SỐ PHỨC FILE WORD TRẦN ĐÌNH cư

Chuyên Đề Số Phức

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 1


Chuyên Đề Số Phức

MỤC LỤC
MỤC LỤC...............................................................................................................................................1
(BỘ CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BAO GỒM 9 CHỦ ĐỀ)..........................................................................2
(SẼ UPDATE TRONG THOI GIAN TỚI)CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN..............................2

(BỘ CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BAO GỒM 9 CHỦ ĐỀ)
(SẼ UPDATE TRONG THOI GIAN TỚI)

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 2


Chuyên Đề Số Phức

CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN
Phương pháp
Cho hai số phức z  a  bi, z'  a' b'i,  a,b,a',b' �� ta cần nhớ các định nghĩa và phép tính
cơ bản sau:
�
a  a'
z  z' � �

.
�b  b'
z  z'   a  a'   b  b' i;

z  z'   a  a'   b  b' i.

z.z'   a  bi   a' b'i   aa' bb'  ab' a'b i.

z' z'.z  a' b'i   a  bi  aa' bb'  ab' a'b i
 2 

.
z
z
a2  b2
a2  b2

Vận dụng các tính tính chất trên ta có thể dễ dàng giải các bài toán sau.
Ta cũng cần chú ý kết quả sau: Với i n , n�� thì

 

k



Nếu n  4k  k �� thì i n  i 4k  i 4



Nếu n  4k  1  k �� thì i n  i 4k i  1.i  i



Nếu n  4k  2  k �� thì i n  i 4k i 2  1. 1  1



Nếu n  4k  3  k �� thì i n  i 4k i 3  1. i   i

1

I. CÁC VÍ DỤ MẪU
3 1
2
3
2
 i . Tính các số phức sau: z; z ; (z) ;1 z  z .
2 2
Ví dụ 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức:
Ví dụ 1. Cho số phức: z 
a) z   9  5i    1 2i  ;
c) z   2  i 

3

b) z   4  3i   4  5i  ;
2i
.
i1

d) z 

;

Ví dụ 3. Thực hiện các phép tính sau:
1
a) A 
 1 i   4  3i  ;
d) D 

5  6i
b) B 
;
4  3i

c)

C

1
1
3

i
2 2

2026

3  2i

;
i

�1 7i �
e) �
�
�4  3i �

Ví dụ 4. Viết các số phức sau đây dưới dạng a  bi, a,b �R  :
a) z   2  i    1 2i    3  i   2  i  ;
3

3

1 i 3  i 1 2i
b) z 


;
1 i 2  i 1 i
d) z 

 2 i 

 2  i   1 i  ;
z
2 1 i   3 1 i 
2

c)

5

 1 2i 

3

;

e) z 

 1 i 

6

 2  2i 

5

.

Ví dụ 5. Tìm nghịch đảo của số phức sau:
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 3


Chuyên Đề Số Phức
a)z  3 4i;

b) z  3 2i;

c)z 



1 i 5
;
3 2i



2

d)z  3 i 2 .

Ví dụ 6. Cho z   2a  1   3b  5 i, a,b ��. Tìm các số a,b để
a) z là số thực
Ví dụ 7. Tìm m �R để:

b) z là số ảo.

a) Số phức z  1  1 mi    1 mi 
b) Số phức z 

2

là số thuần ảo.

m  1 2 m  1 i

là số thực.
1 mi
Ví dụ 8. Tìm các số thực x, y sao cho z  z' , với từng trường hợp
a)z   3x  9  3i, z'  12   5y  7 i;

b)z   2x  3   3y  1 i, z'   2y  1   3x  7 i.

c) (x2  2y  i) 3  i   y  x  1  1 i   26  14i.
2



d) x2  y2

3


 2i   3i  1   y  2x
6

3 i

2

 1 i 

Ví dụ 9. Chứng minh rằng : 3 1 i 

100



9

 320  896i

4

 4i  1 i 

98

 4 1 i 

96

.

Ví dụ 10. a) Tính mơ-đun của số phức z biết z  3i  2  i   2i 3 .
b) Cho số phức z thỏa mãn

 1 3i 
z

3

1 i

Ví dụ 11. Xét số phức: z 

. Tìm mơđun của số phức z  iz .

im
1
. Tìm m để z.z 
1 m m  2i 
2

Ví dụ 12. Tính S  1 i  i 2  i 3  ...  i 2012.
Ví dụ 13. Số phức z  x  2yi  x,y �� thay đổi thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của biểu thức: P  x  y .
Ví dụ 14. Cho số phức z  cos2   sin   cos  i , với số  thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất,
lớn nhất của z .
Ví dụ 15. (Đề Minh họa của bộ). Cho số phức z = 3 – 2i. Tìm phần thực và phần ảo
của số phức z
A. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –2i.
bằng –2.
C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i.
bằng 2.

B. Phần thực bằng –3 và Phần ảo
D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo

Ví dụ 16. (Đề Minh Họa của Bộ). Cho hai số phức z1  1  i và z2  2  3i . Tính môđun
của số phức z1  z2 .
A. z1  z2  13 .

B. z1  z2  5 .

C. z1  z2  1 .

D. z1  z2  5 .

Ví dụ 17. (Đề minh họa của bộ). Cho số phức z  2  5i. Tìm số phức w  iz  z
A. w  7  3i.

B. w  3  3i.

C. w  3  7i.

D. w  7  7i

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 4


Chuyên Đề Số Phức
Ví dụ 17. (Đề thử nghiệm lần 1 của Bộ). Tìm số phức liên hợp của số phức

z  i (3i  1)
A. z  3  i

B. z  3  i

C. z  3  i

D. z  3  i

Ví dụ 18: (Đề thử nghiệm lần 1 của Bộ). Tính mơđun của số phức

z thoả mãn

z(2  i)  13i  1

B. z  34

A. z  34.

C. z 

5 34
3

Ví dụ 19: ( Đề Thử nghiệm lần 1-Bộ Giáo dục). Xét số phức
(1  2i) z 

34
3

D. z 

z

thoả mãn

10
 2  i. Mệnh đề nào sau đây đúng?
z

3
1
 z 2
B. z  2
C. z 
2
2
II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A.

D.

