Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức chương 1 chủ đề 13





Bài 102. Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn M in a  b; b  c; c  a  0 và





a2  b2  c2  2 ab  bc  ca .
ab
bc
ca
1

 2
�
2
2
2
2
a b
b c
c a
2

Chứng minh rằng:

2

Phân tích và lời giải
Trước hết ta phân tích các giả thiết của bài toán, từ





M in a  b; b  c; c  a  0 ta suy ra được trong các tổng trên không có tổng nào
bằng không và từ giả thiết thứ hai ta thu được trong các biến a, b, c chỉ có có thể có
một biến bằng 0. Do đó ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại a  b; c  0 và các hoán
vị của nó. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy không thể đánh giá trực tiếp tử hoặc
mẫu của các biểu thức. Do đó ta hướng đến biến đổi các biểu thức trước. Chú ý đến

ab

a2  b2

phép biến đổi
với



ab a2  b2
a2  b2

 . Để đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra ta nhân

2 . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành



2ab a2  b2
a2  b2





2bc b2  c2
b2  c2





2ca c2  a2
c2  a2

Đến đây áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được



2ab a2  b2



Áp dụng tương tự ta được



2bc b2  c2



b2  c2



2ca c2  a2

2bc
� 2 2;
b c

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được



2ab a2  b2
a b
2

2





2bc b2  c2
b c

2

2



�1

2ab.2ab
2ab

a2  b2
a2  b2

�

a2  b2



c2  a2



2ca c2  a2



c a
2



2

2ca
�2
c  a2

2ab
2bc
2ca
� 2
 2 2 2
2
a  b b  c c  a2

Khi đó phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

2ab
2bc
2ca


�1
a2  b2 b2  c2 c2  a2







2





2



2

a b
b c
c a
2ab
2bc
2ca



3



a2  b2 b2  c2 c2  a2
a2  b2

b2  c2
c2  a2

Để ý là

Lúc này áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

 a  b

2

a2  b2

 b  c


2

b2  c2


Do đó ta có

 c  a




2

c2  a2

 2a  2b  2c
�



2 a2  b2  c2

2



  8 ab  bc  ca  4

2 a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca



2 a2  b2  c2







2 ab  bc  ca

2ab

2bc
2ca


�1
a2  b2 b2  c2 c2  a2

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b; c  0 và
các hoán vị.
Bài 103. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
rằng:

a  b  c  1. Chứng minh

ab
bc
ca
1


�
a  b  2c
b  c  2a
c  a  2b 2
Phân tích và lời giải
Quan sát bất đẳng thức trên ta thấy được một số ý tưởng tiếp cận như sử
dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki để khử các căn bậc hai, đổi biến để

đơn giản hóa giả thiết,…
Cách 1: Trước hết với ý tưởng khử các căn bậc hai, ta chú ý đến đánh giá bằng bất
đẳng thức Bunhiacopxki như sau



 







4 a  b  2c  1  1  2 a  b  2c � a  b  2 c



2

Khi đó kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ta được

ab

a  b  2c

2 ab





4 a  b  2c

�

1 � ab
ab �
� �

�
�
2
a b2 c
b  c�
�a c
�
2 ab

Áp dụng tương tự ta có

bc
1 � bc
bc �
ca
1 � ca
ca �
� �

�

;
� �

�
� c  a  2b 2 � a  b
�
b  c  2a 2 �
a

b
a

c
b

c
�
�
�
�
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

ab
bc
ca
1


�
a  b  2c

b  c  2a
c  a  2b 2





a b c 

1
2

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c 

1
.
9

a; y  b; z  c . Từ giả thiết ta suy ra x  y  z  1.

Cách 2: Đặt x 

Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành

xy
x2  y2  2z2



yz

y2  z2  2x2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được



 



zx

1
�
z2  x2  2y2 2



 



4 x2  y2  2z2  1  1 2 x2  y2  2z2 � x  y  2z

2

Do đó ta có

xy
x2  y2  2z2





2xy

4 x2  y2  2z2



2xy
1 � xy
xy �
�
� �

�
x  y  2z 2 �x  z y  z �

Áp dụng tương tự ta được

1 � yz
yz �
� �

;
�
2
2

2
2
x

y
x

z
�
�
y  z  2x
yz

1 � zx
zx �
� �

�
z2  x2  2y2 2 �x  y y  z �
zx

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
– Website chuyên tài liệu đề thi file word


xy
x2  y2  2z2

yz



y2  z2  2x2

xyz 1
�

2
2
z2  x2  2y2
zx



Bất đẳng thức được chứng minh xong.

1 1 1
   1. Chứng minh rằng:
a b c

Bài 104. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

b c c a a  b
 2  2 �2
a2
b
c
Phân tích và lời giải
Từ giả thiết của bài toán thì suy nghĩ rất tự nhiên là đổi biến

x

1
1
1
; y  ; z  , khi đó giả thiết trở thành x  y  z  1 và bất đẳng thức được
a
b
c

viết lại là



  y  z  x   z  x  y

x2 y  z
yz

2

2

zx

xy

�2

Quan sát bất đẳng thức trên ta có các cách xử lý như sau

Cách 1: Chú ý đến dụng bất đẳng thức Cauchy ta được các đánh giá

 x  y
xy �

2

4

 y  z
; yz �
4

Khi đó ta được bất đẳng thức sau



  y  z  x   z  x  y

x2 y  z
yz

2

2

xy

2

4

2

zx

 z  x
; zx �

�



4x2
4y2
4z2


y z
z x
xy

 

 



Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta có







2

4 x yz
4x2
4y2
4z2


�
 2 x y z  2
y z z x x  y 2 x y z





Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c  3 .
Cách 2: Biến đổi bất đẳng thức thành

�1 1� �1 1 � �1 1 � 1
x2 �  � y2 �  � z2 �  ��
�y z � �z x � �x y � 2
Theo một đánh giá quen thuộc ta có

�1 1�
x2 �  �
�y z �
�1 1 �
y2 �  �
�z x �
�1 1 �
z2 �  �
�x y �

�1 1� 4x2
x2
y  z �  ��
y z
�y z � y  z
2
�1 1 � 4y2
y
z  x �  ��
z x
�z x � z  x
2
�1 1 � 4z2
z
x  y �  ��
xy
�x y � x  y













Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

�1 1� �1 1 � �1 1 � 4x2
4y2
4z2
x2 �  � y2 �  � z2 �  ��


�y z � �z x � �x y � y  z z  x x  y
Đến đây đánh giả tương tự như cách 1 hoặc có thể áp dụng bất đẳng thức
Bunhiacopxki như sau đây

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


2
2
� 2
�
��4x  4y  4z �

�y  z z  x x  y
�
�
2
�
2
z
x  y � 2 x  y  z  2
�
xy
�

4x2
4y2
4z2


 2 �x  y  y  z  z  x
�
y z z x x y



 

 

� x
y
�2�

yz
z x 
� yz
z

x
�







Vậy bài toán được chứng minh xong.
Bài 105. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
2

2



2



2

� 2a � � 2b � � 2c � 9 a  b  c
1  � �

1
1 � �
�
� �
b
c
�
� �
� � a � ab  bc  ca
Phân tích và lời giải

Để ý đến các đại lượng vế trái của bất đẳng thức ta nhận thấy các ý tưởng
tiếp cận bài toán như khai triển rồi đánh giá bằng bất đẳng thức Cauchy hoặc sử



 



2

dụng đánh giá quen thuộc 3 x2  y2  z2 � x  y  z . Ta đi phân tích các ý tưởng
đó theo các cách sau
Cách 1: Triển khai vế trái ta được
2

2

2

� 2a � � 2b � � 2c �
�a b c � �a2 b2 c2 �
1  � �
1
1  �  3  4�   � 4� 2  2  2 �
�
� �
c
a �
� b� � c� � a�
�b c a � �b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

� a2 � � b2 � � c2 � �a b c �
1  2 � �
1  2 � �
1  2 ��2�   �
�
b
c
�
��
� � a � �b c a �
2
�a2 b2 c2 � �a b c �
�a b c �
3� 2  2  2 ���   � �3�   �
c a � �b c a �
�b c a �

�b
Từ đó ta được

�a b c � �a2 b2 c2 � �a b c �
3  4�   � 4� 2  2  2 ��9�   �
c
a � �b c a �
�b c a � �b
Để ý là theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được





2

a b c
a b c a2 b2 c2
  


�
b c a ab bc ca ab  bc  ca
2

Suy ra

2

2





2

� 2a � � 2b � � 2c � 9 a  b  c
1  � �
1
1 � �
�
� �
� b � � c � � a � ab  bc  ca

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c



 



2

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức 3 x2  y2  z2 � x  y  z ta được
2

2

2

2

�
� 2a � � 2b � � 2c � 1 � �a b c �
1


1


1

�
3

2


� �
�
�
� �
� �
�
�
� b � � c � � a � 3 � �b c a �
�
2





2

�
� 9 a b c
�a b c �
Ta cần chứng minh được 1 �
3  2�   �
��
3�
b
c
a
�
�
� ab  bc  ca
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


a b c  a  b  c
  �
b

c

a

2

ab  bc  ca

Như vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
2

Thật vậy,
 đặt
 t

a
b

b
c

�
�
�a b c �
�a b c �
3  2�   �
�
� �27�   �
�b c a �
�b c a �
�

�
c
t 3 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
a

 3  2t

2







�27t � t  3 4t  3 �0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do t �3.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Bài 106. Cho a, b, c, d là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

a3
b3
c3
a b c
 2
 2
�
2
2

2
2
3
a  ab  b b  bc  c c  ac  a

Phân tích và lời giải
Quan sát bất đẳng thức thì suy nghĩ đấu tiên đó là sử dụng bất đẳng thức
Bunhiacopxki dạng phân thức. Do đó ta thử tiếp cận bài toán với bất đẳng thức xem
như thế nào?
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

a3
b3
c3


a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2
2
2
a2  b2  c2
a2  b2  c2
� 3

a  b3  c3  a2b  ab2  b2c  bc2  a2c  ca2
a  b  c a2  b2  c2







a2  b2  c2 a  b  c
�
a b c
3

Ta cần chứng minh





 



3 a2  b2  c2 � a  b  c

Hay







2

Bất đẳng thức cuối cùng là một đánh giá quen thuộc.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Ngoài ra để ý đến mối liên hệ giữa tử và mẫu ta chú ý đến hằng đẳng thức







3
3
2
2
bậc ba quen thuộc a  b  a  b a  ab  b . Do đó ta có phép biến đổi

a3
b3
a3  b3


 a b
a2  ab  b2 a2  ab  b2 a2  ab  b2

Hoàn toàn tương tự ta có

2a3
2b3
2c3



a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2
a3  b3
b3  c3
c3  a3
 2


a  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2
a  b a2  ab  b2
Để ý là a3  b3  a  b a2  ab  b2 �
3













– Website chuyên tài liệu đề thi file word


a3  b3
a b
Khi này ta được 2

, đến đây bài toán xem như được chứng minh và
�
2
3
a  ab  b
ta trình bày lại lời giải như sau
Cách 2: Ta có

a3
b3
a3  b3


 a b
a2  ab  b2 a2  ab  b2 a2  ab  b2

Áp dụng tương tự ta được

b3
c3
c3
a3


b

c;

 c a
b2  bc  c2 b2  bc  c2

c2  ac  a2 c2  ac  a2

Công theo vế các đẳng thức trên ta được

� a3
�
b3
c3


�2
2
2
2
2
2�
�a  ab  b b  bc  c c  ac  a �
� b3
�
c3
a3
 �2


� 0
2
2
2
c2  ac  a2 �
�a  ab  b b  bc  c

Hay

Do đó ta được

a3
b3
c3


a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2
b3
c3
a3
 2


a  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2
2a3
2b3
2c3


a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2
a3  b3
b3  c3
c3  a3
 2


a  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2

Để ý ta thấy





a  b  a  b a  ab  b
3

3

2

Áp dụng tương tự ta được

Suy ra
Hay



 a  b  a
�

2

 ab  b2



3

a b
a b
�
3
a2  ab  b2
3

Do đó ta được

2

3





2 a b c
a3  b3
b3  c3
c3  a3


�
3
a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2
2 a b c
2a3

2b3
2c3


�
3
a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2
3
3
3
a
b
c
a b c
 2
 2
�
2
2
2
2
3
a  ab  b b  bc  c c  ac  a





Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c
Cách 3: Ngoài hai lời giải trên ta có thể tham khảo thêm lời giải bằng phương pháp

biến đổi tương đương như sau
Vì a, b là các số thực dương nên ta có

 a b�۳
  ab۳
2

0

Áp dụng tương tự ta được

3a3

 2a b  a

2

ab b2



3a3
a2  ab  b2

2a b

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


3b3

3c3
�2b  c; 2
�2c  a
b2  bc  c2
c  ac  a2

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

a3
b3
c3
a b c


�
3
a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c .

