Chọn C.

2
1
4n − 2n + 1
4
4− + 2
n n
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.
n + 2n 2
Câu 9. Giá trị của giới hạn lim 3
bằng:
n + 3n −1
2
A. 2.
B. 1.
C. .
D. 0.
3
1 2
+
2
n + 2n 2
n = 0 = 0. Chọn D.
Lời giải. Ta có lim 3
= lim n
3
1
n + 3n −1
1
1+ 2 − 3
n

n
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.
3n 3 − 2n + 1
Câu 10. Giá trị của giới hạn lim 4
là:
4 n + 2n + 1
2
3
A. +∞.
B. 0.
C. .
D. .
4
7
3 2
1
− 2+ 4
3n3 − 2n + 1
n = 0 = 0. Chọn B.
Lời giải. Ta có lim 4
= lim n n
2
1
4n + 2n + 1
4
4+ 3 + 4
n
n
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.
Câu 11. Giá trị của giới hạn lim

A.

3
.
2

B. 2.

n n +1
bằng:
n2 + 2
C. 1.

D. 0.

1
1
+ 2
0
n n +1
n
Lời giải. Ta có lim 2
= lim n
= = 0. Chọn D.
2
n +2
1
1+ 2
n
n n +1 n n

1
Giải nhanh : 2
∼ 2 =

→ 0.
n +2
n
n
v
1
2
Câu 12. Cho hai dãy số (un ) và (vn ) có un =
và vn =
. Khi đó lim n có giá
un
n +1
n +2
trị bằng:
A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

1
1+
vn
n +1

n = 1 = 1. Chọn A.
Lời giải. Ta có lim = lim
= lim
2 1
un
n+2
1+
n
n +1 n
Giải nhanh :
∼ = 1.
n+2 n
an + 4
Câu 13. Cho dãy số (un ) với un =
trong đó a là tham số thực. Để dãy số (un )
5n + 3
có giới hạn bằng 2 , giá trị của a là:


A. a = 10.

B. a = 8.

C. a = 6.
D. a = 4.
4
a+
an + 4
n = a . Khi đó
Lời giải. Ta có lim un = lim

= lim
3
5n + 3
5
5+
n
a
lim un = 2 ⇔ = 2 ⇔ a = 10 
→ Chọn A.
5
an + 4 an a
Giải nhanh : 2 ∼
∼
= ⇔ a = 10.
5n + 3 5n 5
2n + b
Câu 14. Cho dãy số (un ) với un =
trong đó b là tham số thực. Để dãy số (un )
5n + 3
có giới hạn hữu hạn, giá trị của b là:
A. b là một số thực tùy ý.

B. b = 2.

C. không tồn tại b.

D. b = 5.
b
2+
2n + b

n = 2 ( ∀b ∈ ℝ ) 
Lời giải. Ta có lim un = lim
= lim
→ Chọn A.
3
5n + 3
5
5+
n
2n + b 2n 2
Giải nhanh :
∼
= với mọi b ∈ ℝ.
5n + 3 5n 5

Câu 15. Tính giới hạn L = lim

3
A. L = .
2

n2 + n + 5
.
2n 2 + 1

1
B. L = .
2

C. L = 2.

n2 + n + 5
= lim
Lời giải. Ta có L = lim
2n 2 + 1
Giải nhanh:

D. L = 1.

1 5
1+ + 2
n n = 1 
→ Chọn B.
1
2
2+ 2
n

n2 + n + 5
n2
1
∼
= .
2
2
2n + 1
2n
2

Câu 16. Cho dãy số (un ) với un =

4n2 + n + 2
. Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 ,
an 2 + 5

giá trị của a là:
A. a = −4.

B. a = 4.

C. a = 3.
D. a = 2.
1 2
4+ + 2
4n 2 + n + 2
n n = 4 (a =
Lời giải. 2 = lim un = lim
= lim
/ 0) ⇔ a = 2. Chọn D.
2
5
an + 5
a
a+ 2
n
4n 2 + n + 2 4n 2 4
∼ 2 = ⇔ a = 2.
Giải nhanh : 2 ∼
an 2 + 5
an

a
n 2 − 3n 3
Câu 17. Tính giới hạn L = lim 3
.
2n + 5n − 2
3
1
1
A. L = − .
B. L = .
C. L = .
D. L = 0.
2
2
5


1
−3
n 2 − 3n3
−3
n
Lời giải. L = lim 3
= lim
=

→ Chọn A.
5
2
2 n + 5n − 2

2
2+ 2 − 3
n
n
n 2 − 3n3
−3n3
3
Giải nhanh:
∼
=− .
2n3 + 5n − 2
2n3
2
5n 2 − 3an 4
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để L = lim
> 0.
(1 − a ) n 4 + 2n + 1
A. a ≤ 0; a ≥ 1.

B. 0 < a < 1.

C. a < 0; a > 1.

D. 0 ≤ a < 1.

5
− 3a
2
a < 0
5n 2 − 3an 4

−3a
n
Lời giải. L = lim
lim
. Chọn C.
=
=
>0⇔ 
4

2
1
(1 − a ) n + 2n + 1
a > 1
(1 − a ) + 3 + 4 (1 − a )
n
n
3
2
(2n − n )(3n + 1)
Câu 19. Tính giới hạn L = lim
.
(2n −1)(n 4 − 7)
3
A. L = − .
2
Lời giải. Ta có

B. L = 1.

C. L = 3.

3

2




2




1 

D. L = +∞.

2





1 

n 

n 

−13 + 2 
n  2 −1.n 3 + 2 
 n
(2n − n3 )(3n2 +1)
 
 n 2

3
n 
n  −1.3
=
lim
=
lim
=
=− .
L = lim
4







1
7
1
7
2.1

2
2
n
−
1
n
−
7
(
)(
)
2 − 1− 
n  2 − .n 4 1− 4 
4


n 



n 



Chọn A.

(2n − n3 )(3n2 +1) −n3 .3n2
3
∼
=− .

4
4
2
2n.n
(2n −1)(n − 7)
(n 2 + 2n )(2n 3 + 1)(4 n + 5)
Câu 20. Tính giới hạn L = lim
.
(n 4 − 3n −1)(3n 2 − 7)

Giải nhanh:

8
C. L = .
D. L = +∞.
3
 2 
1 
5
1 + 2 + 3 4 + 
(n2 + 2n)(2n3 + 1)(4n + 5)
1.2.4 8
n
n
n
= lim
=
= .
Lời giải. L = lim
4

2



1.3
3
(n − 3n −1)(3n − 7)
1− 3 − 1 3 − 7 

 n3 n 4 
n 2 
A. L = 0.

B. L = 1.

Chọn C.
Giải nhanh:

(n2 + 2n)(2n3 +1)(4n + 5) n 2 .2n3 .4n 8
∼ 4 2 = .
3
n .3n
(n 4 − 3n −1)(3n2 − 7)

Câu 21. Tính giới hạn L = lim

1
A. L = .
2

B. L = 1.

3

n +1

3

n +8

.