1
3
 z 
2
2

Câu 1. Cho z1  1 3i,z2  2  i,z3  3  4i. Tính:
1.1. Tính z1  2z2  z3
A. 1 4i

B. 2  4i.

C. 2  5i

D. 4  6i

B. 2  3i.

C. 2  5i.

D. 1 6i

B. 20  33i.

C. 20  35i

D. 11 61i

C. 22006i

D. 22006 i

C. 4  19i

D. 6  12i

1.2. Tính z1z2  z2 z3
A. 1 4i
1.3. Tính

z1z2z3  z22z3

A. 11 45i

Câu 2. Tính lũy thừa  1 i 
A. 21003i

2006

bằng

B. 21003i

Câu 3. Tính lũy thừa  2  3i  bằng
3

A. 46  9i

B. 4  9i
5

Câu 4. Tính lũy thừa �
 4  5i    4  3i  �
�
� bằng
A. 32i
B. 9i
C. 19i
Câu 5. Tính lũy thừa
A. 4  2 3i





D. 12i

2

2  i 3 bằng
B. 1 2 6i

C. 3  3i

D. 6  3i

C. 4

D. 1

3

�1
3�
Câu 6. Tính lũy thừa �
 i
�bằng
�2
�
2
�
�
B. 4
A. 6
Câu 7. Viết các số phức z 
A.

6 i 3

4
4

B.

1 i 2
5 i 3

2 i 5

4
4



2i
3 i 5

dưới dạng a  bi ,  a,b��
C.

3 i 5

3
3

D.

2 3 2i 7

3
3

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 5


Chuyên Đề Số Phức

 7  8i 
z
11
 8  7i 
10

Câu 8. Viết các số phức
A. 

4
7i

133 133

Câu 9. Tính A 

B. 

dưới dạng a  bi ,  a,b��

8
7i

113 113

C. 

4 7i

23 23

D. 

4
5i

123 123

1 �7 1 �
i  �
�
2i � i 7 �

A. i

C. i

B. i

D. 1

33

10
�1 i �
1
Câu 10. Tính B  � �   1 i    2  3i   2  3i   ;
1

i
i
� �
A. 13  3i
B. 33  31i
C. 13  32i

Câu 11. Tính C  1  1 i    1 i    1 i   ...   1 i 
2

3

D. 3  32i

20

Câu 12. Cặp số thực x, y thỏa mãn 2x  1  1 2y  i  2  x   3y  2 i là:
A. x 

1
3
,y 
3
5

B. x 

1
1
,y 
5
5

C. x 

1
1
,y 
3
5

1
3
D. x   ,y  
3
5

Câu 13. Cặp số thực x, y thỏa mãn 4x  3   3y  2 i  y  1  x  3 i là:
A. x 

5
2
,y 
11
11

B. x  

5
2
,y 
11
11

C. x 

5
2
,y  
11
11

D. x  

5
2
,y  
11
11

Câu 14. Cặp số thực x, y thỏa mãn x 3  5i   y  1– 2i   7  32i là:
3

A. x  6;y  1

B. x  6;y  1

C. x  6;y  1

x 1 y 1
là:

1 i 1 i
A. x  1;y  1
B. x  1;y  1
338
61
C. x 
;y 
49
49
y
1
Câu 16. Các cặp số thực x, y thỏa mãn

 2  3i là:
x  i 3  3i

D. x  6;y  1

Câu 15. Cặp số thực x, y thỏa mãn



C.  x,y     10;2 ; 10;5 
A.  x,y    0;12 ; 1;15

Câu 17. Các cặp số thực x, y thỏa mãn



A.  x,y    1;1 ; 1;2



D. x  1;y  1



D.  x,y     1;2 ; 1;15 
B.  x,y    0;2 ; 1;5

 x  i   1 yi    3  2i  x  1 4i

là:

�
�
�5 �

 1; 2 ;� 2 ;4��
B.  x,y   �
�
�
�

�
�
�1 �
; 1; 3 �
C.  x,y   �
� ;2�
�2 �
�

�
�
� 1 �� 3 �
1; ��
; 2; �
D.  x,y   �
�
�
� 2 �� 2 �
�

Câu 18. Tìm điều kiện cho 2 số thưc x, và y để  x  iy  là số thực
2

�

x1
A. �
y  1
�

�x  1
B. �
�y  1

�
x 0
C. �
y0
�

�x  2
D. �
�y  1

Câu 19. Tìm điều kiện cho 2 số thưc x, và y để  x  iy  là số ảo
2

�
x 0
A. �
3x  y
�

�
x 0

B. � 2
3x  y2
�

�
x 0
C. �
x  3y
�

�
x 0
D. �2
x  3y2
�

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 6


Chuyên Đề Số Phức
m  3i
là số thực.
1 i
A. m  �2
C. m  �4
B. m  �3
D. m  5
Câu 21. Cho số phức z  3  2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức w  iz  z .

Câu 20. Tìm số thực m để bình phương của số phức z 

2
z3  z
Câu 22. Cho z  2  3i, x,y �� . Hãy viết dưới dạng đại số của w 
 z z.
z1
A. z  6
B. z  6
C. z  6  i
D. z  6  i
2
3
2012
Câu 23. Tính tổng S  i  2i  3i  ...  2012.i
.

 

A. 1006  1006i

B. 1006  1006i

C. 1006  1006i
D. 1006  1006i

Câu 24. Cho  , hai số phức liên hiệp thỏa mãn 2 �R và     2 3. Tính  .

A.

B. 3

3

C. 2

D.

5

Câu 25. Tìm c biết a,b và c các số nguyên dương thỏa mãn: c   a  bi   107i.
3

A. 400
B. 312
C. 198
D. 123
Câu 26. Cho số phức z có phần ảo bằng 164 và với số nguyên dương n thỏa mãn
z
 4i. Tìm n.
zn
A. n  14

B. n  149

C. 697

Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn z 
A.

B.

2

1 i

.Tìm mơ đun của số phức z  iz
C. 5

3

Câu 28. Tìm số thực m biết: z 
�
m  1
A. �
m1
�

 1 3i 

D. 789

D.

