Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC Y DƯỢC

BÁO CÁO TÓM TẮT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC
BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU VÀ
PHÂN TÍCH PHỔ CỦA BIỂU DIỄN CHÍNH QUY
CỦA MỘT SỐ NHÓM LIE REDUCTIVE
THỰC THẤP CHIỀU

Mã số : ĐH2015 – TN05-03

Chủ nhiệm đề tài: TS Đỗ Thị Phương Quỳnh


ii

Mục lục
Trang bìa phụ

i

Mục lục

ii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

iv

Thông tin kết quả nghiên cứu

v

1 Từ công thức Poisson cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg

3

1.1

Công thức tổng Poisson cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Nhóm nhân của các số phức và biến đổi Fourier-Laplace

. . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Công thức vết Arthur-Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.1

Công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.2

Công thức vết ổn định

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 SL(2, R)
2.1

Xây dựng nhóm SL(2, R) và đại số Lie của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.1

Nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.2

Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.3

Nhóm con compact cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.4

Nhóm con Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.5

Phân tích Iwasawa và phân tích Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Biểu diễn của SL(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.1

Tương ứng Langlands hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3

Đặc trưng nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4

Công thức trên nhóm con nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.4.1

Tích phân quỹ đạo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.4.2
2.4.3

Công thức trên nhóm nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vế hình học của công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
8

2.4.4

Vế phổ của công thức vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.4.5

Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2

3

5

SU(2, 1)
3.1

10

Xây dựng nhóm SU(2, 1) và đại số Lie của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
10

3.1.2

Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.1.3

Nhóm con compact cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10


iii
3.1.4
3.2

3.3

Nhóm con Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Biểu diễn của SU(2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.2.1

Dãy phổ Hochschild-Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.2.2

Trường hợp chỉnh hình hoặc không chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Công thức vết trên nhóm con nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.3.1

Công thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.3.2

Tích phân quỹ đạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.3.3

Công thức trên nhóm nội soi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

14

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ

15


iv
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt


v

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Đơn vị: Trường Đại học Y Dược

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung:
Tên đề tài: Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie
Reductive thực thấp chiều
Mã số: ĐH2015 – TN05-03
Chủ nhiệm: TS. Đỗ Thị Phương Quỳnh
Cơ quan chủ trì: Đại học Y Dược Thái Nguyên
Thời gian thực hiện: 2015 - 2017
2. Mục tiêu:
Đề tài nghiên cứu giải tích điều hòa trên các nhóm Lie thực thấp chiều SL(2, R); SU(2, 1). Chúng
tôi phân loại các biểu diễn của các nhóm này. Thông qua biểu diễn cảm sinh, lượng tử hóa trường,
chúng tôi nghiên cứu công thức vết của biểu diễn tự đẳng cấu trên các hàm thuộc đại số Hecke, và
tính công thức vết trên các nhóm con nội soi tương ứng. Dùng công thức vết Arthur-Selberg chúng
tôi tìm ra công thức tổng Poisson trên mỗi nhóm Lie đó.
3. Tính mới và sáng tạo

Xây dựng được công thức tổng Poisson trên nhóm Lie thực thấp chiều bằng công cụ giải tích.
4. Kết quả nghiên cứu:
• Công thức tường minh về tích phân quỹ đạo trên các nhóm con nội soi của nhóm Lie SL(2, R); SU(2, 1).
• Công thức tính vết tường minh của các biểu diễn chuỗi rời rạc của các nhóm Lie trên.
• Định lý về công thức tổng Poisson cho mỗi nhóm Lie kể trên.
5. Sản phẩm:
5.1. Sản phẩm khoa học:
1. Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, " Automorphic representations of SL(2, R) and quantization
of fields", American research Journal of Mathematics, Vol 1 - No 2, 2015, p.25- 37.
2. Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, "Poisson summation and endoscopy for SU(2,1)" , East West Journal of Mathematics, Vol 17, No 2, 2015, p.101 - 116.
3. Do Ngoc Diep, "Do Thi Phuong Quynh, Poisson summation and endoscopy for Sp(4, R)" , SEAMS
Bull. Math. Vol 40, p 837 -856, 2016.
5.2. Sản phẩm đào tạo:
Đào tạo 01 nghiên cứu sinh.
Tên đề tài: "Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số lớp nhóm
Lie Reductive thực thấp chiều"
6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của kết quả
nghiên cứu:
Đề tài thực hiện cụ thể hóa một số lĩnh vực của Chương trình Langlands cho các nhóm thấp chiều
bằng các tính toán cụ thể. Kết quả thu được của đề tài cho một nhập môn dễ hiểu về Chương trình
Langlands. Vì vậy kết quả mà luận án thu được có thể làm tài liệu chuyên khảo cho học viên cao học,
nghiên cứu sinh, các nhà nghiên cứu chuyên ngành Toán giải tích, Giải tích điều hòa, Lý thuyết nhóm
Lie
Đề tài đưa ra những tính toán rất cụ thể và tường minh về công thức tổng Poisson cho hai nhóm


vi
SL(2, R); SU(2, 1) là công cụ cần thiết cho giải tích điều hòa.
Đào tạo, bồi dưỡng nhân lực: Đào tạo 1 tiến sỹ Toán học.
Nâng cao năng lực nghiên cứu của những người tham khảo, đặc biệt với chủ nhiệm đề tài.

