Chuyên đề nguyên hàm tích phân ôn thi THPT quốc gia
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (285.97 KB, 30 trang )
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số
F (b) F (a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f ( x ),
b
f ( x)dx.
�
kí hiệu là
a
b
Ta dùng kí hiệu F ( x) a F (b) F (a ) để chỉ hiệu số F (b) F (a ) . Vậy
b
b
f ( x)dx F ( x ) a F (b) F (a) .
�
a
b
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi
f ( x)dx hay
�
a
b
f (t )dt. Tích phân đó
�
a
chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân
b
f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
�
y f ( x) , trục Ox và hai đường
a
b
f ( x)dx.
thẳng x a, x b. Vậy S �
a
2. Tính chất của tích phân
a
1.
a
b
3.
b
f ( x) dx 0
�
a
c
c
f ( x)dx �
f ( x )dx �
f ( x )dx ( a b c )4.
�
a
b
a
f ( x)dx �
f ( x )dx
�
2.
b
a
b
b
a
a
b
b
b
a
a
k . f ( x) dx k .�
f ( x) dx (k ��)
�
[ f ( x) �g ( x)]dx �
f ( x)dx ��
g ( x )dx .
5. �
a
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Một số phương pháp tính tích phân
I. Dạng 1: Tính tích phân theo công thức
Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:
1
1
dx
3 .
0 (1 x )
a) I �
1
2x 9
dx .
x3
0
x
x 1
b) I � dx .
0
c) I �
1
x
dx .
2
0 4 x
d) I �
Hướng dẫn giải
1
1
1
1
dx
d (1 x)
1
a) I � 3 �
3
2(1 x) 2
0 (1 x )
0 (1 x)
x
x 1
0
3
.
8
� 1 �
dx x ln( x 1)
�
x 1�
0�
1
b) I � dx �
�
0
1
1
1
0
1 ln 2 .
1
1
2x 9
3 �
�
dx �
2
dx 2 x 3ln( x 3) 0 3 6ln 2 3ln 3 .
c) I �
�
�
x3
x 3�
0
0�
2
1
1
x
1 d 4 x
3
dx
ln | 4 x 2 | ln .
�
2
2
0
20 4x
4
0 4 x
1
d) I �
Trang 1/30
Bài tập áp dụng
1
1
x3 ( x 4 1)5 dx .
1) I �
2) I � 2 x 3 x 1 dx .
x 1 xdx .
3) I �
4) I �
0
1
0
16
0
dx
.
x9 x
0
II. Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân
b
b
b
a
a
[f ( x) g ( x)]dx �
f ( x)dx �
g ( x )dx để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Sử dụng tính chất �
a
2
| x 1| dx .
Ví dụ 2: Tính tích phân I �
2
Hướng dẫn giải
�x 1,
Nhận xét: x 1 �
x 1,
�
1
2
1 �x �2
. Do đó
2 �x 1
1
2
1
2
2
�x 2
� �x 2
�
I�
| x 1| dx �
| x 1| dx �
| x 1| dx �
x 1 dx �
x 1 dx � x � � x � 5.
�2
�2 �2
�1
2
2
1
2
1
Bài tập áp dụng
3
2
| x 2 4 | dx .
1) I �
| x 3 2 x 2 x 2 | dx .
2) I �
4
1
3
| 2 x 4 | dx .
3) I �
4) I
0
2
�2 | sin x | dx .
5) I �1 cos 2 xdx .
2
0
III. Dạng 3: Phương pháp đổi biến số
1) Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u u ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[a; b] và �u ( x) � . Giả sử có thể viết f ( x) g (u ( x))u '( x), x �[a;b], với g liên tục trên đoạn
[ ; ]. Khi đó, ta có
b
u (b)
a
u (a )
I �
f ( x)dx
�g (u )du.
2
Ví dụ 3: Tính tích phân I sin 2 x cos xdx .
�
0
Hướng dẫn giải
Đặt u sin x. Ta có du cos xdx. Đổi cận: x 0 � u (0) 0; x
2
1
0
0
� �
� u � � 1.
2
�2 �
Khi đó I sin 2 x cos xdx u 2 du 1 u 3 1 1 .
�
�
3
0
3
Bài tập áp dụng
1
x x 2 1dx .
1) I �
0
1
x 3 x 1dx .
2) I �
0
Trang 2/30
e2
e
1 ln x
dx .
3) I �
x
1
dx
.
2 x 2 ln x
4) I �
e
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
Có thể đặt
Ví dụ
Dấu hiệu
t
1
Có
2
Có (ax b)n
t ax b
3
Có a f ( x )
t f ( x)
4
Có
5
Có e x dx
6
Có sin xdx
t cos x
7
Có cos xdx
t sin xdx
8
Có
9
dx
Có
sin 2 x
f ( x)
3
3 x dx
I �
. Đặt t x 1
0
x 1
f ( x)
1
I �
x( x 1) 2016 dx . Đặt t x 1
0
e tan x 3
4
I �
dx . Đặt t tan x 3
0 cos 2 x
e ln xdx
I �
. Đặt t ln x 1
1 x (ln x 1)
t ln x hoặc biểu thức
chứa ln x
t e x hoặc biểu thức
chứa e x
dx
và ln x
x
dx
cos 2 x
ln 2
I �e2 x 3e x 1dx . Đặt t 3e x 1
0
2 sin 3 x cos xdx . Đặt t sin x
I �
0
sin 3 x
I �
dx Đặt t 2cos x 1
0 2cos x 1
1
1
4
4 (1 tan 2 x )
I �
dx
dx
�
0 cos 4 x
0
cos 2 x
Đặt t tan x
t tan x
ecot x
4
1 cos 2 x
6
I �
t cot x
ecot x
dx � 2 dx . Đặt t cot x
2sin x
2) Đổi biến số dạng 2
Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x (t) có đạo hàm
và liên tục trên đoạn [ ; ](*) sao cho ( ) a, ( ) b và a � (t ) �b với mọi t �[ ; ]. Khi
đó:
b
a
f ( x)dx �
f ( (t )) '(t ) dt.
�
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
1.
2.
3.
4.
� �
; �
a 2 x 2 : đặt x | a | sin t; t ��
�2 2�
|a|
� �
; t ��
;
\ {0}
x 2 a 2 : đặt x
sin t
�2 2�
�
� �
; �
x 2 a 2 : x | a | tan t ; t ��
� 2 2�
ax
ax
hoặc
: đặt x a.cos 2t
ax
ax
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính
3
tích phân I
x 2 dx
�x 2 1
0
3
thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I �
0
x3 dx
x2 1
biến dạng 1.
