Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Nội câu Hình học

1

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

TUYỂN TẬP CÁC BÀI HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO
LỚP 10 TP.HÀ NỘI
Bài 1: ( Hà Nội 2006 – 2007)
Cho  O  đường kính AB  2 R , C là trung điểm của OA , dây MN vuông góc với OA tại C .
Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM , H là giao điểm của AK và MN
a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.
b) Tính AH .AK theo R
c) Xác định vị trí của điểm K để tổng KM  KN  KB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất
đó.
Hướng dẫn giải:

M

K

H
O
A

B

C

N

a) Vì K   O  đường kính AB  AK  KB
Suy ra: AKB  90

Xét tứ giác BCHK : HCK  HKB  90  90  180
Suy ra BHCK nội tiếp
b) Theo phương tích ta có: AH . AK  AB. AC  2 R.

R
 R2
2

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


2

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

N

I
M

B

K
c) Ta chứng minh tam giác BMN đều thật vậy:
Ta có:

BM 2  BN 2  BC.BA 

3
R.2 R  3R 2

2

 BM  BN  3R
Lại có: MC  OM 2  OC 2  R 2 

R2
3

R  MN  2MC  3R
4
2

Suy ra BMN đều.
Khi đó ta luôn có: KM  KB  KN ( Chứng minh bằng cách dựng hình phụ như hình vẽ )
Suy ra: KM  KB  KN  2 KN  4 R  KN  2R 

  KM  KB  KN max  4R
Dấu “=” xảy ra khi K , O, N thẳng hàng.

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.
Bài 2: ( Hà Nội 2007 – 2008 )
Cho  O; R  tiếp xúc với đường thẳng d tại A . Trên d lấy điểm H không trùng với A sao cho
AH  R . Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d , đường thẳng này cắt đường tròn tại hai
điểm E và B . ( E nằm giữa B và H ).

a) Chứng mình ABE  EAH và ABH ~ EAH
b) Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn thẳng AC , đường thẳng CE cắt AB

tại K . Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.
c) Xác định vị trí của điểm H để AB  R 3 .
Hướng dẫn giải:

A

H

K
E

C

I
O

B
a) Ta có ABE  EAH 

1
sđ AE
2

Khi đó dễ dàng chứng minh: ABH ~ EAH ( g.g )
b) Xét ACE có đường cao EH đồng thời là đường trung tuyến nên ACE cân tại E
Khi đó ACE  CAE  ABE

 ACK ~ ABH (g.g)
AKC  90

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!

3


Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.
Xét tứ giác AHEK có: AHE  AKE  90  90  180
Suy ra AHEK nội tiếp.
c) Từ C hạ CI  AB  I  AB  . Khi đó IA  IB 
AIO : cos OAI 

R 3
2

AI
3

OA 2

 OAI  30

Mà OAI  ABH ( 2 góc so le trong )
 ABH  30  AH 

AB R 3

2
2

 R 3

Khi đó H là giao điểm của d và  A;


2 


Bài 3: ( Hà Nội 2008 – 2009 )
Cho  O  có đường kính AB  2 R và điểm E bất kì trên đường tròn ( E khác A, B ). Đường
phần giác AEB cắt cạnh AB tại F và cắt đường tròn  O  tại điểm thứ hai là K
a) Chứng minh rằng: KAF ~ KEA
b) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn thẳng EF với OE , chứng minh rằng đường
tròn tâm I bán kính IE tiếp xúc với  O  tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F .
c) Chứng minh MN / / AB , trong đó M , N lần lươt là giao điểm thứ hai của AE , BE với đường
tròn  I  .
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn

 O  , với

P là giao điểm của NF và AK ; Q là giao điểm của MF và BK .

Hướng dẫn giải:

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!