1
C. L = .
8

D. L = +∞.


1
n +1
n = 1 = 1 
Lời giải. L = lim
= lim
→ Chọn B.
3
3
n +8
8
1

3 1+
n
1+

3

Giải nhanh:

3
3

n +1
n +8

∼

3

n

3

n

3

= 1.

Câu 22. Kết quả của giới hạn lim

1
A. − .
3

B. +∞.

n 3 − 2n
Lời giải. lim
= lim
1− 3n 2

n 3 − 2n
là:
1 − 3n 2
C. −∞.

D.

2
.
3


2
2
n3 1− 2 
1− 2
 n 
n . Ta có
= lim n.


1
1
2
−3
n  2 − 3
 n
n2


lim n = +∞
2

1− 2
2
n3 − 2n
n
 1− 2
→ im
= lim n.
= −∞ 
→ Chọn C.
n = − 1 < 0 
lim
1
1− 3n 2
−
3
1


3
−3
n2

n2
n3 − 2n
n3
1
Giải nhanh :
∼
= − n 
→−∞.
2
1− 3n
−3n 2
3
2 n + 3n 3
Câu 23. Kết quả của giới hạn lim 2
là:
4 n + 2n + 1
3
5
A. .
B. +∞.
C. 0
D. .
4
7



2
2
n3  2 + 3
+3
2
 n

2n + 3n3
n
Lời giải. lim 2
= lim
= lim n.
. Ta có

2 1
2 1 
4n + 2n + 1
2
4
+
+
n 4 + + 2 

n n2
n n 
lim n = +∞

2

+3

3
2
+
2
n
3
n
+3
n2
2

→
im
=
lim
.
= +∞. Chọn B.
n

3
lim n
2 1
= >0
4n 2 + 2n + 1
4
+
+
2 1

4

4+ + 2
n n2

n n

2n + 3n3
3n3
3
∼
= .n 
→+∞.
2
2
4n + 2n + 1 4n
4
3n − n 4
Câu 24. Kết quả của giới hạn lim
là:
4n − 5
Giải nhanh :

A. 0.

B. +∞.

C. −∞.

3

3

n 4  3 −1
−1
3

n

3n − n
3 n
Lời giải. lim
= lim
= lim n .
. Ta có

5
5 
4n − 5

4−
n  4 − 

n
n
4

D.

3
.
4

3

lim n = +∞
3
−1
4
3

3
3
n
−
n
3 n
−1
3

→
lim
=
l
lim
n
.
= −∞. Chọn C.

1
n
5

4n − 5
=− <0
lim
4
−
5
4

n
4−

n

Giải nhanh :

3n − n 4 −n 4
1
∼
= − .n3 
→−∞.
4n − 5
4n
4

Câu 25. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
3 + 2n 3
2 n − 3n 3
2n 2 − 3
A. lim 2
.

B. lim
.
C. lim
.
3
2n − 1
−2 n − 4
−2 n 2 − 1

D. lim

2n 2 − 3n 4
.
−2 n 4 + n 2

Lời giải. Theo dấu hiệu ở đã nêu ở phần Chú ý trên thì ta chọn giới hạn nào rơi vào
trường hợp « bậc tử » < « bậc mẫu » !
3 + 2n3
lim 2
= +∞ : « bậc tử » > « bậc mẫu » và am bk = 2.2 = 4 > 0.
2 n −1
2n 2 − 3
lim
= 0 : « bậc tử » < « bậc mẫu ». Chọn B.
−2 n 3 − 4
2n − 3n3
lim
= +∞ : « bậc tử » > « bậc mẫu » và an bk = (−3).(−2) > 0.
−2 n 2 − 1
a

2n 2 − 3n 4
−3 3
−3 3
lim
=
= : « bậc tử » = « bậc mẫu » và m =
= .
4
2
bk
−2 2
−2 n + n
−2 2

1
Câu 26. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng − ?
3
2
4
3
n − 2n
−n + 2n −1
n 2 − 3n 3
−n 2 + 2 n − 5
B. un = 2
. A. un = 3
. C. un = 3
. D. un = 3
.
2

2
3n + 5
3n + 2 n −1
9n + n − 1
3n + 4 n − 2
Lời giải. Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » = « bậc mẫu » và am bk > 0. Chọn C.

lim un = lim

n 2 − 3n3
−3
1
=
=− .
3
2
9n + n −1
9
3

Câu 27. Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞ ?
1 + n2
n2 − 2
n 2 − 2n
A. un =
. B. un =
.
C.
u
=

.
n
5n + 5
5n + 5n 3
5n + 5n 2

D.

1 + 2n
.
5n + 5n 2

Lời giải. Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » > « bậc mẫu » với am bk > 0. Chọn A.
lim n = +∞

1

+
1
2
1
2
1+ n
+1
2
lim un = lim
= lim n. n
= +∞ vì 
.
a

1
n
lim
5
= m = >0
5n + 5
5+
5

bk
5
5+
n

n

Các đáp án còn lại đều rơi vào trường hợp « bậc tử » ≤ « bậc mẫu » nên cho kết quả
hữa hạn.
Câu 28. Dãy số nào sau đây có giới hạn là −∞ ?
1 + 2n
n 3 + 2n − 1
2n 2 − 3n 4
A.
.
B.
u
=
.
C.
u

=
.
n
n
5n + 5n 2
−n + 2n 3
n 2 + 2n3

D. un =

n 2 − 2n
.
5n + 1

Lời giải. Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » = « bậc mẫu » và am bk < 0. Chọn C.


2n 2 − 3n 4
: « bậc tử » > « bậc mẫu » và am bk = −3.2 = −6 < 0 
→ lim un = −∞.
n 2 + 2n3
+∞ khi an > 0
Chú ý : (i) lim (am n m + an−1n m−1 + ⋯ + a1n + a0 ) = 
.

−∞ khi an < 0
(ii) Giả sử q > max { qi : i = 1; 2…; m} thì
un =

a0

khi q < 1


lim (a.q + am q + ⋯ + a q + a0 ) = +∞ khi a > 0, q > 1.

−∞
khi a < 0, q > 1

Ta dùng « dấu hiệu nhanh » này để đưa ra kết quả nhanh chóng cho các bài sau.
n

n
m

n
1 1

Câu 29. Tính giới hạn L = lim (3n 2 + 5n − 3).
A. L = 3.

B. L = −∞.

C. L = 5.

D. L = +∞.

lim n = +∞


5 3 


Lời giải. L = lim (3n + 5n − 3) = lim n 2 + − 2  = +∞ vì 
.

