Khóa luận tốt nghiệp toán học : Phép tính toán tử và ứng dụng để giải một số phương trình vi phân

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin gửi lời cảm
ơn chân thành đến cô Phạm Thị Thái giảng viên bộ môn Giải tích khoa
Toán-Lí-Tin, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ để em
hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ban chủ nhiệm khoa, các
thầy, cô giáo trong khoa Toán-Lí-Tin, cô giáo chủ nhiệm, tập thể các
bạn sinh viên lớp K51 ĐHSP Toán-Lí, gia đình và bạn bè đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành khóa luận.
Để khóa luận được hoàn thành, ngoài sự nỗ lực của bản thân, em còn
nhận được sự giúp đỡ chu đáo, nhiệt tình của Ban Giám hiệu, phòng
quản lí khoa học và quan hệ quốc tế, phòng đào tạo đại học, phòng
khảo thí và đảm bảo chất lượng, ban chủ nhiệm khoa Toán-Lí-Tin và
các phòng, ban chức năng của trường Đại học Tây Bắc.
Từ lòng biết ơn sâu sắc của bản thân, em xin gửi đến các thầy, cô
giáo, gia đình, bạn bè đã giúp em hoàn thành khóa luận lời cảm ơn chân
thành và sâu sắc nhất.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, ngày 15 tháng 05 năm 2014
Người thực hiện khóa luận
Hoàng Thị Mơ
1
Mục lục
Mở đầu 5
1 Một số kiến thức về phương trình vi phân 8
1.1 Phương trình vi phân cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Định nghĩa phương trình vi phân cấp n . . . . . . 8
1.1.2 Định nghĩa nghiệm của phương trình vi phân cấp n 9
1.1.3 Định lí tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . 9
1.1.4 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp n . 10
1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính cấp n 11
1.2.2 Hệ nghiệm cơ bản. Nghiệm tổng quát của phương
trình tuyến tính thuần nhất cấp n . . . . . . . . . 12
1.2.3 Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính
không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng . . 14
1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n thuần nhất
với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2
1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
cấp n với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Định nghĩa hệ phương trình vi phân . . . . . . . 19
1.4.2 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . 20
1.4.3 Các loại nghiệm của hệ phương trình vi phân . . 21
1.4.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng 22
2 Phép tính toán tử 27
2.1 Hàm gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Định lí cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Định nghĩa phép tính toán tử . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Các tính chất của ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.1 Ảnh của đạo hàm và tích phân . . . . . . . . . . 29
2.4.2 Ảnh của hàm lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.3 Ảnh của hàm f(x) = e
ax
trong đó a là số phức tùy
ý thỏa mãn điều kiện Re(a) < Re(p) . . . . . . . 32
2.5 Tính chất tuyến tính của phép tính toán tử . . . . . . . 33

2.5.1 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Định lí đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 Ảnh của gốc tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3
2.7.1 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.8 Định lí khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9 Bảng kê một số gốc và ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Ứng dụng phép tính toán tử để giải một số phương trình
vi phân và hệ phương trình vi phân dạng đặc biệt 41
3.1 Ứng dụng phép tính toán tử để giải phương trình vi phân
tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng số . . . . . . 41
3.1.1 Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Phép tính toán tử để giải hệ phương trình vi phân tuyến
tính với hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Kết luận 58
4
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn khóa luận
Toán học là một môn khoa học có lịch sử phát triển lâu đời và có mối
quan hệ chặt chẽ với nhiều môn khoa học khác như vật lí học, hóa học,
sinh học
Trong toán học, phương trình vi phân là một chuyên ngành phát triển,
có tầm quan trọng và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong các ngành khoa
học kỹ thuật, vật lí học, kinh tế, quân sự
Việc tìm cách giải các phương trình vi phân, với một số lớp phương

