Các tính chất của đa thức Narayana (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Nguyễn Thị Thúy

CÁC TÍNH CHẤT
CỦA ĐA THỨC NARAYANA

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Tiến Dũng
Thái Nguyên - 2017


1

Mục lục
Mở đầu

2

1 Giới thiệu về đa thức Narayana
1.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản
1.1.1 Một số khái niệm . . .
1.1.2 Một số tính chất cơ bản
1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

4
4
4
6
7

2 Các đồng nhất thức của đa thức Narayana
2.1 Công thức biểu diễn tích phân . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Các đồng nhất thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
10
12

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

3 Một dãy số nguyên có liên quan đến đa thức Narayana 17
3.1 Định nghĩa dãy An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Tính chất của dãy An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Kết luận

27

Tài liệu tham khảo

28


2

Mở đầu
Đa thức Narayana được giới thiệu và nghiên cứu bởi MacMahon
(1915) và nhà toán học Ấn độ Narayana (1955). Bởi vì tính ứng dụng
được trong các lĩnh vực khác nhau (đặc biệt là các bài toán đếm của
lý thuyết tổ hợp), đa thức Narayana vẫn là đối tượng được quan tâm
nghiên cứu trong vòng 10 năm gần đây.
Mục đích của luận văn là trình bày lại một số tính chất mới của đa
thức Narayana. Nội dung của luận văn được tổng hợp từ các kết quả
chính của các bài báo [9], [6].
Ngoài phần mở đầu và kết luận, bố cục Luận văn có 03 chương chính.
Chương 1. Giới thiệu về đa thức Narayana
1.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản
1.2. Các ví dụ
Chương 2. Các đồng nhất thức của đa thức Narayana
2.1. Công thức biểu diễn tích phân
2.2. Các đồng nhất thức
Chương 3. Một dãy số nguyên có liên quan đến đa thức
Narayana
3.1. Định nghĩa dãy An
3.2. Tính chất của dãy An
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận
tình của TS. Nguyễn Tiến Dũng. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng

dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm
luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình.


3

Tôi xin cảm ơn Trường THPT Thái Phiên - nơi tôi đang công tác, đã
giúp đỡ tạo điều kiện rất nhiều cho tôi hoàn thành khoá học này. Tôi
cũng xin cảm ơn nhóm seminar của Khoa Toán - Tin trường Đại học
Khoa học Thái Nguyên đã giúp tôi bổ sung, củng cố các kiến thức về
Lý thuyết số và Tổ hợp.
Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán - Tin, Trường Đại học
Khoa học Thái Nguyên cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy
khóa cao học K9B2 2015-2017, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao
dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của nhà trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm,
tạo điều kiện, động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ
của mình.
Thái Nguyên, ngày 05 tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thúy


4

Chương 1

Giới thiệu về đa thức Narayana
Chương này trình bày định nghĩa và các ví dụ minh họa cho tính ứng

dụng được của các đa thức Narayana.

1.1
1.1.1

Định nghĩa và tính chất cơ bản
Một số khái niệm

Dãy Catalan
Trong toán tổ hợp, số Catalan là dãy các số tự nhiên xuất hiện nhiều
trong các bài toán đếm, thường bao gồm những đối tượng đệ quy. Được
đặt tên theo nhà toán học người Pháp và Bỉ Eugène Charles Catalan
(1814-1894).
Số Catalan được định nghĩa như sau :

Cn =

1
n+1

2n
n

=

(2n)!
(n + 1)!n!

với n ≥ 0.

(1.1)

2n
là tổ hợp chập n của 2n phần tử.
n
Các giá trị của Cn với 0 ≤ n ≤ 14 được cho bởi dãy số sau : 1, 1, 2, 5, 14,
42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 14858, 742900, 2674440.
Dãy số Narayana
Định nghĩa : Dãy số Narayna, ký hiệu N (n, k), là dãy các số nguyên
Trong đó


5

được cho bởi công thức sau :

1
n

n
, với hai giá trị nguyên dương n, k.
k
(1.2)
Các giá trị đầu với n từ 1 đến 7 của các số Narayana được cho bởi bảng
sau :
Bảng 1.1

N (0, 0) = 1 và N (n, k) =

n

k−1

n\k 1 2
1
1
2
1 1
3
1 3
4
1 6
1 10
5
6
1 15
7
1 21

3

4

5

6

7

1
6

20
50
105

1
10 1
50 15 1
175 105 21 1

Đa thức Narayana
Định nghĩa : Đối với bất kỳ số nguyên n không âm, đa thức Narayana
kí hiệu là Nn (q) được xác định bởi N0 (q) = 1
và
n