1
1
1
 2
 2
 2. Chứng
a 1 b 1 c 1
3
a b c a b c b c a c a b �
4

Bài 107. Cho tam giác có ba cạnh a, b, c thỏa mãn



minh rằng:



2







Phân tích và lời giải
Khi tiếp cận bài toán này có lẽ ấn tượng đầu tiên là giả thiết của bài toán là
một đẳng thức phức tạp. Tuy nhiên khi nhìn bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy
tích các đại lượng a  b  c; b  c  a; c  a  b thì thấy tự tin hơn tí vì ít nhiều liên
tưởng đến một số đánh giá quen thuộc. Để có các bước đi hợp lí ta đi đánh giá lại
giả thiết trước.
Từ giả thiết

1
1
1
a2
b2

c2
,
ta
được



2


1
a2  1 b2  1 c2  1
a2  1 b2  1 c2  1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia copxki ta được





2

a b c
a2
b2
c2
1 2
 2
 2
� 2

a  1 b  1 c  1 a  b2  c2  3
2
3
Suy ra a2  b2  c2  3 � a  b  c hay ab  bc  ca � .
2





Quan sát tích các đại lượng dưới dấu căn ta liên tưởng đến một bất đẳng thức

khá là hay gặp
thức

 a  b  c  b  c  a  c  a  b �abc . Như vậy ta thu được bất đẳng

 a  b  c  a  b  c  b  c  a  c  a  b � a  b  c abc
ab  bc  ca
Đến đây ta chú ý đến đánh giá abc a  b  c �


3
2

Khi đó ta được

 ab  bc  ca
 a  b  c  a  b  c  b  c  a  c  a  b �
3

2

3
�
4

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Bài 108. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng mỉnh rằng:





3 a2  b2  c2  4abc �13
Phân tích và lời giải
Trước hết ta đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại a  b  c  1. Quan sát bất





2
2
2
đẳng thức ta thấy xuất hiện đại lượng a  b  c liên hệ với giả thiết của bài toán





bằng một hằng đẳng thức quen thuộc a  b  c

2





 a2  b2  c2  2 ab  bc  ca . Như

vậy khi đó ta trong bất đẳng thức sẽ có đại lượng ab  bc  ca và abc . Hai đại lượng
này làm ta liên tưởng đến phép sắp thứ tự để giảm biến, hoặc sử dụng bất đẳng
– Website chuyên tài liệu đề thi file word


thức phụ quen thuộc, hoặc sử dụng nguyên lí Dirichlet. Từ sự phân tích đó ta có các
lời giải sau
Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với



 

3 ab  bc  ca  2abc �7
2

3 a  b  c  6 ab  bc  ca  4abc �13
Hay

Không mất tính tổng quát ta giả sử a �b �c , do đó ta được a �1.
Khi đó ta có

















3 ab  bc  ca  2abc  3a b  c  bc 3  2a

 b  c  3  2a

�3a b  c 



4

 3  a  3  2a

2



 3a 3  a 



4

27  3a2  2a3
4

27  3a  2a
�7
4
2

Ta cần chứng minh

3



  2a  1 �0

2a3  3a2  1 �0 � a  1

Hay

2

2

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1.
Cách 2: Ta có

 a  b  c  b  c  a  c  a  b   3  2c  3  2b  3  2a
 27  18 a  b  c  12 ab  bc  ca  8abc  12 ab  bc  ca  27  8abc

Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được









abc � a  b  c b  c  a c  a  b





abc �12 ab  bc  ca  27  7abc

Do đó ta được





4 ab  bc  ca
abc �
3
3

Hay
Do đó ta có











Ta cần chứng minh
Hay





3 a2  b2  c2 



  12

16 ab  bc  ca

3 a2  b2  c2  4abc �3 a2  b2  c2 

3

  12 �13

16 ab  bc  ca

3
9 a  b  c  16 ab  bc  ca �75



2

2

2







Thật vậy, áp dụng một đánh giá quen thuộc ta có









9 a2  b2  c2  16 ab  bc  ca





 a  b  c  8�
a2  b2  c2  2 ab  bc  ca �
�
�
2
a b c
2
�
 8 a  b  c  3  72  75
3
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1.

2



2

2







Cách 3: Trong ba số dương bất kì a, b, c luôn tồn tại hai số cùng phía so với 1.
Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là a và b. khi đó ta có
– Website chuyên tài liệu đề thi file word








c 1 a�۳
1b

0



abc



c a b

c

Ta có









�a  b 2
�
2
2
2
2
3 a  b  c  4abc �3 �
 c � 4c a  b  4c
� 2
�

�
�
2
2
�3  c
�
c  1  26
2
 3�
 c � 4c 3  c  4c 
�13
� 2
�
2
�
�

















Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1.
Bài 109. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  2abc . Chứng minh
rằng:

1





a 2a  1



2

1





b 2b  1



2

1

1
�
2
c 2c  1





2

Phân tích và lời giải
Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng kỹ thuật đổi biến trong bất
đẳng thức Cauchy. Ở đây ta thực hiện đổi biến và áp dụng bất đẳng thức
Bunhiacopxki xem có thể chứng minh được không.