 

lim 2 + 5 − 32  = 2 > 0
n n 

 
n n 
Chọn D.
Giải nhanh : 3n 2 + 5n − 3 ∼ 3n 2 
→ +∞.
2

2

2

Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a

thuộc khoảng (−10;10 ) để

L = lim (5n − 3 (a 2 − 2) n 3 ) = −∞ .
A. 19.

B. 3.

C. 5.

D. 10.


5
Lời giải. Ta có lim 5n − 3 (a 2 − 2 ) n 3 = lim n 3  2 − 3 (a 2 − 2 ) = −∞
 n

5

a = −1; 0; 1. Chọn B.
⇔ lim  2 − 3 (a 2 − 2 ) = a 2 − 2 < 0 ⇔ − 2 < a < 2 →
a ∈ℤ , a ∈(−10;10 )
 n


(

)

Câu 31. Tính giới hạn lim (3n 4 + 4 n 2 − n + 1).
A. L = 7.

B. L = −∞.

C. L = 3.

D. L = +∞.

Lời giải. Ta có

lim n 4 = +∞



4
1
1
lim (3n + 4n − n + 1) = lim n 3 + 2 − 3 + 4  = +∞ vì  
.
4
1
1 

n
n
n 
lim 3 + 2 − 3 + 4  = 3 > 0
n
n
n

Chọn D.
Giải nhanh : 3n 4 + 4n 2 − n + 1 ∼ 3n 4 
→+∞.
4

2

4

Câu 32. Cho dãy số (un ) với un = 2 +
A. lim un = −∞.

+ ... +

n

( 2 ) . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

B. lim un =

C. lim un = +∞.
Lời giải. Vì

2

( 2)

2
1− 2

.

D. Không tồn tại lim un .
2

n

( 2 ) , … , ( 2 ) lập thành cấp số nhân có u = 2 = q nên
a = 2 − 2 > 0

1− ( 2 )


2.
= ( 2 − 2 ) ( 2 ) −1 
→ lim u = +∞ vì 
. Chọn C.



1− 2
2,

1

n

un =

n

n

q = 2 > 1


1
3
n
+ 1 + + ... +

2
2 bằng:
Câu 33. Giá trị của giới hạn lim 2
n2 +1
1
1
1
A. .
B. 1.
C. .
D. .
2
4
8
1
3
n 1
1 n (n + 1)
Lời giải. Ta có + 1 + + ... + = (1 + 2 + ⋯ + n ) = .
. Do đó
2
2
2 2
2
2
1
3
n
+ 1 + + ... +
2

2
2 = lim n + n = 1 (“bậc tử” = “bậc mẫu”). Chọn D.
lim 2
2
n +1
4n 2 + 4 4
1
2
n − 1
Câu 34. Giá trị của giới hạn lim  2 + 2 + ... + 2  bằng:
 n
n
n 
A. 0.

B.

Lời giải. Ta có

1
.
3

C.

1
.
2

D. 1.

1
2
1 (n −1)(1 + n −1) n 2 − n
n −1 1
+
n
1
+
+
...
+
=
1
+
2
+
⋯
−
=
.
=
.
(
)
n2 n2
n2
n2
n2
2

2n 2

Do đó

1
2
n −1
n2 − n 1
lim  2 + 2 + ... + 2  = lim
= . Chọn C.
 n
n
n 
2n 2
2

1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n + 1)
 bằng:
Câu 35. Giá trị của giới hạn lim 
3n 2 + 4


A. 0.

B.

1
.
3

2
.
3
n (1 + 2n −1)
C.

Lời giải. Ta có 1 + 3 + 5 + ⋯( 2n −1) =

2

D. 1.

= n 2 nên

1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n + 1)
n2
1

lim 
=
lim
= 
→ Chọn B.

2

3n 2 + 4
3
n
4

3
+

 1
1
1 
Câu 36. Giá trị của giới hạn lim 
+
+ ... +
 là:
1.2 2.3
n (n + 1)
1
.
B. 1.
C. 0.
D. −∞.
2
Lời giải. Ta có
 1
 1 1 1

1
1 
1
1 
1 
lim  +
+ ... +
 = lim 1−

 = 1.
 = lim 1− + − + ⋯ + −
 2 2 3
 n + 1
1.2 2.3
n (n + 1)
n n + 1
A.

Chọn B.

 1

1
1
 bằng:
Câu 37. Giá trị của giới hạn lim 
+
+ ... +
1.3 3.5
(2n −1)(2n + 1)
A.

1
.
2

B.

1

.
4

Lời giải. Với mọi k ∈ ℕ* thì

C. 1.

D. 2.

1 1
1 
= 
−
 , do đó

(2k −1)(2k + 1) 2  2k −1 2k + 1
1


1

1
1
1 1 1 1
1
1 

lim  +
+ ... +
−

 = lim 1− + − +
1.3 3.5
2  3 3 5 2n −1 2n + 1
(2n −1)(2n + 1)
1
1  1
= .
= lim 1−
2  2n + 1 2
Chọn A.

 1

1
1
 bằng:
Câu 38. Giá trị của giới hạn lim 
+
+ ...... +
n (n + 3)
1.4 2.5
A.

11
.
18

B. 2.

C. 1.

D.

3
.
2

Lời giải. Ta có
1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1 

+
+ ...... +
= 1− + − + − + ⋯ + −
n (n + 3) 3  4 2 5 3 6
n n + 3 
1.4 2.5

1  1 1
1 1 1 1
1 
= 1 + + + ⋯ +  −  + + + ⋯ +





n 4 5 6
n + 3 
3  2 3
1 1 1
1
1
1 
= 1 + + −
−
−



3
2 3 n + 1 n + 2 n + 3 
1
1
1 
1 11
=  −
−
−


3  6 n + 1 n + 2 n + 3 
 1
1
1 
1 11
1

1
1  11
Do đó lim  +
+ ...... +
−
−
 = . Chọn A.
 = lim  −
n ( n + 3)
3  6 n + 1 n + 2 n + 3  8
1.4 2.5
Câu 39. Giá trị của giới hạn lim
A. 4.

12 + 2 2 + ... + n 2
n (n 2 + 1)

bằng:

1
.
2
n (n −1)( 2n + 1)

B. 1.

C.

D.