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
1
2
a) I �1 x dx .
0
1
dx
2 .
0 1 x
b) I �
Trang 3/30
thì nên đổi
Hướng dẫn giải
a) Đặt x sin t ta có dx cos tdt. Đổi cận: x 0 � t 0; x 1 � t
1
2
2
0
0
0
.
2
Vậy I 1 x 2 dx | cos t |dt cos tdt sin t |02 1.
�
�
�
�x 0 � t 0
�
2
x
tan
t
,
b) Đặt
ta có dx 1 tan t dt . Đổi cận: �
.
x 1� t
�
�
4
1
4
Vậy I dx dt t |04 .
�
�
2
4
0 1 x
0
IV. Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.
Định lí : Nếu u u ( x) và v v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì
b
b
u ( x)v '( x )dx u ( x )v ( x ) a �
u '( x )v ( x )dx ,
�
b
a
a
b
b
b
a
a
a
udv uv |ba �
vdu . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I �
P ( x).Q ( x)dx
hay viết gọn là �
Dạng
hàm
P(x): Đa thức
Q(x): sin kx hay
Cách
đặt
* u P( x)
* dv là Phần còn lại
của biểu thức dưới
dấu tích phân
cos kx
P(x): Đa thức
Q(x): ln ax b
P(x): Đa thức
Q(x): ekx
* u P ( x)
* dv là Phần còn * u ln ax b
lại của biểu thức * dv P x dx
dưới dấu tích phân
P(x): Đa thức
Q(x):
1
1
hay
2
sin x
cos 2 x
* u P( x)
* dv là Phần còn lại của
biểu thức dưới dấu tích
phân
Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.
2
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau : a) I x sin xdx.
�
b) I
0
e 1
�x ln( x 1)dx .
0
Hướng dẫn giải
ux
�
�du dx
ta có �
.
v cos x
�dv sin xdx
�
a) Đặt �
2
Do đó I x sin xdx x cos x
�
|02
0
2
�
cos xdx
0 sin x |02
1.
0
1
�
du
dx
�
u ln( x 1)
�
x 1
�
b) Đặt �
ta có � 2
x 1
�dv xdx
�
v
�
�
2
e 1
e 1
e 1
�
�
x2 1�
1
e2 2e 2 1 �x 2
I �
x ln( x 1)dx �
ln( x 1)
( x 1) dx
� x �e01
� �
�
2 �0
2 0
2
2 �2
�
0
e2 2e 2 1 e 2 4e 3 e 2 1
.
2
2
2
4
Bài tập áp dụng
Trang 4/30
1
(2 x 2)e dx .
1) I �
x
0
2
2) I 2 x.cos xdx .
�
0
3) I
2
x
x 2 .sin dx .
�
2
0
1
( x 1) 2 e 2 x dx .
4) I �
Trang 5/30
0
C. BÀI TẬP
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1.
Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
b
A.
b
b
a
a
f ( x )dx �
g ( x )dx .
f ( x) g ( x) dx �
�
a
b
b
a
a
kf ( x)dx k �
f ( x) dx .
C. �
Câu 2.
b
a
a
b
f ( x)dx �
f ( x)dx .
B. �
D.
b
b
a
a
xf ( x) dx x �
f ( x)dx .
�
Cho hàm số f liên tục trên � và số thực dương a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
luôn đúng?
a
A.
f ( x)dx 0 .
�
a
B.
a
f ( x )dx 1 .
�
a
C.
a
f ( x)dx 1 .
�
a
D.
a
f ( x)dx f (a) .
�
a
1
Câu 3.
dx có giá trị bằng
Tích phân �
0
A. 1 .
a
Câu 4.
C. 0 .
B. 1.
Cho số thực a thỏa mãn
e
�
x 1
D. 2 .
dx e 2 1 , khi đó a có giá trị bằng
1
B. 1 .
A. 1.
Câu 5.
�x �
D. f ( x) sin � �.
�4 2 �
Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 2 ?
1
e2
A.
2dx .
B. �
ln xdx .
�
0
1
Câu 7.
D. 2 .
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; ] đạt giá trị bằng 0 ?
A. f ( x) cos 3x .
B. f ( x ) sin 3 x .
�x �
C. f ( x) cos � �.
�4 2 �
Câu 6.
C. 0 .
sin xdx .
C. �
B. f ( x ) cos x .
A. f ( x) e .
D.
0
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn
x
2
xdx .
�
0
1
2
1
2
�f ( x)dx �f ( x)dx ?
C. f ( x ) sin x .
D. f ( x) x 1 .
5
Câu 8.
dx
Tích phân I � có giá trị bằng
x
2
A. 3ln 3 .
B.
1
ln 3 .
3
C. ln
5
.
2
D. ln
2
.
5
2
Câu 9.
dx
Tích phân I � có giá trị bằng
sin x
3
A.
1 1
ln .
2 3
B. 2 ln 3 .
C.
1
ln 3 .
2
1
D. 2 ln .
3
Trang 6/30
0
4e
�
Câu 10. Nếu
x /2
dx K 2e thì giá trị của K là
2
A. 12,5 .
B. 9 .
C. 11.
D. 10 .
C. 2 ln 2 .
D. 2 ln 2 .
1
1
dx có giá trị bằng
Câu 11. Tích phân I �2
x x2
0
2 ln 2
.
3
A.
B.
2 ln 2
.
3
5
Câu 12. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho
f ( x)dx 2 và
�
1
5
g ( x) dx 4 . Giá trị
�
1
5
g ( x) f ( x) dx là
�
của
1
A. 6 .
B. 6 .
D. 2 .
C. 2 .
3
Câu 13. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu
f ( x)dx 2
�
3
thì tích phân
0
x 2 f ( x) dx có giá
�
0
trị bằng
A. 7 .
B.
5
.
2
C. 5 .
D.
5
Câu 14. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu
f ( x)dx 2 và
�
1
trị bằng
A. 5 .
B. 5 .
1
.
2
5
3
f ( x)dx 7 thì
�
1
f ( x)dx
�
có giá
3
D. 9 .
C. 9 .
Câu 15. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
3
2
e x dx e x 1 .
A. �
3
B.
2
3
.
3
1
2
1
dx ln x
�
x
2
cos xdx sin x .
C. �
2
2
�2
�
x 1 dx �x x �.
