Về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ CÚC

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN
CHO LỚP HỆ ĐỘNG LỰC DƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ CÚC

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN
CHO LỚP HỆ ĐỘNG LỰC DƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

Người hướng dẫn khoa học: TS. MAI VIẾT THUẬN

THÁI NGUYÊN - 2017

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Mai Viết Thuận. Từ tận
đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy của
tôi và tôi sẽ cố gắng phấn đấu hơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên,
cùng các giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán của trường Đại học
Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K9A (khóa
2015–2017) đã luôn động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học
tập, nghiên cứu.
Nhân dịp này, tôi cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn
động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập,
nghiên cứu và làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tác giả
Nguyễn Thị Cúc

i


Mục lục
Lời cảm ơn

i

Mục lục

ii

Một số ký hiệu và viết tắt

iii

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1. Hệ tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Hệ tuyến tính dương có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Bất đẳng thức ma trận tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương 11
2.1. Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính
dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3 Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương
có trễ

17

3.1. Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính
dương có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.2. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Kết luận của luận văn

29
ii


Tài liệu tham khảo

30

iii

Một số ký hiệu và viết tắt

R, R+

tập các số thực, số thực không âm tương ứng

Rn

không gian véctơ Euclide thực n−chiều
n

x

T

n

chuẩn Euclide của véctơ x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R , x

2

2

x2i

=
i=1

x

∞

Rn×r

chuẩn vô cùng của véctơ x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Rn , x

∞

= max |xi |
i=1,...,n

không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong Rn
AT

ma trận chuyển vị của ma trận A

I

ma trận đơn vị

λ(A)

tập hợp tất cả các giá trị riêng của ma trận A

λmax (A)

= max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin (A)

= min{Reλ : λ ∈ λ(A)}
chuẩn phổ của ma trận A, A =

A

λmax (AT A)

A≥0

ma trận A nửa xác định dương, tức là Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn

A≥B

nghĩa là A − B ≥ 0

A>0

ma trận A xác định dương, tức là Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0

A

0

A là một ma trận không âm

A≻0

A là một ma trận dương

LM Is

Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities).

iii


Mở đầu
Một hệ động lực được gọi là hệ động lực dương hoặc gọi tắt là một hệ
dương nếu quỹ đạo của các véc tơ trạng thái bắt đầu từ điều kiện ban đầu
đều nằm trong orthant dương với mọi điều kiện đầu vào không âm. Hệ dương
xuất hiện nhiều trong lĩnh vực về khoa học và công nghệ như các quá trình
sinh học, hóa học, trong các mô hình dân số, trong cơ học, kinh tế học [3], [6],
[7]. Do đó việc nghiên cứu tính chất định tính của các hệ động lực dương có
trễ cũng như không có trễ đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học
trên thế giới. Tính ổn định theo nghĩa Lyapunov cho hệ dương được nghiên
cứu trong [9], [10], [11]. Chú ý rằng tính ổn định theo nghĩa Lyapunov nghiên
cứu dáng điệu của hệ động lực dương trong khoảng thời gian vô hạn.
Tuy nhiên, trong các ứng dụng thực tế, ta luôn cần phải xem xét dáng điệu
của véc tơ trạng thái của hệ động lực dương trong một thời gian hữu hạn,
khi đó các giá trị lớn của véc tơ trạng thái là không thể chấp nhận. Một hệ
dương được gọi là ổn định hữu hạn thời gian nếu khi ta đưa ra một giới hạn
cho điều kiện ban đầu, véc tơ trạng thái của hệ không vượt ra khỏi ngưỡng đã
giới hạn trong suốt khoảng thời gian đã cho. Những năm gần đây, đã có một
vài kết quả nghiên cứu về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương.
Chẳng hạn, trong [5], các tác giả đã nghiên cứu tính ổn định hữu hạn cho lớp
hệ tuyến tính chuyển mạch dương. Gần đây, bài toán ổn định hữu hạn và ổn