4


5

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

E

M

A

N

I

F

B

O

P
Q

K
 AK  KB
a) Do EK là phân giác AEB  
 AEK  BEK  KAB  45

Khi đó dễ dàng chứng minh KAF ~ KAE ( g.g )
b) Ta có 3 điểm E , I , O thẳng hàng mà OI  OE  IE
suy ra  I  tiếp xúc với  O  tại E
Ta có: IE  IF  IEF  IFE

EFA  FEB  FBE ( Tính chất góc ngoài ).
EFA  FEB  FBE  FEI  IEB  FBE  FEI  2.IEB





 EFA  IFE  IFA  FEI  2.IEB  IFE  2. FEI  IEB  2.FEB  2.45  90

Hay IF  AB
Suy ra  I  tiếp xúc với AB tại F

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.
c) Ta có: IM  IF  IME cân tại I  IEM  IME
Lại do OE  OA  OAE cân tại O  OAE  OEA
 EMI  EAO mà chúng ở vị trí đồng vị  MN / / AB .

d) Ta chứng minh được tứ giác: KPFQ là hình chữ nhật
 KQ  FP

Mặt khác APF vuông cân tại P  FP  PA
 KQ  PA  KQ  PK  PA  PK  AK 

AB
 2R
2

Lại có: PQ  KF  OK  R





Suy ra: CVKPQ  1  2 R





CVKPQ min  1  2 R

Dấu “=” xảy ra khi E là điểm chính giữa cung AB

Bài 4: ( Hà Nội 2009 – 2010 )
Cho  O; R  và điểm A nằm bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (
B, C là các tiếp điểm )

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
b) Gọi E  BC  OA . Chứng minh rằng BE  OA và OE.OA  R 2
c) Trên cung nhỏ BC của đường tròn  O; R  lấy điểm K bất kì ( K khác B, C ) . Tiếp tuyến tại
K của đường tròn  O; R  cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q . Chứng minh rằng tam giác APQ có

chu vi không đổi khi điểm K chuyển động trên cung nhỏ BC .
d) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M , N .
Chứng minh rằng: PM  QN  MN
Hướng dẫn giải:

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!

6


7

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

M

B
P

K
O
E
A

Q
C
N

a) Do AB, AC là các tiếp tuyến  ABO  ACO  90
 ABO  ACO  180

Tứ giác ABOC nội tiếp
b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: AB  AC
Lại có OA  OB
Suy ra OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC

 OB  AC
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABO ta có: OE.OA  OB 2  R 2
c) Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có:
PK  PB; QK  QC

 CVAPQ  AP  AQ  PQ   AP  PB    AQ  QC   AB  AC ( không đổi )
d) Ta có AMN cân tại A  AMN  ANM

(1)

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


8

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

Ta có: POQ 

BOC 180  BAC
BAC

 90 
2
2
2

Lại có: AOB  90  BAO  90 

BAC
2

 POQ  AOB  AOQ  POB  AOQ 

BAC
BAC
 POB 
2
2

 OQN  POM

(2)

Từ (1), (2) ta chứng minh được: POM ~ OQN (g.g)

PM OM
MN 2
2


 PM .QN  OM .ON  OM 
ON QN
4
Ta có: PM  QN  2 PM .QN  2.

MN
 MN ( đccm )
2

Bài 5: ( Hà Nội 2010 – 2011 )
Cho đường tròn  O  đường kính AB  2 R và điểm C thuộc đường tròn đó ( C khác A, B ).
Lấy điểm D thuộc dây BC ( D khác B, C ). Tia AC cắt cung nhỏ BC tại điểm E , tia AC cắt
BE tại F .
a) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: DA.DE  DB.DC
c) Chứng minh CFD  OCB . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE , chứng minh
IC là tiếp tuyến của  O  .
d) Biết DF  R . Chứng minh tg AFB  2
Hướng dẫn giải:

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


9

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

F

I
E

C
D

A

O

B

a) Vì C   O  đường kính AB  ACB  90  FCD  90
Tương tự:  FED  90
Xét tứ giác FCDE có: FCD  FED  180  tứ giác FCDE nội tiếp.
b) Dễ dàng chứng minh: ADC ~ BDE ( g.g )


DA DC

 DA.DE  DB.DC ( đccm )
DB DE

c) Theo câu a) tứ giác FCDE nội tiếp nên: CFD  CED
mà OBC  CED ( Tứ giác ACEB nội tiếp  O 
Lại do OCB cân tại O  OCB  OBC