Bổ sung 01 tài liệu tham khảo phục vụ cho việc nghiên cứu, giảng dạy và học tập của học viên
nghiên cứu về giải tích điều hòa.
Ngày 14 tháng 7 năm 2017
Tổ chức chủ trì
(ký, họ và tên, đóng dấu)

Chủ nhiệm đề tài
(ký, họ và tên)


vii
INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General information:
Project title: Automorphic representation and decomposion spectral of regular representation of
lowly dimensional real reductive Lie groups.
Code number: ĐH2015 – TN05-03
Coordinator: Do Thi Phuong Quynh, DA
Implementing institution: Thai Nguyen university of Medicine and Pharmacy
Duration: from 2015 to 2017
2. Objective(s):
The thesis researches about lowly dimensional real SL(2,R); SU(2,1); and their Lie algebras then we
given representations of Lie group. Through induction representation, quantization on field we research
trace formula of automorphic representations, and compute trace formula on endoscopy subgroup of
those Lie groups. Since Arthur-Selberg we find Poisson summation formula on each Lie group above.
3. Creativeness and innovativeness
Formulated the Sum Poisson formula on the low real Lie group dimensional with analytical tools.
4. Research results:
• 1. Explicit formula for orbital integrals in endoscopic subgroups of Lie groups SL(2, R); SU(2, 1).
• Explicit trace formula of discrete representations for orbital integrals in endoscopic subgroups
of Lie groups over there.

• Theorem of Poisson summation for each Lie groups mentioned above.
5. Products:
5.1. Scientific product: 1. Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, " Automorphic representations
of SL(2, R) and quantization of fields", American research Journal of Mathematics, Vol 1 - No 2, 2015,
p.25- 37.
2. Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, "Poisson summation and endoscopy for SU(2,1)" , East West Journal of Mathematics, Vol 17, No 2, 2015, p.101 - 116.
3. Do Ngoc Diep, "Do Thi Phuong Quynh, Poisson summation and endoscopy for Sp(4, R)" , SEAMS
Bull. Math. Vol 40, p 837 -856, 2016.
5.2. Training product: Train 01 doctoral.
Title of dissertation: “Automorphic representations and spectral decomposion of the regular representation of some real reductive Lie groups of low dimension.”
6.Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results:
The thesis show clearly Langlands program for low-dimensional groups, with specific calculations. The
results of the research for a straightforward introduction to the Langlands program.
Explicit formula for orbital integrals in endoscopic subgroups of Lie groups SL(2, R); SU(2, 1).
Training and retraining of human resources: To train a doctoral in Mathematics.
Capacity of the participants, especially the leader.
Additional 01 reference material for the research, teaching and learning of students, specialized
students in Analysis.


1

Mở đầu
1. Tính cấp thiết của vấn đề cần nghiên cứu
Trong giải tích điều hòa cổ điển trên R, công thức Poisson cho các hàm suy rộng là:
+∞

+∞

e−inx ,

δ(x − n) = 2π
n=−∞

n=−∞

trong đó δ là hàm Dirac. Công thức trên đóng vai trò rất quan trọng với một hàm f ∈ C0∞ (R) được
viết ở dạng
+∞

+∞

fˆ(m),

f (m) = 2π
m=−∞

trong đó
1
fˆ(m) =
2π

m=−∞
π

f (x)e−imx dx
−π

là biến đổi Fourier của f . Vế trái của công thức trên được xem là phân tích của biểu diễn chính quy
thành tổng các thành phần bất khả quy và vế phải được xem là tổng các giá trị biến đổi Fourier.

