Dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải một số dạng toán hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ ĐỨC TRỌNG

DẠNG SỐ PHỨC CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO
VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ ĐỨC TRỌNG

DẠNG SỐ PHỨC CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO
VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trần Việt Cường

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

1 Một số kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Phép biến hình trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Tích vô hướng và tích lệch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.1

Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.2

Tích lệch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng phức . . . . . . . .

3

1.3.1

Phương trình chính tắc của đường thẳng . . . . . . . . .

3

1.3.2

Phương trình tổng quát của đường thẳng . . . . . . . . .

4

1.3.3

Phép chiếu vuông góc xuống đường thẳng ∆ . . . . . . .

4

1.3.4

Phép đối xứng qua đường thẳng . . . . . . . . . . . . . .

5

Phương trình đường tròn trong mặt phẳng phức . . . . . . . . .

5

1.4.1

Đường tròn đơn vị |z| = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4.2

Phương trình của đường tròn tâm J, bán kính r > 0 . .
¯ + β z¯) + P = 0, a ∈ R, P ∈ R, β ∈
Phương trình az z¯ + (βz

5

C, |a| + |β| = 0(∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4.4

Hai đường tròn trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4.5

Hai đường tròn tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5.3

Các định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3

1.4

1.4.3

1.5


ii

2 Ứng dụng dạng số phức của phép nghịch đảo để giải một số
dạng toán hình học phẳng

21

2.1

Bài toán xác định phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3

Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.1

Dựng đường tròn tiếp xúc với các đường tròn, đường
thẳng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2

Dựng đường tròn trực giao với các đường thẳng, đường
tròn cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3

28
33

Dựng đường tròn vừa tiếp xúc vừa trực giao với các đường
thẳng, đường tròn cho trước . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.4

Các bài toán tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.5

Một số định lý nổi tiếng trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . .

49

2.5.1

Công thức Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.5.2

Bất đẳng thức Ptolemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.5.3

Định lý Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55


iii

Mở đầu
Số phức từ khi ra đời đã thúc đẩy toán học tiến lên và giải quyết được một
số vấn đề về khoa học, kỹ thuật. Riêng trong hình học, số phức cũng có những
ứng dụng quan trọng. Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là một nội dung
còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, việc sử dụng số phức như một phương
tiện để giải các bài toán Hình học phẳng là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinh
phải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của toán
học. Mặc dù sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đã đưa bài tập ứng dụng Số phức
vào giải toán hình học phẳng nhưng còn rất ít chỉ mang tính chất giới thiệu.
Do vậy, sử dụng công cụ số phức để giải toán hình học là một phương pháp
mới.
Trong hình học, phép biến hình là công cụ giải toán quan trọng, các phép
biến hình đã được học trong nhà trường phổ thông (phép dời hính, phép đồng
dạng, phép vị tự) đều biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành
đường tròn. Phép nghịch đảo là phép biến hình thuộc loại khác, nó cũng bảo
toàn lớp các đường thẳng và đường tròn nhưng có thể biến một đường thẳng
thành đường tròn và ngược lại. Chính đặc trưng đó của phép nghịch đảo được
sử dụng rất hiệu quả để giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán
trong hình học phẳng.

“Dạng số phức của phép nghịch đảo” là cách tiếp cận tạo nên cách nhìn mới
về các bài toán giải quyết bằng phép nghịch đảo. Vì vậy tôi đã chọn đề tài
“Dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải bài tập hình
học phẳng” để tìm hiểu và nghiên cứu.
Ngoài phân mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn bao gồm hai
chương:


iv

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
- Trình bày sơ lược các kiến thức về số phức có liên quan (tích vô hướng và
tích lệch, phương trình đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng phức).
- Những kiến thức cơ bản về dạng số phức của phép nghịch đảo (định nghĩa,
tính chất, định lý của phép nghịch đảo).
Chương 2: Ứng dụng dạng số phức của phép nghịch đảo để giải một số bài tập
hình học phẳng.
Các bài tập về dựng hình, quỹ tích, các bài tập tổng hợp chứng minh đẳng
thức, chứng minh các đường đi qua điểm cố định, sự tồn tại các đường tiếp
xúc và tính ưu việt của phép nghịch đảo trong mặt phẳng phức.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Việt
Cường. Tác giả xin bày tỏ sâu sắc tới Thầy đã tận tâm giúp đỡ tác giả hoàn
thành luận văn này.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, tác giả đã nhận được sự quan
tâm, giúp đỡ của Khoa Toán, Phòng Đào tạo và Khoa Sau đại học Trường Đại
học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô đã tham gia giảng dạy lớp
cao học Toán K7Q. Tác giả xin chân thánh cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó.


1

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày sơ lược các kiến thức về số phức có liên quan (tích vô
hướng và tích lệch, phương trình đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng
phức) và một số kiến thức cơ bản về dạng số phức của phép nghịch đảo (định
nghĩa, tính chất, định lí của phép nghịch đảo).

