Hệ số của đa thức chia đường tròn nhị phân và tam phân (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————————————

BÙI THỊ LINH

HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG
TRÒN NHỊ PHÂN VÀ TAM PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————————————

BÙI THỊ LINH

HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG
TRÒN NHỊ PHÂN VÀ TAM PHÂN

Chuyên ngành:

Phương pháp toán sơ cấp

Mã số:

60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN DUY TÂN

Thái Nguyên - Năm 2017


1

Mục lục
Mục lục

1

Lời nói đầu

2

Chương 1. Đa thức chia đường tròn
1.1 Đa thức chia đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Đa thức chia đường tròn có hệ số nguyên . . . . .
1.2.2 Công thức nghịch đảo M¨obius và công thức truy
hồi tuyến tính đa thức chia đường tròn . . . . . .
1.3 Mọi số nguyên đều là hệ số của đa thức chia đường tròn

4
4
5

5
9
14

Chương 2. Hệ số của đa thức chia đường tròn Φpq (x)
2.1 Một định lý của Lam - Leung . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
17
21

Chương 3. Hệ số của đa thức chia đường tròn Φpqr (x)
3.1 Chặn trên cho hệ số của đa thức Φpqr (x) . . . . . . .
3.1.1 Số Fk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Chứng minh Định lý 3.1.1 . . . . . . . . . . .
3.1.3 Chứng minh Định lý 3.1.2 . . . . . . . . . . .
3.2 Một vài hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Tính chất nhảy đơn vị (jump one) của hệ số . . . . .

26
26
28
31
35
36
38

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

43


2

Lời nói đầu
Ta đã biết rằng với mỗi số nguyên dương n, có đúng n căn bậc n của
2kπ
2kπ
đơn vị: ξk = cos
+ i sin
, k = 0, 1, . . . , n − 1. Chú ý rằng ξk là căn

n
n
nguyên thủy bậc n của đơn vị nếu và chỉ nếu gcd(k, n) = 1. Vì thế có
đúng ϕ(n) căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, trong đó ϕ là hàm Euler.
Gọi ξkϕ1 , . . . , ξkϕ(n) là các căn nguyên thủy bậc n đơn vị. Khi đó đa thức
chia đường tròn thứ n, kí hiệu là Φn (x), là đa thức bậc ϕ(n) được cho
bởi công thức Φn (x) = (x − ξk ) · · · (x − ξkϕ(n) ). Mục đích của luận văn
này là tìm hiểu một số tính chất của hệ số của đa thức chia đường tròn.
Luận văn gồm 3 chương. Chương 1 định nghĩa đa thức chia đường
tròn. Trong chương này một số tính chất của đa thức chia đường tròn có
hệ số nguyên được chứng minh. Chúng tôi chứng tỏ rằng Φn (x) có các
hệ số đều nguyên. Hơn nữa, công thức nghịch đảo Mobius và công thức
truy hồi tính đa thức chia đường tròn cũng được trình bày. Chương 2 có
nội dung nói về hệ số của đa thức chia đường tròn Φpq (x) trong đó p, q
là hai số nguyên tố khác nhau. Chương này sẽ chứng minh một định lý
của Lam - Leung và xác định hệ số của đa thức chia đường tròn dạng
Φpq (x), các hệ quả về xác định hệ số trung tâm của nó và khẳng định
các đa thức Φn (x) với n < 100 đều có hệ số thuộc {−1, 0, 1}. Chương 3
trình bày hệ số của đa thức chia đường tròn tam phân Φpqr (x) bao gồm
kết quả của Bzdega về chặn trên trên cho cho hệ số của đa thức Φpqr (x),
một số hệ quả của kết quả trên và một định lý của Suzuki về khẳng định
mọi số nguyên đều là hệ số trong một đa thức chia đường tròn nào đó.
Nội dung của luận văn được viết chủ yếu dựa theo bài báo "The coef-


Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping

3

ficients of cyclotomic polynomials" của tác giả B. Brookfield (2016), bài
báo "Bounds on ternary cyclotomic coefficients" của B. Bzdega (2010)
và bài báo có nhan đề "On the coefficients of cyclotomic polynomial"
được trình bày trong hội nghị tên "Cyclotomic fields and related topics”
diễn ra ở Pune năm 2009.
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Duy
Tân. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người
hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành
nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của em
trong suốt quá trình làm luận văn.
Em cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích
cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Em xin bày tỏ lòng cảm ơn
sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học
Toán K9B2 (khóa 2015 - 2017), Nhà trường và các phòng chức năng
của trường; Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập tại
trường. Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K9B2
(khóa 2015 - 2017) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong
quá trình học tập, nghiên cứu.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,
lãnh đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo
điều kiện tốt nhất cho em khi học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017
Học viên

Bùi Thị Linh

Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping

4

Chương 1
Đa thức chia đường tròn
1.1

Đa thức chia đường tròn

Định nghĩa 1.1.1. Cho n là số nguyên dương, đa thức chia đường tròn
thứ n là đa thức
ϕ(n)

(x −

Φn (x) =

ζnj )

1≤j≤n
(j,n)=1

với ζn = e

2πi

n

= cos

2π
n

+ sin

2π
n

an (k)xk

=
k=0

là căn bậc n của đơn vị.

