Phương pháp giải Toán về đường trung bình ..

Hớng dẫn học sinh giải Một số bài toán liên
quan đến đờng trung bình của Tam giác
A. Đặt vấn đề
Trong quá trình học tập bộ môn hình học học sinh lớp 8 còn bỡ ngỡ đối với
các bài toán chứng minh và còn gặp nhiều khó khăn trong việc giải các bài tập Vì
vậy việc cung cấp cho các em các bài toán mẫu , hớng dẫn các em đa cho các em
các bài toán cơ bản (bài toán gốc ) là việc làm hết sức cần thiết để các em làm
quen và học hỏi
Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã rút ra một số kinh nghiệm về việc
Hớng dẫn học sinh giải một số bài toán liên quan đến đờng trung bình của tam
giác
B. Giải quyết vấn đề
I> Khai thác bài toán gốc
. Bài toán 1-1
Cho tam giác cân ABC (AB=AC) .Gọi M là trung điểm của đờng cao AH,
gọi D là giao điểm của cạnh AB với CM . Chứng minh : AB=3AD

Nhận xét : Tam giác ABC cân (AB=AC)
Vậy đờng cao AH đồng thời là đờng gì ?
Dẫn đến HB=HC .Đã có H là trung điểm
của BC . Muốn làm xuất hiện đờng trung bình
ta làm nh thế nào?
( Kẻ AH // CD hoặc gọi E là trung điểm của
DB )
* Cách giải :
+C1 : Kẻ HE // CD .Ta có : HE là đờng trung bình của tam giác BDC nên
EB=ED(1)
DM là đờng trung bình của tam giác AEH nên DA=DE(2)
Từ (1) và (2) suy ra BE=ED=DA hay AB=3AD
+C2 : Gọi E là trung điểm của BD . Chứng minh AD=DE=EB
Trong bài toán trên nếu thay điều kiện tam giác cân ABC bởi tam giác bất kỳ và

đờng cao AH bằng đờng trung tuyến ta có bài toán sau
2.Bài toán 1-2
- 1 -
A
B
C
M
H
D
E

=
=
Cho tam giác ABC , trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của AM.D là giao
điểm của CI và AB . Chứng minh :BD = 2 AD.
Nhận xét
Bài toán này dễ dàng đa về bài
toán 1 và cách giải hoàn toàn tơng
tự .
Sau khi các em giải đợc bài toán này tôi mạnh dạn cho các em tiếp cận với các
bài toán về tỷ số nhằm tạo hứng thú học tập và niềm vui đối với các em
3 . Bài toán 1-3
Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC . Trên cạnh AB lấy điểm E sao
cho AB=3AE . Đoạn thẳng AM cắt CE tại I
a> Tính
IC
EI

b> tính tỷ số giữa diện tích hai tam giác AIC và diện tích tam giác ABC
Nhận xét

Ta nhận thấy giả thiết bài toán là kết luận
của bài toán 1 . Vậy liệu I có phải là trung
điểm của AM không
Muốn tính
IC
EI
ta chọn đoạn thẳng trung
gian và đa bài toán về bài toán 1
Cách giải
a> Gọi K là trung điểm của EB .Ta có AE=EK=KB=
3
AB
Nối KM .Ta có KM là đờng trung bình của tam giác BEC nên
EC =2KM (1)
EI là đờng trung bình của tam giác AKM nên KM = 2 EI (2)
Từ (1) và (2) suy EC = 2.2.EI =4EI =>
3
1
=
IC
EI
b> Ta có : CI là trung tuyến tam giác ACM nên
2
1
=


ACMS
AICS
(1)

Mặt khác AM là trung tuyến tam giác ABC nên
2
1
=


ABCS
ACMS
(2)
Từ (1)và(2) suy ra
4
1
2
1
.
2
1
==


ABCS
AICS
Vậy
4
1
=


ABCS
AICS

II> Các bài toán áp dụng tính chất của đờng trung bình
1. Bài toán 2-1
Cho đoạn thẳng AC và một điểm B nằm giữa A và C . Dựng các tam giác
vuông cân ABD và BCE (vuông ở B và cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AC)
- 2 -
=
A
B
C
M
I
E
K
// //
P
A
B
C
E
M
N
D
A
B
D
I
M
C
// //
_

_
Gọi M,N,P lần lợt là trung điểm của AD,DE,EC .Chứng minh rằng : Tam
giác MNP vuông cân
Phân tích bài toán
- Cần phân biệt khái niệm điểm nằm giữa
và điểm nằm chính giữa để tránh nhầm lẫn
-Xác định xem tam giác
MNP vuông cân tại đâu (N)
-Muốn chứng minh tam giác MNP
vuông cân tại N cần chứng minh điều gì ?
( MNP =90
0
, MN=NP)
-Muốn chứng minh MN=NP cần chứng minh .điều gì ?
Cách giải :
Ta có MN là đơng trung bình của tam giác DAE nên MN//AE,
AE=2MN .(1)
Tơng tự NP là đơng trung bình của tam giác EDC nên
NP//CD , CD=2NP(2)
Xét ABE và DBC có : AB=BD (do ABD cân )
ABE = DBC =90
0