7

im
2 m
và zz 
( trong đó i là đơn vị ảo)

1 m m  2i 
2

�
m0
B. �
m  1
�

�
m0
C. �
m1
�

�
m 2
D. �
m1
�

Câu 29. Tìm phần thực của số phức: z   1 i  ,n �� thỏa mãn phương trình:
n

log4  n  3  log4  n  9  3 .
B. 8
C. 8
D. 9
m  3i
Câu 30. Cho số phức z 

 m �� . Tìm m, biết số phức w  z2 có mơđun bằng 9.
1 i
A. 6

�
m  1
A. �
m1
�

�
m 3
�
m 3
�
m 3
B. �
C. �
D. �
m  1
m1
m  3
�
�
�
im
,m ��. Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho
Câu 31. Cho số phức z 
1 m m  2i 
tồn tại m để z  1 �k

A. k 

5 1
2

B. k 

5 2
2

C. k 

51
2

D. k 

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

5 2
2

Page 7


Chuyên Đề Số Phức
CHỦ ĐỀ 2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC SỐ PHỨC
Phương pháp


Trong mặt phẳng phức, số phức z  x  yi, (x,y ��) được biểu diễn bằng :



Điểm M  x;y  , kí hiệu M  z 
uuuur
 Vectơ OM   x;y 
r
 Vectơ u  (x;y)
Biểu diễn hình học của z,z, z


M  z  và M   z  đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
M  z  và M(z) đối xứng với nhau qua trục Ox.




Biểu diễn hình học của z  z' ,z  z' ,kz  k ��
r
r
Gọi M, u lần lượt biểu diễn số phức z; M ' ,v biểu biểu diễn số phức z’. Ta có:
uuuur uuuuu
r
r r
OM  OM ' và u  v biểu diễn số phức z  z’ ;
uuuur uuuuu
r uuuuuu
r
r r

OM  OM '  M 'M và u  v biểu diễn số phức z  z’ ;
uuuur r
kOM , ku biểu diễn số phức kz.
Với M, A, B lần lượt biểu diễn số phức z, a, b thì :
OM  z ;AB  b  a .

I. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng biểu diễn các số
phức a,b,c. Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC và D là điểm đối
xứng của A qua G. Các điểm M,G,D lần lượt biểu diễn các số phức m,g,d.
a) Tính các số phức m, g, d theo a, b, c.
b) Nếu thêm giả thiết a  b  c , chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu và
chỉ nếu a  b  c  0.
Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD. Ba đỉnh A, B ,C lần lượt biểu diễn các số phức
a  2  2i,b  1 i,c  5  mi

 m �R  .

a) Tìm số phức d (biểu diễn điểm D);
b) Định m sao cho ABCD là hình chữ nhật.
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức :
�3  i 3 �
i
z.
z
�
z, �
� 3 � và 3
�
�

Chứng minh rằng:
a) z �C, tam giác OMA vuông tại M;
b) z �C, tam giác MAB là tam giác vuông;
c) z �C, tứ giác OMAB là hình chữ nhật.
Ví dụ 4. Gọi A, B, C là ba điểm lần lượt biểu diễn các số phức
a  1 i, b  i, c  1 ki, k �� .
a) Định k để ba điểm A, B, C thẳng hàng;
b) Xét hàm số w  f  z   z2. Đặt a'  f  a ,b'  f  b ,c'  f  c . Tính a’, b’,c’

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 8


Chuyên Đề Số Phức
c) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức a’, b’, c’. Định k để A’, B’, C’
là ba điểm thẳng hàng;
ur u
r
ur u
r
z
d) Nếu u,v lần lượt biểu diễn các số phức z, z’. Chứng minh rằng u  v � là số ảo.
z'
Áp dụng: Tính k để tam giác A’B’C’ vng tại A’.
Ví dụ 5. Cho số phức z  m   m  3 i,m ��
a) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ hai y  x
2
x
c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ nhỏ nhất.

Ví dụ 6. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biễu diễn các số
b) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên Hyperbol y  

4i
2  6i
;  1 i   1 2i  ;
i 1
3 i
a) Chứng minh ABC là tam giác vng cân.
b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vng.
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A điểm biểu diễn số 1, B
điểm biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z' �0 và B’ biểu diễn số phức
zz'. Chứng minh rằng: Tam giác OAB và tam giác OA 'B' đồng dạng.
Ví dụ 8. Biết A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số:
1 i,  1 i,
2i,
2  2i.
uuur uuuu
r uuur uuur
a) Tìm các số z1,z2 ,z3 ,z4 theo thứ tự biểu diễn các vectơ AC,AD,BC,BD.
b) Tính

z1 z3
,
và từ đó suy ra A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tâm đường tròn
z2 z4

biểu diễn số phức nào?
II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Gọi A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z khác 0 và z ' 

1 i
z . Lúc đó, tam
2

giác OAB là tam giác gì
A. Tam giác cân
B. Tam giác đều
C. Tam giác vuông
D. Tam giác vuông cân
Câu 2. Các điểm A, B, C và A’, B’, C’ tương ứng biểu diễn các số phức z1,z2 ,z3 và
z'1,z'2 ,z'3 ( trong đó A, B, C và A’, B’ , C’ không thẳng hàng). Hai tam giác ABC và A’B’C’
có cùng trọng tâm khi và chỉ khi
A. z1  z2  z3  z1'  z'2  z'3

'
'
'
B. z1  z2  z3  z1  z2  z3

'
'
'
C. z1  z2  z3  z1  z2  z3

'2
D. z12  z22  z23  z'12  z'2
2  z3

Câu 3. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số





4  3  3 i;





2  3 3 i;

1 3i;

3  i . Chọn khẳng định đúng

A. ABCD là hình bình hành
B. AD  2CB
C. D là trọng tâm của tam giác ABC
D. Tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn
Câu 4. Cho ba điểm A ,B, C lần lượt biểu diễn các số phức a  1,b  1 i và c  b2.
Câu 4.1. Xác định  sao cho A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
A.  �1
B.  �1
C.   �1
D.  �0
Câu 4. 2. Khi A, B, C là ba đỉnh của tam giác. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 9


Chuyên Đề Số Phức
A. Tam giác cân
B. Tam giác đều
C. Tam giác vng
D. Tam giác vng cân
Câu 4.3. Tìm số phức d biểu biễn bởi D sao cho ABCD là hình chữ nhật
A. d  1  2  i.
B. d  1  2  i.
C. d  1  2  i.
D. d  1  2  i.
Câu 5. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu
diễn số phức z1,z2 ,z2. Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?
A. z1  z2  z2.

