Một số nguyên lý và kỹ thuật để giải các bài toán tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ MINH PHƯƠNG

MỘT SỐ NGUYÊN LÝ VÀ KỸ THUẬT
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ MINH PHƯƠNG

MỘT SỐ NGUYÊN LÝ VÀ KỸ THUẬT
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng

Thái Nguyên - 2017

i

Mục lục

Danh sách kí hiệu

ii

Mở đầu

3

Chương 1. Hệ số nhị thức và hệ số đa thức

5

1.1

1.2

1.3

Hệ số nhị thức và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Định lý nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Các đồng nhất thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Tam giác Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.4

Đồng nhất thức Chu Shih-Chieh . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.5

Một số tính chất của hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Hệ số đa thức và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.1

Hệ số đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.2

Định lý đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Một số bài toán vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Chương 2. Nguyên lý Dirrichlet, nguyên lý bao hàm – loại trừ, và hàm sinh

38

2.1

Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2

Nguyên lý bao hàm – loại trừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.3

Hàm sinh và quan hệ truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3.1

Các hàm sinh thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3.2

Phân hoạch nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Các bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2.4
Kết luận

73

Tài liệu tham khảo

74


ii

Danh sách kí hiệu
Z

tập hợp các số nguyên

N

tập hợp các số tự nhiên

n!

n giai thừa, được xác định bởi n! = 1 · 2 · 3 · · · n

n
r

hoặc Cnr

số tổ hợp chập r của n phần tử

deg P(x)

bậc của đa thức P(x)

a ≡ b (mod p)

a đồng dư với b theo modulo p

gcd(a, b)

ước chung lớn nhất của hai số nguyên a và b

a|b

a là ước của b

a b

a không phải là ước của b

x
m

∑ ai
i=1
m

∏ bi

phần nguyên của x
ký hiệu tổng a1 + a2 + · · · + am
ký hiệu tích b1 b2 · · · bm

i=1

P(X)

tập tất cả các tập con của tập hợp X

|A|

số phần tử của tập hợp A


3

Mở đầu
Trong nhiều năm tổ hợp luôn là một chuyên đề lớn đối với các học viên chuyên
ngành toán sơ cấp. Các nguyên tắc và kĩ thuật cơ bản trong tổ hợp ngày càng có
nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác, đặc biệt trong khoa học máy tính. Nhận
thức được vai trò của lý thuyết tổ hợp đối với đời sống hiện đại nên lý thuyết tổ
hợp đã được đưa vào chương trình học phổ thông và chiếm một phần trong các kì
thi toán quốc gia và quốc tế. Trong chương trình bậc đại học và cao học, học viên
chưa có điều kiện làm quen và nghiên cứu các nguyên lý và kĩ thuật trong đại số
tổ hợp hoặc có thì cũng không nhiều và không sâu. Mặt khác, ở nước ta tài liệu về
tổ hợp chưa nhiều.
Mục tiêu của đề tài luận văn là tìm hiểu một số nguyên lý và kỹ thuật để giải
các bài toán tổ hợp nâng cao như: Nguyên lý Dirrichlet và Nguyên lý bao hàm và
loại trừ, kỹ thuật sử dụng hệ số nhị thức, hệ số đa thức, quan hệ truy hồì và phương
pháp hàm sinh.
Về mặt ứng dụng, luận văn sẽ áp dụng lý thuyết để soi sáng những bài toán
tổ hợp ở phổ thông, phân loại và hệ thống hoá (theo dạng cũng như phương pháp

giải) các bài tập nâng cao về tổ hợp và sáng tác ra những bài toán tổ hợp mới.
Tác giả cố gắng phấn đấu để bản luận văn sẽ cung cấp thêm một tài liệu tham
khảo tốt về tổ hợp cho học sinh phổ thông, đặc biệt là dành cho các em học sinh
có năng khiếu môn toán. Tác giả hy vọng luận văn sẽ đáp ứng được phần nào lòng
yêu thích khám phá toán học của các em học sinh đồng thời cũng là một tài liệu
hữu ích để các bạn đồng nghiệp cùng tham khảo. Ngoài ra thông qua việc viết luận
văn, tác giả có cơ hội mở rộng nâng cao hiểu biết về toán sơ cấp nói chung và tổ
hợp nói riêng, nâng cao kỹ năng các giải các bài toán tổ hợp, phục vụ tốt cho việc
giảng dạy môn toán ở trường phổ thông.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1. Hệ số nhị thức và hệ số đa thức. Trong chương này chúng tôi trình
bày định lí về hệ số của nhị thức, hệ số của đa thức. Các tính chất của hệ số nhị


