Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN

THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI
SỐ KHÔNG GIỚI NỘI TÌM KHÔNG ĐIỂM
CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN

THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI
SỐ KHÔNG GIỚI NỘI TÌM KHÔNG ĐIỂM
CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

GS. TS. NGUYỄN BƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2017


i

Mục lục
Bảng ký hiệu

ii

Lời nói đầu

1

1

3
3

Một số bài toán liên quan
1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
1.3

Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian Hilbert . 10
Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 13

1.4

Phương pháp điểm gần kề

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm
không điểm của toán tử đơn điệu cực đại
20
2.1 Thuật toán điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2
2.3

Thuật toán điểm gần kề mới . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
So sánh hai thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Ứng dụng
30
3.1 Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . 32

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35

ii

Bảng ký hiệu
Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định
trong bảng dưới đây:
R
tập số thực
Rn
H

không gian véc tơ n chiều tương ứng
không gian Hilbert thực

A
dom A
gra A
domf
epif
zer(A)
Jr,T
NC
∅
x, y
I

toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert
miền xác định của toán tử A
đồ thị của toán tử A
miền hữu hiệu của hàm f

tập trên đồ thị của hàm f
tập tất cả không điểm của A, A−1 (0)
toán tử giải của toán tử T
hình nón chuẩn tắc ứng với tập lồi C
tập rỗng
tích vô hướng của hai véc tơ x và y
ánh xạ đơn vị


1

Lời nói đầu
Bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không
gian Hilbert có nhiều ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau
như: kinh tế, tối ưu hóa và các bài toán liên quan đến vật lý... Một trong
những phương pháp nổi bật để giải bài toán tìm không điểm của toán tử
đơn điệu cực đại là phương pháp điểm gần kề được đề xuất nghiên cứu bởi
Martinet cho cực tiểu phiếm hàm lồi trên Rn và sau này được mở rộng bởi
Rockafellar.
Mới đây Boikanyo và Morosanu nghiên cứu sự hội tụ của thuật toán
điểm gần kề với sai số cho toán tử đơn điệu cực đại A. Họ giả thiết tập
không điểm của toán tử A là khác rỗng và dãy sai số (en ) là giới nội. Trong
đề tài luận văn này chúng tôi xét một dãy tạo bởi

xn+1 = Jγn (λn u + (1 − λn )(xn + en )), ∀n

0

và đưa ra điều kiện cần và đủ cho tập không điểm của A là khác rỗng.
Chúng tôi cũng chỉ ra rằng dãy (xn ) hội tụ mạnh đến phép chiếu của u

lên A−1 (0) không cần giả thiết tính giới nội của (en ). Luận văn được trình
bày thành 3 chương với nội dung chính sau:
I: Trong chương này trình bày một số kiến thức về khái niệm không
gian Hilbert, một số ví dụ minh họa, bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi
trong không gian Hilbert và thuật toán điểm gần kề cổ điển.
II: Trình bày hai thuật toán điểm gần kề và so sánh sự tối ưu của hai
thuật toán.
III: Trình bày về ứng dụng của thuật toán điểm gần kề trong bài toán
tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân.


2

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TS. Nguyễn Bường, tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã dành nhiều thời
gian và tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tác giả trong quá trình
học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng toàn
thể các thầy cô trong và ngoài trường đã giảng dạy giúp tôi trau dồi thêm
rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của bản thân.
Đồng thời tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán
K9C (khóa 2015-2017) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá
trình học tập.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập,
nghiên cứu và làm luận văn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, 29 tháng 9 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Hồng Vân


3

Chương 1

Một số bài toán liên quan
Chương này nhắc lại một số kiến thức về định nghĩa không gian Hilbert,
giải tích lồi và phương pháp điểm gần kề. Kiến thức chương này được tham
khảo trong tài liệu [1], [2].
1.1

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 Một tập X được gọi là không gian tuyến tính trên R
nếu với mỗi cặp (x, y) ∈ X × X , một phần tử của X , ta gọi là tổng của
x và y , ký hiệu là x + y ; với mỗi α ∈ R và x ∈ X , một phần tử của X gọi
là tích của α và x, ký hiệu là αx thỏa mãn các điều kiện sau:
i. x + y = y + x với mọi x, y ∈ X (tính chất giao hoán).
ii. (x + y) + z = x + (y + z), với mọi x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp).
iii. tồn tại phần tử không của X , ký hiệu 0, sao cho: x + 0 = 0 + x với
mọi x ∈ X .
iv. với mọi x ∈ X , tồn tại phần tử đối của x, ký hiệu là −x, sao cho
x + (−x) = 0 với mọi x ∈ X .
v. 1 · x = x · 1 = x, với mọi x ∈ X (1 là phần tử đơn vị).
vi. α(βx) = (αβ)x, với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X .
vii. (α + β)x = αx + βx, với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X .

viii. α(x + y) = αx + αy , với mọi α ∈ R, với mọi x, y ∈ X .