trình đã được nghiên cứu về phương pháp giải như các "thuật toán",
tuy nhiên lớp các phương trình này có số lượng rất ít và đòi hỏi phải
có điều kiện khá tốt. Đối với những phương trình không xây dựng được
thuật giải để tìm nghiệm đúng, người ta cũng đã xây dựng các phương
pháp tìm nghiệm gần đúng theo yêu cầu nào đó.
Một số phương pháp giải cho đến nay đã được nghiên cứu: Xây dựng
thuật toán đối với một số phương trình đặc biệt; phương pháp tìm
nghiệm xấp xỉ; sử dụng lí thuyết chuỗi lũy thừa để giải phương trình vi
phân; sử dụng các hàm đặc biệt và phép biến đổi tích phân.
Một trong các phép biến đổi tích phân quan trọng là phép tính toán
tử có ứng dụng trong việc giải một số phương trình vi phân và hệ phương
trình vi phân dạng đặc biệt. Ngoài ra nó còn có ứng dụng rất lớn trong
việc tính toán mạch điện. Do đó em đã chọn tên khóa luận là: "Phép
tính toán tử và ứng dụng để giải một số phương trình vi phân".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của khoá luận là trình bày lý thuyết về phương pháp toán
tử để tìm nghiệm của phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân
tuyến tính có hệ số hằng số thỏa mãn điều kiện cho trước, hay đó chính
5
là tìm nghiệm của bài toán Cauchy.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tóm tắt lại một số kiến thức về phương trình vi phân và hệ phương
trình vi phân có liên quan đến phần chính của khóa luận.
Chứng minh chi tiết các tính chất quan trọng của phép tính toán tử.
Sử dụng phép tính toán tử vào việc giải một số phương trình vi phân,
hệ phương trình vi phân với hệ số hằng.
4. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu khái niệm, tính chất và một số định lí quan trọng của
phép tính toán tử.
Nghiên cứu ứng dụng của phép tính toán tử để giải một số phương

trình vi phân, hệ phương trình vi phân.
5. Phương pháp nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu đối tượng của khóa luận, trong quá trình thực
hiện khóa luận đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu như sau:
+ Nghiên cứu tài liệu trên cơ sở lí thuyết đã học.
+ Hệ thống kiến thức một cách hoàn chỉnh theo mục đích đã đề ra.
+Tìm tòi các tài liệu có liên quan đến khóa luận.
+ Trao đổi với giáo viên hướng dẫn.
6. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu nghiên cứu cho sinh
viên ĐH sư phạm chuyên ngành toán và chuyên ngành vật lí.
7. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm ba chương, phần
kết luận. Phần nội dung gồm ba chương sau:
6
• Chương 1: Một số kiến thức về phương trình vi phân
Trong chương này trình bày tóm tắt một số kiến thức về phương
trình vi phân cấp n và hệ n phương trình vi phân tuyến tính cấp
một và đặc biệt xét kĩ với phương trình vi phân tương ứng với nó
là hệ số hằng.
• Chương 2: Phép tính toán tử
Chương này trình bày về khái niệm, một số tính chất và định lí
quan trọng của phép tính toán tử và được sử dụng vào chương 3.
• Chương 3: Ứng dụng của phép tính toán tử để giải một số phương
trình vi phân và hệ phương trình vi phân dạng đặc biệt
Đây là nội dung chính của khóa luận. Trong chương này trình bày
phương pháp chung để giải phương trình vi phân, hệ phương trình
vi phân tuyến tính với hệ số hằng thỏa mãn điều kiện cho trước ở
dạng đặc biệt và các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết. Ngoài ra
còn đưa ra hệ thống bài tập đề nghị.

7
Chương 1
Một số kiến thức về phương trình
vi phân
1.1 Phương trình vi phân cấp n
1.1.1 Định nghĩa phương trình vi phân cấp n
Phương trình vi phân cấp n có dang tổng quát là
F (x, y, y

, , y
(n)
) = 0, (1.1.1)
trong đó hàm F xác định trong một miền G nào đấy của không gian
R
n+2
. Phương trình (1.1.1) có thể vắng mặt: biến số độc lập x, hàm cần
tìm y và các đạo hàm của hàm cần tìm là y

, , y
(n−1)
, nhưng y
(n)
nhất
thiết phải có mặt.
Nếu từ (1.1.1) ta giải ra được đạo hàm cấp cao nhất
y
(n)
= f(x, y, y

, , y

(n−1)
) (1.1.2)
thì ta được phương trình vi phân cấp n đã giải ra đối với đạo hàm cấp
cao nhất.
Chú ý 1.1.1. Nếu n = 1 thì phương trình dạng (1.1.1) và (1.1.2) là
phương trình vi phân cấp một.
8
1.1.2 Định nghĩa nghiệm của phương trình vi phân cấp n
Nghiệm của phương trình (1.1.1) là hàm y = ϕ(x) khả vi n lần trên
khoảng (a; b) ⊂ R sao cho:
i) (x, ϕ(x), ϕ

(x), , ϕ
(n)
(x)) ∈ G, ∀x ∈ (a; b)
ii) F (x, ϕ(x), ϕ

(x), , ϕ
(n)
(x)) ≡ 0 trên khoảng (a; b).
Bài toán Cauchy. Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình (1.1.1) hoặc
(1.1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu:
y(x
0
) = y
0
, y