1.1

Phép biến hình trong mặt phẳng

Kí hiệu P là tập hợp các điểm trong mặt phẳng.
Một song ánh f : P → P từ tập P lên chính nó được gọi là phép biến hình
của mặt phẳng.
Điểm M = f (M ) được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f và
điểm M được gọi là tạo ảnh của điểm M qua phép biến hình f .
Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng P thì hình H = f (H) =
{f (M )|M ∈ H} gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình f và H được gọi là
tạo ảnh của hình H qua phép biến hình đó.
Điểm M thuộc mặt phẳng P được gọi là điểm kép trong phép biến hình
f : P → P nếu f (M ) = M.
Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng P được gọi là đường thẳng kép trong
phép biến hình f : P → P nếu ∀M ∈ d : f (M ) = M .
Phép biến hình f : P → P được gọi là phép biến hình đồng nhất nếu
f (M ) = M, ∀M ∈ P .


2

Phép biến hình f : P → P được gọi là có tình chất đối hợp nếu f 2 = Idp .

1.2

Tích vô hướng và tích lệch

1.2.1

Tích vô hướng

Ta đã biết tích vô hướng của hai véctơ u, v là u.v = |u|.|v| cos(u, v) nếu u, v
khác 0 và u.v = 0 nếu u hoặc v bằng 0.
−−→
−→
Do đó, nếu OM = u có toạ vị z, OP = v có toạ vị ω thì:
- Nếu z và ω khác 0, kí hiệu ϕ và ψ là argumen của z và ω thì ta có:
−−→ −→
1
(z ω
¯ + z¯ω) = |z| . |ω| cos(ψ − ϕ) = |z| . |ω| cos(OM , OP ).
2
1
¯ + z¯ω) = 0.
- Nếu z hoặc ω bằng 0 thì ta có (z ω
2
1
Vậy, nếu đặt z, ω = (z ω
¯ + z¯ω) thì ta luôn có:
2
−−→ −→ 1

OM .OP = (z ω
¯ + z¯ω) = z, ω .
2
Một số tính chất (phép toán) của tích vô hướng:
• Tính chất đối xứng: z, ω = ω, z .
• Tính chất R-song tuyến tính:
z1 + z2 , ω = z1 , ω + z2 , ω
kz, ω = k z, ω , k ∈ R
z, ω1 + ω2 = z, ω1 + z, ω2
z, kω = k z, ω , k ∈ R

(R-Tuyến tính đối với z)

(R-Tuyến tính đối với ω)

• z, z = |z|2 .
¯ , ∀λ ∈ C.
• λz, ω = z, λω
1.2.2

Tích lệch

−−→
−→
Cho véctơ OM có toạ vị z và véctơ OP có toạ vị ω. Tích lệch của hai véctơ
−−→
−→
OM và OP là một số thực được xác định bởi:
−−→ −→
i

OM, OP = [z, ω] = (z ω
¯ − z¯ω).
2


3

Nếu z và ω khác 0 thì ta có [z, ω] = |z|.|ω| sin(ψ − ϕ), trong đó ϕ và ψ là
−−→ −→
−−→ −→
−−→ −→
argumen của z và ω. Do đó, ta có OM , OP = OM . OP sin(OM .OP ).
Nếu z hoặc ω bằng 0 thì [z, ω] = 0.
Từ đó, ta có:
−−→ −→
• Ba điểm O, M, P thẳng hàng tức hai véctơ OM , OP cùng phương khi và
chỉ khi u¯z − u¯
z + ip = 0, u = 0, p ∈ R.

−−→ −→
• Ba điểm O, M, P không thẳng hàng thì [OM , OP ] = [z, ω] bằng hai lần
diện tích đại số tam giác định hướng OM P , nó là số thực mà giá trị tuyệt
đối là hai lần diện tích tam giác OM P , nó dương khi OM P định hướng
thuận (ngược chiều quay kim đồng hồ khi đi dọc chu vi O → M → P →
O) và nó âm khi OM P định hướng ngược.
Các tính chất của (phép toán) của tích lệch:
• Tính chất phản đối xứng [ω, z] = −[z, ω].
• Tính chất R-song tuyến tính.
¯
• Với λ ∈ C thì [λz, ω] = [z, λω].

1.3

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
phức

1.3.1

Phương trình chính tắc của đường thẳng

Đường thẳng đi qua điểm M0 có toạ vị z0 với vectơ chỉ phương u có toạ vị
u
u có phương trình: [z − z0 , u] = 0 hay z − z0 = (z − z0 ).
u¯
Mọi đường thẳng có thể xác định bởi phương trình
z = λ¯
z + δ với |λ| = 1 và λδ¯ + δ = 0.
Nếu đặt λ =

u
(u = 0) thì ta có phương trình:
u¯
u
z = z¯ + δ, u, δ = 0,
u¯


4

trong đó u là toạ vị của một véctơ chỉ phương của đường thẳng,

δ
là toạ vị
2

của hình chiếu vuông góc của gốc O xuống đường thẳng.
Nếu hai đường thẳng ∆ và ∆ lần lượt có phương trình chính tắc là
z = λ¯
z + δ (|λ| = 1, λδ¯ + δ = 0),
z = λ z¯ + δ (|λ | = 1, λ δ¯ + δ = 0),
thì ta có
• ∆ ≡ ∆ ⇔ λ = λ ,δ = δ .
• ∆