1
.
3

2n3 − 3n 2 + n
=
thì ta có
6
6
12 + 22 + 32 + ⋯ + n 2 = ( P (2) − P (1)) + ( P (3) − P (2)) + ⋯ + ( P (n + 1) − P ( n))

Lời giải. Đặt P ( n) =

= P (n + 1) − P (1) =
Do đó lim

12 + 22 + ... + n 2
n (n 2 + 1)

= lim

n ( n + 1)(2n + 3)
6n (n 2 + 1)

n (n + 1)(2n + 3)

6
2 1
= = . Chọn D.
6 3


un = 1

2
Câu 40. Cho dãy số có giới hạn (un ) xác định bởi 
. Tính lim un .

1

, n ≥1
un +1 =
2 − un

A. lim un = −1.

B. lim un = 0.

1
C. lim un = .
2

D. lim un = 1.

Lời giải. Giả sử lim un = a thì ta có

a = lim un+1 = lim

a =
/2

/2
a =
1
1
=
⇔ 
⇔  2
⇔ a = 1. Chọn D.
a ( 2 − a ) = 1 a − 2a + 1 = 0
2 − un
2−a



u1 = 2

Câu 41. Cho dãy số có giới hạn (un ) xác định bởi 
. Tính lim un .

un +1 = un + 1 , n ≥ 1

2
A. lim un = 1.
B. lim un = 0.
C. lim un = 2.
D. lim un = +∞.
Lời giải. Giả sử lim un = a thì ta có

a = lim un +1 = lim
Câu 42. Kết quả của giới hạn lim

A.

2
.
3

B.

9n 2 − n + 1
bằng:
4n − 2

3
.
4

C. 0.

9n 2 − n + 1
= lim
Lời giải. lim
4n − 2
Giải nhanh:

un + 1 a + 1
=
⇔ a = 1 
→ Chọn A.
2
2

D. 3.

1 1
9− + 2
n n = 3 
→ Chọn B.
2
4
4−
n

9n 2 − n + 1
9n 2
3
= .
∼
4n − 2
4n
4

Câu 43. Kết quả của giới hạn lim

2
A. − .
3

B.

−n 2 + 2n + 1

3n 4 + 2

1
.
2

bằng:

C. −

3
.
3

1
D. − .
2

2 1
−1 + + 2
n n = − 1 
Lời giải. lim
= lim
→ Chọn C.
4
2
3
3n + 2
3+ 4

n
−n 2 + 2n + 1 −n 2
1
Giải nhanh :
∼
=−
.
4
4
3
3n + 2
3n

−n 2 + 2n + 1

Câu 44. Kết quả của giới hạn lim
A.

5
.
2

B.

5
.
7

2n + 3
2n + 5

là:
C. +∞.

D. 1.

3
2
n
Lời giải. lim
= lim
=
= 1. Chọn D.
5
2n + 5
2
2+
n
2+

2n + 3

Giải nhanh:

2n + 3
2n + 5

∼

2n

2n

= 1.

Câu 45. Kết quả của giới hạn lim
A. 1.

B. 0.

n +1 − 4
n +1 + n

bằng:

C. −1.

D.

1
.
2


1 1 4
+ 2−
n = 0 = 0 
Lời giải. lim
= lim n n
→ Chọn B.
1

n +1 + n
1 1
+ +1
n n2
n +1 − 4

Giải nhanh:

n +1 − 4
n +1 + n

∼

n
1
=

→ 0.
n
n

n + n2 +1

Câu 46. Biết rằng lim

2

= a sin

n −n −2

A. S = 1.

π
+ b. Tính S = a 3 + b 3 .
4

B. S = 8.

C. S = 0.

D. S = −1.

1
1+ 1+ 2
n + n2 +1
n = 1 + 1 = 2 2 sin π
= lim
Lời giải. Ta có lim
2
1
4
1 2
n −n −2
1− −
n n
a = 2 2

→ 

→ S = 8 

→ Chọn B.
b = 0

10
Câu 47. Kết quả của giới hạn lim
là:
4
n + n2 +1
A. +∞.

B. 10.

C. 0.
10
10
0
n2
Lời giải. lim
= lim
= = 0. Chọn C.
4
2
1
1
1
n + n +1
1+ 2 + 4
n
n
10

10
10
Giải nhanh:
∼
= 2 
→ 0.
4
2
4
n
n + n +1
n

2n + 2
là:
n 4 + n 2 −1

Câu 48. Kết quả của giới hạn lim (n + 1)
A. +∞.

D. −∞.

B. 1.

C. 0.

D. −∞.

3

Lời giải. lim (n + 1)

2 (n + 1)
2n + 2
= lim 4
= 0 (“bậc tử” < “bậc mẫu”). Chọn C.
2
n + n −1
n + n 2 −1
4

2n + 2
2n
2

→ 0.
∼ n. 4 =
2
n + n −1
n
n

Giải nhanh: (n + 1)

4

Câu 49. Biết rằng lim
của biểu thức P =

3

an 3 + 5n 2 − 7
3n 2 − n + 2

= b 3 + c với a, b, c là các tham số. Tính giá trị

a +c
.
b3
1
B. P = .
3

A. P = 3.

Lời giải. Ta có lim

3

C. P = 2.

1
D. P = .
2

5 7
a+ − 3
3
3
n n = b= a 3

= lim
3
1 2
3
3n 2 − n + 2
3− + 2
n n

an 3 + 5n 2 − 7

3


 3
b
 a =
1
= b 3 +c ⇒
3 ⇒ P = . Chọn B.

3
c = 0
Câu 50. Kết quả của giới hạn lim 5 200 − 3n 5 + 2n 2 là:
A. +∞.

B. 1.

C. 0.

D. −∞.

Lời giải. Ta có

 200
2 
lim 200 − 3n + 2n = lim n  5 5 − 3 + 3  = −∞ vì
n 
 n
5

5

2

lim n = +∞

  200
.
2
lim  5 5 − 3 + 3  = − 5 3 < 0

  n
n


Chọn D.
Giải nhanh:

5

200 − 3n5 + 2n 2 ∼ 5 −3n5 = − 5 3.n 
→−∞.

Vấn đề 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC
Câu 51. Giá trị của giới hạn lim
A. 0.
Lời giải.

)

n + 5 − n + 1 bằng:

B. 1.

C. 3.

D. 5.

n + 5 − n + 1 ∼ n − n = 0 
→ nhân lượng liên hợp :
lim

(

)

n + 5 − n + 1 = lim

Câu 52. Giá trị của giới hạn lim

1
A. − .
2
Lời giải.

(

(

4
n + 5 + n +1

= 0 
→ Chọn A.

)

n 2 − n + 1 − n là:

B. 0.

C. 1.

D. −∞.

n 2 − n + 1 − n ∼ n 2 − n = 0 
→ nhân lượng liên hợp :

1
1

n
lim n 2 − n + 1 − n = lim
= lim
= − 
→ Chọn A.
2
2
1 1
n − n +1 + n
1− + 2 + 1
n n
−n + 1
−n
1
2
Giải nhanh : n − n + 1 − n =
∼
=− .
2
2
2
n − n +1 + n
n +n

(

)

Câu 53. Giá trị của giới hạn lim
A. −2.