(x
0

) = y

0
, , y
(n−1)
(x
0
) = y
(n−1)
0
(1.1.3)
trong đó x
0
, y
0
, y

0
, , y
(n−1)
0
là các giá trị cho trước. Khi đó phương trình
(1.1.1) hoặc (1.1.2) kết hợp với điều kiện ban đầu (1.1.3) được gọi là bài
toán Cauchy.
1.1.3 Định lí tồn tại duy nhất nghiệm
• Điều kiện Lipsit. Hàm f(x, u
1
, u
2
, , u

n
) xác định trong miền
G ⊂ R
n+1
được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipsit theo u
1
, u
2
, , u
n
nếu
tồn tại hằng số L > 0 (hằng số Lipsit) sao cho đối với hai điểm bất kì
(x, u
1
, u
2
, , u
n
) ∈ G, (x, u
1
, u
2
, , u
n
) ∈ G ta có bất đẳng thức
|f(x, u
1
, u
2
, , u

n
) − f(x, u
1
, u
2
, , u
n
)|  L
n

i=1
|u
i
− u
i
|
• Nhận xét 1.1.1. Hàm f
∗
(x, u
1
, u
2
, , u
n
) thỏa mãn điều kiện Lipsit
theo u
1
, u
2
, , u

n
trên G nếu tồn tại M > 0 sao cho




∂f
∂w
(x, u
1
, , u
n
)




 M, ∀(x, u
1
, , u
n
) ∈ G
• Định lí 1.1.1.(tồn tại duy nhất nghiệm). Giả sử trong miền
G ⊂ R
n+1
hàm f (x, u
1
, u
2
, , u

n
) liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipsit
theo u
1
, u
2
, , u
n
. Khi đó với bất kì điểm trong (x
0
, y
0
, y

0
, , y
(n−1)
0
) ∈ G tồn
9
tại duy nhất nghiệm y = y(x) của phương trình (1.1.2) thỏa mãn điều
kiện ban đầu y(x
0
) = y
0
, y

(x
0
) = y


0
, , y
(n−1)
(x
0
) = y
(n−1)
0
.
Nghiệm này xác định tại lân cận, nói chung, khá bé của điểm x
0
.
1.1.4 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp n
Nghiệm tổng quát
Ta giả thiết rằng G là miền tồn tại và duy nhất nghiệm của phương
trình (1.1.2), tức là nghiệm bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất đối với
mỗi điểm (x
0
, y
0
, y

0
, , y
(n−1)
0
) ∈ G.
Hàm y = ϕ(x, C
1

, C
2
, , C
n
) xác định trong miền biến thiên của các
biến x, C
1
, C
2
, , C
n
có tất cả các đạo hàm riêng theo x liên tục đến cấp
n được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1.2) trong miền G
nếu từ hệ phương trình


















y
0
= ϕ(x
0
, C
1
, C
2
, , C
n
)
y

0
= ϕ

x
(x
0
, C
1
, C
2
, , C
n
)

y
n−1

0
= ϕ
(n−1)
x
(x
0
, C
1
, C
2
, , C
n
)
(1.1.4)
ta có thể xác định được


















C
0
1
= ψ
1
(x
0
, y
0
, y

0
, , y
(n−1)
0
)
C
0
2
= ψ
2
(x
0
, y
0
, y

0

, , y
(n−1)
0
)

C
0
n
= ψ
n
(x
0
, y
0
, y

0
, , y
(n−1)
0
)
(1.1.5)
là các hằng số xác định và hàm y = ϕ(x, C
0
1
, C
0
2
, , C
0

n
) là nghiệm của
phương trình (1.1.2) ứng với mỗi hệ số C
0
1
, C
0
2
, , C
0
n
xác định được từ
(1.1.5) khi (x
0
, y
0
, y

0
, , y
(n−1)
0
) biến thiên trong G.
10
Tích phân tổng quát
Khi giải phương trình (1.1.2) nhiều khi ta được nghiệm dưới dạng ẩn
Φ(x, y, C
1
, C
2

, , C
n
) = 0 (1.1.6)
và được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (1.1.2) nếu nó
xác định nghiệm tổng quát y = ϕ(x, C
1
, C
2
, , C
n
) của phương trình đó
trong miền G.
Nghiệm riêng
Nghiệm của phương trình (1.1.2) mà tại mỗi điểm của nó tính duy
nhất nghiệm của bài toán Cauchy được bảo đảm được gọi là nghiệm
riêng của phương trình (1.1.2). Nghiệm riêng nhận được từ nghiệm tổng
quát với các giá trị xác định của các hằng số C
1
, C
2
, , C
n
.
Nghiệm kì dị
Nghiệm của phương trình (1.1.2) mà tại mỗi điểm của nó tính duy
nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kì dị.
Nghiệm kì dị của phương trình vi phân cấp n có thể là cả một họ phụ
thuộc một số hằng số tùy ý, nhưng số hằng số tùy ý này không được
vượt quá n − 1.
1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n