B.  z1  z2  z2

1
1
D.   z1  z2  z2 
z1  z2  z2 

3
3
Câu 6. Xét ba điểm A, B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân
C.

biệt z1,z2 ,z2 thỏa mãn z1  z2  z3 . Ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác đều khi

và chỉ khi
z1  z2  z3  0.
A. z1  z2  z3

B. z1  z2  z3  0

C. z1z2  z2z3  z3z1  0

D. z12  z22  z32

Câu 7. Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức z1 , z 2 khác 0 thỏa mãn
đẳng thức z12  z 22  z1z 2 . Tam giác OMN là tam giác gì?
A. Tam giác cân
C. Tam giác vuông

B. Tam giác đều
D. Tam giác vuông cân

Câu 8. Cho ba điểm A, B, C biểu diễn các số phức a  1 i,b  a2 và c  x  i, x �� .
Tìm x sao cho
Câu 8.1. Tam giác ABC vuông tại B
A. x  1
B. x  2
C. x  3
D. x  5
Câu 8.2. Tam giác ABC cân tại C
A. x  7
B. x  2
C. x  3
D. x  5

ur u
r
r
Câu 9. Cho u,v là biểu diễn của hai số phức 1 3i và 3  2i . Gọi x là biểu diễn của số
ur u
r
r
phức 6  4i . Hãy phân tích x qua u,v
r
r
r 24 ur 14 u
r
r 24 ur 14 u
r
r
r
24 ur 14 u
24 ur 14 u
A. x   u  v
B. x 
C. x 
D. x   u  v
u v
u v
11
11
11
11
11
11

11
11
Câu 10. Tìm các điểm biểu diễn của số phức z biết điểm biểu diễn của các số phức
z,z2 ,z3 lập thành
Câu 10.1.Tam giác vuông tại A
A. Quỷ tích của z là đường thẳng x  1.
2

C. Quỷ tích của z là đường elip x
1
Câu 10.2.Tam giác vng tại B
A. Quỷ tích của z là đường thẳng
B. Quỷ tích của z là đường thẳng
C. Quỷ tích của z là đường thẳng
D. Quỷ tích của z là đường thẳng
Câu 10.3 Tam giác vuông tại C
A. Quỷ tích của z là đường thẳng
B. Quỷ tích của z là đường thẳng



y2
 1.
2

B. Quỷ tích của z là đường trịn x2  y2  1
D. Quỷ tích của z là Parabol y 

1 2
x

2

x  0.
y0
x  0, trừ gốc tọa độ
y  0, trừ gốc tọa độ

x 2
y1

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 10


Chuyên Đề Số Phức
2

� 1� 2 1
C. Quỷ tích của z là đường tròn �
x  � y 
4
� 2�
D. Quỷ tích của z là hai đường thẳng y  0, x  0
Câu 11. (Đề minh họa của bộ). Cho số phức z
thỏa mãn (1  i ) z  3  i. Hỏi điểm biểu diễn của z là
điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên ?
A. Điểm P.
B. Điểm Q.
C. Điểm M.

D. Điểm N.
Câu 12. (Đề thử nghiệm lần 1 của bộ). Điểm M
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm
phần thực và phần ảo của số phức z.
A. Phần thực là −4 và phần ảo là 3.
B. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i.
C. Phần thực là 3 và phần ảo là −4.
D. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i.

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 11


Chuyên Đề Số Phức
CHỦ ĐỀ 3. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
Phương pháp
Giả sử các điểm M , A ,B lần lượt biểu diễn các số phức z, a, b.



o

z  a  z  b � MA  MB � M thuộc đường trung trực của đoạn AB.

o

z  a  z  b  k, k �R,k  0,k  a  b � MA  MB  k





� M thuộc elip (E) nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k.
Giả sử M và M’ lần lượt biểu diễn các số phức z và w  f  z  .



Đặt z  x  iy và w  u  iv  x,y,u,v �R  .
Hệ thức w  f  z  tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x,y,u,v

o Nếu biết một hệ thức giữa x,y, ta tìm được một hệ thức giữa u,v và suy ra
được tập hợp các điểm M’.
o Nếu biết một hệ thức giữa u,v ta tìm được một hệ thức giữa x,y và suy ra
được tập hợp các điểm M.
I. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Đường
thẳng }
a) z  i  z  i ;

b)

z  1 3i
 1;
z  1 i

c) z0z  z0z  1 0 với z0  1 i.

Ví dụ 2. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Đường
tròn }

a) z   3  4i   2 ;

b) z  i   1 i  z

2

c) z  2iz  2i 3z  0 ;

d) 2iz  1  5 .

Ví dụ 3. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Elip}:
z  1  z  1  4.
Ví dụ 4. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Ảo
thực}
a)

2z  1
là số ảo;
z1

b)

z1
, z �2i  là số thực.
z  2i
2

Ví dụ 5. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z'  2z  3  i , với 3z  i �z.z  9
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn z  1  2 .Tìm
tập hợp biểu diễn số phức w  2z  i .

Ví dụ 7. Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z
thỏa mãn: 1 z  i  2 . {Hình vành khăn}
Ví dụ 8. Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều
kiện 2 z  i  z  z  2i





Ví dụ 9. Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z  3z  2  i 3 z
Ví dụ 10 . Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
a)

zi
là số thực dương với z �i ;
zi

 

b) z2  z

2

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 12


Chuyên Đề Số Phức
d) log 1

c) z2  2z  5�� ;

3

z2 2
4z  2 1

 1.