Chính công thức này có thể cho một phân tích trên không gian các hàm bình phương khả tích như
sau:

⊕

L2 (R/πZ) =

Cn ,
n∈Z

với Cn = C. Mặt khác, công thức này dễ dàng được phát triển trên ngôn ngữ nhóm cho các nhóm
sau: R, R∗+ , C∗ .
Bài toán được đặt ra là nghiên cứu để tìm ra công thức tổng Poisson tương tự như công thức
Poisson nói trên trong khuôn khổ giải tích điều hòa trừu tượng trên các nhóm nửa đơn hoặc reductive.
Công thức Poisson trừu tượng tổng quát chưa tồn tại nên chúng tôi tiếp cận đến bài toán này trên
lớp các nhóm Lie có hạng 1 là nhóm SL(2, R) hoặc phủ phổ dụng SU(1, 1) cho nên chỉ cần nghiên cứu
trường hợp SL(2, R) là đủ. Nhóm hạng 2 là SU(2, 1), trong các trường hợp này chúng tôi tính toán
tích phân quỹ đạo cụ thể.
Trong đề tài này, tôi sẽ trình bày trong 3 chương với kết cấu như sau :
Chương 1: Là chương chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi dẫn dắt từ công thức Poisson cổ điển
đến công thức vết Arthur-Selberg.
Chương 2: Nhóm SL(2, R), trình bày các kết quả kể trên cho SL(2, R).
Chương 3: Nhóm hạng 2 SU(2, 1), trình bày các kết quả kể trên cho SU(2, 1).
2. Mục tiêu
Đề tài có mục tiêu thể hiện tường minh các biểu diễn tự đẳng cấu thông qua lượng tử hóa và áp
dụng chúng vào việc phân tích phổ toán tử Laplace và phần rời rạc của biểu diễn chính quy của các


2
nhóm reductive thực thấp chiều. Từ đó dùng nội soi để viết công thức Poisson cho các nhóm SL(2, R)

và SU(2, 1).
3. Đối tượng
Các đối tượng được nghiên cứu là các biểu diễn tự đẳng cấu và việc tìm ra các thể hiện cụ thể
trong không gian các hàm có tính chất thích hợp. Sau đó chúng sẽ được dùng vào việc phân tích biểu
diễn chính quy trên không gian L2 (Γ/G), đặc biệt là phần phổ rời rạc o L2 (Γ/G).
4. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu các nội dung chính như sau:
• Biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm Lie thực thấp chiều cụ thể các nhóm hạng 1: SL(2, R), nhóm
hạng 2: SU(2, 1).
• Nhóm con nội soi cho các nhóm reductive thấp chiều kể trên.
• Phân tích phổ rời rạc của biểu diễn chính quy, công thức vết của biểu diễn và tổng Poisson.
5. Cách tiếp cận đề tài
Tiếp cận đề tài theo hướng sử dụng biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm Lie reductive sử dụng công
thức vết của Arthur-Selberg, sau đó chỉ ra vế phổ và vế hình học của công thức tổng Poisson cho 2
nhóm SL(2, R) và SU(2, 1).
6. Phương pháp nghiên cứu
Do đặc thù của việc nghiên cứu ví dụ cụ thể là phải vận dụng các lý thuyết trừu tượng để tính
toán ra kết quả cụ thể nên các phương pháp nghiên cứu chính trong luận án bao gồm:
• Biểu diễn cảm sinh.
• Lượng tử hóa hình học.
• Phân tích phổ toán tử Laplace suy rộng trên diện Riemann.
7. Nội dung và kết quả nghiên cứu


3

Chương 1

Từ công thức Poisson cổ điển đến
công thức vết Arthur-Selberg

1.1

Công thức tổng Poisson cổ điển

Định lý 1.1.1 Giả sử hàm f là khả tích tuyệt đối trên [−π; π] và thỏa mãn điều kiện Dini. Khi đó
chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối đến nửa tổng của hai giá trị giới hạn
+∞

cn (f )einx =
−∞

f (x+ ) + f (x− )
.
2

Đặc biệt nếu hàm là liên tục thì chúng ta có công thức nghịch đảo như khai triển Fourier
+∞

cn (f )einx .

f (x) =
n=−∞

Định lý 1.1.2 (Tổng Poisson ) Với mọi hàm ϕ ∈ C0∞ (R) trơn có giá compact ta có
+∞

+∞

ϕ(n) =
n=−∞

ϕ(m).
ˆ
m=−∞

Công thức này tương đương với dạng phân bố như sau:
+∞

+∞

e−inx .

δ(x − n) =
n=−∞

n=−∞

Trong đó δ là hàm Dirac và ϕ(m)
ˆ
là một biến đổi Fourier.
Định lý 1.1.3 Ta có phân tích sau:
L2 (R/2πZ,

1
dθ) =
2π

⊕

Cn ,

n∈Z

trong đó Cn là không gian một chiều với tác động của x ∈ R bằng phép nhân lên e2πinx .
Định lý 1.1.4
⊕

L2 (R) =

C1ξ dξ,
R


4
1.2

Nhóm nhân của các số phức và biến đổi Fourier-Laplace

Định lý 1.2.1 Ta có phân tích sau:
L2 (C∗ /2πZ × {1},

1 d|z|
d arg(z)) =
2π |z|

⊕

⊕

C1λ dλ,

Cn ⊕
n∈Z

R

trong đó Cn là không gian một chiều C1 với tác động của z ∈ C∗ như phép nhân với e−2πin arg z , Cλ
là không gian một chiều C1 với tác động của z ∈ C∗ như phép nhân với |z|−iλ−1 .
1.3

Công thức vết Arthur-Selberg

1.3.1

Công thức vết

Toán tử R(f ) được xác định một cách tự nhiên như tích phân:


R(f )ϕ =

f (x−1 γy) ϕ(y)dy.