1.2.1 Định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính cấp n
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng tổng quát là
a
0
(x)y
(n)
+ a
1
(x)y
(n−1)
+ + a
n
(x)y = g(x), (1.2.7)
11
trong đó các hàm số a
i
(x) (i = 0, n), hàm g(x) liên tục trên khoảng
(a; b) ⊂ R và a
0
(x) = 0 trên (a; b).
Khi đó chia hai vế của (1.2.7) cho a
0
(x) ta được phương trình
y
(n)
+ p
1
(x)y
(n−1)
+ + p

n
(x)y = f(x), (1.2.8)
trong đó p
i
(x) =
a
i
(x)
a
0
(x)
(i = 1, n), f(x) =
g(x)
a
0
(x)
là những hàm liên tục
trên khoảng (a; b).
Phương trình (1.2.8) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính
không thuần nhất cấp n.
Nếu trong phương trình (1.2.8) hàm f(x) ≡ 0 trên khoảng (a; b) thì
ta có phương trình
y
(n)
+ p
1
(x)y
(n−1)
+ + p
n

(x)y = 0 (1.2.9)
là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n tương ứng với phương trình
(1.2.8).
1.2.2 Hệ nghiệm cơ bản. Nghiệm tổng quát của phương trình
tuyến tính thuần nhất cấp n
• Định nghĩa 1.2.1. Hệ n nghiệm độc lập tuyến tính của phương
trình tuyến tính thuần nhất cấp n được gọi là hệ nghiệm cơ bản của nó.
• Định lí 1.2.1. Phương trình (1.2.9) với các hệ số p
i
(x), i = 1, n liên
tục trên (a; b) có vô số hệ nghiệm cơ bản.
• Nghiệm tổng quát
Giả sử y
1
(x), y
2
(x), , y
n
(x) là hệ nghiệm cơ bản của phương trình
(1.2.9) khi đó biểu thức
y = C
1
y
1
(x) + C
2
y
2
(x) + + C
n

y
n
(x)
12
(C
1
, C
2
, , C
n
là hằng số)
cho ta nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.9) trong miền
G = (a; b) ×R
n
.
• Một số tính chất của nghiệm phương trình vi phân tuyến
tính thuần nhất cấp n
Để đơn giản cách viết về sau, ta kí hiệu
L[y] = y
(n)
+ p
1
(x)y
(n−1)
+ + p
n
(x)y.
L[y] được gọi là toán tử vi phân tuyến tính. Với kí hiệu trên phương
trình (1.2.9) được viết dưới dạng L[y] = 0.
Toán tử L[y] có các tính chất sau:

1) Đối với y
1
(x), y
2
(x) là các hàm khả vi n lần ta có
L[y
1
+ y
2
] = L[y
1
] + L[y
2
].
2) Đối với hàm y(x) khả vi liên tục n lần và hằng số C bất kì ta có
L[Cy] = CL[y],
nói cách khác, hằng số C có thể đưa ra ngoài toán tử vi phân.
Dựa vào tính chất của toán tử L ta suy ra các tính chất sau đây của
tập nghiệm phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n:
+ Nếu y(x) là nghiệm của phương trình (1.2.9) thì Cy(x) (với C là
hằng số tùy ý) cũng là nghiệm của phương trình (1.2.9).
+ Nếu y
1
(x), y
2
(x) là hai nghiệm bất kì của phương trình (1.2.9) thì
y(x) = y
1
(x) + y
2

(x) cũng là nghiệm của phương trình (1.2.9).
+ Nếu y
1
(x), y
2
(x), , y
k
(x) là các nghiệm của phương trình (1.2.9)
thì y(x) = C
1
y
1
(x) + C
2
y
2
(x) + ···+ C
k
y
k
(x) (C
1
, C
2
, . . . , C
k
là các hằng
số tùy ý) cũng là nghiệm của phương trình (1.2.9). Tính chất này là hệ
quả của hai tính chất trên.
13

1.2.3 Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không
thuần nhất
Xét phương trình (1.2.8).
Đưa toán tử vi phân L[y] vào phương trình (1.2.8) ta có phương trình
L[y] = f (x)
Nếu y
1
(x), y
2
(x), , y
n
(x) là hệ nghiệm cơ bản của phương trình
L[y] = 0 và y
∗
(x) là một nghiệm riêng của phương trình (1.2.8) thì
y(x) =
n

i=1
C
i
y
i
(x) + y
∗
(x)
là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.8).
1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng
Xét phương trình y
(n)