4
thức và hệ số của đa thức và một số ví dụ vận dụng trong giải các bài toán tổ hợp
Chương 2. Nguyên lý Dirrichlet và Nguyên lý bao hàm – loại trừ và hàm
sinh. Trong chương này chúng tôi trình bày các nguyên lý cơ bản, như nguyên lý
Dirichlet, nguyên lý bao hàm – loại trừ và hàm sinh. Một số ví dụ và bài toán áp
dụng các nguyên lý trên.
Trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được sự hướng dẫn
của GS. TSKH. Đặng Hùng Thắng (Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội). Tác giả
xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy, người đã đặt vấn đề
nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc của tác
giả trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học – Đại
học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, cùng các giảng viên đã tham
gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả muốn dành những lời cảm ơn đặc biệt nhất đến gia đình vì
những động viên và chia sẻ những khó khăn để tác giả hoàn thành tốt luận văn này.

Thái Nguyên, ngày 04 tháng 11 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Minh Phương


5

Chương 1

Hệ số nhị thức và hệ số đa thức
1.1

Hệ số nhị thức và tính chất

1.1.1

Định lý nhị thức

Trong phần này, chúng tôi trình bày về định lý nhị thức, các tính chất của hệ số nhị
thức và ứng dụng trong các bài toán tổ hợp. Chúng ta bắt đầu với dạng đơn giản
sau đây của Định lý nhị thức được phát hiện bởi Isaac Newton (1646-1727) năm
1676.
Định lí 1.1.1. Với mỗi số nguyên bất kỳ n ≥ 0, ta có
n n
n n−1
n
n n
x +
x y+···+

xyn−1 +
y
0
1
n−1
n
n
n n−r r
x y.
=∑
r
r=0

(x + y)n =

Chứng minh thứ nhất - Quy nạp toán học. Với n = 0, kết quả là tầm thường như
là (x + y)0 = 1 =

0
0

x0 y0 . Giả sử nó xảy ra khi n = k với một số nguyên k ≥ 0 nào

đó, đó là
k

(x + y)k =

∑

r=0

k k−r r
x y.
r

Xét n = k + 1. Quan sát thấy rằng
(x + y)k+1 = (x + y)(x + y)k
k

= (x + y) ∑

r=0

k

=

∑

r=0

=

k k−r r
x y
r

(bởi giả thiết quy nạp)

k k+1−r r k k k−r r+1
x
y ∑
x y
r
r=0 r

k k+1
k k
k k−1 2
k
x +
x y+
x y +···+
xyk
0
1
2
k


6
+

k k
k k−1 2
k
k k+1
x y+
x y +···+

xyk +
y .
0
1
k−1
k

Áp dụng (??) và kết quả tầm thường,
k
k+1
=1=1
0
0

k
k+1
=1=
,
k
k+1

và

ta có
(x + y)k+1 =

k + 1 k+1
k+1 k
k+1
k + 1 k+1

x +
x y+···+
xyk +
y ,
0
1
k
k+1

đây là điều ta cần. Phép chứng minh hoàn thành bởi nguyên lý quy nạp toán học.

Chứng minh thứ hai - Phương pháp tổ hợp. Đủ để chứng minh rằng hệ số của xn−r yr
trong khai triển của (x + y)n là

n
r

.

Để khai triển tích
(x + y)n = (x + y)(x + y) · · · (x + y),
n

ta chọn một trong hai x hoặc y từ mỗi nhân tử (x + y) và sau đó nhân chúng với
nhau. Như vậy, để tạo thành xn−r yr , trước hết ta chọn r trong n nhân tử (x + y) và
sau đó chọn “y” từ r nhân tử đã chọn (và tất nhiên chọn “x” từ phần còn lại (n − r)
nhân tử). Bước đầu tiên có thể được thực hiện theo
là một cách. Do đó, số cách để tạo thành xn−r yr là

1.1.2

n
r
n
r

cách trong khi cách thứ hai
.