Γ\G

γ∈Γ

Vì vậy, tác động này có thể được biểu diễn bởi một toán tử với hạch Kf (x, y) dạng
[R(f )ϕ](x) =

Kf (x, y)ϕ(y)dy,
Γ\G

trong đó
f (x−1 γy).

Kf (x, y) =
γ∈Γ

Vì hàm f là hàm có giá compact nên tổng này là hội tụ, và theo đó nó là hữu hạn. Cho x bất kỳ, cố
định và Kf thuộc lớp L2 (Γ\G × Γ\G) thì vết của một toán tử được xác định như sau:
tr R(f ) =

Kf (x, x)dx.
Γ\G

Theo giả thiết, nhóm con rời rạc Γ là hữu hạn sinh. Ký hiệu {Γ} là tập các phần tử đại diện của các
lớp liên hợp. Cho bất kỳ γ ∈ Γ ký hiệu nhóm con tâm của γ ∈ Ω ⊂ G là Ωγ , trong trường hợp đặc
biệt, Gγ ⊂ G. Theo định lý Fubini cho tích phân kép, chúng ta có thể đổi thứ tự của tích phân để có
tr R(f )

Vol(Γγ \Gγ )f (x−1 γx)dx.

=
γ∈{Γ}

1.3.2

Gγ \G

Công thức vết ổn định

Nhóm Galois Gal(C/R) = Z2 của trường phức C là tác động trên biểu diễn chuỗi rời rạc bởi đặc
trưng κ(σ) = ±1. Vì vậy tổng của các đặc trưng có thể được viết lại như tổng trên lớp ổn định của
các đặc trưng

∞

ε(σ)Θεn (f ),

tr R(f ) =
n=1 σ∈Z2

trong đó ε(σ) =


1

nếu σ

−1 nếu σ

là phần tử đơn vị
là liên hợp phức.


5

Chương 2

SL(2, R)
Xây dựng nhóm SL(2, R) và đại số Lie của nó

2.1
2.1.1

Nhóm Lie

Nhóm G = SL(2, R) là nhóm các ma trận thỏa mãn:
SL(2, R) =

2.1.2

g=

a

b

c

d

a, b, c, d ∈ R, det g = 1 .

Đại số Lie

Đại số Lie của G = SL(2, R) là g = sl(2, R) = H, X, Y
H=

1

0

0

−1

,X =

0

1

0

0

R

trong đó

,Y =

0

0

1

0

,

thỏa mãn hệ thức giao hoán tử Cartan:
[H, X] = 2X; [H, Y ] = −2Y ; [X, Y ] = H.
Đại số Lie của A là a = H

2.1.3

R,

đại số Lie của N là n = X

R.

b = a ⊕ n = H, X

R.

Đại số Lie của B là

Nhóm con compact cực đại

Nhóm G = SL(2, R) có tâm hữu hạn đẳng cấu với Z/2Z, và có duy nhất nhóm con compact cực
đại K (với độ chính xác đến liên hợp) là
K=

2.1.4

k(θ) = ±

cos θ

sin θ

− sin θ

cos θ

θ ∈ [0, 2π) ,

Nhóm con Borel

Nhóm SL(2, R) có nhóm con Borel
B=

a

b

0

d

a, b, d ∈ R, ad = 1 .


6
Nhóm con Borel này được phân tích duy nhất thành tích nửa trực tiếp của căn lũy đơn N và một

∼ R∗ và một nhóm con compact M = {±1}. Phân tích này chính là phân
xuyến chẻ ra cực đại T =
+
tích Cartan G = BK, B = M A N .
Định nghĩa 2.1.1 Một nhóm con nội soi của G = SL(2, R) là thành phần liên thông của phần tử
đơn vị trong tâm hóa của một phần tử chính quy nửa đơn trong G.
Mệnh đề 2.1.1 Nhóm con nội soi của G = SL(2, R) là chính nó hoặc SO(2).
Nhận xét: Nhóm nội soi SL(2, R) hay tâm {±1} là nhóm tầm thường và chỉ có nhóm nội soi không
tầm thường là SO(2).
2.1.5