Ví dụ 11. Gọi M và M ' là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức z và z’ 

1
, z �0 .
z

Đặt z  x  iy và z'  x' iy', x,y,x',y' �R 
a) Tính x’,y’ theo x,y và tính x,y theo x’,y’ .
b) Cho M di động trên đường trịn (C ) tâm A(-1;1), bán kính R  2. Tìm tập hợp các điểm
M’.
c) Cho M di động trên đường thẳng d :y  x  1 , tìm tập hợp các điểm M’.
Ví dụ 12. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z  x  yi  thỏa mãn điều kiện
�y  x �1
�
a) �
;
b)1 z �2.
2
�y �2x
II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tập hợp những
điểm M(z) thỏa mãn điều 2  z  i  z là
A. Đường thẳng 4x  2y  3  0
A. Đường thẳng x  2y  3  0

B. Đường thẳng 4x  2y  3  0
D. Đường thẳng x  9y  3  0

Câu 2. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  2i  z  1 i là
A. Đường thẳng x  y  3  0
A. Đường thẳng x  2y  3  0

B. Đường thẳng x  2y  3  0
D. Đường thẳng x  y  1 0

Câu 3. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện 5  1 i  z  3  2i   1 7i  z  i là
A. Đường thẳng
B. Đường tròn
A. Đường elip
D. Đường Parabol
Câu 4. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  z  3  4 là
1
7
1
7
, x 
B. Hai đuờng thẳng x   , x  

2
2
2
2
1
7
1
7
A. Hai đuờng thẳng x  , x 
D. Hai đuờng thẳng x   , x 
2
2
2
2
Câu 5. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
A. Hai đuờng thẳng x 

kiện z  z  1 i  2 là
A. Hai đuờng thẳng

y

1 3
1 3
;y 
2
2

B. Hai đuờng thẳng

y

1 3
1 3
;y 
2
2

1 5
1 3
1 5
1 3
D. Hai đuờng thẳng y 
;y 
;y 
2
2
2
2
Câu 6. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
A. Hai đuờng thẳng

y

kiện 2 z  1  z  z  2 là
A. Hai đuờng thẳng x  0 , y  0 .

B. Hai đuờng thẳng x  0 , y  2 .

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 13


Chuyên Đề Số Phức
C. Hai đuờng thẳng x  0 , x  2 .

D. Hai đuờng thẳng x  2 , y  2 .
Câu 7. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  1 i  2 là
A. Đuờng thẳng x  y  2  0

B. Đường tròn  x  1   y  1  4
2

2

D. Đường tròn tâm I  1; 1 và bán kính

C. Đường thẳng x  y  2  0

R  2.
Câu 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện

z
 3 là
z1

18

9
y  0
8
8
18
9
C. Đường tròn x2  y2  y   0
8
8
A. Đuờng tròn x2  y2 

18
9
y  0
8
8
� 9�
0; � và bán kính
D. Đường trịn tâm I �
� 8�
B. Đường trịn x2  y2 

1
R .
8
Câu 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  3  2i  2z  1 2i là
2
4
8

2
4
8
A. Đuờng tròn x2  y2  x  y   0
B. Đường tròn x2  y2  x  y   0
3
3
3
3
3
3
2
4
8
2
4
8
C. Đường tròn x2  y2  x  y   0
D. x2  y2  x  y   0
3
3
3
3
3
3
Câu 9. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  i   1 i  z là
A. Đuờng tròn x2   y  1  2

B. Đường tròn x2   y  1  2

C. Đường tròn  x  1   y  1  2

D.  x  1   y  1  2

2

2

2

2

2

2

Câu 9. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện z  4i  z  4i  10 là
2
y2
A. Đuờng elip x 
1
9 16

2
y2
B. Đuờng elip x 
1
16 9

2
2
y2
y2
C. Đuờng elip x 
D. Đuờng elip x 
1
1
4
3
9
4
Câu 10. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều

kiện z  2  z  2  5 là
A. Đuờng tròn
B. Đuờng elip
C. Đuờng parabol
D. Đuờng thẳng
Câu 11. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện 2  z  z  2 là
A. Tập hợp các điểm
B. Tập hợp các điểm
C. Tập hợp các điểm
D. Tập hợp các điểm

là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung
là nửa mặt phẳng ở bên trái trục tung
là nửa mặt phẳng phía trên trục hồnh

là nửa mặt phẳng phía dưới trục hồnh

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 14


Chuyên Đề Số Phức
Câu 12. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện 1�z  1 i �2 là
A. Tập hợp các điểm là hình trịn có tâm I  1; 1 , bán kính 2

B. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại A  1;1 và các bán kính lớn và nhỏ
lần lượt là 2; 1

C. Tập hợp các điểm là hình trịn có tâm I  1; 1 , bán kính 1

D. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại I  1; 1 và các bán kính lớn và nhỏ
lần lượt là 2; 1
Câu 13. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho

zi
zi

là số thực.
A. Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ
B. Tập hợp điểm là trục hoành
C. Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ bỏ đi điểm A(0;1)
D. Tập hợp điểm là trục tung, bỏ đi A(0;1)
Câu 14. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u 

z  2  3i
là một số thuần
zi

ảo.
A. Đường trịn tâm I  1; 1 bán kính R  5

B. Đường tròn tâm I  1; 1 bán kính R  5 trừ đi hai điểm A  0;1 ; B 2;3 .
C. Đường tròn tâm I  1;1 bán kính R  5

D. Đường trịn tâm I  1;1 bán kính R  5 trừ đi hai điểm A  0;1 ; B 2; 3 .
Câu 15. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z  x  yi  thỏa mãn điều kiện x  y  1
là
A. Ba cạnh của tam giác
B. Bốn cạnh của hình vng
C. Bốn cạnh của hình chữ nhật
D. Bốn cạnh của hình thoi

Câu 16. Gọi M và P lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z  x  iy, x,y �R  và
w  z2 . Tìm tập hợp các điểm P trong các trường hợp sau đây:
Câu 16. 1. M thuộc đường thẳng d: y  2x
4
A. Đường thẳng  d' : y   x
3
4
B. Tia  d' : y   x,x �0.
3
4
C. Đường thẳng  d' : y  x

3
4
D. Tia  d' : y   x,x  0.
3
Câu 16.2. M thuộc đường thẳng d: y  x  1
1
1
A. Đường thẳng d': y  x  .
3
3
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 15


Chuyên Đề Số Phức
B. Parabol  P  : y 

1 2 1
x  .
2
2

C. Đường tròn  x  1   y  3  3
2

2

2
y2

D. Elip x 
1
25 16

Câu 16.3. M thuộc đường tròn  C  :x2  y2  1;
1
A. Đường thẳng d':y  x  .
3
1
B. Parabol  P  : y  x2
4
C. Đường tròn x2  y2  1
D. Elip

x2
 y2  1
2

Câu 16.4. M thuộc hypebol  C  : y 

1
 x �0 .
x

A. Đường thẳng d':x  2
B. Đường thẳng d': y  2
C. Đường thẳng d': y  1
D. Đường thẳng d': y  2
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
mãn

zi zi
là số thuần ảo.

z1 z1

�1 �
1
 ;0� bán kính R 
A. Đường trịn tâm I �
2
�2 �
�1 �
1
 ;0� bán kính R  trừ đi hai điểm  1;0 .
B. Đường tròn tâm I �
2
2
�
�
�1 �
1
 ;0� bán kính R 
C. Đường trịn tâm I �
2
4
�
�
�1 �
1

 ;0� bán kính R  trừ đi hai điểm  0;1 .
D. Đường tròn tâm I �
4
�2 �
Câu 19. Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức w  iz  1 ,
biết z là số phức thỏa mãn:

 z  2i  1

3

 8.