+ a
1
y
(n−1)
+ + a
n
y = f(x)
trong đó các a
1
, a
2
, , a
n
là hằng số thực, f là hàm liên tục trên
(a; b) ⊂ R.
Đưa toán tử vi phân tuyến tính vào phương trình trên ta được
L[y] = f (x) (1.3.10)
Đặc biệt nếu f (x) ≡ 0 thì
L[y] = 0 (1.3.11)
là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n tương ứng với
phương trình (1.3.10).
14
1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n thuần nhất với hệ
số hằng
Xét phương trình (1.3.11)
Bổ đề 1.3.1. Nếu phương trình (1.3.11) có nghiệm phức
y(x) = u(x) + iv(x), (i là đơn vị phức) thì u(x), v(x) đều là nghiệm
của (1.3.11).
Chứng minh. Thật vậy, theo tính chất của toán tử L ta có
L[y(x)] = L[u(x) + iv(x)] = L[u(x)] + iL[v(x)].

Mặt khác do y(x) là nghiệm của phương trình L[y] = 0 nên theo
(1.3.11) ta có L[u(x)] + iL[v(x)] ≡ 0.
Từ đây suy ra L[u(x)] ≡ 0; L[v(x)] ≡ 0.
Tức là u(x), v(x) là nghiệm của phương trình L[y] = 0.
Nghiệm tổng quát
Ta tìm nghiệm của (1.3.11) ở dạng
y = e
λx
(1.3.12)
Tính y

= λe
λx
, y” = λ
2
e
λx
, , y
(n)
= λ
n
e
λx
thay vào (1.3.11) ta được
λ
n
+ a
1
λ
n−1

+ + a
n
= 0 (1.3.13)
là phương trình đặc trưng tương ứng với phương trình (1.3.11).
Xét các trường hợp xảy ra của (1.3.13):
• Trường hợp 1. Phương trình (1.3.13) có n nghiệm thực phân biệt
Giả sử n nghiệm thực của phương trình (1.3.13) đó là: λ
1
, λ
2
, , λ
n
, khi
đó e
λ
1
x
, e
λ
2
x
, , e
λ
n
x
là nghiệm của phương trình (1.3.11) và các nghiệm
15
này độc lập tuyến tính nên nó là hệ nghiệm cơ bản của phương trình
(1.3.11).
Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.3.11) là

y = C
1
e
λ
1
x
+ C
2
e
λ
2
x
+ + C
n
e
λ
n
x
trong đó C
1
, C
2
, , C
n
là các hằng số bất kì.
• Trường hợp 2. Nếu phương trình (1.3.13) có một nghiệm phức
λ = α + iβ thì λ = α −iβ cũng là nghiệm của phương trình (1.3.13).
Khi đó ứng với nghiệm λ của phương trình (1.3.13) được nghiệm của
(1.3.11) là
y = e

(α+iβ)x
= e
αx
cosβx + ie
αx
sinβx
đây là một nghiệm của (1.3.11) ở dạng phức.
Theo bổ đề ta được e
αx
cosβx, e
αx
sinβx là hai nghiệm độc lập tuyến
tính của phương trình (1.3.11).
Sau đó kết hợp với n − 2 nghiệm của phương trình (1.3.11) ứng với
n − 2 nghiệm đơn của phương trình (1.3.13) thì ta được hệ nghiệm cơ
bản của phương trình (1.3.11).
• Trường hợp 3: Nếu phương trình (1.3.13) có nghiệm bội k (k ≥ 1).
 Nếu (1.3.13) có nghiệm thực bội k, giả sử là λ
1
thì khi đó
e
λ
1
x
, xe
λ
1
x
, , x
k−1

e
λ
1
x
là nghiệm của phương trình (1.3.11).
Sau đó kết hợp với các nghiệm của phương trình (1.3.11) tương ứng
với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng ta sẽ được hệ nghiệm cơ
bản.
 Nếu (1.3.13) có nghiệm phức bội k.
Giả sử nghiệm phức bội k đó là λ
1
= α + iβ thì khi đó nghiệm của
(1.3.11) là: e
αx
cosβx, xe
αx
cosβx, , x
k−1
e
αx
cosβx, e
αx
sinβx,
xe
αx
sinβx, , x
k−1
e
αx
sinβx.