định hóa được hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính chuyển mạch phân
thứ được nghiên cứu trong [13]. Chú ý rằng các kết quả trên nghiên cứu tính
ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ chuyển mạch và sử dụng định nghĩa

1


ổn định hữu hạn thời gian đối với lớp hệ chuyển mạch. Định nghĩa này khác
hoàn toàn đối với định nghĩa hữu hạn thời gian được đưa ra bởi Amato và
các cộng sự [2]. Do đó việc nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đối với
hệ động lực dương bằng cách sử dụng định nghĩa của Amato và các cộng sự
[2] là cần thiết và có ý nghĩa khoa học.
Vì những lý do phân tích ở trên, trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu
tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ và không
có trễ. Luận văn gồm có 3 chương với những nội dung chính sau:
Chương 1 "Một số kiến thức chuẩn bị". Trong chương này, chúng tôi giới
thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản về hệ tuyến tính dương có trễ
và không có trễ. Nội dung chính của chương này được chúng tôi tham khảo
trong các tài liệu [7], [8].
Chương 2 "Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương".
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về tính ổn định hữu
hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương với cách tiếp cận sử dụng bài toán
quy hoạch tuyến tính và bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
Chương 3 "Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương
có trễ". Bằng cách sử dụng ý tưởng chọn hàm Lyapunov trong bài báo [14],
chúng tôi chứng minh được một số điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn
thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ hằng số. Cuối chương, chúng tôi
đưa ra hai ví dụ số minh họa cho kết quả lí thuyết.

2

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về kết quả về
tính ổn định và ổn định hóa được của các hệ phương trình vi phân thường
và hệ phương trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả
bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho
các chương sau. Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [1], [7],
[8].

1.1.

Hệ tuyến tính dương

Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản về ma trận dương,
ma trận Metzler và khái niệm hệ dương.
Định nghĩa 1.1 [7] Cho ma trận A ∈ Rn×m.
(i) Ma trận A = (aij )n×m ∈ Rn×m được gọi là ma trận không âm nếu aij ≥
0,
là A

∀i = 1, . . . , n, ∀j = 1, . . . , m. Khi đó ma trận không âm A được ký hiệu
0.

(ii) Ma trận A = (aij )n×m ∈ Rn×m được gọi là ma trận dương nếu tất cả các
thành phần của ma trận A đều dương, tức là aij > 0,

∀i = 1, . . . , n, ∀j =

1, . . . , m. Khi đó ma trận dương A được ký hiệu là A ≻ 0.

3


Ngoài ra, ta ký hiệu
Rn+ = {x = (x1 , . . . , xn )T ∈ Rn : xi ≥ 0 (i = 1, . . . , n)},
Rn×m
= {A = (aij )n×m ∈ Rn×m : aij ≥ 0 (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m)}.
+
Định nghĩa 1.2 Ma trận A = (aij )n×m ∈ Rn×m được gọi là ma trận Metzler
nếu aij ≥ 0, ∀ i = j.
Định lí sau cho ta mối quan hệ về tính dương của ma trận mũ và ma trận
Metzler.
Định lý 1.1 [7] Cho A là một ma trận vuông cấp n. Khi đó A là ma trận
Metzler khi và chỉ khi eAt

0, với t > 0 nào đó.


−1 0 1




Ví dụ 1.1 Cho ma trận A =  0 2 1 .


0 0 2
Theo Định nghĩa 1.2 thì A là một ma trận Metzler. Ta tính được ma trận

eAt là
eAt



1 −t
1 2t
−t
e
0 −3e + 3e




2t
= 0 e
.
0


2t
0 0
e

Ta thấy eAt là một ma trận không âm.

Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm về hệ động lực dương.
Xét hệ điều khiển tuyến tính mô tả bởi hệ phương trình vi phân
x(t)
˙

= Ax(t) + Bu(t),

t ≥ 0,

(1.1a)

x(0) = x0 ,

(1.1b)

y(t) = Cx(t) + Du(t),

(1.1c)

trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển,
y(t) ∈ Rp là véc tơ quan sát, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×m là
các ma trận hằng số cho trước.
4


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full