N (n, k)q k ,

Nn (q) =

với

n>0

(1.3)

k=1

Với N (n, k) là số Narayana cho bởi (1.2).
Các giá trị đầu với n nhận giá trị từ 1 đến 7 của dãy đa thức Narayana
được cho bởi bảng sau :

n
1
2
3
4
5
6
7

q
q
q
q
q
q
q

+
+
+
+
+
+

q2
3q 2
6q 2
10q 2
15q 2
21q 2

+
+
+
+
+

q3
6q 3
20q 3
50q 3
105q 3

+
+
+
+

q4
10 q 4 + q 5
50 q 4 + 15 q 5 +q 6
175 q 4 + 105 q 5 +21 q 6 +q 7


6

Định nghĩa : Với mọi n ≥ 0. Các đa thức Narayana liên hợp N n (q) của
Nn (q) được xác định bởi

N 0 (q) = N0 (q) = 1

và với n > 0, ta có

N n (q) = q n Nn (q −1 ) = Nn (q)/q.
1.1.2

(1.4)

Một số tính chất cơ bản

Tính chất 1.
Các số Narayana là đối xứng theo dòng, tức là N (n, k) = N (n, n−k+1).
Chứng minh.
1
n
n
Ta có N (n, n − k + 1) =
n−k+1
n n−k

1
n
n
= N (n, k).
k
n n−k
Tính chất 2.
Các số Narayana cũng có thể tính bởi công thức sau :

=

N (n, k) =

1
k

n
k−1

n−1
k−1

Chứng minh.
Ta có

1
k

n
k−1

n−1
k−1

=

n
k−1

1
(n − 1)!

k (k − 1)!(n − k)!

=

n
k−1

n!
1
n k!(n − k)!

=

1
n

n
k−1

= N (n, k).

n
k


7

Tính chất 3.
Narayana thứ n của 1 bằng số Catalan thứ n
n

N (n, k) = Cn .

Nn (1) =
k=1

Tính chất 4.

Nn (−1) =

0

nếu n = 2r

(−1)r+1 Cr

nếu n = 2r + 1

Chứng minh của các tính chất 3, 4 và 5 có thể tìm thấy trong [2].
Tính chất 5.
Đa thức Narayana được biểu diễn một cách khác như sau :

1
Nn (q) =
n+1
n

=
k=0

n

k=0

n+k
n−k

n+1
k
1
k+1

2n − k
(q − 1)k .
n
2k
(q − 1)n−k .
k

Tính chất 6.
Đa thức N n (q) được biểu diễn thông qua các số Catalan bằng công thức
sau :
n−1
q m (q + 1)n−2m−1
Cm .
N n (q) =
2m
m≥0
Công thức biểu diễn mới này đã được chứng minh trong [8].

1.2

Các ví dụ

Ví dụ 1.
Số Narayana N (n, k) đếm số biểu thức chứa n cặp dấu ngoặc đơn và có
đúng k cụm phân biệt. Chẳng hạn, ta có :
+ Với n cặp dấu ngoặc đơn và 1 cụm phân biệt thì có N (n, 1) = 1 cách
biểu diễn : (. . . ((a)) . . .)
+ Có 6 cặp dấu ngoặc đơn và 2 cụm phân biệt thì có N (4, 2) = 6 cách


8

biểu diễn : (a)(((b))) ((a))((b)) ((a)((b))) (((a)(b))) (((a))(b)) (((a)))(b)
Ví dụ 2.
Số Narayana N (n, k) đếm số quỹ đạo (cách đi) từ trái sang phải với
k đỉnh từ điểm (0, 0) đến điểm (2n, 0). Ở đó các bước đi là các véc tơ
có tọa độ (1; 1) hoặc (1; −1). Các quỹ đạo đi từ điểm (0; 0) đến điểm
(8; 0). Để minh họa, ta có bảng sau cho các số N (4, k).

Ví dụ 3.
Số Narayana N (n, k) đếm số cách phân hoạch một tập có n phần tử
thành k tập con, trong đó các phân hoạch là không giao nhau. Lược đồ
sau minh họa cho trường hợp N (4, k).
+ Số phân hoạch 4 phần tử thành 1 tập con : N (4, 1) = 1.


9

+ Số phân hoạch 4 phần tử thành 2 tập con không giao nhau : N (4, 2) =
6.
+ Số phân hoạch 4 phần tử thành 3 tập con không giao nhau : N (4, 3) =
6.
+ Số phân hoạch 4 phần tử thành 4 tập con khác rỗng : N (4, 4) = 1.


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full