A. Đường tròn  C  :  x  3   y  1  4
2

2

B. Đường tròn  C  :  x  3   y  1  2
2

2

C. Đường tròn  C  :  x  3   y  1  4
2

2

D. Đường tròn  C  :  x  3   y  1  4
2

2

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn:
w  z  2  i , biết z là số phức thỏa z  1 2i  1.
A. Đường tròn tâm I  1;2 bán kính R  2
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 16


Chuyên Đề Số Phức
B. Đường tròn tâm I  2;1 bán kính R  2
C. Đường trịn tâm I  1;1 bán kính R  1

D. Đường trịn tâm I  3;3 , bán kính R  1.
Câu 21. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức
w   1 2i  z  3 biết z là số phức thỏa mãn: z  2  5.
A. Đường tròn tâm I  1;2 bán kính R  5
B. Đường trịn tâm I  2;1 bán kính R  5

C. Đường trịn tâm I  1;4 bán kính R  5 5 .
D. Đường trịn tâm I  1;3 , bán kính R  5 .





Câu 22. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z'  1 i 3 z  2 với z  1 �2 .





A. Hình trịn tâm I 3; 3 , R  4 .





B. Đường tròn tâm I 3; 3 , R  4 .
C. Hình trịn tâm I  1; 4 bán kính R  5 .

D. Đường trịn tâm I  1;3 , bán kính R  5 .





Câu 23. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức w  1 i 3 z  2 biết
rằng số phức z thỏa mãn z  1 �2.





A. Hình trịn tâm I 3; 3 , R  4 .
B. Đường tròn tâm I  3;3 bán kính R  4





C. Đường trịn tâm I 3; 3 bán kính R  4 .





D. Hình trịn tâm I 3; 3 bán kính R  4.
2

Câu 24. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z'  2z  3  i với 3z  i �zz  9 .





A. Hình trịn tâm I 3; 3 , R  4 .
B. Đường tròn tâm I  3;3 bán kính R  4





C. Đường trịn tâm I 3; 3 bán kính R  4 .
� 7�
3;  �, R  73
D. Hình trịn tâm I �
4

� 4�
Câu 25 (Đề minh họa của bộ). Cho các số phức z thỏa mãn z  4 . Biết rằng tập hợp
các điểm biểu diễn các số phức w  (3  4i ) z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của
đường trịn đó.
A. r  4.

B. r  5.

C. r  20.

D. r  22.

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 17


Chuyên Đề Số Phức

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 18


Chuyên Đề Số Phức

Để sử dụng file word, quý thầy cơ vui lịng đóng góp chút kinh phí để
tạo động lực cho tác giả ra đời những chuyên đề khác hay hơn
TÊN TÀI LIỆU
GIÁ

MÃ SỐ
KĨ THUẬT GIẢI NHANH
60K
SO PHUC_123
TRẮC NGHIỆM SỐ
PHỨC_123
Quà tăng đính kèm:
1. File câu hỏi trắc nghiệm khách quan lọc ra từ chuyên đề {dùng để phát cho
học sinh}
2. File Word 6 đề thi thử THPT Quốc gia 2017 có đáp án và lời giải chi tiết
Hướng dẫn thanh tốn
Q thầy cơ thanh tốn cho mình qua ngân hàng. Sau khi chuyển khoản, mình sẽ lập tức
gửi tài liệu cho quý thầy cô.
Nếu trong ngày mà thầy cô chưa nhận được thì vui lịng gọi điện trực tiếp cho mình.

Thầy cư. SĐT: 01234332133
NGÂN HÀNG

TÊN TÀI KHOẢN
SỐ TÀI KHOẢN

TRẦN ĐÌNH CƯ

TRẦN ĐÌNH CƯ

TRẦN ĐÌNH CƯ

401020502524
3

016100038152
4

551100002329
24

CHI NHÁNH

THỪA THIÊN HUẾ
THỪA THIÊN HUẾ
THỪA THIÊN HUẾ
Nội dung: Họ và tên_email_ma tai liệu
Ví dụ: Nguyễn Thị _HHKG_TTKC

Lưu ý:
Thầy cô đọc kỹ file PDF trước khi mua, tài liệu
mua chỉ dùng với mục đích cá nhân, không
được bán lại hoặc chia sẻ cho người khác.
CHÚC QUÝ THẦY CÔ DẠY TỐT VÀ THÀNH CÔNG TRONG
SỰ NGHIỆP TRỒNG NGƯỜI
CHỦ ĐỀ 4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CHỨNG MINH SỐ PHỨC
Phương pháp: Ta nhắc lại một số công thức cơ bản sau:
Cho số phức z  x  yi,  x,y �� . Lúc đó


z  x  yi .



z  x2  y2 .



z  z.z . Công thức này chứng minh dễ dàng như sau:

2

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 19


Chuyên Đề Số Phức
2

2
2
�
z.z   x  yi   x  yi   x2  y2  �
� x  y � z .
�
�

I. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
a) z1  z2  z1  z2;

�z1 � z1
c) �
, z2 �0

�z �
�
� 2 � z2

b) z1.z2  z1.z2 ;

Áp dụng: Cho ba số phức z1,z2 ,z3 đều có mơđun bằng 1. Chứng minh
z1  z2  z 3  z1z 2  z2z3  z1z3 .