Các đồng nhất thức tổ hợp

Định lý nhị thức là một kết quả cơ bản trong toán học có rất nhiều ứng dụng. Trong
phần này, chúng ta sẽ thấy Định lý 1.1.1 sinh ra một cách dễ dàng nhiều tính chất
thú vị liên quan đến hệ số nhị thức. Để đơn giản trong so sánh, một số cách chứng
minh khác của những tính chất này sẽ được đưa ra.
Ví dụ 1.1.2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 0, ta có
n

∑

r=0

n
n
n
n
=
+
+···+
= 2n .

r
0
1
n

(1.1)


7
Chứng minh thứ nhất. Cho x = y = 1 trong Định lý 1.1.1, ta có được ngay
n

∑

r=0

n
= (1 + 1)n = 2n .
r

Và điều này kết thúc phép chứng minh.
Chứng minh thứ hai. Cho X là một tập hợp có n phần tử và P(X) là tập hợp tất
cả các tập hợp con của X. Ta sẽ đếm lực lượng |P(X)| theo hai cách.
Với mỗi r = 0, 1, . . . , n, số tập con có r phần tử của X là

n
r

theo định nghĩa.

Do đó
|P(X)| =

n
n
n
+
+···+
.
0
1
n

Mặt khác, ta có |P(X)| = 2n . Do đó, ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ 1.1.3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 1, ta có
n

•

∑ (−1)r

r=0

n
=
r

n
n
n

n
= 0,
−
+
− · · · + (−1)n
n
0
1
2
n
n
n
+
+···+
+··· =
0
2
2k
n
n
n
=
+
+···+
+ · · · = 2n−1 .
1
3
2k + 1
=

•

(1.2)

(1.3)

Chứng minh. Cho x = 1 và y = −1 trong Định lý 1.1.1, ta nhận được
n

∑

r=0

n
(−1)r = (1 − 1)n = 0,
r

mà nó chính là đồng nhất thức thứ nhất. Đồng nhất thức thứ hai thu được từ đồng
nhất thức thứ nhất và đồng nhất thức (1.1).
Nhận xét 1.1.4. Một tập con A của một tập X khác rỗng được gọi là một tập hợp
chẵn phần tử (tương ứng lẻ phần tử) của tập X nếu |A| là chẵn, tương ứng lẻ. Đồng
nhất thức (1.3) nói rằng, cho trước một tập n phần tử của X, số các tập con chẵn
phần tử bằng số tập con lẻ phần tử của X.
Ví dụ 1.1.5. Chứng minh rằng với mọi số n ∈ N, ta có
n

∑r

r=1

n
n
n
n
n
=
+2
+3
+···+n
= n · 2n−1 .
r
1
2
3
n

(1.4)


8
Chứng minh thứ nhất. Cho x = 1 Định lý 1.1.1 cho ta
n

(1 + y)n =

∑

r=0

n r

y.
r

Đạo hàm hai vế của đồng nhất thức trên theo biến y ta có
n

n(1 + y)n−1 =

∑r

r=1

n r−1
y .
r

Cuối cùng, bằng cách đặt y = 1, ta có
n

n
= n(1 + 1)n−1 = n · 2n−1 .
r

∑r

r=1

Ta có điều cần chứng minh.
Chứng minh thứ hai. Đồng nhất thức
n

n n−1
=
r
r r−1
có thể được viết lại thành
r

với điều kiện là r ≥ 1

n
n−1
=n
.
r
r−1

Do đó
n

n
n
n−1
n
n−1
∑ r r = ∑ n r−1 = n ∑ r−1
r=1
r=1
r=1
n−1

=n∑

s=0

n−1
(cho s = r − 1)
s

= n · 2n−1

(bởi (1.1)).

Ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.1.6. Mở rộng các kỹ thuật được sử dụng trong hai chứng minh ở trên,
người ta cũng có thể chứng minh rằng
n

∑ r2

n
= n(n + 1)2n−2 ,
r

∑ r3

n
= n2 (n + 3)2n−3
r

r=1

n

r=1


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full