∆ ⇔ λ = λ , δ = δ (lúc này khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và
1
∆ bằng |δ − δ |).
2
• ∆ ⊥ ∆ ⇔ λ + λ = 0.
1.3.2

Phương trình tổng quát của đường thẳng

Mọi đường thẳng có thể xác định bởi phương trình
αz + β z¯ + γ = 0 với |α| = |β| = 0 và α
¯ γ = β¯
γ.
Điểm có toạ vị z0 =

−γ

là hình chiếu vuông góc của O xuống đường thẳng.
2α

Trường hợp riêng:
• u¯z − u¯
z + ip = 0, u = 0, p ∈ R (u là toạ vị của véctơ chỉ phương của đường
thẳng).
• v¯z − v¯
z + p = 0, v = 0, p ∈ R (v là toạ vị của véctơ pháp tuyến của đường
thẳng).
1.3.3

Phép chiếu vuông góc xuống đường thẳng ∆

Giả sử điểm H có toạ vị z là hình chiếu vuông góc của điểm P có toạ vị ω
xuống đường thẳng ∆.
Nếu đường thẳng ∆ có phương trình z = λ¯
z + δ (|λ| = 1, λδ¯ + δ = 0), thì
z = 12 (ω + λ¯
ω + δ).
Nếu đường thẳng ∆ có phương trình
¯
αz + β z¯ + γ = 0, (|α| = |β| = 0, α
¯ γ = β γ)


5

thì z =
1.3.4

1
(αω
2α

− βω
¯ − γ).

Phép đối xứng qua đường thẳng

Giả sử điểm P có toạ vị ω là điểm đối xứng (vuông góc) của điểm P có
toạ vị ω xuống đường thẳng ∆.
Nếu đường thẳng ∆ có phương trình z = λ¯
z + δ, (|λ| = 1, λδ¯ + δ = 0) thì
ω = λ¯
ω + δ.
Nếu đường thẳng ∆ có phương trình
¯
αz + β z¯ + γ = 0, (|α| = |β| = 0, α
¯ γ = β γ),
¯ + γ = 0.
thì αω + β ω

1.4

Phương trình đường tròn trong mặt phẳng phức

1.4.1

Đường tròn đơn vị |z| = 1

Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt A0 có toạ vị α0 , A1 có toạ vị α1
của đường tròn đơn vị có phương trình là: z = −α0 α1 z¯ + α0 + α1 .
Nếu điểm H có toạ vị z là hình chiếu vuông góc của điểm P có toạ vị ω
1
1
xuống đường thẳng ∆ thì z = − α0 α1 ω
¯ + (ω + α0 + α1 ).
2
2
Nếu điểm đối xứng P có toạ vị ω của điểm P có toạ vị ω qua đường thẳng
∆ thì ω = −α0 α1 ω
¯ + α0 + α1 .
Giao điểm của hai tiếp tuyến của đường tròn đơn vị tại hai điểm phân biệ
2α0 α1
.
A0 có toạ vị α0 và A1 có toạ vị α1 (không xuyên tâm đối) có toạ vị là
α0 + α1
1.4.2

Phương trình của đường tròn tâm J, bán kính r > 0

Phương trình đường tròn tâm J, bán kính r > 0 là
¯ + β z¯) + P = 0,
z z¯ + (βz
trong đó β ∈ C, −β là toạ vị của J, P ∈ R là phương tích của điểm O đối với
đường tròn β β¯ − P = r2 .


6

1.4.3

¯ + β z¯) + P = 0, a ∈ R, P ∈ R, β ∈ C,
Phương trình az z¯ + (βz
|a| + |β| = 0(∗)

Nếu a = 0, β = 0 thì (*) là phương trình đường thẳng (β là toạ vị của một
véctơ pháp tuyến của (*)).
Nếu a = 0, β β¯ − ap > 0 thì (*) là phương trình đường tròn, tâm J có toạ
1
β
β β¯ − ap; phương tích của điểm P có toạ vị ω với
vị − , bán kính r =
a
|a|
1
¯ + βω
đường tròn (*) bằng (ω ω
¯ + βω
¯ + p).
a
1.4.4

Hai đường tròn trực giao

Cho hai đường tròn hoặc hai đường thẳng xác định bởi phương trình:
a1 z z¯ + 2 β1 , z + p1 = 0, (|a1 | + |β1 | = 0),
a2 z z¯ + 2 β2 , z + p2 = 0, (|a2 | + |β2 | = 0),
Hai đường tròn đó trực giao khi và chỉ khi 2 β1 , β2 = a1 p2 + a2 p1 .