Giải
Giả sử: z1  x1  y1i, z2  x2  y2i,  x1,x2 ,y1,y2 ��
a) Ta có:
z1  x1  y1i

z z  x x  y y i
và z2  x2  y2i nên 1 2  1 2   1 2 

Mà z1  z2   x1  x2    y1  y2  i � z1  z2   x1  x2    y1  y2  i
Vậy z1  z2  z1  z2 .
b) Ta có:
z1.z2   x1  y1i   x2  y2i    x1x2  y1y2    x1y2  x2y1  i

Mặt khác:
z1.z2   x1  y1i   x2  y2i    x1x2  y1y2    x1y2  x2y1  i
� z1.z2   x1x2  y1y2    x1y2  x2y1  i

Vậy z1.z2  z1.z2 .

 

1
c) Ta cần chứng minh bổ đề sau: z  z

1

� 1�

1

,z �0

 

�1 �

1
Vì z. z  1 nên ta có �z. z � 1� z.�z � 1 � z  z
� �
��

1

Áp dụng bổ đề trên, ta có:

 

�z1 � � 1 � �1 �
z1. �
 z1.�
 z1.z21  z1. z 2

�
�
�z �
� �
�
�
�
�
� 2 � � z2 � �z2 �

1



z1

.
z2 (ĐPCM)

Áp dụng: Vì z1z2z3  1nên
z1z2  z2z3  z3z1 

z1z2  z2z3  z3z1
z1z2z3



z1z2  z2z3  z3z1
1 1 1




z1z2z3
z1 z2 z3

 z1  z2  z 3  z1  z2  z3  z1  z 2  z3

Lưu ý: Ta có cơng thức tổng quát sau: Cho n số phức z1,z2 ,...,zn bất kỳ.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 20


Chun Đề Số Phức

Ta ln có:
�z1  z2  z3  ...  zn  z1  z2  z 3  ...  zn
�z1z2z3...zn  z1.z2.z3...zn .

Trước hết ta chứng minh: z1  z2  z3  ...  zn  z1  z2  z3  ...  zn
Giả sử: zk  ak  bki,  k  1,2,3,...,n  và z 
n

Trong đó: a  �ak , b 
k 1

n

�zk  a  bi

k1

n

�bk

k1

Ta có:
z  a  bi 

n

n

n

n

k 1

k 1

k 1

k 1

�ak  �bk  � ak  bki   �zk

Hay z1  z2  z3  ...  zn  z1  z2  z3  ...  zn

Bây giờ ta chứng minh z1z2z3...zn  z1.z2.z3...zn  ** bằng quy nạp
Với n  2: Giả sử z1  a1  b1i, z2  a2  b2i
Ta có: z1.z2   a1  b1i   a2  b2i    a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  i
Suy ra: z1.z2   a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  i
Mặt khác: z1.z2   a1  b1i   a2  b2i    a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  i
Vậy với n  2 đẳng thức đúng.

Giả sử (**) đúng với n  k, n  2 ta sẽ chứng minh hệ thứ đúng với n  k  1
Thật vậy:
Đặt z  z1z2...zk , ta có: z  z1z2z3...zn  z1.z2.z3...zk
Với hai số phức z và zk1 ta có: z.zk1  z.zk1  z1.z2.z3...zk .zk1
Hệ thức cuối được chứng minh với n  k  1.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
a) z1.z2  z1 . z2 ;

z
z1
 1
z2
z2

b)

Áp dụng: Tìm mơ đun các số phức sau:
u

x2  y2  2xyi
xy 2  i x4  y4

,

w

x2  y2  i 2xy

 x  y   2i

xy

,  x,y �� .

Hướng dẫn giải
a) Cách 1. Đặt z1  x1  y1i, z2  x2  y2i,  x1,x2 ,y1,y2 ��
2
2
2
2
Ta có: z1  x1  y1 và z2  x2  y2

Từ đó:
z1 z2  x12  y12 , x22  y22 

x

2
1



y12 x22  y22



 x12x22  y12y22  x12y22  y12x22  1
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 21


Chuyên Đề Số Phức

Mặt khác: z1.z2   x1  y1i   x2  y2i    x1x2  y1y2    x1y2  y1x2  i
Do đó:
z1.z2 

 x1x2  y1y2 

2

  x1y2  y1x2   x12x22  y12y22  x12y22  y12x22  1
2

Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh
2

Cách 2. Vì z  z.z nên
2

2

z1.z2  z1.z2.z1.z2  z1.z2.z2.z1  z1.z1.z2.z2  z1 . z2

2

Suy ra: z1.z2  z1.z2
b) Cách 1. Trước hết ta chứng minh bổ đề: z1  z
1
z

Thật vậy: z.  1� z .

1
1 1
 1� 
z
z z

hay z1  z

1

1

,z ��*

,z ��*

z
z1
1

1
 z1.
 z1.z21  z1 z21  z1 z 2  1
z2
z2
z2

Áp dụng bổ đề trên ta có:
Cách 2.

z1.z2
z1 . z2
z .z
z
z1
z .z
z .z
 1 2  1 22 

 1 22  1
2
2
z2
z2
z2.z2
z2
z2
z2
z2

Vì z2  z2 nên

Lưu ý: Khơng có cơng thức: Với mọi số phức z1,z2 : z1 �z2  z1 �z2 . Tuy nhiên ta
có bất đẳng thức sau: z1  z2 �z1  z2
uur

uur

uur uur

Thật vậy, gọi u1 biểu diễn z1 , u2 biểu diễn z2 thì u1  u2 biểu diễn z1  z2
uur uur

Ta có: z1  z2  u1  u2
* TH 1: Khi z1z2 �0 thì :
uur uur 2 uur uur
u1  u2  u1  u2





2

uur 2 uur 2 uur uur uur 2 uur 2
uur uur
uur uur
 u1  u2  2u1.u2  u1  u2  2 u1 u2 cos u1 , u2

uur 2 uur 2

uur uur
uur uur
�u1  u2  2 u1 u2  u1  u2
uur uur
z1  z2  u1  u2 �z1  z2



  z
2

1



 z2



2

 Do đó:

* TH 2: Khi z1z2  0 thì rõ ràng z1  z2  z1  z2
Vậy z1  z2 �z1  z2 , z1,z2 ��
Áp dụng: Ta sẽ áp dụng

z
z1
 1

z2
z2

Ta có:

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chun luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 22


Chuyên Đề Số Phức

u



2

2

x  y  2xyi
4

xy 2  i x  y

x
x


y 

2

 y2

2

2

4



4

x

2

x2  y2  2xyi
xy 2  i x  y

4



 y2



2

 4x2y2

2x2y2  x4  y4

2

2

1

Tương tự: w 

x2  y2  i 2xy

 x  y  2i

xy



x2  y2  2xy

 x  y

2

 4xy



 x  y

2

 x  y

2

 1.