Lời giải. lim

−1 +

−n + 1

(

)

n 2 −1 − 3n 2 + 2 là:

B. 0.

(

Giải nhanh :

C. −∞.
D. +∞.


1
2
n 2 −1 − 3n 2 + 2 = lim n  1− 2 − 3 + 2  = −∞ vì

n
n 

1

2 
lim n = +∞, lim  1− 2 − 3 + 2  = 1− 3 < 0. Chọn C.
n
n 


)

(

)

n 2 −1 − 3n 2 + 2 ∼ n 2 − 3n 2 = 1− 3 n 
→−∞.

Câu 54. Giá trị của giới hạn lim

(

)

n 2 + 2n − n 2 − 2n là:


A. 1.

B. 2.

Lời giải.

lim

(

C. 4.

2

2

Giải nhanh :

2

4n

2

A. 0.

= lim

2

n + 2n + n − 2n

Câu 55. Có bao nhiêu giá trị của a để lim
B. 2.

Lời giải.

4

= 2. Chọn B.
2
2
1 + + 1−
n
n
4n
4n
2
2
n + 2n − n − 2n =
∼
= 2.
n 2 + 2n + n 2 − 2n
n2 + n2

)

n 2 + 2n − n 2 − 2n = lim

Ta có lim

D. +∞.

n + 2n − n − 2n ∼ n − n = 0 
→ nhân lượng liên hợp :
2

(

)

n 2 + a 2 n − n 2 + (a + 2) n + 1 = 0.

C. 1.

D. 3.

n + a n − n + (a + 2) n + 1 ∼ n − n = 0 
→ nhân lượng liên hợp:
2

(

2

2

2

2

)

n 2 + a 2 n − n 2 + (a + 2) n + 1 = lim

(a 2 − a − 2 ) n − 1

n2 + n + n2 +1

1
2
n = a − a − 2 = 0 ⇔ a = −1. Chọn B.
= lim

2
1
1
b = 2
1+ + 1+ 2
n
n
a2 − a − 2 −

Câu 56. Giá trị của giới hạn lim
A. 0.

B.

Lời giải.

(

)

2n 2 − n + 1 − 2n 2 − 3n + 2 là:

2

.
2

C. −∞.

D. +∞.

2n 2 − n + 1 − 2n 2 − 3n + 2 ∼ 2n 2 − 2n 2 = 0 
→ nhân lượng liên hợp :

lim

(

)

2n 2 − n + 1 − 2n 2 − 3n + 2 = lim

2n −1
2

2n − n + 1 + 2n 2 − 3n + 2
1
2−
1
n
= lim
=
.
1 1

3 2
2
2− + 2 + 2− + 2
n n
n n

Chọn B.
Giải nhanh :

2 n −1

2n 2 − n + 1 − 2n 2 − 3n + 2 =

2

∼

2

2n − n + 1 + 2n − 3n + 2
Câu 57. Giá trị của giới hạn lim
A. −1.

(

2n
2

2n + 2n

2

=

1

)

n 2 + 2n −1 − 2 n 2 + n là:

B. 1 − 2.

C. −∞.

D. +∞.

Lời giải. Giải nhanh : n 2 + 2n −1 − 2n 2 + n ∼ n 2 − 2n 2 = 1− 2 n 
→−∞.

(

Cụ thể : lim


2 1
1 
n 2 + 2n −1 − 2n 2 + n = lim n. 1 + − 2 − 2 +  = −∞ vì

n n
n 


2 1
1 
lim n = +∞, lim  1 + − 2 − 2 +  = 1− 2 < 0 
→ Chọn C.

n n
n 

(

)

Câu 58. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa lim
A. 0.

)

B. 2.

C. 1.

(

)

n 2 − 8n − n + a 2 = 0 .
D. Vô số.

2

.


Lời giải. Nếu
Ta có lim

(

n 2 − 8n − n + a 2 ∼ n 2 − n = 0 
→ nhân lượng liên hợp :

)

n 2 − 8n − n + a 2 = lim

( 2 a 2 − 8) n
n2 + n + n

2a 2 − 8

= lim

1+

1
+1
n

= a 2 − 4 = 0 ⇔ a = ±2. Chọn B.

Câu 59. Giá trị của giới hạn lim
A. −1.

(

)

n 2 − 2n + 3 − n là:

B. 0.

Lời giải.

C. 1.

D. +∞.

n − 2n + 3 − n ∼ n − n = 0 
→ nhân lượng liên hợp :
2

2

3
n
= lim
= −1 
→ Chọn A.
lim n 2 − 2n + 3 − n = lim
2 3

n 2 − 2n + 3 + n
1− + 2 + 1
n n
−
+
−
2
n
3
2
n
Giải nhanh : n 2 − 2n + 3 − n =
∼
= −1.
2
2
n − 2n + 3 + n
n +n

(

−2 +

−2 n + 3

)

Câu 60. Cho dãy số (un ) với un = n 2 + an + 5 − n 2 + 1 , trong đó a là tham số thực.
Tìm a để lim un = −1.
A. 3.

B. 2.

Lời giải :

C. −2.

D. −3.

n + an + 5 − n + 1 ∼ n − n = 0 
→ nhân lượng liên hợp :
2

2

−1 = lim un = lim

(

2

)

n 2 + an + 5 − n 2 + 1 = lim

a+
= lim

2

4
n

a 5
1
1+ + 2 + 1+ 2
n n
n

=

an + 4
2

n + an + 5 + n 2 + 1

a
⇔ a = −2.
2

Chọn C.
Giải nhanh :

an + 4

−1 ∼ n 2 + an + 5 − n 2 + 1 =

2

2

∼

n + an + 5 + n + 1
Câu 61. Giá trị của giới hạn lim
A. 3.
Lời giải.

lim

(

3

3

3

)

Lời giải.

3

3

a
⇔ a = −2.
2

)

C. 0.
3

3

3

D. 1.

3

−1
3

B. +∞.
3

=

n + 1 − n + 2 ∼ n − n = 0 
→ nhân lượng liên hợp :
3

n3 + 1 − 3 n3 + 2 = lim

1
.
3

n + n

2

n + 1 − n + 2 bằng:
3

B. 2.
3

2

(n3 +1)

Câu 62. Giá trị của giới hạn lim
A.

(

3

an
2

(

3

= 0. 

→ Chọn C.

+ 3 n3 + 1. 3 n3 + 2 + 3 ( n3 + 2)

)

n 2 − n 3 + n là:
C. 0.

n 2 − n3 + n ∼ 3 −n3 + n = 0 
→ nhân lượng liên hợp :

D. 1.


lim

(

3

)

n2

n 2 − n3 + n = lim
3

(n

2

−n

3 2

)

1

= lim
3

2

3

−n n −n + n

2



 1 −1 − 3 1 −1 + 1
 n 
n

2
3

1
= .
3

Chọn A.
Giải nhanh :

3

n2

n 2 − n3 + n =

(n

3

2

Câu 63. Giá trị của giới hạn lim
A.