1.4.5

Hai đường tròn tiếp xúc

Cho hai đường tròn hoặc hai đường thẳng xác định bởi phương trình:
a1 z z¯ + 2 β1 , z + p1 = 0, (|a1 | + |β1 | = 0)
a2 z z¯ + 2 β2 , z + p2 = 0, (|a2 | + |β2 | = 0)
với |a1 | + |a2 | = 0.
Hai đường đó tiếp xúc nhau khi và chỉ khi
(a1 p2 + a2 p1 − 2 β1 , β2 )2 = 4(β1 β¯1 − a1 p1 )(β2 β¯2 − a2 p2 ).

1.5

Phép nghịch đảo

1.5.1

Định nghĩa

Cho điểm J thuộc mặt phẳng E và cho số thực k khác 0, phép biến đổi
f : E/{J} → E/{J}
M → M = f (M )


7

−−→
xác định bởi JM =

−−→ −−→

−−→
k
−−→2 JM (tức là J, M, M thẳng hàng và JM .JM =
JM
k) gọi là phép nghịch đảo tâm J, hệ số góc k trong mặt phẳng. Kí hiệu: f (J, k).
Coi E là mặt phẳng phức, J có toạ vị z0 thì phép nghịch đảo nói trên xác
k
.
định bởi M (z) → M = f (M )(z ) mà z − z0 =
z − z0
k
Khi J là gốc toạ độ O thì công thức trở thành: z = .
z¯
1.5.2

Tính chất

a) Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp

Chứng minh. Coi E là mặt phẳng phức, tâm nghịch đảo J của phép nghịch
k
đảo f hệ số k là gốc toạ độ thì công thức của phép nghịch đảo f là z → z = .
z¯
Nếu f (M ) = M , f (M ) = M với M có toạ vị z, M có toạ vị z và M có toạ
k
k
k
k
vị z thì ta có z = ; z = ¯ . Vậy, ta có z = = k = z tức M = M .
k

z¯
z
z
z

Do đó, ta có f 2 (M ) = f (f (M )) = f (M ) = M = M hay f 2 = IdE .
b) Quỹ đạo các điểm kép của phép nghịch đảo f (J, k) với k > 0 là đường
√
tròn tâm J, bán kính k

Chứng minh. Coi E là mặt phẳng phức, tâm nghịch đảo J của phép nghịch
k
đảo f hệ số k là gốc toạ độ thì công thức của phép nghịch đảo f là z → z = .
z¯
Giả sử M có toạ vị z là điểm kép của phép nghịch đảo f (J, k). Khi đó, ta có
√
√
k
z → z = hay zz = k, tức là z 2 = ( k)2 ⇔ |z| = k.
z
√
Vậy M thuộc đường tròn tâm J, bán kính k.
√
Ký hiệu W (J, k) là đường tròn tâm J, bán kính k. W (J, k) gọi là đường
tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo f (J, k).
c) Ảnh của đường thẳng, đường tròn qua phép nghịch đảo f tâm J, hệ số k
trong mặt phẳng E

Coi E là mặt phẳng phức, tâm nghịch đảo J của phép nghịch đảo f hệ số
k

k là gốc toạ độ thì công thức của phép nghịch đảo f là z → z = . Ảnh của
z¯


8

đường thẳng ∆ hay đường tròn (C): azz + 2 β, z + p = 0, (|a| + |β| = 0) là
k
ak 2
+ 2 β,
+ p = 0, tức là pz z + 2 kβ, z + ak 2 = 0.
đường xác định bởi
zz
z
Vậy, ta có:
- Nếu a = 0, β = 0, p = 0 thì phép nghịch đảo f biến đường thẳng ∆ qua
tâm nghịch đảo J thành chính nó (J không thuộc miền xác định của f ).
- Nếu a = 0, β = 0, p = 0 thì phép nghịch đảo f biến đường thẳng ∆ không
qua tâm nghịch đảo J thành đường tròn f (∆) qua J (tâm nghịch đảo J không
thuộc ảnh của f ).
Gọi A là hình chiếu vuông góc của tâm nghịch đảo J xuống ∆ thì do ∆ có
−p
−p
phương trình 2 β, z + p = 0 nên A có toạ vị
β còn f (∆) có phương
=
2β
2β β¯
−kβ
trình pz z + 2 kβ, z = 0 nên tâm C của f (∆) có toạ vị

, do đó C thuộc
p
−→ −→ k
đường thẳng JA (qua tâm nghịch đảo J vuông góc với ∆) và JC.JA = .
2
- Nếu a = 0, p = 0 thì phép nghịch đảo f biến đường tròn (C) qua tâm
nghịch đảo J thành đường thẳng không đi qua tâm nghịch đảo J (Hình 1.1).