Ví dụ 3. a) Chứng minh: Số phức z là số thực khi và chỉ khi z  z .
Vận dụng: Cho hai số phức z1,z2 đều có mođun bằng 1, z1.z2 �1 . Chứng minh
z

z1  z2
là số thực.
1 z1z2

b) Chứng minh: Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z  z
Vận dụng: Chứng minh hai số phức phân biệt z1,z2 thỏa z1  z2 khi và chỉ khi
z1  z2
z1  z2 là số ảo.

Giải
Đặt z  a  bi,  a,b��
a) Ta có: z  z � a  bi  a  bi � 2bi  0 � b  0 � z là số thực.
Vậy, z là số thực khi và chỉ khi z  z
Vận dụng: Ta có:

2

z1z1  z1  1� z1 

1
1
z2 
z1 , tương tự ta có
z2

1 1

z1  z2
z1  z2
z1  z2
z1 z2
z z


 1 2  z  ÑPCM 
Xét z  1 z z 
1 z1z2 1 z1.z2 1 1 . 1 1 z1z 2
1 2
z1 z2

b) Ta có:
z   z � a  bi    a  bi  � 2a  0 � a  0 � z là số aûo.

Vậy, z là số ảo khi và chỉ khi z  z
Vận dụng: Ta có

z1  z2
là số ảo
z1  z2

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 23


Chuyên Đề Số Phức
�

z1  z2
z z
z z
z z
z z
z z
  1 2 � 1 2  1 2  0� 1 2  1 2  0
z1  z2
z1  z2
z1  z2 z1  z2
z1  z2 z1  z2

�  z1  z2  .z1  z2   z1  z 2  .z1  z2  0









�  z1  z2  . z1  z2   z1  z 2  . z1  z2  0





2

2

� 2 z1z1  z2 z2  0 � z1z1  z 2z 2 � z1  z2 � z1  z2
2z  1
là số thực. Chứng minh rằng z là số thực.
z1

Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn

Giải
Ta biết rằng số phức w là số thực � w  w. Do đó
2z  1
�2z  1� 2z  1 2z  1 2z  1
�

là số thực � �
�
z1

z1 z1
�z  1 � z  1









� 2z  1  z  1   2z  1 z  1

� 2zz  2z  z  1 2zz  2z  z  1 � z  z
� z là số thực.

Ví dụ 5. Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
n

n

2n

�6  17i � �3 28i �
a) z  �
� �
���;
�4  3i � �5 6i �

n

�
13 6i �
b) z  �
�  3 4i  ��
�4  5i �

Giải
a) Ta có
n

n

n
n
�6  17i � �3 28i �
z �
� �
�   3 2i    3 2i 
�4  3i � �5 6i �

Suy ra:
n

z   3 2i    3 2i    3 2i    3 2i    3 2i    3 2i 
n

n

n

n

n

  3  2i    3 2i   z
n

n

Vậy z là số thực.
b) Ta có
2n

n
n
2n
n �
2�
n
�
13 6i �
z �
3

4i

2

i
3


4i

2

i
3

4i









�
�
�
�
�
�4  5i �

  3 4i 

n

 3 4i 

n

n
�
 3 4i   3 4i  �
�
�  25
n

Vậy z là số thực.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng
2
2
2
2
a) z  z'  z  z'  2�z  z' �,z,z' ��
�
�
�
�
2

2



b) 1 z1.z2  z1  z2  1 z1z2

c) Với mọi số phức

z1,z2,z3.

2

  z

1

 z2



2

,z1,z2 ��

Chứng minh rằng:

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 24


Chuyên Đề Số Phức
2

2

2

z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3

2

2
2
2�
 4�
.
�z1  z2  z3 �
�
�

Giải
a) Ta có:
VT  z  z'  z  z'   z  z' .z  z'   z  z' .z  z'
2

2









  z  z' z  z'   z  z' . z  z'

 z.z  z.z'  z'z  z'.z'  zz  z.z'  z'z  z'.z'
2



2

2

 2 z  2 z'  2 z  z'

2

  VP

b) Ta có:
2





VT  1 z1.z2  z1  z2  1 z1.z2 .1 z1.z2   z1  z2  .z1  z2



2







 1 z1.z2 1 z1z2   z1  z2  z1  z2
2

2

2

 1 z1 z2  z1  z2

2



 *

Mặt khác:



VP  1 z1z2

   z1  z2 
2

2

2
2

2

2

2

2

 1 2 z1z2  z1z2  z1  2 z1 z2  z2  1 z1 z 2  z1  z 2

Từ (*) và (**) ta suy ra điều phải chứng minh.
c) Ta có



z1  z2  z3   z1  z2  z3  . z1  z2  z3    z1  z2  z3  z1  z2  z3
2

 **

2



 z1z1  z1z2  z1z3  z2z1  z2z2  z2 z3  z3z1  z3z2  z3z3
 z1  z2  z3  z1z2  z1z3  z2z1  z2z3  z3z1  z3z2  1

2

2

2

Tương tự



z1  z2  z3   z1  z2  z3  . z1  z2  z3    z1  z2  z3  z1  z2  z3
2



 z1z1  z1z2  z1z3  z2z1  z2z2  z2z3  z3z1  z3z2  z3z3
 z1  z2  z3  z1z2  z1z3  z2z1  z2z3  z3z1  z3z2  2
2

2

2



z1  z2  z3   z1  z2  z3  . z1  z2  z3    z1  z2  z3  z1  z2  z3
2



 z1z1  z1z2  z1z3  z2z1  z2 z2  z2z3  z3z1  z3z2  z3z3
 z1  z2  z3  z1z2  z1z3  z2 z1  z2z3  z3z1  z3z2  3
2

2

2



z1  z2  z3   z1  z2  z3  . z1  z2  z3    z1  z2  z3  z1  z2  z3
2



 z1z1  z1z2  z1z3  z2 z1  z2z2  z2z3  z3z1  z3z2  z3z3
 z1  z2  z3  z1z2  z1z3  z2z1  z2 z3  z3z1  z3z2  4
2

2

2

Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế

Page 25