1
.
3

Lời giải.

lim

(

3

−n

(

3 2

)

∼
3

3

−n n −n +n

2

1
= .
3
n − n −n + n

3

3

6

3

2

)

n 3 − 2 n 2 − n bằng:

3

2
B. − .
3
3

2

n2

C. 0.

D. 1.

n3 − 2n 2 − n ∼ 3 n3 − n = 0 
→ nhân lượng liên hợp :

)

−2 n 2

n3 − 2n 2 − n = lim
3

2 2

(n3 − 2n )

−2

= lim

+ n. 3 n3 − 2n 2 + n 2

2

3



1− 2  + 3 1− 2 + 1
 n 
n

2
=− .
3

Chọn B.

Giải nhanh :

3

−2 n 2

n3 − 2n 2 − n =
3

2 2

( n3 − 2n )

Câu 64. Giá trị của giới hạn lim  n

A. −1.
Lời giải.

lim n

B. +∞.

n

(

(

(

)

n + 1 − n −1 ∼ n

n

(

+ n. 3 n3 − 2n 2 + n 2

(

n + 1 + n −1

lim n

(

(

1+

1
1
+ 1−
n
n

2 n

∼

)

(

n
n +1 + n
n

)

n +1 − n =

Lời giải. n

(

2

) (

n +1 − n − 3 ∼ n

D.

1
.
4

)

1

= lim

1+
∼

(

2

= 1.

n − n = 0 
→ nhân lượng liên hợp :

n + 1 − n = lim

n

= 1 
→ Chọn D.

)

1
+1
n

=

1

→ Chọn B.
2

n

1
= .
n +1 + n
n+ n 2


Câu 66. Giá trị của giới hạn lim n n 2 + 1 − n 2 − 3  bằng:


A. −1.
B. 2.
C. 4.

Giải nhanh :

2

D. 1.

2

= lim

2 n

)

)

3

)

n + 1 − n −1 =

n +1 − n ∼ n

2
=− .
3
n + n. n + n
3

6

n − n = 0 
→ nhân lượng liên hợp :

(

n

3

)

n + 1 + n −1
n+ n
Câu 65. Giá trị của giới hạn lim  n n + 1 − n  bằng:


1
1
A. 0.
B. .
C. .
2
3
Lời giải.

−2 n 2

n + 1 − n −1  là:

C. 0.

2 n

)

n + 1 − n −1 = lim

Giải nhanh :

(

∼

)

2

n − n

2

D. +∞.

) = 0 → nhân lượng liên hợp :


lim n

(

4n

Giải nhanh : n

(

2

n +1 + n − 3

)

Lời giải. n

(


n 2 + n + 1 − n 2 + n − 6  là:

7
C. .
D. +∞.
2

(

)

B. 3.

7 −1.

) ( n − n ) = 0 → nhân lượng liên hợp :
7n
+ n − 6 ) = lim

n + n +1 + n + n − 6

n2 + n +1 − n2 + n − 6 ∼ n

lim n

(

= lim

2


Câu 67. Giá trị của giới hạn lim n

A.

4

= 2 
→ Chọn B.
1
3
1 + 2 + 1− 2
n
n
4
n
4
n

n2 +1 − n2 − 3 =
∼
= 2.
n2 +1 + n2 − 3
n 2 + n2

)

n 2 + 1 − n 2 − 3 = lim

n2 + n +1 − n2

2

2

2

2

7

= lim

1 1
1 6
1+ + 2 + 1+ − 2
n n
n n

7
= .
2

Chọn C.
Giải nhanh : n

(

)

n2 + n +1 − n2 + n − 6 =

Lời giải.

n + n +1 + n + n − 6

2

n + 2 − n2 + 4

B. 0.

∼

2

1

Câu 68. Giá trị của giới hạn lim

A. 1.

7n
2

7n

7
= .
2
n + n
2

2

là:

C. −∞.

D. +∞.

n + 2 − n + 4 ∼ n − n = 0 
→ nhân lượng liên hợp :
2

2

2

2

 1
2
4 
n 2 + 2 + n 2 + 4 = lim n. −  1 + 2 + 1 + 2  = −∞
n
n 
n2 + 2 − n 2 + 4
 2 
 1
2
4 
vì lim n = +∞, lim −  1 + 2 + 1 + 2  = −1 < 0 
→ Chọn C.
n
n 
 2 
Giải nhanh :
1
1
1
=−
n2 + 2 + n2 + 4 ∼ −
n 2 + n 2 = −n 
→−∞.
2
2
2
2
n +2− n +4

lim

1

= lim−

1
2

(

)

(

)

Lời giải.

)

9n 2 − n − n + 2
là:
3n − 2

Câu 69. Giá trị của giới hạn lim
A. 1.

(

B. 0.

C. 3.

9n − n − n + 2 ∼ 9n = 3n =
/ 0 
→ giải nhanh :
2

2

9n 2 − n − n + 2
9n 2
∼
= 1 
→ Chọn A.
3n − 2
3n
1
1 2
9− −
+
n
n n 2 = 9 = 1.
2
3
3−
n
1
Câu 70. Giá trị của giới hạn lim

là:
3 3
n +1 − n
9n 2 − n − n + 2
Cụ thể : lim
= lim
3n − 2

D. +∞.


A. 2.

B. 0.

Lời giải.

3

C. −∞.

D. +∞.

n + 1 − n ∼ n − n = 0 
→ nhân lượng liên hợp :
3

3

lim

(

3

3

)

1

n3 + 1 − n = lim
3

2

(n3 +1)

= 0 
→ Chọn B.

+ n 3 n3 + 1 + n 2

Vấn đề 3. DÃY SỐ CHỨA H=M LŨY THỪA

Câu 71. Kết quả của giới hạn lim

5
.
C. 1.

2
2 − 5n + 2
− 5n + 2
25
Lời giải. Giải nhanh : n
∼
= − 
→ Chọn A.
n
n
3 + 2.5
2.5
2
A. −

25
.
2

2 − 5n + 2
bằng:
3n + 2.5n

B.

5
D. − .
2

n

1
2   − 25
 5 
2−5
25
= lim
=− .
Cụ thể : lim n
n
n
2
3 + 2.5
 3
  + 2
5
n+2

Câu 72. Kết quả của giới hạn lim

3n − 2.5n +1
bằng:
2 n +1 + 5n

A. −15.

B. −10.
C. 10.
D. 15.
n

n +1
n +1
−2.5
3 − 2.5
Lời giải. Giải nhanh : n +1
∼
= −10 
→ Chọn B.
n
2 +5
5n
n

Cụ thể : lim

3n − 2.5n +1
2n +1 + 5n

 3 

−10
 5 
= lim
= −10.
n
 2
2.  + 1
 5 

Câu 73. Kết quả của giới hạn lim

A. 0.

3n − 4.2 n +1 − 3
là:
3.2 n + 4 n

B. 1.

C. −∞.
D. +∞.
n
 3
3 − 4.2 − 3 3
Lời giải. Giải nhanh :
∼ n =   
→ 0. Chọn A.
 4 
3.2n + 4n
4
n

n +1

n

n

n

n

 3 
 
 
  − 8. 1  − 3. 1 
n
n +1


 4 
 2 
 4 
3 − 4.2 − 3
0
Cụ thể : lim
= lim
= = 0.
n
n
n
1
3.2 + 4
1
3.  + 1
 2 
Câu 74. Kết quả của giới hạn lim
A. −1.