D. �
�2
�
1
1
Câu 16. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] . Trong
các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?
b
A.
f ( x )dx F (b) F (a ) .
�
a
B. F '( x) f ( x ) với mọi x �( a; b) .
b
C.
f ( x)dx f (b) f ( a) .
�
a
b
D. Hàm số G cho bởi G ( x) F ( x ) 5 cũng thỏa mãn
f ( x )dx G (b) G ( a) .
�
a
Câu 17. Xét hàm số f liên tục trên � và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào sai?
Trang 7/30
b
b
a
a
c
c
b
c
b
f ( x)dx �
f ( x)dx �
f ( x )dx .
A. �
f ( x)dx �
f ( x)dx �
f ( x )dx .
�
C.
a
a
b
c
b
a
a
c
b
c
c
a
a
b
f ( x)dx �
f ( x)dx �
f ( x)dx .
B. �
D.
c
f ( x)dx �
f ( x)dx �
f ( x)dx .
�
Câu 18. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn a; b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
b
f ( x)dx �M (a b) .
A. Nếu m �f ( x ) �M x �[a; b] thì m(b a) ��
a
b
f ( x )dx �m(b a) .
�
B. Nếu f ( x ) �m x �[a; b] thì
a
b
C. Nếu f ( x ) �M x �[a; b] thì
f ( x)dx �M (b a ) .
�
a
b
D. Nếu f ( x) �m x �[a; b] thì
f ( x)dx �m( a b) .
�
a
Câu 19. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g ( x) �0 với mọi x �[a; b] . Xét các
khẳng định sau:
b
b
b
f ( x )dx �
g ( x)dx .
f ( x) g ( x) dx �
I. �
a
a
b
II.
b
f ( x )dx �
g ( x )dx .
f ( x) g ( x) dx �
�
a
a
b
III.
a
b
a
b
b
a
a
f ( x)dx.�
g ( x )dx .
f ( x).g ( x) dx �
�
a
b
b
f ( x)
IV. � dx
g ( x)
a
f ( x)dx
�
a
b
.
g ( x) dx
�
a
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
3
Câu 20. Tích phân
x( x 1)dx
�
có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới
0
đây?
2
x 2 x 3 dx .
A. �
0
3
sin xdx .
B. 3 �
ln 10
�e
C.
0
2x
cos(3 x )dx .
D. �
dx .
0
0
Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a; b , sao cho
b
f ( x)dx �0 thì
�
f ( x) �0 x �[a; b] .
a
3
B. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [3;3] , luôn có
�f ( x)dx 0 .
3
Trang 8/30
C. Với mọi hàm số f liên tục trên �, ta có
b
a
a
b
f ( x)dx �
f ( x ) d ( x) .
�
D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn 1;5 thì
5
f ( x)
�
2
3
f ( x)
dx
3
1
5
.
1
Câu 22. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
1
f ( x)dx
A. Nếu f là hàm số chẵn trên � thì �
0
0
1
1
0
0
�f ( x)dx .
1
f ( x)dx thì f là hàm số chẵn trên đoạn [1;1] .
�f ( x)dx �
B. Nếu
1
�f ( x)dx 0 thì
C. Nếu
f là hàm số lẻ trên đoạn [1;1] .
1
1
�f ( x)dx 0 thì
D. Nếu
f là hàm số chẵn trên đoạn [1;1] .
1
Câu 23. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y x 6 sin 5 x trên khoảng (0; �) . Khi đó
2
x sin
�
6
5
xdx có giá trị bằng
1
A. F (2) F (1) .
B. F (1) .
D. F (1) F (2) .
C. F (2) .
b
Câu 24. Cho hàm số f liên tục trên � và hai số thực a b . Nếu
f ( x)dx
�
thì tích phân
a
b 2
�f (2 x)dx có giá trị bằng
a 2
A.
.
2
C. .
B. 2 .
D. 4 .
Câu 25. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y x 3 sin 5 x trên khoảng (0; �) . Khi đó tích phân
2
81x
�
3
sin 5 3 xdx có giá trị bằng
1
A. 3 F (6) F (3) .
B. F (6) F (3) .
C. 3 F (2) F (1) .
D. F (2) F (1) .
2
Câu 26. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn
f ( x)dx 6 .
�
Giá trị của tích phân
0
2
�f (2sin x) cos xdx
là
0
A. 6 .
C. 3 .
B. 6 .
D. 3 .
e
ln x 1 ln x
dx được một học sinh giải theo ba bước sau:
Câu 27. Bài toán tính tích phân I �
x
1
I. Đặt ẩn phụ t ln x 1 , suy ra dt
1
dx và
x
Trang 9/30
x
t
e
e
2
1
1
2
ln x 1 ln x
dx �t t 1 dt
II. I �
x
1
1
2
2
� 5 2 �
III. I �t t 1 dt � t
� 1 3 2 .
t�
�
1
1
Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bài giải đúng.
B. Sai từ Bước II.
C. Sai từ Bước I.
3
Câu 28. Xét tích phân I
sin 2 x
dx . Thực hiện phép đổi biến
�
1 cos x
D. Sai ở Bước III.
t cos x , ta có thể đưa I về dạng
0
nào sau đây
4
4
2t
A. I � dt .
1 t
0
2t
B. I � dt .
1 t
0
1
2t
dt .
C. I �
1 1 t
1
2t
dt .
D. I �
1 1 t
2
2
Câu 29. Cho hàm số y f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào
luôn đúng?
A.
C.
b
b
a
a
b
b
a
a
f ( x)dx .
�f ( x) dx �
B.
f ( x)dx .
�f ( x) dx ��
D.
b
b
a
a
b
b
a
a
f x dx ��
f ( x ) dx .
�
f x dx �
f ( x ) dx .
�
Câu 30. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
1
1
sin(1 x)dx �
sin xdx .
A. �
0
0
1
(1 x) x dx 0 .
B. �
0
2
1
x
sin dx 2 �
sin xdx .
C. �
2
0
0
D.
x
�
2017
(1 x)dx
1
2
.
2019
Câu 31. Cho hàm số y f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [2; 2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào
luôn đúng?
A.
C.
2
2
2
0
2
2
0
2
2
2
2
2
0
2
f ( x)dx .
�f ( x)dx 2�
B.
�f ( x)dx 0 .
f ( x)dx 2�
f ( x )dx .
D. �
�f ( x)dx 2 �f ( x)dx .