Phân tích Iwasawa và phân tích Cartan

Trong mục này chúng tôi tính toán phép dựng biểu diễn tự đẳng cấu dựa vào bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.1 Tồn tại tương ứng một - một giữa các biểu diễn 2n − 1 chiều bất khả quy của SO(3) và
các biểu diễn n chiều của SO(2).
Phân tích Iwasawa AN K được biết đến như sau: mọi phần tử
a b
g=
có một phân tích duy nhất ở dạng sau:
c d
a
c
2.2

b
d

=

y 1/2
0

0
y

−1/2

1

y −1/2 x

cos θ

− sin θ

0

1

sin θ

cos θ

,

(2.1)

Biểu diễn của SL(2, R)

Định lý 2.2.1 Tập của các toán tử bện của SL(2, R) từ các biểu diễn chuỗi rời rạc đến tập các biểu
diễn tự đẳng cấu trong o L2 (Γ\ SL(2, R)) của SL(2, R) đẳng cấu với tập Sk (Γ) của các dạng modular,
tức là
HomSL(2,R) (Dk , o L2 (Γ\ SL(2, R)) ∼
= Sk (Γ).
2.2.1

Tương ứng Langlands hình học

Định lý 2.2.2 (Tương ứng Langlands hình học) Tồn tại một song ánh
[π1 (Σ), SO(3)] ←→ A(SL(2, R))
giữa tập của các lớp tương đương của biểu diễn của nhóm cơ bản π1 (Σ) trên diện Riemann Σ =
Γ\ SL(2, R)/ SO(2) và tập A(SL(2, R)) của các lớp tương đương của biểu diễn tự đẳng cấu của SL(2, R).
2.3

Đặc trưng nhóm

Chú ý 2.3.1 Công thức vết ổn định được xác định duy nhất bởi hạn chế của nó trên nhóm con
compact cực đại K = SO(2)
SΘn =

−
Θ+
sin nθ
n − Θn
.
=
iθ
−iθ
e −e

sin θ


7
2.4

Công thức trên nhóm con nội soi

Định lý 2.4.1 (Phân tích phổ) Trong không gian biểu diễn cảm sinh của IndG
B χλ,ε , chọn
Hn =

f ∈ H|π(

cos θ

sin θ

− sin θ

cos θ

)f = einθ f

.

là các không gian một chiều và
Hn .

H=

n∈Z

Phần rời rạc R|o L2 (Γ\ SL(2,R)) của biểu diễn chính quy được phân tích thành tổng của các biểu diễn rời
rạc πn± trong không gian
+
Ds+1
=

Hn
n≡ε

mod 2,n≥m

hay
−
Ds+1
=

Hn ,
n≡ε

mod 2,n≤−m

s ∈ Z, s > 0 và s + 1 ≡ ε mod 2 và tồn tại m ∈ Z, m = s + 1, m > 0, cảm sinh từ χiλ,ε = |a|iλ (sign a)ε
và giới hạn của biểu diễn chuỗi cơ bản π0± trong D1+ hay D1− như hai thành phần của biểu diễn
π 0,1 = IndG
B χ0,1 , cảm sinh từ đặc trưng χ0,1 .
Chú ý 2.4.1 Trong không gian

−m

Hn số chiều là 2m − 1 các biểu diễn hữu hạn chiều Vm

được xác định.
Hệ quả 2.4.2 Cho bất kỳ hàm ϕ thuộc lớp C0∞ (G), toán tử πn± (ϕ) là lớp vết và vết là một hàm suy
rộng ký hiệu là Θ±
n (theo Harish-Chandra), được xác định duy nhất bởi hạn chế của chúng trên nhóm
con compact cực đại K = SO(2) và
m(πn± )Θ±
n (ϕ),

tr R(ϕ) =
n∈Z,n≥0,

với bội m(πn± ) nào đó.
2.4.1

Tích phân quỹ đạo

2.4.2

Công thức trên nhóm nội soi

a. Phép chuyển nội soi
Trường hợp 1 : γ = diag(a, a−1 ). Trong trường hợp này dựa vào phân tích ở dạng Iwasawa cho mỗi
phần tử của nhóm G = SL(2, R), tích phân quỹ đạo được tính là:
Oγ (f )

=

f(
R

a (a − a−1 )x
0

a−1

)dx = |a − a−1 |−1 Oγ (f˜),

trong đó f˜ là kết quả của tích phân theo biến x.
Tích phân là hội tụ tuyệt đối, hội tụ đều và vì vậy nó là một hàm trơn của a ∈ R∗+ . Vì thế phép
chuyển nội soi trong trường hợp này là:
f H (γ) = ∆(γ)Oγ (f ),