Ví dụ 1.1.2. Vì 1 là số phức duy nhất bậc 1 nên Φ1 (x) = x − 1.
Vì −1 là số phức√duy nhất có bậc√2 nên Φ2 (x) = x + 1.
3
3
−1
−1
có bậc 3 nên
+ i , w2 =
−i
Vì w1 =
2

2
2
2
√
√
−1
−1
3
3
x−
Φ3 (x) = x −
= x2 + x + 1.
+i
−i
2
2
2
2
Vì ±i là tất cả các số phức có bậc 4 ta có
Φ4 (x) = (x − i)(x + i) = x2 + 1.
Tương tự,
Φ5 (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1


Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping

5

Φ6 (x) = x2 − x + 1
Φ7 (x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1
Φ8 (x) = x4 + 1.

1.2
1.2.1

Một số tính chất
Đa thức chia đường tròn có hệ số nguyên

Tính chất 1.2.1. Với n ∈ N, xn − 1 =

d|n Φd (x).

Chứng minh. Để chứng minh đẳng thức trên, ta chỉ cần chứng minh hai
đa thức xn − 1 và

Φd (x) đều có dạng chuẩn, đều không có nghiệm
d|n

bội, và có cùng tập nghiệm. Theo định nghĩa, mỗi Φd (x) là một đa thức
dạng chuẩn. Vì thế, đa thức phía bên phải có dạng chuẩn. Do đó, hai
đa thức ở hai vế đều có dạng chuẩn. Chú ý rằng một đa thức có nghiệm
bội nếu và chỉ nếu đa thức đó và đạo hàm của nó phải có nghiệm chung.
Vì thế xn − 1 không có nghiệm bội (các nghiệm của xn − 1 đều khác 0
trong khi đó đạo hàm của nó là nxn−1 chỉ có duy nhất nghiệm bằng 0).
Với mỗi ước d của n, các nghiệm của Φd (x) đều là nghiệm của xd − 1 và
do đó nó không có nghiệm bội. Giả sử d và d là hai ước khác nhau của
n. Khi đó mỗi nghiệm của Φd (x) có cấp là d, trong khi đó, mỗi nghiệm

của Φd (x) có cấp là d . Vì thế, các nghiệm của đa thức

Φd (x) đều là
d|n

nghiệm đơn. Giả sử ξ là nghiệm của xn − 1. Gọi d là cấp của ξ. Khi đó
ξ d = 1, d là số nguyên dương bé nhất có tính chất này. Vì thế ξ là căn
nguyên thủy bậc d của đơn vị. Suy ra ξ là nghiệm của đa thức Φd (x).
Ngược lại, cho d là ước của n và ξ là nghiệm của Φd (x). Khi đó ξ d = 1.
Suy ra ζ n = 1 tức là ξ là nghiệm của đa thức xn − 1.
Ví dụ, ta có Φ1 (x) = x − 1 và x5 − 1 = Φ5 (x)Φ1 (x) = (x4 + x3 + x2 + x +


6

1)(x − 1). Để tính Φ10 (x), ta sử dụng x10 − 1 = Φ10 (x)Φ5 (x)Φ2 (x)Φ1 (x).
Chia x10 − 1 cho Φ5 (x)Φ2 (x)Φ1 (x) = (x4 + x3 + x2 + x + 1)(x + 1)(x − 1) =
x6 + x5 − x − 1, ta được Φ10 (x) = x4 − x3 + x2 − x + 1.
Nhận xét Φ10 (x) = Φ5 (−x).
Tính chất 1.2.2. Với mọi n ∈ N, Φn (x) ∈ Z[x].
Chứng minh. Ta chứng minh khẳng định bằng quy nạp theo n ∈ N. Vì
Φ1 (x) = x − 1 ∈ Z[x] khẳng định đúng với n = 1.
Bây giờ giả sử với n > 1. Theo Tính chất 1.2.1,
xn − 1 =

Φd (x) = Φn (x)g(x),
d|n

trong đó g(x) là tích của tất cả các đa thức chia đường tròn Φd (x) với d là
một nhân tử dương thực sự của n. Theo giả thiết quy nạp, Φd (x) ∈ Z[x]

với mọi đa thức chia đường tròn và do đó g(x) ∈ Z[x]. Vì các đa thức
chia đường tròn là dạng chuẩn theo cách xây dựng, tích của các đa thức
dạng chuẩn là đa thức dạng chuẩn, g(x) cũng là đa thức dạng chuẩn.
Do đó Φn (x) là thương của xn − 1 ∈ Z[x] chia cho đa thức dạng chuẩn
g(x) ∈ Z[x], nên Φn (x) cũng thuộc Z[x].
Tính chất 1.2.3. Với m, n ∈ N,
Φn (xm ) =

Φd (x),
d∈D

trong đó D = {d ∈ N | lcm(m, d) = mn} =

mn
k

| k ∈ N và k | m và

gcd(n, k) = 1 .
Chứng minh. Bởi vì Φn (x) là ước của xn − 1, ta thấy rằng Φn (xm ) là ước
của xmn − 1. Và nếu d ∈ D, thì d là ước của lcm(m, d) = mn và do đó
theo Tính chất 1.2.1, vế phải của phương trình cũng là ước của xmn − 1.