Hình 1.1

- Nếu a = 0, p = 0 thì phép nghich đảo f biến đường tròn (C) không đi qua
−β
β β¯ p
tâm nghịch đảo J, có tâm C với toạ vị
và bán kính R =
− thành
a
a2
a
2
đường tròn f (C) có phương trình pz z + 2 < kβ, z > +ak = 0 không đi qua
−−→
−kβ
k −→
(tức JC =
JC) và bán kính
tâm nghịch đảo J, có tâm C với toạ vị
p
p/a
a2 k 2 β β¯ p

k
−
R. Vậy, đường tròn f (C) có ảnh là đường tròn
R =
=
p2
a2
a
p/a


9

k
k
=
(Trong đó PJ /(C) là
p/a
PJ /(C)
phương tích của điểm J đối với đường tròn (C)) (Hình 1.2).
(C) qua phép vị tự V tâm J, tỉ số vị tự

Hình 1.2

Chú ý: Tuy f (C) = V (C) nhưng nói chung không phải với mọi M ∈ (C) ta
có f (M ) = V (M ) và cũng cần chú ý (C ) = V (C) nói chung khác f (C).
d) Phép vị tự bảo toàn góc giữa đường thẳng, đường tròn

• Góc
Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo của góc bé nhất trong

bốn góc đó gọi là góc giữa hai đường thẳng. Khi góc đó là góc vuông thì hai
đường thẳng đó gọi là vuông góc hay trực giao với nhau.
Nếu đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại điểm M thì góc giữa đường
thẳng ∆ và đường tròn (C) là góc giữa đường thẳng ∆ và tiếp tuyến với đường
tròn (C) tại điểm M . Khi góc đó là góc vuông thì đường thẳng ∆ và đường
tròn (C) gọi là vuông góc hay trực giao với nhau. Điều đó xảy ra khi và chỉ
khi đường thẳng ∆ là một đường kính của đường tròn (C).
Cho hai đường tròn (C) và (C ) cắt nhau tại điểm M . Góc giữa hai đường
tròn đó là góc giữa các tiếp tuyến của chúng tại điểm M . Khi góc đó là góc
vuông thì ta nói hai đường tròn vuông góc hay trực giao. Điều này xảy ra khi
và chỉ khi CC 2 = CM 2 + C M 2 hay CM 2 = CC 2 − C M 2 , tức phương tích
của tâm của đường tròn thứ nhất đối với đường tròn thứ hai bằng bình phương
bán kính của đường tròn thứ nhất.


10

• Phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa các đường thẳng, đường tròn
Chứng minh. Cho đường tròn (C1 ) và đường tròn (C2 ) hoặc đường thẳng ∆
lần lượt được xác định bởi các phương trình sau trong mặt phẳng phức:
a1 zz + 2 β1 , z + p1 = 0

(1.1)

a2 zz + 2 β2 , z + p2 = 0

(1.2)

Phép nghịch đảo f hệ số k có tâm nghịch đảo J là gốc toạ độ xác định bởi
k

công thức z → z = . Gọi C1 và C2 lần lượt là tâm của đường tròn (C1 ) và (C2 ),
z¯
gọi R1 và R2 lần lượt là bán kính của đường tròn (C1 ) và (C2 ). Khi đó, C1 có toạ
β2
1
1
β1
β1 β¯1 − a1 p1 và R2 =
β2 β¯2 − a2 p2 .
vị − , C2 có toạ vị − , R1 =
a1
a2
|a1 |
|a2 |
Gọi M là một giao điểm của hai đường tròn (C1 ) và (C2 ). Khi đó, ta có:
d2 − (R12 + R22 )
cos(C1 M C2 ) =
,
2R1 R2
trong đó d = C1 C2 = Sgn(a1 a2 )

a1 p2 + a2 p1 − 2 β1 , β2

2 β1 β1 − a1 p1 β2 β2 − a2 p2
Kí hiệu: cos(C1 M C2 ) = ϕ(C1 , C2 ). Khi đó, ta có
ϕ(C1 , C2 ) = Sgn(a1 a2 )

.

a1 p2 + a2 p1 − 2 β1 , β2

2 β1 β1 − a1 p1

β2 β2 − a2 p2

.

(1.3)

Kí hiệu: ψ(C1 , ∆) là cosin của góc giữa (C1 ) và ∆. Khi đó, ta có ψ(C1 , ∆) =
d0
(d0 là khoảng cách từ C1 đến ∆).
R1
Theo 1.3.3, hình chiếu vuông góc từ điểm có toạ vị z đến đường thẳng ∆ có
1
(β2 z − β2 z − p2 ) nên khoảng cách d0 từ điểm C1 đến đường thẳng
toạ vị là
2β2
|a1 p2 − 2 β1 , β2 |
∆ bằng
.
2|a1 β2 |
Vậy, ta có
ψ(C1 , ∆) =

a1 p1 − 2 β1 , β2
2 |β2 |

(1.4)

β1 β 2 − a1 p1

k
biến hai đường tròn (C1 ), (C2 ) lần lượt
z¯
thành f (C1 ), f (C2 ) theo thứ tự có phương trình:
Phép nghịch đảof : z → z =

p1 z z + 2 kβ1 , z + a1 k 2 = 0

(1.5)


11

p2 z z + 2 kβ2 , z + a2 k 2 = 0

(1.6)

Khi J không thuộc (C1 ), không thuộc (C2 ) thì
ϕ(f (C1 ), f (C2 )) = Sgn(p1 p2 )

a1 p2 + a2 p1 − 2 β1 , β2
2 β1 β1 − a1 p1

β2 β2 − a2 p2

.

p2
p1

= PJ/(C1 ) ,
= PJ/(C2 ) nên ta có:
a1
a2
• Nếu J đồng thời ở bên trong (C1 ) và (C2 ) hoặc đồng thời ở bên ngoài

Do

(C1 ) và (C2 ) thì ϕ(f (C1 ), f (C2 )) = ϕ(C1 , C2 ).