1
( x 1) 2 dx được một học sinh giải theo ba bước sau:
Câu 32. Bài toán tính tích phân I �
2
I. Đặt ẩn phụ t ( x 1) , suy ra dt 2( x 1)dx ,
2
II. Từ đây suy ra
dt
dt
dx �
dx . Đổi cận
2( x 1)
2 t
x
2
t
1
1
4
Trang 10/30
1
4
4
1 3
7
( x 1) dx � dt
t .
III. Vậy I �
3
3
1
2
1 2 t
Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Sai từ Bước I.
B. Sai ở Bước III.
C. Sai từ Bước II.
2
t
D. Bài giải đúng.
Câu 33. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5
điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã
giải 4 bài toán đó như sau:
Bài
Đề bài
Bài giải của học sinh
1
1
e xdx
�
1
0
1
sin 2 x cos xdx
�
1
2t 3
sin
2
x
cos
xdx
2
sin
x
cos
xdx
2
t
dt
�
�
�
3
0
0
1
1 (4 2e) ln x
dx
x
1
�
0
e 1
2
e
4
2
0
e
1
1
1
2
dx
ln
x
x
2
ln 2 ln 2 0
0
�
x2 x 2
0
Đặt t cos x , suy ra dt sin xdx . Khi x 0 thì t 1 ; khi
x thì t 1 . Vậy
3
x2
1
1
dx
2
�
x x2
0
2
2
1
1 x2 2 e x
e
xdx
e d x
�
�
2
2
0
0
x2
1
2
1
4
3
e
1 (4 2e) ln x
dx �
1 (4 2e) ln x d ln x
x
1
1
�
e
�
�1 3 e
�
x (4 2e) ln 2 x �
Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?
A. 5,0 điểm.
B. 2,5 điểm.
C. 7,5 điểm.
D. 10,0 điểm.
Câu 34. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [a; b] . Gọi F và G lần lượt là một nguyên
hàm của f và g trên đoạn [a; b] . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
b
A.
b
f ( x)G ( x)dx F ( x) g ( x) a �
F ( x)G ( x) dx .
�
b
a
a
b
B.
f ( x)G ( x)dx F ( x)G ( x)
�
a
b
C.
f ( x)G ( x )dx f ( x ) g ( x)
�
a
b
b
a
b
a
b
�
F ( x) g ( x) dx .
a
b
�
F ( x ) g ( x )dx .
a
b
f ( x)G ( x )dx F ( x )G ( x) a �
f ( x ) g ( x)dx .
D. �
b
a
a
0
Câu 35. Tích phân I
xe
�
x
dx có giá trị bằng
2
A. e 2 1 .
B. 3e 2 1 .
C. e 2 1 .
D. 2e 2 1 .
Câu 36. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k bất kỳ trong �. Trong các phát
biểu sau, phát biểu nào sai?
A
b
b
b
a
a
a
f ( x )dx �
g ( x )dx .
f ( x) g ( x) dx �
�
B.
b
a
a
b
f ( x)dx �
f ( x)dx .
�
Trang 11/30
b
b
a
a
kf ( x)dx k �
f ( x) dx .
C. �
b
b
a
a
xf ( x) dx x �
f ( x)dx .
D. �
Câu 37. Cho hàm số f liên tục trên � và số thực dương a . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào
luôn đúng?
a
A.
f ( x )dx 1 .
�
a
B.
a
f ( x)dx 0 .
�
a
f ( x)dx 1 .
�
C.
a
a
D.
a
f ( x)dx f (a) .
�
a
1
dx có giá trị bằng
Câu 38. Tích phân �
0
B. 1 .
A. 2 .
a
Câu 39. Cho số thực a thỏa mãn
e
�
x 1
C. 0 .
D. 1.
dx e 2 1 , khi đó a có giá trị bằng
1
B. 1 .
A. 0 .
D. 1.
D. 2 .
Câu 40. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; ] đạt giá trị bằng 0 ?
A. f ( x) cos 3x .
B. f ( x ) sin 3 x .
�x �
D. f ( x) sin � �.
�4 2 �
�x �
C. f ( x) cos � �.
�4 2 �
Câu 41. Tích phân nào trong các tích phân sau có giá trị khác 2 ?
1
sin xdx .
A. �
2dx .
B. �
0
B.
0
ln xdx .
�
f ( x)dx
Câu 42. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn �
1
B. f ( x) sin x .
D.
xdx .
�
0
1
1
A. f ( x) cos x .
2
e2
2
�f ( x)dx ?
2
C. f ( x) e x .
D. f ( x) x 1 .
C. 3ln 3 .
D. ln
5
dx
Câu 43. Tích phân I � có giá trị bằng
x
2
A.
1
ln 3 .
3
B. ln
5
.
2
2
.
5
2
dx
Câu 44. Tích phân I � có giá trị bằng
sin x
3
1
A. 2 ln .
3
0
Câu 45. Nếu
4e
�
B. 2 ln 3 .
x /2
C.
1
ln 3 .
2
D.
1 1
ln .
2 3
dx K 2e thì giá trị của K là
2
A. 9 .
B. 10 .
C. 11.
D. 12,5 .
1
1
dx có giá trị bằng
Câu 46. Tích phân I �2
x x2
0
Trang 12/30
A. 2 ln 2 .
B.
2 ln 2
.
3
C.
2 ln 2
.
3
D. Không xác định.
5
Câu 47. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho
f ( x)dx 2 và
�
1
5
g ( x) dx 4 . Giá trị
�
1
5
g ( x) f ( x) dx là
�
của
1
A. 2 .
B. 6 .
D. 6 .
C. 2 .
3
Câu 48. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu
f ( x)dx 2 thì tích phân
�
0
3
x 2 f ( x) dx có giá
�
0
trị bằng
A. 7 .
B.
5
.
2
C. 5 .
D.
5
Câu 49. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu
f ( x)dx 2
�
1
trị bằng
A. 9 .
B. 5 .
1
.
2
5
3
và
f ( x)dx 7
�
thì
1
f ( x)dx
�
có giá
3
D. 5 .
C. 9 .
Câu 50. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
2
2
�2
�
x 1 dx �x x �.
A. �
�2
�
1
1
2
C.
3
e x dx e x 1 .
B. �
3
1
2
2
cos xdx sin x .
�
D.
1
dx ln x
�
x
3
2
3
.
Câu 51. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] . Trong
các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?