4

Định nghĩa 1.1.2 Cho H là một không gian tuyến tính trên trường số
thực R. Tích vô hướng trên không gian H là một ánh xạ đi từ tích Descartes
H × H vào R, ký hiệu là ., . , thỏa mãn các điều kiện sau:
i. x, y = y, x với mọi x, y ∈ H.
ii. x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H.
iii. αx, y = α x, y với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R.
iv. x, x > 0 nếu x = 0 và x, x = 0 nếu x = 0.
Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy ra
i. x, αy = α y, x với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R.
ii. x, y + z = x, y + x, z với mọi x, y, z ∈ H.
Định nghĩa 1.1.4 Không gian tuyến tính H cùng với một tích vô hướng
trên nó được gọi là một không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.1.5 (bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H,
với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau:

| x, y |2 ≤ x, x y, y .

(1.1)

Chứng minh.Với mọi số thực α và với mọi x, y ∈ H ta có:

0 ≤ x − αy, x − αy = x, x − 2α x, y + α2 y, y .
Từ đây suy ra

∆ = | x, y |2 − x, x y, y ≤ 0 với mọi x, y ∈ H.

Hay

| x, y |2 ≤ x, x y, y

với mọi x, y ∈ H.

Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.1) xảy ra khi và chỉ khi x và y
phụ thuộc tuyến tính.


5

Định lý 1.1.6 Không gian tiền Hilbert H là một không gian tuyến tính
định chuẩn với chuẩn được xác định bởi

x =

x, x

với mọi x ∈ H.

(1.2)

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng. Hàm số x =
x, x với mọi x ∈ H là một chuẩn trên H.
Chứng minh.Thật vậy, từ điều kiện (iv) của Định nghĩa 1.1.2 ta có
x > 0 nếu x = 0 và x = 0 nếu x = 0 với x ∈ H. Từ điều kiện (i) và
(iii) của Định nghĩa 1.1.2 ta suy ra αx = |α|. x với mọi α ∈ R và mọi
x ∈ H. Từ bất đẳng thức Schwarz và cách định nghĩa chuẩn ta có:

| x, y | ≤ x . y

với mọi x, y ∈ H.

(1.3)

Từ đó với mọi x, y ∈ H ta có:

x + y, x + y = x, x + 2 x, y + y, y
≤ x

2

+2 x . y + y

2

=

x + y

2

.

Suy ra x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ H.
Định nghĩa 1.1.7 Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ
đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.2) thì H được gọi
là không gian Hilbert thực.
Ví dụ 1.1.8 Không gian

∞
2

|xn |2 < +∞

l = x = {xn }n ∈ R :
n=1

là không gian Hilbert với tích vô hướng
∞

x, y =

xn yn ,
n=1

x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l2


6

và chuẩn
∞

x =

∞
2

|2

|xn =

x, x =

|xn |

n=1

1
2

.

n=1

Ví dụ 1.1.9 Không gian L2 [a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng:
b

(x, y) =

x(t)y(t)dt,

∀x, y ∈ L2 [a, b]

a

và chuẩn

1

2

b

|x(t)|2 dt

x =

.

a

Ví dụ 1.1.10 Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên
khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R. Trong C[a, b] xét tích vô hướng
b

x(t)y(t).dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b].

x, y =
a

Không gian C[a, b] với chuẩn
b
2

|x(t)| dt

x =

1

2

a

là không gian tiền Hilbert, nhưng không phải là không gian Hilbert.
Định lý 1.1.11 Giả sử {xn }n∈N , {yn }n∈N là hai dãy lần lượt hội tụ mạnh
đến x0 , y0 trong không gian tiền Hilbert thực H. Khi đó,

lim xn , yn = x0 , y0 .

n→∞

Chứng minh. Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 trong không gian Hilbert

H.
Ta sẽ chứng minh

n→∞

n→∞

lim xn , yn = x0 , y0

n→∞

trong R.


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full