1
B. − .

2

3n − 1
bằng:
2 n − 2.3n + 1
1
C. .
2

D.

3
.
2


3n −1
3n
1
∼
= − 
→ Chọn B.
n
2 − 2.3 + 1 −2.3n
2

Lời giải. Giải nhanh :

n

n

1
1−  
 3 

3n −1
1
= lim
=− .
n
n
2
2 − 2.3n + 1
 2 
 1 
  − 2 +  
 3 
 3 
n



5 − 2 n +1 + 1
2 n 2 + 3  a 5

Câu 75. Biết rằng lim 
+
=
+ c với a, b, c ∈ ℤ. Tính giá

n +1
n 2 −1 
b
 5.2 n + 5
3
−


Cụ thể : lim

n

( )

( )

trị của biểu thức S = a + b + c 2 .
2

A. S = 26.

2

B. S = 30.

C. S = 21.

D. S = 31.

Lời giải. Giải nhanh :

n

( 5)

5.2 n +

n

− 2 n +1 + 1

2n 2 + 3
+ 2
∼
n +1
n −1
5
−3

( )

( 5)
( 5)

n +1

a = 1
2n 2
1
5


+ 2 =
+2 =
+ 2 
→ b = 5.

5
n
5
c = 2

Vậy S = 12 + 52 + 2 2 = 30. Chọn B.
n
n


 2   1 

3 
n




1
−
2.
+


n +1



2
+


2




5 − 2 +1

 5   5 
2n + 3 
n 2 
 = lim 
Cụ thể : lim 
++ 2
+

n
n
n
+
1
 n
1 
n −1 
−3

 5. 2  + 5 − . 1 
1
−

 5.2 + 5

n 2 
  5 
 5 

( )

( )

=

1
5

+2 =

5
+ 2.
5

Câu 76. Kết quả của giới hạn lim

π n + 3n + 2 2 n
là:
3π n − 3n + 2 2 n +2

1
1
.
C. +∞.
D. .
4
3
n
n
2n
n
n
n
n
π +3 +2
π +3 + 4
4
1
Lời giải. Giải nhanh:
=
∼
= 
→ Chọn D.
3π n − 3n + 22 n+ 2 3π n − 3n + 4.4n
4.4n
4
A. 1.

B.

n

Cụ thể : lim

n

n

2n

π +3 +2
3π n − 3n + 22 n+ 2

n

π   3
  +   + 1
 4   4
1
= lim
= .
n
n
4
 π 
 3 
3.  − 3.  + 4
 4 
 4 

n

Câu 77. Kết quả của giới hạn lim 3n − 5  là:


A. 3.
B. − 5.
C. −∞.

D. +∞.

Lời giải. Giải nhanh : Vì 3 > 5 nên 3n − 5 ∼ 3n 
→+∞. Chọn D.
n

lim 3n = +∞
n




n

5 
n


 5 
Cụ thể : lim 3n − 5  = lim 3n 1−    = +∞ vì 

.

  3  





lim1
−
=
1
>
0




 3 

 

4 n +1
n
Câu 78. Kết quả của giới hạn lim (3 .2 − 5.3 ) là:


A.

2

.
3

B. −1.

C. −∞.

D.

1
.
3

Lời giải. Giải nhanh : 34.2n +1 − 5.3n ∼ −5.3n = −∞ (−5 < 0). 
→ Chọn C.

lim 3n = +∞

n




2

n

Cụ thể : lim (34.2n +1 − 5.3n ) = lim 3n 162.  − 5 = −∞ vì 
.
 2 

 

 3 




lim
162.


  − 5 = −5 < 0
 

 3

 
3n − 4.2 n +1 − 3
Câu 79. Kết quả của giới hạn lim
là:
3.2n + 4 n
A. 0.

B. 1.

C. −∞.
D. +∞.
n
 3
3 − 4.2 − 3 3

Lời giải. Giải nhanh :
∼ n =   
→ 0. Chọn A.
n
 4 
3.2n + 4
4
n +1

n

n

n

Cụ thể : 0 ≤

 
3n − 4.2n+1 − 3 8.3n+1
3n − 4.2n +1 − 3
 3  → 0 
24.
lim
= 0.
≤
=
→
 4 
4n
3.2n + 4n

3.2n + 4n

Câu 80. Kết quả của giới hạn lim
A. +∞.

2
.
3

B.

2 n +1 + 3n + 10
là:
3n 2 − n + 2
3
C. .
2

n

Lời giải. Ta có 2n = ∑ Cnk ⇒ 2n ≥ Cn3 =

D. −∞.

 n
 n → 0
2
n
∼ ⇒  n
. Khi đó:

 2
6
6
 2 → +∞
 n
n

lim 2 = +∞

n2

n
 1 
n
= +∞ vì 
.
 
+
+
2
3.
10.
n

 2 
2
2
lim
= >0
1 2


3
−
+
3

n n2


n ( n −1)( n − 2)

k =0

n

1
n
2 + 3. n + 10. 
 2 
2n+1 + 3n + 10
2n
2
lim
= lim 2 .
1 2
n
3n 2 − n + 2
3− + 2
n n

3

Chọn A.
Câu 81. Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc (0;2018) để lim 4
A. 2007.

B. 2008.

Lời giải. Giải nhanh:

n

4

C. 2017.
n +1

4 n + 2 n +1
1
≤
.
n
n +a
3 +4
1024
D. 2016.

n

4 +2

4
1
1
∼ 4 n +a = a ≤
⇔ 2 a ≥ 1024 = 210 ⇔ a ≥ 10.
3n + 4 n + 2
4
2
1024

Mà a ∈ (0;2018) và a ∈ ℤ nên a ∈ {10;2017} 
→ có 2008 giá trị a. Chọn B.
n

Cụ thể : lim 4

4 n + 2 n +1
3n + 4 n + a

1
1 + 2. 
 2 
1
= lim 4
=
=
n
4a
 3 
  + 4 a

 4 

1
a 2

(2 )

=

 n 2 + 2 n (−1)n 

Câu 82. Kết quả của giới hạn lim 
+ n  bằng:
3 
 3n −1

1
.
2a


A.

2
.
3

B. −1.

C.