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.
Suy ra:  CFD  OCB
Xét tứ giác FCDE nội tiếp có: FCD  FED  90

 tâm I là trung điểm của FD
Khi đó: IC  ID  IF  ICF cân tại I  CFI  ICF  OCB
 OCI  OCB  ICD  ICF  ICD  FCD  90

Suy ra: IC  OC mà C   O   IC là tiếp tuyến của  O 

d) Chứng minh tương tự câu c) ta có: IE là tiếp tuyến của  O 
Suy ra: ID  IE 

ED R

2
2

Mặt khác theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có IO là tia phân giác CIE
CIO  OIE 

tan AFB 

CIE
 AFB
2

CI R

OC 2

Bài 6: ( Hà Nội 2011 – 2012 )
Cho đường tròn  O  đường kính AB  2 R . Gọi d1 , d 2 lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn
tại A, B . Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn ( E không trùng A, B ).
Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 , d 2 lần lượt tại M , N .
a) Chứng minh tứ giác AMEI là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh ENI  EBI và MIN  90
c) Chứng minh: AM .BN  AI .BI
d) Gọi F là điểm chính giữa cung AB không chứa điểm E của  O  . Hãy tính diện tích tam
giác MIN theo R khi 3 điểm E , I , F thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!

10


11

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

d2
N
d1

E
M

O
A

B

I

F
a) Vì d1 là tiếp tuyến của  O  tại A nên d1  BA  MAI  90
Lại có: MN  EI  MEI  90
Xét tứ giác AMEI ta có: MAI  MEI  90
Suy ra tứ giác AMEI nội tiếp.

b) Chứng minh tương tự ta có tứ giác: MNEI nội tiếp.
Khi đó: ENI  EBI
Ta có:

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


12

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

EMI  EAI
 EMI  ENI  EAI  EBI  90
Suy ra: MIN  90



c) Ta có: AIM  BNI  90  BIN



Suy ra: AMI ~ BIN ( g.g )


AM
AI

 AM .BN  AI .BI
BI
BN

d) Khi  E , I , F thẳng hàng
Vì F là điểm chính giữa cung AB  EF là phân giác AEB  AEI  BEI  45
Ta có:  AEI  AMI  45  AMI vuông cân tại A  MI  AI 2 
Tương tự: NI  IB 2 
Suy ra: SMIN 

R
R
2
2
2

3
3R
R. 2 
2
2

1
1 R 3R 3R 2
MI .NI  .
.

2
2 2 2
4

Bài 7: ( Hà Nội 2012 – 2013 )
Cho đường tròn  O; R  đường kính AB . Bán kính OC vuông góc với AB , M là điểm bất kì

trên cung nhỏ AC , ( M khác A, C ). BM  AC  H  . K là hình chiếu của H trên AB .
a) Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp.
b) Chứng minh ACM  ACK
c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho AM  BE . Chứng minh tam giác ECM vuông cân
tại C
d) Gọi d là tiếp tuyến của  O  tại A . Gọi A là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C
nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB và

AP.MB
 R . Chứng minh rằng
MA

PB đi qua trung điểm của HK .

Hướng dẫn giải:

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


13

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

d

C
I

M
H

P
E

N
A

K

O

B

a) Vì C   O  đường kính AB  ACB  90
Lại có: HK  AB  HKB  90
Xét tứ giác BCHK : HKB  HCB  180
Suy ra tứ giác BCHK nội tiếp.
b) Theo câu a) BCHK nội tiếp  ACK  ABM
mà ABCM nội tiếp  O   ABM  ACM
Suy ra: ACM  ACK
c) Vì C là điểm chính giữa cung AB nên AC  AB
Lại có: MAC  EBC; MA  EB
Khi đó ta có: MAC  EBC  c.g.c 

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


14

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

Suy ra: CM  CE

(1)

Mặt khác: MCE  ECB mà HCE  ECB  90  HCE  MCA  MCE  90

(2)

Từ (1),(2) ta có MCE vuông cân tại C
d) Theo giả thiết:

AP.MB
AP
R
OB
R


MA
MA MB MB

Mặt khác: PMA  MBO ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung )

 APM ~ BOM  c.g.c 

 APM cân tại P  PA  PM
Gọi I   MB  d ta có: APM vuông tại M , P  AI mà PM  PA
Suy ra P là trung điểm AI
Lại do: AI / / HK   AB 
Suy ra BP cũng đi qua trung điểm của HK ( Hệ quả của đinh lí Ta – lét )

Bài 8: ( Hà Nội 2013 – 2014 )
Cho đường tròn  O  và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AM , AN với
đường tròn ( M , N là các tiếp điểm ). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn tại hai điểm
B, C ( AB  AC , d không đi qua O )
a) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
b) Chứng minh rẳng: AN 2  AB. AC . Tính độ dài đoạn BC khi AB  4; AN  6
c) Gọi I là trung điểm của BC . Đường thẳng NI cắt đường tròn  O  tại điểm thứ hai T .
Chứng minh rằng MT / / AC .
d) Hai tiếp tuyến của  O  tại B, C cắt nhau tại K . Chứng minh rằng K thuộc đường thẳng cố
định khi đường thẳng d thay đổi thỏa mãn đề bài.
Hướng dẫn giải:

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


15

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

K

T
M

C
I

B

O

A

N
a) Do AM , AN là tiếp tuyến của  O   AMO  ANO  90
Xét tứ giác AMON : AMO  ANO  180  AMON nội tiếp
b) Dễ dàng chứng minh: ABN ~ ANC ( g.g ) 

AB AN

 AB. AC  AN 2
AN AC

c) Vì I là trung điểm của BC  OI  BC  AIO  90
Khi đó tứ giác AION nội tiếp  AIN  AON 
Mặt khác: MTN 

1
MON
2

1
MON
2

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


16

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.
Suy ra: MTN  AIN ( mà chúng ở vị trí đồng vị )  MT / / AC
d) Dễ dàng chứng minh K , I , O thẳng hàng ( do cùng nằm trên đường trung trực của BC )
Vì KB là tiếp tuyến của  O   KBO  90 .
Xét KBO vuông tại B, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
OB 2  OI .OK  OM 2

Khi đó: MIO ~ KMO ( c.g.c )
 KMO  MIO

(1)

Mặt khác ta chứng minh được 5 điểm A, M , I , O, N cùng nằm trên một đường tròn.
Suy ra: MNO  NMO  180  MIO

(2)

Từ (1),(2) ta có: NMO  180  KMO  NMO  KMO  180
Suy ra 3 điểm K , M , N thẳng hàng
Do M , N cố định nên K luôn chuyển động trên một đường thẳng cố định.

Bài 9: ( Hà Nội 2014 – 2015 )
Cho  O; R  đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường  O; R  ( M khác A, B ).
Tiếp tuyến của  O; R  tại B cắt đường thẳng AM , AN lần lượt tại Q, P .
a) Chứng minh rằng AMBN là hình chữ nhật.
b) Chứng minh 4 điểm M , N , P, Q cùng nằm trên một đường tròn.
c) Gọi E là trung điểm của BQ . Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F . Chứng
minh rằng F là trung điểm BP và ME / / NF .
d) Khi đường kính MN quay quanh O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường

kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

Q

E
M

A

B

O

F
N

P

a) Do M   O  đường kính AB nên: AMB  90
Tương tự: ANB  MAN  90
Suy ra: AMBN là hình chữ nhật.
b) Do QB là tiếp tuyến của  O   QB  AB



Khi đó: ABM  AQB  90  MBQ



Mặt khác AMBN là hình chữ nhật  ABM  ANM
Suy ra: ANM  MQB  tứ giác MNPQ nội tiếp, hay 4 điểm M , N , P, Q thuộc cùng một đường
tròn.
Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!

