Đề thi vào lớp 10 ĐHQG Hà Nội(Tham Khảo)

Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội_ chuyên toán vòng 2
Câu 1: Ba số dương a,b,c thỏa mãn: b ≠ c,
ba
+
≠
c
và a + b =
( )
2
cba
−+
.
CM đẳng thức:
( )
( )
cb
ca
cbb
caa
−
−
=
−+
−+
2
2
Câu 2:
1. Với mỗi số dương a thỏa mãn a
3
=6(a+1, cm pt sau vô nghiệm: x
2

+ ax + a
2
– 6 = 0
2. Tìm tất cả các giá trị của a và b sao cho: 2(a
2
+ 1)(b
2
+ 1) = (a + 1)(b + 1)(ab + 1)
Câu 3: Ba số nguyên dương a, b, c đôi một khác nhau và thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i) a là ước của b + c + bc
ii) b là ước của a + c + ac
iii) c là ước của a + b + ab
1. Hãy chỉ ra 1 bộ ba số (a; b; c) thỏa mãn các đk trên.
2. CMR a, b, c ko thể đồng thời là các số nguyên tố.
Câu 4:
Cho tam giác ABC. Một đường tròn (C) đi qua các điểm A, B và cắt các cạnh CA, CB tại L,
N tương ứng (L khác A và C, N khác B và C). M là điểm chính giữa của cung LN của (C) và
M nằm trong tam giác ABC. Đường thẳng AM cắt các đường thẳng BL và BN tại các điểm D
và F tương ứng, đường thẳng BM cắt các đương thẳng AN và AL tại các điểm E và G tương
ứng. P là giao điểm của AN và BL.
1. CM: DE//GF.
2. Nếu tứ giác DEFG là hình bình hành, hãy CM:
a. Tam giác ALP đồng dạng với tam giác ANC.
b. DF vuông góc với EG.
Câu 5:
Cho 13 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên cạnh 1 tam giác đều có cạnh bằng 6 cm. CMR
luôn tồn tại 2 điểm trong số 13 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng ko vượt quá
3
cm.