A. F '( x) f ( x ) với mọi x �(a; b) .
b
B.
f ( x)dx f (b) f ( a) .
�
a
b
C.
f ( x )dx F (b) F (a ) .
�
a
b
D. Hàm số G cho bởi G ( x) F ( x ) 5 cũng thỏa mãn
f ( x )dx G (b) G ( a) .
�
a
Câu 52. Xét hàm số f liên tục trên � và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các phát biểu sau, phát biểu
nào sai?
b
A.
C.
c
b
f ( x)dx �
f ( x)dx �
f ( x )dx .
�
a
a
c
b
b
a
a
c
c
f ( x)dx �
f ( x)dx �
f ( x )dx .
�
B.
D.
b
c
b
a
a
c
b
c
c
a
a
b
f ( x)dx �
f ( x)dx �
f ( x)dx .
�
f ( x)dx �
f ( x)dx �
f ( x)dx .
�
Câu 53. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn a; b .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trang 13/30
b
A. Nếu f ( x) �m x �[a; b] thì
f ( x)dx �m( a b) .
�
a
b
f ( x )dx �m(b a) .
�
B. Nếu f ( x ) �m x �[a; b] thì
a
b
C. Nếu f ( x ) �M x �[a; b] thì
f ( x)dx �M (b a ) .
�
a
b
f ( x)dx �M (a b) .
D. Nếu m �f ( x ) �M x �[a; b] thì m(b a) ��
a
Câu 54. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g ( x) �0 với mọi x �[a; b] . Một học
sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau:
I.
b
b
b
a
a
a
f ( x )dx �
g ( x)dx .
f ( x) g ( x) dx �
�
II.
b
b
b
a
a
a
f ( x )dx �
g ( x )dx .
f ( x) g ( x) dx �
�
b
b
III.
b
b
b
f ( x)
IV. � dx
g ( x)
a
f ( x)dx.�
g ( x )dx .
f ( x).g ( x) dx �
�
a
a
a
f ( x)dx
�
a
b
.
g ( x) dx
�
a
Trong số các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu sai?
A. 3 .
B. 1.
C. 2 .
D. 4 .
3
Câu 55. Tích phân
x( x 1)dx
�
có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ?
0
3
cos(3 x )dx .
A. �
2
0
ln 10
x 2 x 3 dx .
C. �
sin xdx .
B. 3 �
0
D.
0
�e
2x
dx .
0
Câu 56. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
3
A. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [3;3] , luôn có
�f ( x)dx 0 .
3
b
a
a
b
f ( x)dx �
f ( x ) d ( x) .
B. Với mọi hàm số f liên tục trên �, ta có �
C. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a; b , sao cho
b
f ( x)dx �0 thì
�
f ( x) �0 x �[a; b] .
a
D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn 1;5 thì
5
f ( x)
�
2
1
3
f ( x)
dx
3
5
.
1
Câu 57. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
1
f ( x)dx
A. Nếu f là hàm số chẵn trên � thì �
0
B. Nếu
0
1
1
0
f ( x)dx thì
�f ( x)dx �
0
�f ( x)dx .
1
f là hàm số chẵn trên đoạn [1;1] .
1
C. Nếu
�f ( x)dx 0 thì
f là hàm số lẻ trên đoạn [1;1] .
1
Trang 14/30
1
�f ( x)dx 0 thì
D. Nếu
f là hàm số chẵn trên đoạn [1;1] .
1
Câu 58. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y
giá trị bằng
A. F (2) F (1) .
2
sin x
trên khoảng (0; �) . Khi đó
x
B. F (1) .
sin x
�x
dx có
1
D. F (2) F (1) .
C. F (2) .
b
Câu 59. Cho hàm số f liên tục trên � và hai số thực a b . Nếu
f ( x)dx
�
thì tích phân
a
b 2
�f (2 x)dx có giá trị bằng
a 2
A. .
B. 2 .
C.
.
2
D. 4 .
sin x
Câu 60. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y
trên khoảng (0; �) . Khi đó
x
giá trị bằng
A. F (6) F (3) .
B. 3 F (6) F (3) .
C. 3 F (2) F (1) .
2
sin 3x
�x
dx có
1
D. F (2) F (1) .
2
f
Câu 61. Giả sử hàm số
liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn
f ( x)dx 6 .
�
Giá trị của
0
2
�f (2sin x) cos xdx
là
0
A. 3 .
C. 3 .
B. 6 .
D. 6 .
e
ln x 1 ln x
dx được một học sinh giải theo ba bước sau:
Câu 62. Bài toán tính tích phân I �
x
1
I. Đặt ẩn phụ t ln x 1 , suy ra dt
1
dx và
x
x
t
e
e
2
1
1
2
ln x 1 ln x
dx �t t 1 dt
II. I �
x
1
1
2
2
� 5 2 �
III. I �t t 1 dt � t
� 1 3 2 .
t�
�
1
1
Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bài giải đúng.
B. Sai từ Bước II.
3
Câu 63. Xét tích phân I
sin 2 x
C. Sai từ Bước I.
dx . Thực hiện phép đổi biến
�
1 cos x
D. Sai ở Bước III.
t cos x , ta có thể đưa I về dạng
0
nào sau đây
Trang 15/30
1
2t
I
dt .
�
A.
1 1 t
4
2t
B. I � dt .
1 t
0
2
1
2t
I
dt
�
C.
1 t .
4
2t
D. I � dt .
1 t
0
1
2
Câu 64. Cho hàm số y f ( x) bất kỳ liên tục trên đoạn [a; b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng
thức nào luôn đúng?
b
b
f x dx ��
f ( x ) dx .
A. �
a
f ( x) dx
C. �
a
b
a
a
f ( x) dx ��
f ( x) dx .
B. �
a
b
b
b
b
b
a
a
f x dx �
f ( x ) dx .
D. �
f ( x)dx .
�
a
Câu 65. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
1
(1 x) x dx 0 .
A. �
1
0
0
sin(1 x) dx �
sin xdx .
B. �
0
2
1
1
x
sin dx 2 �
sin xdx .
C. �
2
0
0
D.
x
�
2017
(1 x)dx
1
2
.
2019
Câu 66. Cho hàm số y f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [2; 2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào
luôn đúng?
2
2
2
0
f ( x)dx 2�
f ( x )dx .
A. �
2
C.
2
2
0
f ( x)dx 2�
f ( x)dx .
B. �
0
2
�f ( x)dx 2 �f ( x)dx .
2
2
D.