BE=BC (Do EBC cân )
Vậy ABE=DBC (c.g.c)=>AE=DC (3)
Từ (1) ;(2);(3)suy ra MN =NP (*)
Mặt khác MNB=AEB( đồng vị )mà AEB=DCB
( BDC= BAE) Nên MNB =DCB
Do Np//CD nên BNP = BDC
Vậy MNB+BNP =MND=DCB+BDC=90

0
(**)
Từ (*)và(**)suy ra MNP vuông cân tại N
2. Bài toán 2-2
Cho tam giác ABC vuông cân tại A . P
là trung điểm của AB , trên cạnh AB lấy
một điểm M . Gọi N là trung điểm của
MC . E là giao điểm của đờng thẳng qua B
song song với AC Và đờng thẳng qua A
vuông góc với PN .Chứng minh rằng tam
giác BME vuông cân
Cách giải
Gọi K là trung điểm của BC . Ta có NK là đờng trung bình của tam giác CMB
suy ra : BM=2NK(1);
NK//AB
- 3 -
I
A
B
C
M
P N
K
E
I
Gọi I là giao điểm của PK và AE .Do PK là đờng trung bình cuả tam giác ABC
nên PK//AC mà AC//BE nên PK//BE .Lại có PA=PB(gt) nên PI là đờng trung bình
của tam giác ABE :
PI//BE và BE=2PI (2)
XétAPIvà PKN ta có:AP=KP=AB:2

API = PKN =90
0
PAI=IPN (Vì PAI+APN=APN+IPN=90
0
)
Vậy API= PKN (g.c.g)=>PI=NK (3)
Từ (1);(2);(3) Suy ra BM=BE(*)
Ta có MBE=BAC=90
0
(**)(do BE//AC)
Từ (*) và(**)suy ra tam giác BME vuông cân tại B
3 . Bài toán 2-3
Cho tam giác ABC ; M là một điểm nằm trên cạnh AB sao cho AB=4AM . N là
trung điểm của AC và D là một điểm nằm trên tia đối của tia CB sao cho BC=2CD
Chứng minh rằng 3 điểm M , N , P thẳng hàng
Cách giải
Gọi P là trung điểm của AB .Ta có PA=PB=AB:2 . Mặt khác theo giả thiết
AB=4AM => AB=4MA=4MP . NA=NC (gt) => MN là đờng trung bình của tam
giác APC nên MN//CP(1)
Gọi Q là trung điểm của BC
XétPBC và NQD có : NQ=PB=AB:2
PBC=NQD(đồng vị )
BC=QD
Vậy PBC= NQD(c.g.c)=>PCB = NQD =>PC//ND(2)
Từ (1)và(2) suy ra M ,N,D thẳng hàng
Nhận xét : Qua bài toán này củng cố kỹ năng chứng minh 3 điểm thẳng hàng
bằng cách sử dụng tiên đề Ơclit
- Bên cạnh việc cung cấp cho các em các bài tập sử dụng tính chất đờng trung
bình của tam giác tôi còn hớng dẫn các em giải bài tập sử dụng tính chất đờng
trung bình áp dụng vào tam giác vuông

III> Tính chất đờng trung bình áp dụng vào tam giác vuông
1 . Bài toán 3-1
- 4 -
A
B
C
D
N
Q
M
P
Cho tam giác cân ABC(AB =AC) phân giác BD .Qua D vẽ đờng vuông góc với
BD cắt BC ở E.Chứng minh rằng :BE=2CD
Phân tích bài toán
Để chứng minh BE= 2CD Ta tạo ra một
đoạn thẳng bằng BE:2 Sau đó chứng minh
đoạn thẳng này bằng CD
Cách giải
Gọi K là trung điểm của BE .
Trong tam giác vuông BDE có DK là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
DK=BE:2 (1)
Lại có tam giác BKD cân nên KBD=BDK
Mặt khác DKC =KBD + BDK =2 KBD =ABC=ACB
Suy ra tam giác DKC cân tại D : DK =DC (2)
Từ (1) và (2) suy ra DC=BE :2 hay BE=2CD
2 .Bài toán 3-2
Cho tam giác ABC vuông ở A có AB<AC . Kẻ đờng cao AH . trên đoạn HC lấy
điểm D sao cho HB=HD .Kẻ đoạn CI vuông góc với đờng thẳng AD , Chứng minh
tam giác AHI cân
Cách giải

Ta có ABD cân nên ABD =ADB .
Lại có ACB+ABD =BCK+ADB =90
0
nên
ACB=BCK
Gọi K là giao điểm của CI và AH .Ta có tam
giác ACK cân (phân giác CH đồng thời là đ-
ờng cao )nên AH=HK=AK:2(1)
Trong tam giác vuông IAK có IH là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
IH=AK:2 (2)
Từ (1) và(2) suy ra AH=HI hay tam giác AHI cân tại H
C > Kết thúc vấn đề
Sau khi hớng dẫn các em giải các bài toán liên quan đến đờng trung bình tôi thấy
các em nắm vững tính chất đờng trung bình và biết cách giải bài toán hình bằng
cách đa về các bài toán cơ bản đã có trong sách giáo khoa .
Trên đây là một ý kiến nhỏ bản thân tôi đa ra chắc chắn còn nhiều khiếm
khuyết. Mong các quí thầy cô đồng nghiệp góp ý./.
- 5 -
A
B
C
D
E
K
A
B
C
D
H
K

I