∆(γ) = |a − a−1 |


8
là một hàm trơn trên nhóm nội soi H.
cos θ
sin θ
Trường hợp 2 : γ = kθ =
.
Tóm lại, chúng ta thấy rằng trong trường hợp
− sin θ cos θ
γ = k(θ) cũng tồn tại một phép chuyển nội soi là hàm số liên tục f H thỏa mãn:
f H (γ) = ∆(γ)(Oγ (f ) − Owγ (f )) = ∆(k(θ))SOγ (f ),
trong đó ∆(k(θ)) = −2i sin θ, SOγ (f ) = (Oγ (f ) − Owγ (f )).
Định lý 2.4.2 Tồn tại một hàm số ε : Π → {±1} sao cho trong nhóm Grothendieck của vành biểu

diễn chuỗi rời rạc có
σG =

ε(π)π,
π∈Π

ánh xạ σ → σG là ánh xạ đối ngẫu của biến đổi hình học, nếu cho bất kì f trong G = SL(2, R) thì tồn
tại duy nhất f H trên nhóm con nội soi H của SL(2, R) nên ta có hệ thức sau:
tr σG (f ) = tr σ(f H ),
trong đó Π là L-gói của phép biểu diễn của G = SL(2, R).
Định lý 2.4.3 Cho π(f ) là một biểu diễn chuỗi rời rạc trên nhóm SL(2, R), khi đó
tr π(f ) =

1
#S ϕ

˜ s (fˇH ).
s, π Σ
s∈S ϕ

d. Công thức tổng Poisson
2.4.3

Vế hình học của công thức vết

Định lý 2.4.4 Công thức vết cho biểu diễn chính quy của SL(2, R) trong không gian các dạng nhọn
được phân tích thành tổng của các vết của các biểu diễn tự đẳng cấu với bội hữu hạn được chuyển
thành công thức tổng Poisson cải biên

γ∈Γ∩H

f (x−1 γx)dx,

ε(γ)vol(Γ ∩ H)

ε(γ)Oγ (f ) =

H\G

γ∈Γ∩H

trong đó Oγ (f ) là tích phân quỹ đạo, vol(Γ ∩ H) là thể tích của Γ ∩ H.
2.4.4

Vế phổ của công thức vết

Định lý 2.4.5 (Gelfand-Graev-Piateski-Shapiro) Cho hàm bất kỳ f ∈ C0∞ (SL(2, R)) có giá compact, toán tử R(f )|o L2 (Γ\ SL(2,R)) là lớp vết và mỗi thành phần bất khả quy của bội hữu hạn
R(f )|o L2 (Γ\ SL(2,R)) =

m(π)π(f ),
π∈A(SL(2,R))

trong đó m(π) = dimC HomSL(2,R) (Dk , o L2 (Γ\ SL(2, R)).


9
2.4.5

Công thức tổng Poisson

Kết hợp các công thức cho vế phổ và vế hình học ta đi đến công thức Poisson.
Định lý 2.4.6 Vết tr R(f ) của thu hẹp của biểu diễn chính quy trên phần parabolic nhọn o L2 (G)
được tính bởi công thức sau:
tr

˜ γ (f )
ε(γ)vol(Γ ∩ H)O

m(π)π(f ) =
˜
γ∈Γ∩H
ε(γ)=±1

π∈tr A(G)

vol(Γ ∩ H)SOγ (f H )

=
γ∈Γ∩H


10

Trc ti¶n chng ta gii thi»u v• c§u trc v bi”u di„n unita cıa nhm

trong

.

l ma tr“n cıa d⁄ng ton phng

K hi»u

l ⁄i sŁ Lie cıa nhm Lie

Łi hæp Cartan tng øng cho ⁄i sŁ Lie

Nhm con compact cc ⁄i

l nhm Lie con cıa

Nhm con Borel cıa

, c ⁄i sŁ lie

,

l Łi hæp Cartan cıa nhm

cng æc k hi»u l

cıa

gm c¡c ma tr“n vi gi¡ tr ri¶ng l +1

l mºt nhm con parabolic cc ti”u

.

11
mà đại số Lie của nó gồm các ma trận với giá trị riêng −1
b=

X ∈ g θ(X) = −X .