16
Sau đó kết hợp với (n − 2k) nghiệm của phương trình (1.3.11) tương
ứng với các nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (1.3.13) ta được hệ
nghiệm cơ bản của phương trình (1.3.11).
1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp
n với hệ số hằng
Xét phương trình (1.3.10) L[y] = f (x)
trong đó L[y] = y
(n)
+ a
1
y
(n−1)
+ + a
n
y.
a) Cách giải
+ Giải phương trình L[y] = 0 để tìm hệ nghiệm cơ bản. Giả sử hệ
nghiệm cơ bản đó là: y
1
(x), , y
n
(x).
+ Tìm một nghiệm riêng y
∗
(x) của phương trình (1.3.10).
+ Nghiệm tổng quát của (1.3.10) là:
y(x) =
n


i=1
C
i
y
i
(x) + y
∗
(x)
b) Cách tìm nghiệm riêng của phương trình (1.3.10)
• Trường hợp 1. f(x) = P
m
(x)e
αx
, P
m
(x) là đa thức bậc n. Khi đó
L[y] = P
m
(x)e
αx
(1.3.14)
+ Nếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng
F (λ) = λ
n
+ a
1
λ
n−1
+ + a
n−1

λ + a
n
= 0, (1.3.15)
tức là F (α) = 0, thì ta tìm nghiệm riêng của phương trình (1.3.10) dưới
dạng
y
∗
(x) = Q
m
(x)e
αx
(1.3.16)
trong đó Q
m
(x) = d
0
x
m
+ d
1
x
m−1
+ + d
m
, mà các hệ số chưa xác định.
Để xác định các hệ số d
0
, d
1
, , d

m
ta tính y
∗

(x), y
∗

(x), . . . , y
∗(n)
(x), sau
17
đó thay y
∗
(x), y
∗

(x), . . . , y
∗(n)
(x) vào phương trình (1.3.14) và sử dụng
phương pháp hệ số bất định.
+ Nếu α là nghiệm bội k (k ≥ 1) của phương trình đặc trưng (1.3.15),
tức là F (α) = F

(α) = = F
(k−1)
(α) = 0; F
(k)
(α) = 0 thì ta tìm nghiệm
riêng y
∗

(x) dưới dạng
y
∗
(x) = x
k
Q
m
(x)e
αx
(1.3.17)
Để xác định các hệ số d
0
, d
1
, , d
m
ta cũng làm tương tự như trên.
Trong phương trình (1.3.14) nếu α = 0 thì phương trình được viết
L[y] = P
m
(x).
Do đó ta dẫn tới hệ quả sau:
Hệ quả 1.3.1. Nếu f (x) là một đa thức cấp m
f(x) = b
0
x
m
+ b
1
x

m−1
+ + b
m
thì ta đi đến qui tắc tìm nghiệm riêng như sau:
Nếu mọi nghiệm của phương trình đặc trưng (1.3.15) khác không thì
ta tìm nghiệm riêng dưới dạng:
y
∗
(x) = d
0
x
m
+ d
1
x
m−1
+ + d
m
Nếu phương trình đặc trưng có một nghiệm bằng không bội k thì ta
tìm nghiệm riêng dưới dạng:
y
∗
(x) = x
k
(d
0
x
m
+ d
1

x
m−1
+ + d
m
)
• Trường hợp 2. Hàm f (x) có dạng
f(x) = [P
m
1
(x) cos βx + P
m
2
(x) sin βx]e
αx
trong đó P
m
1
(x), P
m
2
(x) tương ứng là các đa thức bậc m
1
, bậc m
2
.
Đặt k = max(m
1
, m
2
).

18
+ Nếu α + iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng
(1.3.15) ta tìm nghiệm riêng y
∗
(x) dưới dạng
y
∗
(x) = [Q
k
(x) cos βx + R
k
(x) sin βx]e
αx
trong đó Q
k
(x), R
k
(x) là các đa thức bậc k mà các hệ số chưa xác định.
Sau đó tính (y
∗
)

, (y
∗
)

, , (y
∗
)
(n)

thay vào (1.3.10) và sử dụng phương
pháp hệ số bất định ta sẽ tìm được đa thức Q
k
(x) và đa thức R
k
(x).
+ Nếu α + iβ là nghiệm bội l (l  1) của phương trình đặc trưng
(1.3.15) ta tìm nghiệm riêng của (1.3.10) dưới dạng
y
∗
(x) = x
l
[Q
k
(x) cos βx + R
k
(x) sin βx]e
αx
tương tự như trên ta cũng tìm được đa thức Q
k
(x) và đa thức R
k
(x).
1.4 Hệ phương trình vi phân
1.4.1 Định nghĩa hệ phương trình vi phân
Hệ n phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc là hệ phương
trình sau


















dy
1
dx
= f
1
(x, y
1
, y
2
, , y
n
)
dy
2
dx
= f

2
(x, y
1
, y
2
, , y
n
)

dy
n
dx
= f
n
(x, y
1
, y
2
, , y
n
)
(1.4.18)
ở đây x là biến cố độc lập, y
1
= y
1
(x), y
2
= y
2