1 1 1
   2.
a b c

Từ giả thiết ab  bc  ca  2abc suy ra

1
1
1
; y  ; z  , khi đó ta có x  y  z  2.
a

b
c
x3
y3
z3


Bất đẳng thức được viết lại là
2
2
2 x
2 y
2 z
Đặt x 







x3

Hay

 y  z

2







y3

 z  x

2



2

1
�
2

z3



 x  y

2

1
�
2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

x3

 y  z

2



y3

 z  x

2



 x  y

2

x

2

 y2  z2



2

�
2
2
x y z  y z x  z x y




Ta cần chứng minh

x

2

z3







2

 y2  z2

x





2



2

x2y  y2x  x2z  z2x  y2z  z2y  6xyz

 y2  z2



2

1
�
x y  y x  x z  z x  y z  z y  6xyz 2
2

2



2 x2  y2  z2

Hay



2

2

2

2

2

�x2y  y2x  x2z  z2x  y2z  z2y  6xyz

Thật vậy, theo một đánh giá quen thuộc ta có



2 x y z
2

2

2



2



2 x y z
2

2

2

 x

2

y z
2

2





 x

2 x y z
�

2

2

 y2  z2

3

– Website chuyên tài liệu đề thi file word




Mà ta lại có

 x  y  z  x

2

Suy ra ta có

 x



2 x yz

2

Ta cần chỉ ra được

2



 y2  z2  x3  y3  z3  x2y  y2x  x2z  z2x  y2z  z2y

 y2  z2

3

 �4 x



 y3  z3  x2y  y2x  x2z  z2x  y2z  z2y

3

3

4 x3  y3  z3  x2y  y2x  x2z  z2x  y2z  z2y





�3 x y  y x  x z  z2x  y2z  z2y  6xyz







2

2

2



4 x3  y3  z3  x2y  y2x  x2z  z2x  y2z  z2y �18xyz

Hay

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được





4 x3  y3  z3 �12xyz; x2y  y2x  x2z �3xyz; z2x  y2z  z2y �3xyz
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được





4 x3  y3  z3  x2y  y2x  x2z  z2x  y2z  z2y �18xyz
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c 

3
.
2

Bài 110. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1. Chứng minh rằng:

5 3
a2  abc  b2  abc  c2  abc  9 abc �
3











2
2
Phân tích: Chú ý đến phép biến đổi a  abc  a a  b  c  abc  a a  b a  c ,



do đó ta có đánh giá





Lời giải







a a b a c



a2  abc  a a  b a  c �

2







2



a  abc  a a  b  c  abc  a a  b a  c

2

Ta có

2

Do đó ta được







a2  abc  a a  b a  c �
Chứng minh tương tự ta được

b2  abc �
Do đó ta được





2

;

b b1
2

a2  abc  b2  abc  c2  abc �

c2  abc �







2







a a1
2



c c 1
2









b b1

c c1

2

2

2

�a  1 b  c �
�a  b  c  1�
abc � a �

� a �
� a
2
2
2
�
�
�
�

Chứng minh tương tự ta được





b b1
Như vậy ta có





a a1

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có

a a1



a a b a c

2

abc � b;





c c 1
2

.

a a1



abc � c

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


a2  abc  b2  abc  c2  abc  9 abc � a  b  c  6 abc

Mà ta có

3

�a  b  c � 2
a  b  c � 3 a  b  c  3; 6 abc �6 �
�
3
3
�
�





Nên ta suy ra

2

a2  abc  b2  abc  c2  abc  9 abc � 3 

3

5



3

5 3
.
3



Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c 
Bài 111. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng:

1
.
3

a

b
c


�1
3
3
3
3
a b  c b c  a
c  a3  b3

Phân tích: Để đồng bậc mẫu ta chú ý đến đánh giá theo bất đẳng thức
Bunhiacopxki

a b

3



 

 c3 a3  b  c � a2  b2  c2



2

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được





 

a  a  b  c
a  ab  ac

�
 a  b  c   a  b  c  a  b  c 

a  b3  c3 a3  b  c � a2  b2  c2
3

a
a  b3  c3

Suy ra

3

2

4

3

3

2

2

2

2

Chứng minh tương tự ta được

b
b4  ab  bc
c
c4  ca  bc
�
;
�
2
2
b  c3  a3
c  a3  b3
a2  b2  c2
a2  b2  c2









Do đó ta được bất đẳng thức sau





a4  b4  c4  2 ab  bc  ca
a
b
c


�
2
a  b3  c3 b  c3  a3 c  a3  b3
a2  b2  c2





a4  b4  c4  2 ab  bc  ca

Ta cần chứng minh



a2  b2  c2



2





�1

Hay
a2b2  b2c2  c2a2 �ab  bc  ca
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và bất đẳng thức Cauchy ta được



 





2



3 a2b2  b2c2  c2a2 � ab  bc  ca ; a2b2  b2c2  c2a2 �33 abc

4

3

Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được



a2b2  b2c2  c2a2

 � ab  bc  ca
2

2

Hay
a2b2  b2c2  c2a2 �ab  bc  ca
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c  1.
Bài 112. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  3. Chứng minh
rằng:
– Website chuyên tài liệu đề thi file word


1
1
1
3
 2
 2

�
a 1 b 1 c 1 2
2

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta chú ý đến đổi chiều bất đẳng thức. Ngoài ra
ta có thể sắp thứ tự các biến để chứng minh bài toán.
Lời giải
Cách 1: Không mất tính tổng quát, giải sử a �b �c
  Doab bc ca 3 bc 1
Ta chứng minh bất đẳng thức sau: Với x, y  0; xy �1 ta có

1
1
2
 2
�
y  1 z  1 yz  1
2





 







  yz  1 �0

Thật vậy, ta có y2  z2  2 yz  1 � y2  1 z2  1 � y  z

2

Không mất tính tổng quát, giải sử a �b �c. Doab bc ca
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được

3

bc 1

1
1
1
1
2
 2
 2
� 2

a  1 b  1 c  1 a  1 bc  1
2

Do đó ta sẽ chứng minh:

1
2

3

�
� a2  3  bc  3a2bc �0 � a a  b  c  3abc �0
2
a  1 bc  1 2
Từ giả thiết ab  bc  ca  3, suy ra a  b  c �3 và abc �1.
Do đó a  b  c  3abc �0





Do đó ta được

1
1
1
1
2
3
 2
 2
� 2

�
a  1 b  1 c  1 a  1 bc  1 2
2

Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1.