17


18

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.
c) Xét ABQ có OE là đường trung bình  OE / / AQ
OF  OE
 OF / / AP
mà 
 AP  AQ

Xét trong APB có O là trung điểm AB , OF / / AP nên F là trung điểm BP
Ta có E là trung điểm BQ  ME  EQ  EB ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )
MEB cân tại E  MEB  180  2 EBM

Tương tự: NFB  180  2 NBF
Suy ra:





NFB  MEB  180  2 NBF  180  2MBE  360  2 NBF  MBE  360  2.90  180

Mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía nên: ME / / NF
d) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác APQ ta có:

1
1
1
2



2
2
2
AP
AQ
AB
AP. AQ
1
2


 AP. AQ  8R 2  2S APQ  8R 2  S APQ  4 R 2
2
4R
AP. AQ

Lại có:
AM 2  AN 2 4 R 2
AM . AN 

 2R2
2
2
2
 2S AMN  2 R  S AMN  R 2

Ta có:
 S APQ  4 R 2
 S MNPQ  S APQ  S AMN  4 R 2  R 2  3R 2

2
 S AMN  R

  S MNPQ 

min

 3R 2

Dấu “=” xảy ra khi:
 AP  AQ

 AM  AN

 MN  AB

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


19

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.
Bài 10: ( Hà Nội 2015 – 2016 )
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO ( C khác A, O ).
Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K . Gọi M là điểm bất kì trên
cung KB ( M khác K , B ). Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM , BM lần lượt tại H , D .
Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N .
a) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh CACB
.  CH.CD
c) Chứng minh 3 điểm A, D, N thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của đường tròn đi qua trung
điểm của đoạn thẳng DH .
d) Khi M di động trên cung KB . Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn giải:

D

E
K≡I

M

N

F

A

C

O

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!

B


20

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

a) Vì M   O  đường kính AB  AM  MB  AMB  90
Xét tứ giác ACMD : ACD  AMB  90
Suy ra tứ giác ACMD nội tiếp.
b) Tương tự ta có: BCHM cũng là tứ giá nội tiếp
 ADC  AMC  CBH

 ACD ~ HCB ( g.g )
CA CD

 CA.CB  CD.CH ( đccm )
CH CB

c) Vì N   O  đường kính AB  AN  HB

(1)

Mặt khác xét: ABD có AH  DB; DH  AB

 H là trực tâm ABD  BH  AD

(2)

Từ (1),(2) suy ra: A, N , D thẳng hàng.
Giả sử NE là tiếp tuyến tại N của  O 

 E  DH 

 ENO  90 mà ANB  90
 ENH  ANO

Do: ANO  NAO  CHB  NHE
Suy ra: ENH  EHN  ENH cân tại E  EN  EH
Khi đó dễ dàng chứng minh: EN  ED
Suy ra: E là trung điểm ND .
d) Gọi F   MN  AB
Từ F dựng tiếp tuyến FI với  O 
Ta có: MCN  MCH  NCH  NAH  MBH  180  2 ADB

(3)

Lại có: MON  180  NOA  MOB

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!

21

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.
 NOA  180  2 DAB
 NOA  MOB  360  2 180  ADB  2 ADB

 MOB  180  2 DBA





Suy ra: MON  180  2 ADB

(4)

Từ (3),(4) ta có: MON  MCN
Suy ra: MOCN nội tiếp  FN.FM  FC.FO
Lại có: FM .FN  FI 2  FI 2  FC.FO

 FIC ~ FOI ( c.g.c )  FCI  FIO  90  IC  AB
Suy ra: I  K
Suy ra F là giao điểm của đường thẳng AB và tiếp tuyến của  O  tại K

Bài 11: ( Hà Nội 2016 – 2017 )
Cho đường tròn  O  và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn

O  (

B là tiếp điểm ) và đường kính BC . Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác C , O ).

Đường thẳng AI cắt đường tròn tại hai điểm D, E ( D nằm giữa A, E ). Gọi H là trung điểm
của đoạn thẳng DE
a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh

AB BD

AE BE

c) Đường thẳng d đi qua E và song song với AO , d cắt BC tại K . Chứng minh HK / / DC
d) Tia CD cắt AO tại P , tia EO cắt BP tại F . Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải:

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


22

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

B
F

P

M

O

A
I

D
H

E

K
C

a) Vì H là trung điểm của DB  OH  DB hay  OH  DB
Lại có AB là tiêó tuyến của  O   ABO  90
Xét tứ giác ABOH : ABO  AHO  180
Suy ra tứ giác ABHO nội tiếp.
b) Ta có: ABD  AED ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung )
Khi đó dễ dàng chứng minh: ABD ~ AEB ( g.g )