Hình 1.3

Hình 1.4

Hình 1.5

• Nếu J ở bên trong một đường tròn và bên ngoài đường tròn kia trong hai
đường tròn (C1 ), (C2 ) thì ϕ(f (C1 ), f (C2 )) = −ϕ(C1 , C2 ).
Khi J không thuộc (C1 ) nhưng thuộc (C2 ) thì p1 = 0, p2 = 0 và từ (1.3) và
(1.4) ta có ψ(f (C1 ), f (C2 )) = |ϕ(C1 , C2 )| .


12

Khi J thuộc (C1 ) và (C2 ) thì f biến (C1 , ∆) thành cặp đường tròn và đường
thẳng hay cặp đường thẳng thì phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa chứng.
Vậy phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa các đường thẳng, đường tròn.
Hệ quả 1.1. Phép nghịch đảo bảo tồn tính chất trực giao của các đường thẳng,
đường tròn.
Chứng minh. Coi E là mặt phẳng phức, gốc toạ độ O là tâm nghịch đảo J

của phép nghịch đảo f hệ số k và hai đường tròn (C1 ), (C2 ) lần lượt có phương
trình:
a1 zz + 2 β1 , z + p1 = 0

(1.7)

a2 zz + 2 β2 , z + p2 = 0

(1.8)

Vì phép nghịch đảo f xác định bởi z → z =

k
nên f (C1 ), f (C2 ) lần lượt có
z¯

phương trình:
p1 z z + 2 kβ1 , z + a1 k 2 = 0

(1.9)

p2 z z + 2 kβ2 , z + a2 k 2 = 0

(1.10)

Theo 1.4.4, ta có hai đường này trực giao khi và chỉ khi
2 kβ1 , kβ2 = p1 a2 k 2 + p2 a1 k 2
⇔ 2 β1 , β2 = p1 a2 + p2 a1 v
⇔ (C1 ) và (C2 ) trực giao.

e) Phép nghịch đảo bảo tồn sự tiếp xúc của các đường thẳng, đường tròn
nếu tiếp điểm không trùng với tâm nghịch đảo. Nếu tiếp điểm trùng với
tâm nghịch đảo thì ảnh của chúng qua phép nghịch đảo là một cặp đường
thẳng song song

* Nếu đường tròn, đường thẳng tiếp xúc với nhau tại một điểm không trùng
với tâm nghịch đảo thì ảnh của chúng qua phép nghịch đảo cũng tiếp xúc với
nhau.


13

Chứng minh. Coi E là mặt phẳng phức, gốc toạ độ O là tâm nghịch đảo J của
phép nghịch đảo f hệ số k và hai đường tròn (C1 ) và (C2 ) lần lượt có phương
trình:
a1 zz + 2 β1 , z + p1 = 0

(1.11)

a2 zz + 2 β2 , z + p2 = 0

(1.12)

trong đó |a1 | + |β1 | = 0, |a2 | + |β2 | = 0 và |a1 | + |a2 | = 0.
k
Vì phép nghịch đảo f xác định bởi z → z = nên f (C1 ), f (C2 ) lần lượt có
z¯
phương trình
p1 z z + 2 kβ1 , z + a1 k 2 = 0

(1.13)

p2 z z + 2 kβ2 , z + a2 k 2 = 0

(1.14)

Theo 1.4.5, hai đường thẳng này tiếp xúc nhau khi và chỉ khi
(p1 a2 k 2 + p2 a1 k 2 ) − 2 kβ1 , kβ2 )2 = 4(k 2 β1 β1 − p1 a1 k 2 )(k 2 β2 β 2 − p2 a2 k 2 )
⇔ (a1 p2 + a2 p1 ) − 2 β1 , β2 )2 = 4(β1 β1 − a1 p1 )(β2 β 2 − a2 p2 )
⇔ (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc nhau.

* Nếu các đường tròn, đường thẳng tiếp xúc nhau tại một điểm trùng với
tâm nghịch đảo thì ảnh của chúng qua phép nghịch đảo là một cặp đường thẳng
song song.
Nếu hai đường tròn tâm C1 và tâm C2 tiếp xúc nhau tại điểm J. Khi đó, ta
có J, C1 , C2 là ba điểm thẳng hàng. Phép nghịch đảo f (J, k) biến đường tròn
(C1 ) thành đường thẳng d1 vuông góc với JC1 , biến đường tròn (C2 ) thành
đường thẳng d2 vuông góc với JC2 . Do đó, ta có d1

d2 (hình 1.6).


