GT1 vitichphan 2008 2009b

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1 - Tính Vi Tích Phân
Học kỳ I - 2008-2009
THỜI GIAN : 90 PHÚT
(Thí sinh được tham khảo mọi tài liệu mang theo )

Sinh viên làm càng nhiều càng tốt, điểm 10 dành cho một số sinh viên làm đúng nhiều
câu hỏi. Trong các câu chỉ có một khẳng định, thí sinh phải chứng minh khẳng định của
mình. Trong các câu hỏi có trường hợp đúng có trường hợp sai, thí sinh phải cho các thí
dụ tương ứng và chứng minh các khẳng định trong các thí dụ đó.
Giải các câu sau :
1. Cho dãy số thực {xn } sao cho lim inf xn là một số thực a. Đặt A = {xn : n ∈ IN}.
n→∞

Hỏi a = inf A đúng hay sai ?
2. Cho f là một hàm số thực liên tục trên một khoãng mở (a, b). Hỏi tập f ((a, b)) là
một khoảng mở đúng hay sai ?
3. Cho f là một hàm số thực khả vi trên một khoảng mở (a, b). Giả sử có x, y và z
trong (a, b) sao cho x < y < z và f (y) < min{f (x), f (z)}. Hỏi : có c trong (a, b) sao cho
f (c) = 0 đúng hay sai?
4. Cho f là một hàm số thực liên tục trên một khoảng mở (a, b). Giả sử
d

f (t)dt ≤ 0

∀ c, d ∈ (a, b), c < d.

c

Hỏi : f (x) ≤ 0 với mọi x trong (a, b) đúng hay sai?
5. Cho f là một hàm số thực khả vi trên một khoảng mở (a, b). Đặt
g(x) = max{0, f (x)}

∀ x ∈ (a, b).

Hỏi : g khả vi trên (a, b) đúng hay sai?
6. Phủ định mệnh đề sau : Có một số thực dương M sao cho với mọi số thực dương α
có x và y trong [0, 1] để cho |x − y| ≤ α và |f (x) − f (y)| ≥ M.
7. Cho {an } là một dãy số thực dương sao cho

∞

∞

an hội tụ trong IR. Hỏi:
n=1

(−1)3n an
n=1

có hội tụ trong IR hay không?
1
8. Hỏi dãy {(1 + n12 ) n2 } có hội tụ hay không?
9. Cho f là một hàm số thực khả vi trên một khoảng mở (a, b). Giả sử tập {f (x) : x ∈
(a, b)} bị chặn trong IR. Hỏi lim f (x) có và bằng một số thực hay không?
x→a

Hết

1