2
�f ( x)dx 0 .
2
1
( x 1) 2 dx được một học sinh giải theo ba bước sau:
Câu 67. Bài toán tính tích phân I �
2
I. Đặt ẩn phụ t ( x 1) , suy ra dt 2( x 1)dx ,
2
dt
dt
dx �
dx . Bảng giá trị
2( x 1)
2 t
x
2
1
t
1
4
4
1
4
t
1 3
7
2
( x 1) dx � dt
t .
III. Vậy I �
3
3
1
2
1 2 t
II. Từ đây suy ra
Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Sai ở Bước III.
B. Sai từ Bước II.
C. Sai từ Bước I.
D. Bài giải đúng.
Câu 68. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5
điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã
giải 4 bài toán đó như sau:
Bài
Đề bài
Bài giải của học sinh
1
1
x2
e xdx
�
0
1
1
2
1 x2 2 e x
e
xdx
e d x
�
�
2
2
0
0
x2
1
0
e 1
2
Trang 16/30
1
1
1
dx
2
�
x
x
2
0
2
x 2 0 ln 2 ln 2 0
1
0
Đặt t cos x , suy ra dt sin xdx . Khi x 0 thì t 1 ; khi
x thì t 1 . Vậy
sin 2 x cos xdx
�
1
2t 3
sin
2
x
cos
xdx
2
sin
x
cos
xdx
2
t
dt
�
�
�
3
0
0
1
2
0
e
1
2
1
4
3
e
1 (4 2e) ln x
dx �
1 (4 2e) ln x d ln x
x
1
1
�
e
4
2
2
3
1
dx ln x
�
x x2
1 (4 2e) ln x
dx
�
x
1
e
�
x (4 2e) ln 2 x �
�
�1 3 e
Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?
A. 7,5 điểm.
B. 2,5 điểm.
C. 5,0 điểm.
D. 10,0 điểm.
Câu 69. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [a; b] . Đẳng
thức nào sau đây luôn đúng?
b
A.
f ( x)G ( x)dx F ( x) g ( x)
�
a
b
B.
f ( x)G ( x)dx F ( x)G ( x)
�
a
b
C.
f ( x)G ( x )dx f ( x ) g ( x)
�
a
b
b
a
b
a
b
a
b
�
F ( x)G ( x) dx .
a
b
�
F ( x) g ( x) dx .
a
b
�
F ( x ) g ( x )dx .
a
b
f ( x)G ( x )dx F ( x )G ( x) a �
f ( x ) g ( x)dx .
D. �
b
a
a
0
Câu 70. Tích phân I
xe
�
x
dx có giá trị bằng
2
A. 2e 1 .
B. 3e 2 1 .
2
C. e 2 1 .
D. e 2 1 .
b
Câu 71. Ta đã biết công thức tích phân từng phần
b
F ( x) g ( x) dx F ( x)G ( x) a �
f ( x)G ( x) dx , trong
�
b
a
a
đó F và G là các nguyên hàm của f và g . Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân
từng phần ở trên, biến đổi nào là sai?
e
e
e
�2
�
ln x xdx �x ln x � 1 �
A. �
xdx , trong đó F ( x) ln x , g ( x) x .
�2
�
21
1
1
1
1
xe dx xe x 0 �
e x dx , trong đó F ( x) x , g ( x) e x .
B. �
x
0
1
0
x sin xdx x cos x 0 �
cos xdx , trong đó F ( x) x , g ( x) sin x .
C. �
0
� 2 x 1 � 1 2 x 1
x 1
x 1
x
2
dx
�x
� � dx , trong đó F ( x) x , g ( x) 2 .
�
� ln 2 �0 0 ln 2
0
1
D.
0
1
Trang 17/30
Câu 72. Tích phân
� �
x cos �x �
dx có giá trị bằng
�
� 4�
0
A.
2 2
.
2
B.
2 2
.
2
C.
2 2
.
2
D.
2 2
.
2
Câu 73. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [0; 2] . Biết rằng
2
0
0
F ( x) g ( x )dx 3 . Tích phân �
f ( x)G ( x)dx
�
F (0) 0 , F (2) 1 , G (0) 2 , G (2) 1 và
giá trị bằng
A. 3 .
2
C. 2 .
B. 0 .
có
D. 4 .
Câu 74. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1; 2] . Biết rằng
F (1) 1 , F (2) 4 , G (1)
giá trị bằng
11
A.
.
12
3
, G (2) 2 và
2
B.
2
f ( x)G ( x)dx
�
1
145
.
12
C.
67
. Tích phân
12
11
.
12
D.
2
F ( x ) g ( x )dx
�
có
1
145
.
12
b
Câu 75. Cho hai số thực a và b thỏa mãn a b và
x sin xdx ,
�
đồng thời a cos a 0 và
a
b
cos xdx có giá trị bằng
b cos b . Tích phân �
a
A.
145
.
12
B. .
C. .
D. 0 .
e
1 ln x
dx .Đặt u 1 ln x .Khi đó I bằng
Câu 76. Cho tích phân: I �
2x
1
0
0
u du .
A. I �
u du .
B. I �
2
2
1
1
1
0
u2
u 2 du .
C. I � du . D. I �
2
0
1
2
x2
dx có giá trị bằng
Câu 77. Tích phân I �2
x 7x 12
1
A. 5ln 2 6 ln 3 .
B. 1 2 ln 2 6 ln 3 .
C. 3 5ln 2 7 ln 3 .
D. 1 25ln 2 16 ln 3 .
2
x 5 dx có giá trị là:
Câu 78. Tích phân I �
1
A.
19
.
3
B.
32
.
3
C.
16
.
3
D.
21
.
2
C.
1
.
8
D. 12 .
1
xdx
Câu 79. Tích phân I �
bằng
( x 1)3
0
1
A. .
7
B.
1
.
6
Trang 18/30
2
Câu 80. Cho tích phân I (2 x ) sin xdx . Đặt u 2 x, dv sin xdx thì I bằng
�
0
2
2
0
A. (2 x) cos x cos xdx .
�
B. (2 x ) cos x cos xdx .
�
0
2
2
0
0
2
C. (2 x) cos x 2 cos xdx .
0
�
2
D. (2 x) 2 cos xdx .
0
�
0
0
1
Câu 81. Tích phân
x7
dx bằng
�
(1 x 2 )5
0
2
3
1 (t 1) 3
A. � 5 dt .
21 t
4
Câu 82. Tích phân I
3
�x( x
1
A. ln
(t 1)3
B. � 5 dt .
t
1
1
4
1)
3
.