Cách 2: Gọi biểu thức vế trái là P, ta biến đổi biểu thức P như sau

P

� a2
1
1
1
b2
c �



3


 2
�2
�
2
2
2
2
a 1 b 1 c 1
�a  1 b  1 c  1�

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

4a2
4a2

a2
a2
a
a2

�



3a2  3 3a2  ab  bc  ca a2  ab  ac 2a2  bc a  b  c 2a2  bc

Áp dụng tương tự với hai biểu thức còn lại ta được

4a2
4b2
4c2
a2
b2
c2


�
1



3a2  3 3b2  3 3c2  3
2a2  bc 2b2  ca 2c2  ab
a2
b2

c2
Ta sẽ chứng minh


�1
2a2  bc 2b2  ca 2c2  ab
Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

3 � a2
b2
c2 � 1
� 2
 2
 2
��
2 �2a  bc 2b  ca 2c  ab � 2
Hay

bc
ca
ab
1


�
2a2  bc 2b2  ca 2c2  ab 2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

 bc

 ca

2

 ab

2

2

bc
ca
ab
 2
 2



2a  bc 2b  ca 2c  ab 2a2bc  b2c2 2ab2c  c2a2 2abc2  a2b2
2
ab  bc  ca
� 2 2
1
a b  b2c2  c2a2  2abc a  b  c
2









Vậy bài toán được chứng minh xong.
Bài 113. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc �1. Chứng minh rằng:

1
1
1
 4
 4
�1
3
2
3
2
a  b  c b  c  a c  a3  b2
4

Phân tích: Để ý là theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có đánh giá

a

4



 

 b3  c2 1  b  c2 � a2  b2  c2

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được



Do đó ta có



 

a4  b3  c2 1  b  c2 � a2  b2  c2





2

2

1
1  b  c2
1  b  c2


�
a4  b3  c2
a4  b3  c2 1  b  c2
a2  b2  c2





 



2

Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức

1
1
1
3  a  b  c  a2  b2  c2


�
2
a4  b3  c2 b4  c3  a2 c4  a3  b2
a2  b2  c2



3  a  b  c  a2  b2  c2

Ta cần chứng minh



Hay

a

2

a2  b2  c2



2

b c
2

2







2

Suy ra







�33 a2b2c2 a2  b2  c2 �3 a2  b2  c2

Từ giả thiết abc �1 suy ra a  b  c �3.
Do đó ta được a2  b2  c2

�1

�3  a  b  c  a2  b2  c2

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

a2  b2  c2

2



 a  b  c
�



2

�a  b  c; a2  b2  c2 �33 a2b2c2 �3

3
3 a2  b2  c2 �a2  b2  c2  a  b  c  3





Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1
Bài 114. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng:

a3
b3
c3
3


�
a  bc b  ca c  ab 2
Phân tích: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta để ý đến các đánh giá





a b c
a3
a  bc 1
a3 a  bc 1 3a và
3

 �3
.
. 
ab  bc  ca �
a  bc
4
2
a  bc
4
2
2
3

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

2


a3
a  bc 1
a3 a  bc 1 3a

3

 �3
.
. 
a  bc
4
2
a  bc
4
2
2
3
a
5a bc 1
� 

a  bc 4
4 2

Suy ra

Chứng minh tương tự ta được

b3
5b ca 1
c3
5c ab 1
� 
 ;

� 

b  ca
4
4 2 c  ab 4
4 2

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được





5 a  b  c ab  bc  ca 3
a3
b3
c3


�


a  bc b  ca c  ab
4
4
2
9 ab  bc  ca
 
4
4

 a  b  c
ab  bc  ca �

Mặt khác ta lại có

2

9

3

a3
b3
c3
9 3 3


�  
a  bc b  ca c  ab 4 4 2

Do đó ta có

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c  1.
Bài 115. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ab  a  b  3. Chứng minh rằng:

3a
3b
ab
3



�a2  b2 
b1 a1 a b
2





Phân tích: Chú ý đến đánh giá a  b





bài toán là a  b



2

2

�4ab , khi đó ta viết lại được giả thiết của



 4 a  b  12 �0 và đặt t  a  b .
Lời giải





Từ giả thiết ab  a  b  3 suy ra 3  a  b  ab .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

 a  b
3 � 
a �b
 ab��4

2

 a b



2



4a b

12

0

2

a b

3

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2
3�
a

b
 2ab�
2
�
� 3 a  b 3  a  b
3
�
�

� a  b  2ab 
ab  a  b  1
a b
2
2
�
�
3�a  b  6  2 a  b � 3 a  b 3  a  b
2
3
�

� �

� a  b  6 2 a  b 
4
a b
2
2 t 3. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Đặt t �a b





























3 t2  6  2t  3t

















3 t
3
�t2  6  2t 
4
t

2
3
2
3
2
� 3t  9t  18t  12  4t �4t  6t  18t









� t  2 t2  t  6 �0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với t �2 .
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  1.
– Website chuyên tài liệu đề thi file word


Bài 116. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1. Chứng minh rằng:

�a b c �
1 a 1 b 1  c


�2�   �
b c c a a  b
�b c a �

Phân tích: Để ý đến giả thiết a  b  c  1 ta có các phép biến đổi sau
a
a
ac
1  a 2a  b  c
2a



 1 và 
b b c b b c
b c
b c
b c





Lời giải
Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được

�a b c �
�a b c �
1 a 1 b 1 c
2a
2b
2c



�2�   ��


 3 �2�   �
b c c a a b
�b c a � b  c c  a a  b
�b c a �
a
a
b
b
c
c
3
ac
bc
ab
3
� 
 
 
� �


�
b b c c a c a a b 2
2
b b c a a b c c a













Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

 ab  bc  ca
ac
bc
ab


�
b  b  c a  a  b c  c  a 2abc  a  b  c
 ab  bc  ca �3
Ta cần chứng minh
2abc  a  b  c 2
Hay
 ab  bc  ca �3abc a  b  c
2

2

2

Đánh giá cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1
.
3

ab c

Bài 117. Cho a, b, c là các số thực không âm tùy ý. Chứng minh rằng:



�
1
1
1
ab  bc  ca �


2
2
�
b c
c a
�a  b





�
��4
2�
�



   
Phân tích: Bất đẳng thức có các đại lượng  a  b ;  b  c ;  c  a
2

2

2

dưới mẫu, do đó

đẳng thức không thể xẩy ra tại a  b  c . Ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại một biến
bằng 0. Do đó ta nghĩ đến sắp thứ tự các biến để giảm biến cho bài toán.
Lời giải
Không mất tính tổng quát ta giả sử a �b �c , khi đó ta có

ab  bc  ca �ab;