Mệnh đề 3.1.1 (Mô tả quỹ đạo) Không gian b∗ được chia thành hợp rời của các quỹ đạo đối phụ
hợp B:
a. Hai nửa không gian Ω± chứa các phiếm hàm dạng F = tT ∗ + xX ∗ + yY ∗ + zZ ∗ ,
Ω+ = {(t, x, y, z) ∈ R4 |z > 0},
Ω− = {(t, x, y, z) ∈ R4 |z < 0}.
b. Một họ của các trụ với đáy hyperbolic
Ωα = {(t, x, y, 0) ∈ R3 × {0}|xy = α}, α > 0.
c. Bốn nửa mặt phẳng tương ứng với trường hợp xy = 0 nhưng x = y
Ωx>0 = {(t, x, 0, 0) ∈ R4 |x > 0},
Ωx<0 = {(t, x, 0, 0) ∈ R4 |x < 0},
Ωy>0 = {(t, 0, y, 0) ∈ R4 |y > 0},
Ωy<0 = {(t, 0, y, 0) ∈ R4 |y < 0}.
d. Gốc tọa độ
Ω = {(0, 0, 0, 0)}.
Mệnh đề 3.1.2 Đại số con l = C(X ± iY ) ⊕ CZ ⊂ uC là các phân cực dương tại ±Z ∗ ∈ Ω± .
Chú ý 3.1.3 Tác động đối liên hợp của K trong g∗ làm cho tập b∗ bất biến.
3.2
3.2.1

Biểu diễn của SU(2, 1)
Dãy phổ Hochschild-Serre

Chúng ta có thể xây dựng một dãy phổ Hochschild-Serre theo cách chọn lọc sau: Xét một trọng
trội λ + α31 biểu diễn Vλ∗ của kC là biểu diễn tầm thường trên p+ mở rộng đến một biểu diễn ξ của

e = p+ ⊕ kC . Tác động của h+ trong V λ+α31 là ξ +

1
2

tr adb1 . Ký hiệu H± là không gian của biểu diễn

∞
T± của B Ω± và ký hiệu H±
là không gian con của các véc tơ trơn. Vì dimC (pC ) = 2, chúng ta có

∧q (h+ ) = 0, cho mọi q ≥ 3. Dễ dàng để xác định toán tử đối biên Hochschild-Serre
∞
∞
(δ± )λ,q : ∧q (h+ )∗ ⊗ V λ+α31 ⊗ H±
→ ∧q+1 (h+ )∗ ⊗ V λ+α31 ⊗ H±

và công thức toán tử liên hợp đối ngẫu của chúng là (δ± )∗λ,q . Dãy phổ Hochschild-Serre hội tụ
∞
H r (e1 ; H s (M ; V λ+α31 ⊗ H±
)) =⇒ H q (B; b1 , Vλ )
r+s=q


12
3.2.2

Trường hợp chỉnh hình hoặc không chỉnh hình

Ký hiệu Hqλ,± là phần giao (ker(δ± )λ,q ) ∩ ker(δ± )λ,q )∗

λ
λ
Định lý 3.2.1 a. πλ |B1 = π qλ (e)|B1 = dim(Hqλ,−
)T+ ⊕ dim(Hqλ,+
)T−

qλ qλ
m∈Z [dim(Hλ,− )σm Tm,+

b. πλ |B = π qλ (e)|B =
3.3

λ
⊕ dim(Hqλ,+
)qσλm Tm,− ]

Công thức vết trên nhóm con nội soi

3.3.1

Công thức tổng quát

Đối với trường hợp cho G = SU(2, 1) là nhóm compact địa phương, Γ là nhóm con rời rạc của G
và R là biểu diễn chính quy của G trên L2 (Γ\G), f ∈ C0∞ (SU(2, 1)) là một hàm trơn có giá compact.
Nếu ϕ là một hàm trong không gian biểu diễn thì tác động của biểu diễn cảm sinh IndG
B χ là hạn chế
của biểu diễn chính quy phải R trên không gian cảm sinh của biểu diễn cảm sinh.
R(f )ϕ =

f (x−1 y)ϕ(y)dy

f (y)ϕ(xy)dg =
G

G

=

f (x−1 γy))ϕ(y)dy

(
Γ\G γ∈Γ

Ta cũng có công thức tính vết tương tự các nhóm trước như sau:
tr R(f )

f (x−1 γx)dx.

V ol(Γγ \Gγ )

=

Gγ \G

γ∈{Γ}

3.3.2

Tích phân quỹ đạo

a. Tích phân quỹ đạo
Chúng ta tính toán tích phân quỹ đạo trong 2 trường hợp cụ thể như sau:
+ Trường hợp 1: γ = diag(a1 , a2 , a3 ), a1 a2 a3 = 1 với ai đôi một khác nhau. Do phân tích Iwasawa,
tích phân quỹ đạo được tính như sau:
= |a1 − a2 |−1 |a2 − a3 |−1 |a1 − a3 |−1 Oγ (f˜)

Oγ (f )

Tích phân trên là hội tụ đều và tuyệt đối và cũng là một hàm trơn. Vậy ta có thể viết
f H (γ) = ∆(γ)Oγ (f ), ∆(γ) =

|ai − aj |
1 i
là hàm trơn trên nhóm nội soi H.