AB BD

AE BE

c) Ta có: HK / / AO  OAH  HEK ( 2 góc so le trong )
mà OAH  HBO  HEK  HBO  BHCE nội tiếp.
 IHK  IBE  IDC

 HK / / DC ( 2 góc ở vị trí đồng vị )
d) Gọi M   HK  AO

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


23

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

Theo định lí Ta – lét ta có:
Lại có:

OC
R
OP


KC KC PM

(1)

AP
AD AD


PM DH HE

Dễ dàng chứng minh: APD ~ EKH ( g.g ) 

(2)
AP AD


EK HE

(3)

Từ (2), (3) ta có: PM  EK
Suy ra:

R
OP OB


KC EK KC

Lại có: BOP  AHB  180  AHE  180  BKE  EKC
Suy ra: PBO ~ ECK PBO ~ ECK  PBO  KCE  OEC
Suy ra tứ giác BECF nội tiếp mà B, E, C   O   F   O 
Lại do: BC , EF là các đường kính nên BECF là hình chữ nhật.

Bài 12: ( Hà Nội 2017 – 2018 )
Cho đường tròn  O  ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi M , N lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ
AB và cung nhỏ BC . Hai dây AN , CM cắt nhau tại điểm I . Dây MN cắt các cạnh AB, BC
lần lượt tại H , K .

a) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I cùng một đường tròn.
b) Chứng minh: NB 2  NK .NM
c) Chứng minh BHIK là hình thoi.
d) Gọi P, Q lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK và E là
trung điểm của đoạn thẳng PQ . Vẽ đường kính ND của đường tròn  O  . Chứng minh 3 điểm
D, E , K thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


24

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

D
A

Q
E

M
F
H

I

O

P
J
K
B

C

N
a) Do M , N là điểm chính giữa cung nhỏ AB, BC
nên ta có: sđ MA = sđ MB ; sđ NB = sđ NC
ta có: NIC 







1
1
sđ MA  sđ NC ; NKC  sđ MB  sđ NA
2
2



Suy ra: NKC  NIC  CNKI là tứ giác nội tiếp hay C , N , K , I thuộc cùng một đường tròn.
b) Do sđ NB = sđ NC
 BMN  KBN

Dễ dàng chứng minh: BMN ~ KBN ( g.g ) 

BN NK

 NB 2  NK .NM
NM NB

c) Chứng minh tương tự câu a) ta có: AMHI là tứ giác nội tiếp.
Khi đó ta có: AHI  AMI mà AMI  ABI
Suy ra: AHI  ABI mà chúng ở vị trí đồng vị  HI / / BK

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!


25

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.
Tương tự ta có: IK / / HB
Suy ra: BHIK là hình bình hành

(1)

Nhận thấy I là giao điểm 3 đường phân giác của ABC  BI là phân giác ABC
 IBK 

ABC
2

Gọi  J   BI  HK
Lại có: BKJ 

1
1
ACB ABC
sđ BM  sđ CN 

2

2
2
2

Xét BJK có: IBK  BKP 

ABC  ACB  BAC 180

 90
2
2

Suy ra: BJK vuông tại J hay HK  BI
Từ (1), (2) suy ra tứ giác BHIK là hình thoi.
d)
Ta có N là điểm chính giữa BC  BMN  NBC
Khi đó xét  P  ta có PB là tiếp tuyến  P   PB  BN
Mặt khác xét  O  có ND là đường kính nên BD  BN
Ta có:
 BD  BN

 BP  BN

 B, P, D thẳng hàng.

Chứng minh tương tự ta có: C , Q, D thẳng hàng
Ta có: BHK ;CKQ là các tam giác cân tại P, Q
Mặt khác: HBK  QCK do BDC cân tại C
Suy ra: HKB  QCK ( mà 2 góc này ở vị trí so le trong )  HK / / DQ
Tương tự: QK / / HD

Suy ra: DHKQ là hình bình hành.
Do E là trung điểm HQ nên D, E , K thẳng hàng.

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!

(2)