2
2
4
1 (t 1)3
C. � 4 dt .
21 t
3 (t 1)3
D. � 4 dt .
21 t
dx bằng
B.
1 3
ln .
3 2
2
2
0
0
C.
1 3
ln .
5 2
D.
1 3
ln .
4 2
x3 dx , J �
xdx .Tìm mối quan hệ giữa I và J
Câu 83. Cho hai tích phân I �
B. I .J
A. I .J 8 .
32
.
5
C. I J
128
.
7
D. I J
64
.
9
a
e x 1dx e 4 e 2 , khi đó a có giá trị bằng
Câu 84. Cho số thực a thỏa mãn �
1
A. 1 .
C. 0 .
B. 3.
D. 2.
2
ke x dx (với k là hằng số )có giá trị bằng
Câu 85. Tích phân �
0
A. k (e 1) .
2
Câu 86.
B. e 2 1 .
C. k (e 2 e) .
D. e 2 e .
Với hằng số k , tích phân nào sau đây có giá trị khác với các tích phân còn lại ?
1
k (e 1) dx .
A. �
2
0
2
ke dx .
B. �
x
0
2
3
C. 3ke3 x dx .
�
0
2
3
D. ke 2 x dx .
�
0
Câu 87. Với số thực k , xét các phát biểu sau:
1
dx 2 ;
(I) �
1
Số phát biểu đúng là
A. 4.
1
(II)
kdx 2k ;
�
1
B. 3.
1
xdx 2 x ;
(III) �
1
C. 1.
1
3kx 2 dx 2k .
(IV) �
0
D. 2.
Trang 19/30
5
Câu 88. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho
f ( x)dx 7 và
�
1
5
g ( x) dx 5
�
và
1
5
g ( x) kf ( x) dx 19 Giá trị của k
�
là:
1
B. 6 .
A. 2 .
D. 2 .
C. 2.
5
Câu 89. Cho hàm số f liên tục trên �. Nếu
2 f ( x )dx 2
�
và
1
bằng:
A. 5 .
B. 6 .
5
3
f ( x)dx 7
�
D. 9 .
C. 9 .
f ( x)dx 4
�
2
và tích phân
1
kx f ( x ) dx 1
�
1
giá trị k bằng
A. 7 .
B.
5
.
2
C. 5 .
D. 2.
e
(2 x 5) ln xdx bằng
Câu 91. Tích phân �
1
e
e
( x 5) dx .
A. ( x 5 x) ln x 1 �
2
1
e
e
2
( x 5)dx .
C. ( x 5 x ) ln x 1 �
1
e
e
( x 5)dx .
B. ( x 5 x) ln x 1 �
2
1
e
e
( x 2 5 x)dx .
D. ( x 5) ln x 1 �
1
2
Câu 92. Tích phân I cos 2 x cos 2 xdx có giá trị bằng
�
0
A.
5
.
8
B.
.
2
4sin 3 x
2
Câu 93. Tích phân I �
dx có giá trị bằng
0 1 cos x
A. 4.
B. 3.
Câu 94. Tích phân I
C.
3
.
8
C. 2.
D.
.
8
D. 1.
2
�1 sin xdx có giá trị bằng
0
A. 4 2 .
B. 3 2 .
C.
2.
D. 2 .
3
Câu 95. Tích phân I sin 2 x tan xdx có giá trị bằng
�
0
3
A ln 3 .
5
B. ln 2 2 .
3
C. ln 2 .
4
có giá trị
3
2
Câu 90. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu
f ( x)dx
�
thì
1
3
D. ln 2 .
8
Trang 20/30
Câu 96.
Cho hàm số f(x) liên tục trên � và f ( x) f ( x) cos 4 x với mọi x ��. Giá trị của tích phân
2
�f ( x)dx là
I
2
A. 2 .
B.
0
Câu 97. Nếu
5e
�
x
3
.
16
3
C. ln 2 .
4
3
D. ln 3 .
5
C. 7.
D. 12,5 .
dx K e 2 thì giá trị của K là:
2
B. 9 .
A. 11.
2
Câu 98. Cho tích phân I 1 3cos x .sin xdx .Đặt u 3cos x 1 .Khi đó I bằng
�
0
2
3
2 2
u du .
B. �
30
2 2
u du .
A. �
31
2
3
2
C. u 3 .
9 1
u 2 du .
D. �
3
C. ln 2 .
4
3
D. ln 3 .
5
C. 7.
D. 12,5 .
C. 7.
D. 4.
C. 2 .
D. 5.
1
e
8ln x 1
dx bằng
Câu 99. Tích phân I �
x
1
A. 2 .
B.
13
.
6
5
Câu 100. Tích phân
�x 2 x 3 dx có giá trị bằng
2
1
A. 0.
B.
64
.
3
2
(3 ax) dx 3 ?
Câu 101. Tìm a để �
1
B. 9 .
A. 2.
5
k 2 5 x 3 dx 549 thì giá trị của k là:
Câu 102. Nếu �
2
A. �2
B. 2.
3
x2 x 4
dx bằng
Câu 103. Tích phân �
x
1
2
A.
1
4
6 ln .
3
3
B.
1
4
6 ln .
2
3
C.
1
4
ln .
2
3
D.
1
4
ln .
2
3
Câu 104. Cho hàm số f liên tục trên � thỏa f ( x) f ( x) 2 2 cos 2 x , với mọi x ��. Giá trị của
tích phân I
2
�f ( x)dx là
2
A. 2.
B. 7 .
C. 7.
D. 2 .
Trang 21/30
2
(3 2 x) 4 dx
Câu 105. Tìm m để �
m
122
?
5
B. 9 .
A. 0.
C. 7.
4.2 TÍCH PHÂN
D.2.
I. VẬN DỤNG THẤP
1
2
1
Câu 106. Giá trị của tích phân I
dx là
�
2
1 x
0
A. .
B. .
6
4
C.
.
3
D.
.
2
1
dx
Câu 107. Giá trị của tích phân I � 2 là
1 x
0
AI
.
2
B. I
Câu 108. Giá trị của tích phân I
3 1
�x
2
0
A. I
5
.
12
B. I
3
.
4
C. I
.
4
D. I
5
.
4
C. I
3
.
12
D. I
.
12
dx
là
2x 2
.
6
1
x 2 x 3 5dx có giá trị là
Câu 109. Tích phân I �
0
A.