7

Các không điểm của xmn − 1 là phân biệt, nên để chứng minh khẳng
định ta chỉ cần chỉ ra cả hai vế của phương trình có cùng không điểm.
Để làm điều này ta cần áp dụng Bổ đề: “Giả sử w ∈ C∗ có bậc hữu hạn.
Khi đó, với mọi m ∈ N

m ord ω m = lcm(m, ord ω).”
Một số ω ∈ C là không điểm của Φn (xm ) khi và chỉ khi ord ω m = n, khi
và chỉ khi lcm(m, ord ω) = mn, khi và chỉ khi ord ω ∈ D, khi và chỉ khi
Φd (x).

ω là không điểm của
d∈D

Ví dụ, nếu m = 2 và n = 3, thì
D = {d ∈ N | lcm(2, d) = 6} = {3, 6}
và do vậy Φ3 (x2 ) = Φ6 (x)Φ3 (x).
Tính chất 1.2.4. Nếu mọi ước nguyên tố của m ∈ N cũng là một ước
của n ∈ N, thì Φmn (x) = Φn (xm ).
Chứng minh. Ta sử dụng Tính chất 1.2.3 với
D = {d ∈ N | lcm(2, d) = 6} = {3, 6}.
mn
với k ∈ N sao cho k | m và gcd(n, k) = 1. Nếu
k
p là một ước nguyên tố của k, thì, bởi vì k | m, p là ước của m, và do
Nếu d ∈ D, thì d =

đó, theo giả thiết p là ước của n. Nhưng p là ước của gcd(n, k), mâu
thuẫn với gcd(n, k) = 1. Do đó k ∈ N không có ước nguyên tố, k = 1 và
d = mn, D = {mn} và Φn (xm ) = Φmn (x).
Ví dụ, vì 400 = 40 · 10 và mọi ước nguyên tố của 40 đều là ước của
10, ta có
Φ400 (x) = Φ10 (x40 ) = x160 − x120 + x80 − x40 + 1.
Nhận xét: Φ400 (x) và Φ10 (x) có cùng hệ số.

8

Hệ quả 1.2.5. Gọi n là tích của các số nguyên tố mà là ước của m ∈ N.
Khi đó Φm (x) = Φn (xm/n ). Nói riêng Φm (x) và Φn (x) có cùng hệ số.
Chứng minh. Vì mọi số nguyên tố mà là ước của m/n đều là ước của n,
m

nên theo Tính chất 1.2.4 ta ó Φm (x) = Φn (x n ) và Φm (x) và Φn (x) có
cùng hệ số.
Tính chất 1.2.6. Nếu n ∈ N lẻ, thì Φ2n (x) = Φn (−x).
Chứng minh. Từ Tính chất 1.2.3, ta tìm được Φn (x2 ) = Φ2n (x)Φn (x).
Thay x bằng −x trong phương trình này được
Φ2n (x)Φn (x) = Φ2n (−x)Φn (−x).

(1.1)

Vì Φn (x2 ) là ước của x2n − 1, nó chỉ các không điểm đơn. Để chứng minh
khẳng định đúng ta chỉ cần chứng minh không điểm của cả hai vế (1.1)
giống nhau.
Nếu Φn (ω) = 0, thì ord ω = n, nên nói riêng ω n = 1. Vì n lẻ, (−ω)n =
−1 và do đó −ω không có bậc n. Điều này có nghĩa rằng −ω phải là
một không điểm của Φ2n (x) và có bậc 2n.
Tương tự, nếu Φ2n (ω) = 0, thì ω n = 1 và (ω n )2 = 1 và nên ω n = −1.
Kết quả là, (−ω)n = 1 và do dó −ω không có bậc 2n. Điều này có nghĩa
−ω có bậc n và là không điểm của Φn (x).
Đa thức chia đường tròn có tính chất là hệ số của chúng giống nhau
khi đọc lùi hay đọc tiến. Những đa thức như vậy được gọi là đa thức
thuận nghịch. Đặc biệt, nếu f (x) là đa thức bậc m, thì xm f (1/x) được
gọi là ngược của f, và f là đa thức thuận nghịch nếu nó bằng ngược của
nó, tức là nếu

f (x) = xm f

1
.
x

(1.2)


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full