(x), , y
n
= y
n
(x) là các
hàm phải tìm, các hàm f
i
(i = 1, n) xác định trong miền G ⊂ R
n+1
.
Hệ n hàm khả vi y
1
= ϕ
1
(x), y
2
= ϕ
2
(x), , y
n
= ϕ
n
(x) xác định trên
khoảng (a; b) được gọi là nghiệm của hệ (1.4.18) nếu với mọi x ∈ (a, b)
điểm (x, ϕ
1
(x), ϕ
2
(x), . . . , ϕ
n

(x)) ∈ G và khi thay chúng vào hệ (1.4.18)
thì ta được n đồng nhất thức theo x trên (a, b).
19
• Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm y
1
(x), y
2
(x), , y
n
(x) của hệ (1.4.18)
thỏa mãn điều kiện ban đầu
y
1
(x
0
) = y
0
1
, y
2
(x
0
) = y
0
2
, , y
n
(x
0
) = y

0
n
trong đó (x
0
, y
0
1
, y
0
2
, . . . , y
0
n
) ∈ G là điểm cho trước.
1.4.2 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
Xét hệ phương trình vi phân (1.4.18), ta giả sử:
(i) Các hàm f
1
, f
2
, , f
n
liên tục trong miền
G = {|x −x
0
|  a; |y
1
− y
0
1

|  b, , |y
n
− y
0
n
|  b}
và do đó giới nội |f
i
(x, y
1
, y
2
, , y
n
)|  M, (i =
1, n).
(ii) Các hàm f
1
, f
2
, , f
n
thỏa mãn điều kiện Lipsit theo y
1
, y
2
, , y
n
trong miền G với cùng hằng số Lipsit L > 0. Khi đó tồn tại duy
nhất một nghiệm

y(x) = (y
1
(x), y
2
(x), , y
n
(x))
của hệ (1.4.18) thỏa mãn điều kiện ban đầu
y
1
(x
0
) = y
0
1
, y
2
(x
0
) = y
0
2
, , y
n
(x
0
) = y
0
n
nghiệm này xác định trong khoảng đóng [x

0
− h, x
0
+ h] với
h = min{a,
b
M
}.
20
1.4.3 Các loại nghiệm của hệ phương trình vi phân
Nghiệm tổng quát
Hệ n hàm khả vi liên tục theo x, phụ thuộc n hằng số tùy ý C
1
, C
2
, , C
n


















y
1
= ϕ
1
(x, C
1
, C
2
, , C
n
)
y
2
= ϕ
2
(x, C
1
, C
2
, , C
n
)

y
n
= ϕ

n
(x, C
1
, C
2
, , C
n
)
(1.4.19)
được gọi là nghiệm tổng quát của hệ (1.4.18) ở trong miền G nếu:
+ Ứng với mỗi (x
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
) ∈ G từ hệ (1.4.19) (sau khi đã thay
x, y
1
, y
2
, , y
n
bằng x
0

, y
0
1
, , y
0
n
) ta có thể xác định được các hằng số

















C
1
= ψ
1
(x
0

, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
)
C
2
= ψ
2
(x
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
)

C
n
= ψ

n
(x
0
, y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
)
(1.4.20)
+ Hệ hàm (1.4.19) nghiệm đúng hệ phương trình (1.4.18) với
C
1
, C
2
, , C
n
xác định từ (1.4.20).
Tích phân tổng quát
Hệ hàm


















φ
1
(x, y
1
, y
2
, , y
n
) = C
1
φ
2
(x, y
1
, y
2
, , y
n
) = C

2

φ
n
(x, y
1
, y
2
, , y
n
) = C
n
(1.4.21)
21
được gọi là tích phân tổng quát của hệ (1.4.18) trong miền G nếu từ đó
nó xác định nghiệm tổng quát của hệ (1.4.18) trong G.
Nghiệm riêng
Nghiệm của hệ (1.4.18) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm
của bài toán Cauchy được bảo đảm được gọi là nghiệm riêng. Nghiệm
nhận được từ nghiệm tổng quát với các hằng số C
1
, C
2
, , C
n
xác định
từ (1.4.20) là nghiệm riêng.
Nghiệm kì dị
Nghiệm của hệ (1.4.18) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm
của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kì dị.

1.4.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng
Định nghĩa 1.4.1
Hệ phương trình tuyến tính với hệ số hằng có dạng

















dy
1
dx
= a
11
y
1
+ a
12
y

2
+ + a
1n
y
n
+ f
1
(x)
dy
2
dx
= a
21
y
1
+ a
22
y
2
+ + a
2n
y
n
+ f
2
(x)

dy
n
dx

= a
n1
y
1
+ a
n2
y
2
+ + a
nn
y
n
+ f
n
(x)
(1.4.22)
ở đây a
ij
là các hằng số, f
i
(x) là các hàm liên tục trên khoảng (a, b) nào
đấy, (i, j = 1, n).
Hệ phương trình (1.4.22) viết dưới dạng ma trận
dY
dx
= AY + F(x) (1.4.23)
22
trong đó:
Y =








y
1
y
2
.
.
.
y
n







;
dY
dx
=






dy
1
dx
.
.
.
dy
n
dx





; F (x) =







f
1
(x)
f
2
(x)
.

