Bài tập Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

THI ONLINE: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
Câu 1.
Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của
hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Câu 2.
Cho điểm S không thuộc mặt phẳng chứa hình thang ABCD (AB // CD và AB > CD). Tìm giao
tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Câu 3.
Cho bốn điểm A, B, C, D không thuộc cùng một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD
lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC. Tìm giao tuyến của (BCD)
và (MNP).
Câu 4.
Cho Δ ABC nằm trong mặt phẳng (P) và đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) không song
song với AB, AC. S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) và A’ là một điểm thuộc SA. Xác
định giao tuyến của hai mặt phẳng (A’; a) và (ABC).
Câu 5.
Cho tứ diện A.BCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên trong tam giác
ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a) (AMN) và (BCD)
b) (DMN) và (ABC)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình bình hành ABCD. Tìm giao
tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Giải

Dễ dàng thấy rằng, điểm S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Như vậy, để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng này, ta chỉ cần tìm thêm một điểm chung
nữa.
Trong mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD, lấy điểm O sao cho: O = AC ∩ BD.
Khi đó,
 O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC)
 O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD).
Do vậy O là 1 điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Vậy, SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và(SBD).
Câu 2. Cho điểm S không thuộc mặt phẳng chứa hình thang ABCD (AB // CD và AB > CD).
Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Giải

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


Dễ dàng thấy rằng, điểm S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Như vậy, để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng này, ta chỉ cần tìm thêm một điểm chung
nữa.
Ta thấy, AB > CD. Kẻ đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại I.
Khi đó,
 I ∈ AD mà AD ⊂ (SAD) ⇒ I ∈ (SAD)
 I ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ I ∈ (SBC)
Do đó, I là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Vậy, SI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Câu 3. Cho bốn điểm A, B, C, D không thuộc cùng một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng AB,
AC, BD lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC. Tìm giao tuyến của
(BCD) và (MNP).

Giải

Vì P ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ P là một điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD).
Bây giờ, chúng ta cần tìm thêm một điểm chung nữa. Vì MN không song song với BC nên kẻ
đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại I.
Khi đó,
 I ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP)
 I ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ I ∈ (SBC)
Do vậy, I là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).
Vậy, PI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).
Câu 4. Cho Δ ABC nằm trong mặt phẳng (P) và đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) không
song song với AB, AC. S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) và A’ là một điểm thuộc SA.
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (A’; a) và (ABC).
Giải

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


Kẻ đường thẳng AB cắt đường thẳng a tại M. Nối A’M. Khi đó,
 A’M ⊂ (A’; a) và M ∈ (A’; a).
 M ∈ AB mà AB ⊂ (ABC) ⇒ M ∈ (ABC)
Vậy M là một điểm chung của hai mặt phẳng (A’;a) và (ABC).
Kẻ đường thẳng AC cắt đường thẳng a tại N. Nối A’N. Khi đó,
 A’N ⊂ (A’; a) và N’ ∈ (A’; a).
 N ∈ AC mà AC ⊂ (ABC) ⇒ N ∈ (ABC)
Vậy N là một điểm chung của hạ mặt phẳng (Á’; a) và (ABC).
Do đó, MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (A’; a) và (ABC).
Câu 5. Cho tứ diện A.BCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên trong

tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a) (AMN) và (BCD)
b) (DMN) và (ABC)
Giải

a) Kẻ AM cắt BD tại E.
Khi đó,

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


∈ AM mà AM ⊂ (AMN) ⇒ E ∈ (AMN)
 E ∈ BD mà BD ⊂ (BCD) ⇒ E ∈ (BCD)
Do đó, E là một điểm chung của hai mặt phẳng (AMN) và (BCD).
Kẻ AN cắt CD tại F.
Khi đó,
 F ∈ AN mà AN ⊂ (AMN) ⇒ F ∈ (AMN)
 F ∈ CD mà CD ⊂ (BCD) ⇒ F ∈ (BCD)
Do đó, F là một điểm chung của hai mặt phẳng (AMN) và (BCD).
Vậy, EF là giao tuyến của hi mặt phẳng (AMN) và (BCD).
b) Kẻ DM cắt AB tại P.
Khi đó,
 P ∈ AB mà AB ⊂ (ABC) ⇒ F ∈ (ABC)
 P ∈ DM mà DN ⊂ (DMN) ⇒ P ∈ (DMN)
Do đó, P là một điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DMN).
Kẻ DN cắt AC tại Q.
Khi đó,
 Q ∈ AC mà AC ⊂ (ABC) ⇒ Q ∈ (ABC)

 Q ∈ DN mà DN ⊂ (DMN) ⇒ Q ∈ (DMN)
Do đó, Q là một điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DMN).
Vậy, PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (DMN).
E

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5