14

Hình 1.6

Nếu đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm J. Vì đường thẳng
d đi qua tâm nghịch đảo J nên ta có f (J, k) : d → d. Vì đường tròn (C) đi qua
tâm nghịch đảo J nên ta có f (J, k) : (C) → d1 . Do đó, ta có d1 ⊥JC(1).
Mặt khác, do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm J nên ta

có d ⊥ JC(2).
Từ (1.11) và (1.12) ta có d

d1 (hình 1.7).

Hình 1.7

f) M, N là hai điểm tuỳ ý của mặt phẳng không trùng với tâm J của phép
nghịch đảo J với hệ số k thì hai điểm M = f (M ), N = f (N ) cũng không
|k|
trùng với tâm J và độ dài đoạn thẳng M N =
M N.
JM.JN

Chứng minh. Chứng minh: Coi E là mặt phẳng phức, tâm nghịch đảo J của
phép nghịch đảo f hệ số k là gốc toạ độ thì phép nghịch đảo f xác định bởi
k
công thức z → z = ; Gọi hai điểm M, N lần lượt có toạ vị z, w, gọi hai điểm
z¯


15

M , N lần lượt có toạ vị z , w . Khi đó, ta có
k
k
k
k
−
−

w¯ z¯
w z
k 2 (¯
z − w)(z
¯
− w)
k2
=
=
M N 2.
z z¯ww¯
JM 2 JN 2

M N 2 = (w − z )(w − z ) =

Do đó, ta có M N =
1.5.3

|k|
M N.
JM.JN

Các định lý

Định lý 1.2. Qua phép nghịch đảo f (J, k) với hệ số k > 0, mọi đường tròn
trực giao với đường tròn nghịch đảo đều biến thành chính nó.
Chứng minh. Gọi (C) là đường tròn tuỳ ý trực giao với đường tròn nghịch đảo
√
w(J, k) và không đi qua tâm nghịch đảo J. Coi E là mặt phẳng phức có gốc
toạ độ O là tâm nghịch đảo J của phép nghịch đảo f hệ số k. Phép nghịch đảo

k
f được xác định bởi công thức z → z = .
z¯
Đường tròn (C) không đi qua tâm nghịch đảo J có phương trình:
zz + 2 β, z + p = 0 (β = 0)
(tâm C có toạ vị −β, bán kính R =

(1.15)

¯ p = PJ/(C) = 0).
β β,

Khi đó, ta có f (C) có phương trình pz z + 2 kβ, z + k 2 = 0 (tâm C của
k
k
đường tròn f (C) có toạ vị − β, bán kính R =
.R).
p
p
√
Vì đường tròn (C) trực giao với đường tròn nghịch đảo w(J, k) nên ta có
√
PJ/(C) =

2

k

=k

(∗)

Mặt khác, ta có
PJ/(C) = p (thay tọa vị J vào phương trình 1.15).
Từ (∗) và (∗∗) ta có k = p. Do đó, ta có R =
k
− β = −β chính là toạ vị của tâm C.
p
Vậy, ta có f (C) = (C).

(∗∗)

k
.R = R. Tâm C có toạ vị
p


16

Hệ quả 1.3. Qua phép nghịch đảo f (J, k) với hệ số k > 0, mọi đường tròn đi
qua hai điểm tương ứng M và M = f (M ) đều trực giao với đường tròn nghịch
đảo của phép nghịch đảo f .
Chứng minh. Giả sử (C) là đường tròn bất kỳ đi qua hai điểm tương ứng M
và M = f (M ). Coi E là mặt phẳng phức, có gốc toạ độ O là tâm nghịch đảo
J của phép nghịch đảo f hệ số k thì phép nghịch đảo f được xác định bởi công
k
thức z → z = . Giả sử điểm M, M lần lượt có toạ vị z, z .
z¯
−−→−−→
Theo giả thiết, do M = f (M ) nên ta có JM JM = k..

Giả sử đường tròn (C) có phương trình: zz + 2 < β, z > +p = 0.
Khi đó, ta có
√
−−→ −−→
PJ/(C) = p = JM .JM = k =
k

2

.

(1.16)

Hình 1.8

√
Do đó, đường tròn (C) trực giao với đường tròn (J, k) hay đường tròn (C)
√
trực giao với đường tròn nghịch đảo w(J, k) của phép nghịch đảo f (hình
1.8).
Định lý 1.4. Nếu hai đường tròn cùng trực giao với đường tròn nghịch đảo
của phép nghịch đảo f (J, k) với hệ số k > 0 và cắt nhau tại hai điểm thì hai
điểm này là hai điểm tương ứng qua phép nghịch đảo f (J, k) đã cho.