+ Trường hợp 2:γ =

kθ

0

0

1

cos θ


= − sin θ

0

sin θ
cos θ
0


0

0
1

Chúng ta lại có x = mauk và

+∞

Ok(θ) (f )

sign(t − 1)f˜

=
0

= F (sin θ).
b. Tích phân quỹ đạo ổn định

cos θ

 −1
−t1 sin θ

0

t1 sin θ
cos θ
0


0

0
1

dt


13
Cho fµ là giả hệ số của biểu diễn chuỗi rời rạc πµ khi đó κ-tích phân quỹ đạo của phần tử chính
quy γ trong T (R) được cho bởi
Oγκ (fµ )

κ(x)fµ (x−1 γx)dx˙

=

(3.1)

Gγ \G
−1
κ(w)ΘG
µ (γw ) =

=
sign(w)=1

κ(w)Θwµ (γ −1 ),

(3.2)

sign(w)=1

Điều này có được là do có một song ánh tự nhiên giữa lớp kề trái và lớp kề phải.
3.3.3

Công thức trên nhóm nội soi

a. Phép chuyển nội soi
Nhân tử chuyển ∆(γ, γH ) được cho bởi
−1 −1
∆(γ, γH ) = (−1)q(G)+q(H) χG,H (γ)∆B (γ −1 ).∆BH (γH
)

với mọi đặc trưng xác định như sau χG,H xác định như sau. Cho ξ là một đặc trưng của phủ hai lá
H1 của H, khi đó χG,H (γ −1 ) = eγ

ρ−ρH +ξ

xác định một đặc trưng của H, tương ứng với h, bởi đặc

trưng đó là tầm thường trên thớ của phủ.
b. Tổng Poisson và nội soi

Định lý 3.3.1 Tồn tại một hàm ε : Π → {±1} sao cho trong nhóm Grothendieck (là nhóm sinh từ
nửa nhóm các biểu diễn tự đẳng cấu và K đồng cấu nhóm với một nhóm Aben) của biểu diễn chuỗi
rời rạc,
σG =

ε(π)π,
π∈Π

ánh xạ σ → σG là ánh xạ đối ngẫu của biến đổi hình học, cho bất kỳ hàm f trên G = SU(2, 1), tồn
tại duy nhất f H trên H sao cho
tr σG (f ) = tr σ(f H ),
trong đó Π là L-gói của phép biểu diễn của SU(2, 1).
Định lý 3.3.2 Cho π(f ) là biểu diễn chuỗi rời rạc của nhóm SU(2, 1) khi ấy ta có công thức vết được
xác định như sau:
tr π(f ) =

1
#S ϕ

s, π Σs (fˇ).
s∈S ϕ

Định lý 3.3.3
tr R(f )o L2 (Γ\ SU(2,1)) =

m(π)SΘπ (f ) =
Πµ π∈Πµ

∆(γ, γH )SO(fµ ),
Πµ

trong đó
SΘπ (f ) =

κ(π)Θπ (f )
π∈Π

là tổng của các đặc trưng của các đặc trưng Harish-Chandra của chuỗi rời rạc chạy trên lớp liên hợp
ổn định của π và
SO(fµ ) =

κ(πλ )O(fλ )
λ∈Πµ

là tổng theo các đặc trưng κ : Πµ → {±1}.


14

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
KẾT LUẬN
Kết quả chính đạt được trong đề tài bao gồm
1. Công thức tường minh về tích phân quỹ đạo trên các nhóm con nội soi của nhóm Lie SL(2, R), SU(2, 1).
2. Công thức tính vết tường minh của các biểu diễn chuỗi rời rạc của các nhóm Lie trên.
3. Định lý về công thức tổng Poisson cho mỗi nhóm Lie kể trên.
Kiến nghị một số phương án nghiên cứu tiếp theo
Tôi đề nghị một số phương án nghiên cứu tiếp theo cho luận án như sau:
1. Tính công thức tích phân quỹ đạo trên nhóm nội soi của nhóm SL(3, R),Sp(4, R), từ đó đưa ra
công thức tính vết cho biểu diễn của nhóm Lie để dẫn đến định lí về tổng Poisson cho nhóm
này.

2. Với cách nghiên cứu hoàn toàn tương tự ta có thể tính toán công thức vết, tổng Poisson tường
minh cho các nhóm có hạng cao hơn 2.


15

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ
1. Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (2015), " Automorphic representations of SL(2, R) and
quantization of fields", American research Journal of Mathematics, Vol 1 - No 2, p 25- 37.
2. Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (2015), "Poisson summation and endoscopy for SU(2, 1)",
East-West J of Mathematics, Vol 17, No 2, p 101 - 116.
3. Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh (2016), "Poisson summation and endoscopy for Sp(4, R)",
SEAMS Bull. Math, vol 40, p.837-856.