1

 b  c

2

1
1
� 2;
b
c a





2

1
� 2
a

Do đó ta được bất đẳng thức sau

�
�
�
�
1
1
1 �
1
1 1�

�
�
ab  bc  ca


�ab
 2 2
2
2
2�
2
�
�
b a �
bc
c a �
�a  b
�a  b
�
�
�
1
1 1�
�
ab
 2  2 �4
Ta cần chứng minh
2
�
b a �

a

b
�
�

























– Website chuyên tài liệu đề thi file word


Thật vậy, ta có

�
1
ab �
�
�a  b





2

�
1 1�
ab
 2 2 
�
b a
� ab





Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

�
1
ab �
�
�a  b

Suy ra





2



a b
ab
 
b a
a b

ab

 a  b


2



 a  b

2



ab

2

 a  b

ab

2

�2

2

ab

 a  b

2

2

 a  b
.

2

ab

2

�
1 1�
 2  2 �4
b a �
�

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

�
c 0
�
�
a b
�
�





2

�
c 0
�
��
3 5 b
 ab
�
a
�
2





Bài 118. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

ab
c  3 ab



bc
a  3 bc



ca

3
�
b  3 ca 4

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta chú ý đến phép đổi biến

x  a; y  b; z  c và để có các đánh giá hợp lí ta có thể đổi chiều bất đẳng
thức.
Lời giải
Đặt x 

a; y  b; z  c . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
xy
yz
zx
3
 2
 2
�
z  3xy a  3yz y  3zx 4
2

Ta biến đổi biểu thức vế trái như sau

xy
yz
zx
1 � 3xy
3yz

3zx �
 2
 2
 �2
 2
 2
�
z  3xy a  3yz y  3zx 3 �z  3xy a  3yz y  3zx �
1�
z2
x2
y2 �
 �
1
 1 2
 1 2
�
3 � z2  3xy
x  3yz
y  3zx �
1 � z2
x2
y2 �
 1  �2
 2
 2
�
3 �z  3xy x  3yz y  3zx �

P

Đặt

2

Q

z2
x2
y2


z2  3xy x2  3yz y2  3zx

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và một đánh gia quen thuộc ta
được

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


Q

2

2

z
x
 2


z  3xy x  3yz y2
2

 x  y  z
y
�
 3zx x  y  z  3 xy  yz  zx 
 x  y  z
3
�

4
x  y  z

 x  y  z 
3
2

2

2

2

2

2

2

2

1 3 3
.  . Vậy bài toán được chứng minh.
3 4 4
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Bài 119. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  0 . Chứng minh
Do đó ta được P �1 

rằng:

a3  b3  16c3

 a  b  c

Phân tích: Để ý là

a3  b3  16c3

 a  b  c

nghĩ đến phép đổi biến x 

3



3

16

�
81

a3

 a  b  c

3



b3

 a  b  c

3



16c3

 a  b  c

3

. Khi đó ta

a
b
c

.
; y
; z
a b c
a b c
a b c
Lời giải

Đặt x 

a
b
c
. Khi đó ta được x  y  z  1.
; y
; z
a b c
a b c
a b c

Bất đẳng thức được viết lại thành

a3

 a  b  c



3

b3

 a  b  c

3



16c3

 a  b  c

3

16
 x3  y3  16z3 �
81

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

x

2

Suy ra

�
1�
 y2  4z2 �
1  1  �� x  y  z

4�
�
4
x2  y2  4z2 �
9







2

1

Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

 x  y  z  x

3

Hay

 y  16z
3

3

 � x

2

 y  4z
2

2



2

2

�4 �
�� �
�9 �

16
x3  y3  16z3 �
81

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

�x y 4z
�  
� x  y  4z � a  b  4c
�1 1 1
2
2

2
�
x  y  16z
�
3
2

Bài 120. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c � . Chứng minh rằng:

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


 a  b

1

1
1 3 17
 c2  2 �
2
ab
c
2 2

Phân tích: Để ý đến phép biến đối

1
1 2 2 
ab

 a  b



�
1 �
a b �
1 2 2 � 
� ab �





2

2

�1 1 �
a b �  �
�a b �



2

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến đánh giá



 



2

x2  m2  y2  n2 � x  y  m  n

2

Lời giải
Dễ dàng chứng minh được: Với các số thực dương x, y, m, n ta luôn có



 



2

x2  m2  y2  n2 � x  y  m  n

x

2

Thật vậy, bình phương hai vế và rút gọn ta được

x

2

Hay



 

 m2 y2  n2 � xy  mn



2





 m2 y2  n2 �xy  mn

2

Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Bunhiacopxki quen thuộc.
Gọi vế trái của bất đẳng thức trên là P, áp dụng bất đẳng thức trên ta được





P  a b

Mà ta lại có



1

1
1
 c2  2 
2 2
ab
c

 a  b

2

2

�
1 �
1
1  2 2 � c2  2
�
c
� ab �
2

2
�1 1 �
�1 1 1�
1
a  b  �  �  c2  2 � a  b  c  �   �
c
�a b �
�a b c �
1 1 1
9
  �
a b c a b c



2







2

P � a b c 

Nên ta được



81

 a  b  c

2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được





2

P � a b c 

81

 a  b  c

2



 a  b  c
� 2

2



81





16 a  b  c

2



1215





16 a  b  c

2

81
1215
3 17


2

16
2
�3�
16� �
�2 �

1
3 17 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
a b c .
2
2

Hay P �

0;1�
Bài 121. Cho các số thức a,b,c ��
�
�. Chứng minh rằng:
1
1
�  1 a 1 b 1 c
a b c 3









Lời giải
Không mất tính tổng quát ta giả sử 1 �a �b �c  0, khi đó ta có

a
1
� .
a b c 3

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được









3  1  b  1  c  1  b  c �33 1  b 1  c 1  b  c



 