17

Chứng minh. Coi E là mặt phẳng phức, tâm nghịch đảo J của phép nghịch
đảo f hệ số k là gốc toạ độ thì phép nghịch đảo f xác định bởi công thức
k

z → z = . Giả sử hai đường tròn (C1 ) và (C2 ) lần lượt có phương trình là:
z¯
zz + 2 β1 , z + p1 = 0 và zz + 2 β2 , z + p2 = 0.
√
Vì đường tròn (C1 ) trực giao với đường tròn w(J, k) nên ta có
√ 2
PJ/(C1 ) = p1 =
k = k.
√
Vì đường tròn (C2 ) trực giao với đường tròn w(J, k) nên ta có
√ 2
k = k.
PJ/(C2 ) = p2 =
Vậy, ta có PJ/(C1 ) = PJ/(C2 ) = k.

Hình 1.9

Do đó, J thuộc trục đẳng phương M M của hai đường tròn (C1 ) và (C2)
nên ta có J, M, M là ba điểm thẳng hàng.
Mặt khác, do J nằm ngoài hai đường tròn (C1 ) và (C2 ) nên điểm J nằm
ngoài đoạn M M . Do đó, ta có
−−→ −−→
JM .JM = PJ/(C1 ) = PJ/(C2 ) = k
k
⇔z = .
z¯
trong đó z là toạ vị của điểm M và z là toạ vị của điểm M .
Vậy, ta có M = f (M ) (hình 1.9).

18

Định lý 1.5. Với mỗi phép nghịch đảo, hai điểm bất kỳ không thẳng hàng với
tâm nghịch đảo cùng với ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó cùng nằm trên
một đường tròn.
Chứng minh. Coi E là mặt phẳng phức, tâm nghịch đảo J của phép nghịch
đảo f hệ số k là gốc toạ độ thì phép nghịch đảo f xác định bởi công thức
k
z→z = .
z¯
Gọi A, B là hai điểm bất kì không thẳng hàng với J. Gọi A = f (A), B =
f (B). Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A, B, A có phương trình:
z.¯
z + 2 β, z + p = 0.
Kẻ JB cắt đường tròn (C) tại điểm B . Ta có
−−→ −→ −−→ −→
PJ/(C) = p = JA .JA = JB .JB = k.
Giả sử điểm B có tọa vị z, điểm B có tọa vị z và điểm B có tọa vị z . Khi
k
đó, ta có z = = z .
z

Hình 1.10

Vậy B ≡ B hay B thuộc đường tròn (C).
Định lý 1.6. Tích của hai phép nghịch đảo có cùng tâm là một phép vị tự tâm
có tâm vị tự trùng với tâm của phép nghịch đảo và tỉ số vị tự là tỷ số giữa các
hệ số của hai phép nghịch đảo đã cho.
Chứng minh. Coi E là mặt phẳng phức, tâm nghịch đảo J của phép nghịch
đảo f hệ số k và phép nghịch đảo f hệ số k là gốc toạ độ thì phép nghịch đảo

19

f xác định bởi công thức z → z =

k
và phép nghịch đảo f xác định bởi công
z¯

k
.
z¯
Giả sử f (M ) = M và f (M ) = M ” và gọi tọa vị của điểm M là z, tọa vị

thức z → z =

của điểm M là z , tọa vị của điểm M là z . Khi đó, ta có
z =

k
k
z

=

k
.z.
k

Do đó, ta có
V (J,

k
):M →M .
k

(1.17)

Mặt khác, ta có
k
).
(1.18)
k
k
Từ (1.17) và (1.18) ta có f (J, k ).f (J, k) = V (J, ).
k
Chú ý: f (J, k).f (J, k ) = f (J, k ).f (J, k), trừ trường hợp |k| = |k |.
f (J, k ).f (J, k) = V (J,

Hệ quả 1.7. Ảnh của hình (H) qua hai phép nghịch đảo cùng tâm là hai hình
đồng dạng.
Định lý 1.8. Tích hai phép nghịch đảo khác tâm có hệ số nghịch đảo dương
là tích của một phép đối xứng trục với một phép nghich đảo có tâm nghịch đảo
nằm trên đường thẳng nối hai tâm cho trước.
Chứng minh. Giả sử f1 (J1 , k1 ) và f2 (J2 , k2 ) là hai phép nghịch đảo có J1 =
J2 , k1 , k2 > 0. Ta có:
√
k1
có đường tròn nghịch đảo w1 = |z − α1 | = k1 ,

z − α1
trong đó J1 có tọa vị α1 .
√
k2
f2 (J2 , k2 ) : z → z =
có đường tròn nghịch đảo w2 = |z − α2 | = k2 ,
z − α2
trong đó J2 có tọa vị α2 .
f1 (J1 , k1 ) : z → z =

Gọi M là điểm bất kì, M không trùng J1 , M không trùng J2 và f1 (M ) =
M , f2 (M ) = M .
Gọi (O) là đường tròn đi qua ba điểm M, M và M . Khi đó, ta có, đường
tròn (O) trực giao với hai đường tròn (W1 ) và (W2 ).