1
.
3

1
D. − .
3

n
 n 2 + 2n (−1)n 
(−1)
n 2 + 2n


Lời giải. Ta có lim 
+ n  = lim
+ lim n . Ta có
3n −1
3 
3
 3n −1


2

1+

n 2 + 2n
1

n
= lim
=
lim
 n 2 + 2n (−1)n  1
1
−
3
n
1
3


3−
⇒ lim 
+ n  = . Chọn C.

n
 3n −1

3  3
n
n
n

−
−
1
1



(
)
(
)
1
0 ≤
≤   → 0 ⇒ lim n = 0
n

 3 
3
3

 3n + (−1)n cos 3n 

 bằng:
Câu 83. Kết quả của giới hạn lim 


n −1

A.

3
.
2

B.

3.

C.

D. −1.

5.

n
 3n + (−1)n cos 3n 



 = lim  3n + (−1) cos 3n . Ta có :
Lời giải. lim 




 n −1

n −1
n



lim 3n = 3 = 3

 3n + (−1)n cos 3n 
1

n −1



⇒ lim 

n
n
 = 3.


(−1) cos 3n
(−1) cos 3n
n −1
1

0 ≤
≤
→ 0 ⇒ lim
=0

n −1
n −1
n −1

Chọn B.
Câu 84. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc (0;20 ) sao cho lim 3 +
là một số nguyên.
A. 1.
B. 3.

C. 2.
D. 4.

1

a− 2
2
lim an −1 = lim
n =a

3
3 + n2
an 2 −1 1
+1
Lời giải. Ta có 
⇒
lim
3
+
−
= 3 + a.
2

n

3 + n 2 2n
n

lim 1 = lim  1  = 0



 2 
2n


a ∈ (0;20 ), a ∈ ℤ
Ta có 

→ a ∈ {1;6;13}. Chọn B.

 a + 3 ∈ ℤ

Câu 85. Kết quả của giới hạn lim 2.3n − n + 2 là:
A. 0.

B. 2.

C. 3.

Lời giải. Ta có lim 2.3n − n + 2 = lim 3n . 2 −

D. +∞.
n

1
n
+ 2.  . Vì
 3
3n

an 2 −1 1
−
3 + n 2 2n






n
lim 3 = +∞

lim 3n = +∞


n
n
n
2
n

n
0≤ n ≤ 2 =
=
→ 0 ⇒ lim n = 0 
→
,

lim 2 − n + 2. 1  = 2 > 0
n ( n −1) n −1

3
Cn
3




 3 
3n

2


n
1

lim   = 0
 3 

do đó lim 2.3n − n + 2 = +∞. Chọn D.

Vấn đề 4. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Câu 86. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2 , tổng của ba số hạng đầu tiên
9
của cấp số nhân bằng . Số hạng đầu u1 của cấp số nhân đó là:
4
9
A. u1 = 3.
B. u1 = 4.

C. u1 = .
D. u1 = 5.
2
Lời giải. Gọi q là công bội của cấp số nhân, ta có :


 u1 = 2
q = − 1

u1 = 2 (1− q )
1− q

2
⇔
. Chọn A.

9 ⇔ 
3
3



1− q
9
2 1− q ) =
u = 2 1 + 1  = 3
=
S3 = u1 .
 (


4  1
 2 
1− q
4


1 1
1
Câu 87. Tính tổng S = 9 + 3 + 1 + + + ⋯ + n−3 + ⋯ .
3 9
3
27
A. S = .
B. S = 14.
C. S = 16.
D. S = 15.
2
Lời giải. Ta có









 27
 1 1
1 1

1
1
1
1

= .
S = 9 + 3 + 1 + + + ⋯ + n−3 + ⋯ = 9 1 + + 2 + 4 + ⋯ + n−1 + ⋯ = 9 




1
3 9
3
3 3
3
3

1−  2



1
 3 
CSN lvh: u1 =1, q =


3
Chọn A.

 1 1 1

1
Câu 88. Tính tổng S = 2 1 + + + + ⋯ + n + ⋯ .
 2 4 8

2
A. S = 2 + 1.
Lời giải. Ta có

B. S = 2.

C. S = 2 2.

1
D. S = .
2







 1 

 1 1 1
1




S = 2 1 + + + + ⋯ + n + ⋯ = 2 
 = 2 2. Chọn C.
 1 
2

 2 4 8
−
1

 2 
1
CSN lvh: u1 =1, q =


2
2 4
2n
Câu 89. Tính tổng S = 1 + + + ⋯ + n + ⋯ .
3 9
3
A. S = 3.

B. S = 4.

C. S = 5.

D. S = 6.

Lời giải. Ta có

n

2

 2
2 4
2n
2  2
1
S = 1 + + + ⋯ + n + ⋯ = 1 + +   + ⋯ +   + ⋯ =
= 3. Chọn A.


2
 3
3 9
3  3
3
1−
2
3
CSN lvh: u1 =1, q =
3

n +1

(−1)
1 1 1
Câu 90. Tổng của cấp số nhân vô hạn , − , ,...,
,... bằng:

2 6 18
2.3n−1
3
8
2
3
A. .
B. .
C. .
D. .
4
3
3
8
Lời giải. Ta có :







n +1 

(−1)
(−1)  1  1  3
1  1 1
1 1 1
 = . Chon D.
S = − + +⋯+

+ ⋯ = 1− + 2 + ⋯ + n−1  = 
 2  1  8
2 6 18
2.3n−1
2  3 3
3


1 + 
1


3
CSN lvh: u1 =1, q =−

3
 1 1  1 1 
1
1
Câu 91. Tính tổng S =  −  +  −  + ... +  n − n  + ... .
 2 3   4 9 
 2
3 
n +1

A. 1.

B.

2

.
3

C.

3
.
4

D.

1
.
2

Lời giải. Ta có
 1 1  1 1
1
1
S =  −  +  −  + ... +  n − n  + ...
 2 3   4 9 
 2
3 


 

1
1


 
 1 1


1
1
1
1
1 1


=  + + ⋯ + n + ⋯ −  + + ⋯ + n + ⋯ = 2 − 3 = 1− = .



 2 4
1
1
2 2
2
3
 1−
  3 9
1−


 
1
1
2

3
CSN lvh: u1 = q =
CSN
lvh
:
u
=
q
=


1
 

2
3
Chọn D.
Câu 92. Giá trị của giới hạn lim
A. 0.

B.

1− b
.
1− a

1 + a + a 2 + ... + a n
( a < 1, b < 1) bằng:
1 + b + b 2 + ... + b n
1− a

C.
.
D. Không tồn tại.
1− b

Lời giải. Ta có 1 + a + a 2 + ... + a n là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với
số hạng đầu là 1 và công bội là a , nên 1 + a + a 2 + ... + a n =
Tương tự: 1 + b + b 2 + ... + b n =

1(1 − b

n +1

1− b

)

n +1

=

1− b
.
1− b

1.(1 − a n +1 )
1− a

=

1 − a n +1
.
1− a