1  a � 1  a  1  b  1  c  1  b  c
1 � 1 b 1 c 1 b  c

Suy ra
Do đó ta được

1 a
� 1 a 1 b 1 c
1 b  c
1 a
1 a
�
a  b  c 1 b  c
1 a
� 1 a 1 b 1 c
a b c



Hay
Mặt khác ta lại có





Nên ta được
Suy ra











1
a
1
� 1 a 1 b 1 c 
�  1 a 1 b 1 c
a b c
a b c 3
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c  1
Bài 122. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a2  2b2  1. Chứng minh rằng:
a
4b

�3 3
b2 a2  b2

















Lời giải

a4
a4
a4

�
 27a4
2 4
2 2 2
3
abb
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a b
�a2  2b2 �
�
�
� 3 �
a2
a
Suy ra 4 �27a4 hay 2 �3 3a2
b
b

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có



16b4

2b a  b
2

2

Suy ra
Do đó ta được

2

a

 a

2

16b2

2

b

2



b

2

2



a4

�

3
�2b2  a2  b2  a2  b2 �
�
�
3
�
�

�108b4 hay

a4
3

�2a2  4b2 �
�
�

� 3
�

 108b4

4b
�6 3b2
2
2
a b





a
4b
 2
�3 3 a2  2b2  3 3
2
2
b a b

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b 
Bài 123. Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng :

a3
4b3

a3  8b3

b3  a  b





3

�1

– Website chuyên tài liệu đề thi file word

3
3


1

8b3
1 3
a

Phân tích: Biểu thức vế trái được viết lại thành

ta nghĩ đến phép đổi biến t 

b
.
a

Lời giải

4b3
a3
3
b3 � b �
�
1 �
a3 � a �

1

8b3
1 3
a

Biểu thức vế trái được viết lại là

Đặt t 

4b3
a3
3 . Đến đây
b3 � b �
�
1 �
a3 � a �

b
 0 . Khi đó bất đẳng thức được viết lại là

a
4t3

1

1  8t3



t3  1  t

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có





1  8t3  1  2t 1  2t  4t2

 2  4t 
�
2





4t3

Ta sẽ chứng minh



t3  1  t



2

2

1
1
�
3
1  8t
1  2t2

Suy ra



�1

3





2



 1  2t2



2

1
1  2t2

2t2
�
1  2t2

3

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với
2

4t3



t3  1  t



3

� 2t2 �
��
� 1  2t2
2�
1  2t �
�







2

�t4  t 1  t



3



  2t

� t 1

2

2



 t  1 �0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi t.
Do đó ta được

4t3

1

1  8t3



t3  1  t



3

1
2t2
�

1
1  2t2 1  2t2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b .
Bài 124. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 

1
3

a  3b



1
3

b  3c



1
3

c  3a

3
. Chứng minh rằng:
4

�3

1

. Khi đó ta có đánh
4
a  3b  2
.
a  3b .1.1 �
3

Phân tích: Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại a  b  c 
giá theo bất đẳng thức Cauchy là

3

a  3b 

3





– Website chuyên tài liệu đề thi file word


Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

a  3b 

3

3

2
 a  3b .1.1 �a  3b
3
1

3
�
3
a  3b a  3b  2
1
3
1
3
�
;
�
Áp dụng tương tự ta được
3
b  3c b  3c  2 3 c  3a c  3a  2
Do đó ta được

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

1
3

a  3b



1
3

b  3c



1

3
3
3
�


3
c  3a a  3b  2 b  3c  2 c  3a  2

Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

3
3
3
3.9


�
3

a  3b  2 b  3c  2 c  3a  2 4 a  b  c  6



Do đó ta được

1
3

a  3b



1
3

b  3c



1
3

c  3a



�3

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c 

1
.
4

Bài 125. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1. Chứng minh rằng:

� ab
bc
ca �
ab
bc
ca
2�




��
a  bc
a  ca
�c  ab a  bc a  ca � c  ab
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được





2

ab  bc  ca
ab
bc
ca


� 2 2
c  ab a  bc a  ca a b  b2c2  c2a2  3abc
Mà ta có

a2b2  b2c2  c2a2



Và



abc a  b  c

 ab  bc  ca
�

2

3

 ab  bc  ca
�

2

3

Nên ta được





a2b2  b2c2  c2a2  3abc  a2b2  b2c2  c2a2  3abc a  b  c

 ab  bc  ca
�
3

Do đó ta có

2





2

 ab  bc  ca 





4 ab  bc  ca
3

ab
bc
ca
3


�
c  ab a  bc a  ca 4

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

2

� ab
bc
ca � � ab
bc
ca �
3�




�

���
�
c

ab
a

bc
a

ca
�c  ab a  bc a  ca � �
�
�
Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được
– Website chuyên tài liệu đề thi file word

2


� ab
bc
ca �
ab
bc
ca
2�





��
a  bc
a  ca
�c  ab a  bc a  ca � c  ab
1
.
3

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a  b  c 

Bài 126. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  abc . Chứng minh
rằng:

2

1

4
�
1  a2
1  b2
1  c2 9
1
1
1
1
1
1
Phân tích: Từ giả thiết ta suy ra



 1. Đặt x  ; y  ; z  , khi đó ta
ab bc ca
a
b
c


1



được xy  yz  zx  1. Khi đó để ý đến phép biến đổi







x2  1  x2  xy  yz  zx  x  y x  z
Lời giải

1
1
1
1
1
1



 1. Đặt x  ; y  ; z  .
ab bc ca
a
b
c
Khi đó ta được xy  yz  zx  1
2x
y
z
4


�
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
x2  1
y2  1
z2  1 9
Từ giả thiết ta suy ra







x2  1  x2  xy  yz  zx  x  y x  z

Để ý ta thấy

Áp dụng tương tự bất đẳng thức trở thành

2x

 x  y  x  z



y

 x  y  y  z





z

4
�
9
y z z x





Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

2x

 x  y   x  z



y

 x  y   y  z



z

 y  z  z  x 

� � 1
�1
1 � �1
1
1 �
�
�
�
�
�x �


y



z

�
x  y 4 y  z � �4 y  z x  z �
�x  y x  z � �
�
� �
�
x y
y z
z x
1
9



 1  1 
x y 4 y z z x
4
4













Vậy bất đẳng thức được chứng minh.