.
.
f
n
(x)







;
A =







a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a

22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn







Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình (1.4.22)
Trước hết ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng
của hệ (1.4.22)


















dy
1
dx
= a
11
y
1
+ a
12
y
2
+ + a
1n
y
n

dy
2
dx
= a
21
y
1
+ a
22
y
2
+ + a
2n
y
n

dy
n
dx
= a
n1
y
1
+ a
n2
y
2
+ + a
nn
y

n
(1.4.24)
Ta tìm nghiệm của hệ (1.4.24) dưới dạng
Y (x) =







α
1
e
λx
α
2
e
λx
.
.
.
α
n
e
λx








và tìm cách chọn α
1
, α
2
, , α
n
, λ sao cho Y (x) là nghiệm của hệ phương
trình (1.4.24).
23
Thay vào hệ (1.4.24), sau khi rút gọn e
λx
và chuyển về một vế ta được
hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất sau


















(a
11
− λ)α
1
+ a
12
α
2
+ ··· + a
1n
α
n
= 0
a
21
α
1
+ (a
22
− λ)α
2
+ ··· + a
2n
α
n
= 0

a
n1
α
1
+ a
n2
α
2
+ ··· + (a
nn
− λ)α
n
= 0
(1.4.25)
Ta cần tìm nghiệm không tầm thường của hệ (1.4.25), tức là tất cả
α
1
, α
2
, , α
n
không đồng thời bằng không. Điều này chỉ có thể xảy ra
khi định thức Crame của hệ (1.4.25) bằng không, tức là












a
11
− λ a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
− λ . . . a
2n
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a

1n
− λ











= 0 (1.4.26)
Phương trình (1.4.26) cho ta xác định giá trị λ cần tìm và được gọi
là phương trình đặc trưng của hệ (1.4.24).
Ta xét các trường hợp sau của phương trình đặc trưng (1.4.26):
• Trường hợp 1. Phương trình đặc trưng (1.4.26) có n nghiệm thực
khác nhau λ
1
, λ
2
, , λ
n
.
Thay mỗi λ
j
vào hệ (1.4.25) ta giải ra được các α
1j
, α

2j
, , α
nj
không
đồng thời bằng không và do đó ta có nghiệm không tầm thường của hệ
(1.4.24)
Y
j
(x) =







α
1j
e
λ
j
x
α
2j
e
λ
j
x
.
.

.
α
nj
e
λ
j
x







, j = 1, n
24
Khi đó hệ (1.4.24) có nghiệm tổng quát
Y = C
1
Y
1
(x) + C
2
Y
2
(x) + ···+ C
n
Y
n
(x)

• Trường hợp 2. Phương trình đặc trưng (1.4.26) có cặp nghiệm phức
liên hợp đơn: k
j
= p + iq, k
j
= p −iq
Khi đó chẳng hạn ứng với k
j
ta được nghiệm
Y
j
(x) =







α
1j
e
(p+iq)x
α
2j
e
(p+iq)x
.
.
.

α
nj
e
(p+iq)x







trong đó α
ij
là những số phức, α
ij
= a
ij
+ ib
ij
, bởi vậy
Y
j
(x) =








(a
1j
+ ib
1j
)e
px
(cos qx + i sin qx)
(a
2j
+ ib
2j
)e
px
(cos qx + i sin qx)
.
.
.
(a
nj
+ ib
nj
)e
px
(cos qx + i sin qx)








=







e
px
(a
1j
cos qx −b
1j
sin qx)
e
px
(a
2j
cos qx −b
2j
sin qx)
.
.
.
e
px
(a
nj

cos qx −b
nj
sin qx)







+ i







e
px
(b
1j
cos qx + a
1j
sin qx)
e
px
(b
2j
cos qx + a

2j
sin qx)
.
.
.
e
px
(b
nj
cos qx + a
nj
sin qx)







Khi đó:
U
j
(x) =








e
px
(a
1j
cos qx −b
1j
sin qx)
e
px
(a
2j
cos qx −b
2j
sin qx)
.
.
.
e
px
(a
nj
cos qx −b
nj
sin qx)








;
V
j
(x) =







e
px
(b
1j
cos qx + a
1j
sin qx)
e
px
(b
2j
cos qx + a
2j
sin qx)
.
.
.
e

px
(b
nj
cos qx + a
nj
sin qx)







25