4
10
6
3.
3
9
B.
4
10
7
5.
3
9
C.
4
10
6
5.
3
9
D.
2
10
6
5.
3
9
2
Câu 110. Tích phân
�4 x
2
dx có giá trị là
0
A.
.
4
B.
.
2
C.
.
3
D. .
1
x x 2 1dx có giá trị là
Câu 111. Tích phân I �
0
A.
3 2 1
.
3
B.
2 2 1
.
3
C.
2 2 1
.
2
D.
3 2 1
.
2
C.
3
.
28
D.
9
.
28
C.
16 10 2
.
4
D.
16 11 2
.
3
0
x 3 x 1dx có giá trị là
Câu 112. Tích phân I �
1
9
A. .
28
B.
3
.
28
1
x 2 dx
Câu 113. Giá trị của tích phân I 2 �
là
0 ( x 1) x 1
A.
16 10 2
.
3
B.
16 11 2
.
4
Trang 22/30
1
x 5 1 x 3 dx là
Câu 114. Giá trị của tích phân I �
6
0
A.
1
.
167
B.
1
.
168
C.
1
.
166
D.
1
.
165
C.
52
.
5
D.
51
.
5
C.
32.
3
D.
32.
2
3
2x2 x 1
dx là
Câu 115. Giá trị của tích phân I �
x 1
0
A.
53
.
5
54
.
5
B.
1
3 x
dx là
Câu 116. Giá trị của tích phân I �
1 x
0
A.
22.
2
22.
3
B.
1
Câu 117. Giá trị của tích phân
2 x 1
�
5
dx là
0
1
A. 30 .
3
1
B. 60 .
3
1
Câu 118. Giá trị của tích phân
2
C. 60 .
3
2
D. 30 .
3
C. 2 ln 2 .
D. 2 ln 3 .
4x 2
dx là
�
x x 1
2
0
B. ln 3 .
A. ln 2 .
2
Câu 119. Giá trị của tích phân
dx
�
(2 x 1)
2
là
1
A
1
.
2
B.
3
Câu 120. Giá trị của tích phân
�
3.
0
3
A. 3 3ln .
2
1
.
3
C.
1
.
4
D.
2
.
3
x3
dx là
x 1 x 3
B. 3 6 ln
3
.
2
B. 3 6 ln
3
.
2
3
D. 3 3ln .
2
4
x 1
Câu 121. Giá trị của tích phân: I �
0 1 1 2x
A. 2 ln 2
1
.
2
2
dx là
1
B. 2 ln 2 .
3
C. 2 ln 2
1
.
4
1
D. ln 2 .
2
1
7 x 1 99
I
dx là
Câu 122. Giá trị của tích phân:
101
�
2
x
1
0
A.
1
�
2100 1�
�
�.
900
B.
1
�
2101 1�
�
�.
900
C.
1
�
299 1�
�
�.
900
D.
1
�
298 1�
�
�.
900
2
x 2001
Câu 123. Tích phân I � 2 1002 dx có giá trị là
(1 x )
1
Trang 23/30
A.
1
.
2002.21001
B.
1
.
2001.21001
2
3
Câu 124. Giá trị của tích phân
cos(3 x
�
3
A.
3
.
3
B.
C.
1
.
2001.21002
D.
1
.
2002.21002
2
)dx là
3
2
.
3
C.
2 3
.
3
D.
2 2
.
3
2
Câu 125. Giá trị của tích phân I cos 2 x cos 2 xdx là
�
0
A.
.
6
B.
.
8
C.
.
4
D.
.
2
C.
2
.
8
D.
2
.
4
C.
4
.
5
D.
6
.
5
C. ln 2 .
D.
1
ln 2 .
2
D.
1
ln 2 .
3
x sin x
dx là
Câu 126. Giá trị của tích phân: I �
1 cos2 x
0
A.
2
.
2
B.
2
.
6
2
Câu 127. Giá trị tích phân J sin 4 x 1 cos xdx là
�
0
A.
2
.
5
B.
3
.
5
2
sin x cos x
dx là
Câu 128. Giá trị tích phân I �
1 sin 2 x
4
A.
3
ln 2 .
2
B.
1
ln 3 .
2
2
sin x
Câu 129. Giá trị tích phân I
dx là
�
1
3cos
x
0
A.
2
ln 2 .
3
B.
2
ln 4 .
3
C.
1
ln 4 .
3
2
6
3
5
Câu 130. Giá trị của tích phân I 2 �1 cos x .sin x.cos xdx là
1
A.
21
.
91
B.
12
.
91
C.
21
.
19
D.
12
.
19
C.
5
.
8
D.
7
.
8
4
cos x
Câu 131. Giá trị của tích phân I
dx là
3
�
(sin
x
cos
x
)
0
A.
1
.
8
B.
3
.
8
Trang 24/30
Câu 132. Giá trị của tích phân I =
2
sin xdx
�
(sin x + cos x)
3
là
0
A
1
.
4
B.
1
.
3
C.
1
.
2
D.
1
.
6
2
Câu 133. Giá trị của tích phân I cos 4 x sin 2 xdx là
�
0
A. I
.
32
B. I
.
16
C. I
.
8
D. I
.
4
D. I
30
.
128
2
Câu 134. Giá trị của tích phân I (sin 4 x cos 4 x)(sin 6 x cos 6 x)dx là
�
0
A. I
32
.
128
B. I
33
.
128
C. I
31
.
128
4
sin 4 x
Câu 135. Giá trị của tích phân I
dx là
�
6
6
sin x cos x
0
4
1
2
A. .
B. .
C. .
3
3
3
D.
5
.
3
xdx
Câu 136. Giá trị của tích phân I �
là
sin x 1
0
A. I
.
4
B. I
.
2
C. I
.
3
D. I .
3
.
4
D. I
2
sin 2007 x
Câu 137. Giá trị của tích phân I
dx là
2007
2007
�
sin
x
cos
x
0
A. I
.
2
B. I
.
4
C. I
5
.
4
2
Câu 138. Giá trị của tích phân cos11 xdx là
�
0
A.
250
.
693
B.
254
.
693
C.
252
.
693
D.
256
.
693
C.
63
.
512
D.
65
.
512
2
Câu 139. Giá trị của tích phân sin10 xdx là
�
0
A.
67
.
512
B.
61
.
512
1
dx
Câu 140. Giá trị của tích phân I � x là
1 e
0
Trang 25/30