� 15

�
; 15; 15 �
�7
�
�
�

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a; b; c  �

Bài 127. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

a
b
c
ab  bc  ca 5




�
b c c a a b
2
a2  b2  c2
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta được

– Website chuyên tài liệu đề thi file word


 a  b  c

2

a
b
c
a2  b2  c2


�

1
b  c c  a a  b 2 ab  bc  ca
2 ab  bc  ca









Khi đó ta được bất đẳng thức

a
b
c
ab  bc  ca
a2  b2  c2
ab  bc  ca



�

1

b c c a a b
a2  b2  c2
a2  b2  c2
2 ab  bc  ca





a2  b2  c2
ab  bc  ca 5

 1
�
2
a2  b2  c2
2 ab  bc  ca

Ta cần chứng minh





ab  bc  ca
� 0  t �1. Khi đó bất đẳng thức trên trở thành
a2  b2  c2
2
1
5

t

1
�
�
t

1
2t  1 �0
2
2t2

Bấ đẳng thức cuối cùng luôn đúng với 0  t �1.
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Đặt t 



 



Bài 128. Cho a, b, c là các số thực dương không âm. Chứng minh rằng:





ab  bc  ca a  b  c

abc
a2  b2  c2

3

�28

Lời giải

Ta có

 a  b  c

3

abc







�1
1
1 � 2 ab  bc  ca a  b  c
 a2  b2  c2 � 
 �
abc
�ab bc ca �





Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và cauchy ta được





2

2
2
�1
1
1� 9 a b c
a b c � 
 ��
ab
bc
ca � ab  bc  ca
�
2 ab  bc  ca a  b  c
2.3.3 a2b2c2 .3.3 abc
�
 18
abc
abc



Do đó ta được

2

2

2





 a  b  c

Suy ra ta có bất đẳng thức

abc

ab  bc  ca  a  b  c

a2  b2  c2

Ta cần chứng minh





3





9 a2  b2  c2
�
 18
ab  bc  ca



3



2
2
2
ab  bc  ca 9 a  b  c
� 2

 18
abc
ab  bc  ca
a  b2  c2
2
2
2
ab  bc  ca 9 a  b  c

�10
ab  bc  ca
a2  b2  c2





Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có









8 a2  b2  c2
8 ab  bc  ca
ab  bc  ca a2  b2  c2

�
2
;
�
8
ab  bc  ca
ab  bc  ca
a2  b2  c2 ab  bc  ac

Cộng theo vế của hai bất đẳng thức trên ta được





2
2
2

ab  bc  ca 9 a  b  c

�10
ab  bc  ca
a2  b2  c2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c .
– Website chuyên tài liệu đề thi file word


3
2

Bài 129. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c � . Chứng minh rằng:

a b c

1 1 1 27


�
2
a2 b2 c2

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

1
4 1
4 1

4

4
�
;

4
�
;

4
�
a b2
b c2
c
a2
1 1 1 4 4 4
Do đó ta được


�    12
a2 b2 c2 a b c
1 1 1
4 4 4
Khi đó ta có a  b  c  2  2  2 �a  b  c     12
a b c
a b c
4 4 4
36
Và theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta lại có   �

a b c a b c
Từ đó ta suy ra

a b c
Ta cần chứng minh
Hay

1 1 1
36
 2  2 �a  b  c 
 12
2
a b c
a b c
36
27
a b c
 12 �
a b c
2
36
51
a b c
�
a b c 2

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

9
9

135
135 45
�2
 3;
�

4
3 2
4 a b c
4 a b c
4.
2
36
51
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được a  b  c 
�
a b c 2
a  b c









Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c 
Bài 130. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng:

a

2

 b2  c2



3



�9 a3  b3  c3

Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành





a2  b2  c2



3



�9abc a3  b3  c3

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được



9abc a3  b3  c3



3

a3  b3  c3 �
a3  b3  c3 �
 27.ab.ac.
��
ab  ab 
�
3a
3a
�
�

Mà ta có

a3  b3  c3
a3  b3  c3  3abc
ab  ab 
 ab  bc  ca 
3a
3a

a  b  c a2  b2  c2  ab  bc  ca
 ab  bc  ca 
3a



Suy ra

1
.
3



– Website chuyên tài liệu đề thi file word












�
a  b  c a2  b2  c2  ab  bc  ca
3

3
3
9abc a  b  c ��
ab  bc  ca 
�
3a
�





Như vậy ta cần chứng minh được

 a  b  c  a
ab  bc  ca 

2



Hay

 �a

 b2  c2  ab  bc  ca

3a
� a  b  c�
a2  b2  c2  ab  bc  ca �

1
��0
3
�
�

2

3

�
�
�
�

 b2  c2



Đánh giá trên luôn đúng do ta có thể giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Bài 131. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2  b2  c2  3. Chứng minh
rằng:

ab
4  ab



bc

4  bc



ca
4  ca

�1

Lời giải
Đặt x 

a; y  b; z  c . Khi đó ta viết lại giả thiết là x4  y4  z4  3 .

Bất đẳng thức được viết lại là

xy
yz
zx


�1
4  xy 4  yz 4  zx

Khi đó gọi vế trái là P thì ta có

P  3  1

xy
yz

zx
4
4
4
 1
 1



4  xy
4  yz
4  zx 4  xy 4  yz 4  zx

Ta có










2  xy 2  xy
2
2  xy
4  x2y2
 1
 1

 1
2
4  xy
4  xy
4  xy 2  xy
9  xy  1



Tương tự ta được



4 x y
5 x2y2
 
9
9
9
2 2
2 2
2
5 yz
2
5 xz
� 
;
� 
4  yz 9
9

4  zx 9
9
�1 

2 2

Do đó ta được

�
15 x2y2  y2z2  z2x2 � �
15 x4  y4  z4 �
P  3 �2� 
��2� 
� 4
9
9
�9
� �9
�

Suy ra P �1. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c  1.
Bài 132. cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng

 a  2  b  2   b  2  c  2   c  2  a  2
 b  1  b  5  c  1  c  5  a  1  a  5
 b  2 � 3
Phân tích: Chú ý đến đánh giá
 b  1  b  5 4 b  2

9
�
4

Lời giải
Ta có bất đẳng thức luôn đúng sau
– Website chuyên tài liệu đề thi file word