Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu qua dưới vi phân suy rộng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ NHÀN

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU
CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU QUA DƯỚI
VI PHÂN SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2015


✐

▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥

❚➠✐ ①✐♥ ❝❛♠ ➤♦❛♥ r➺♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❧➭ tr✉♥❣

t❤ù❝ ✈➭ ❦❤➠♥❣ trï♥❣ ❧➷♣ ✈í✐ ❝➳❝ ➤Ò t➭✐ ❦❤➳❝✳ ❚➠✐ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝❛♠ ➤♦❛♥ r➺♥❣ ♠ä✐ sù

❣✐ó♣ ➤ì ❝❤♦ ✈✐Ö❝ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➲ ➤➢î❝ ❝➯♠ ➡♥ ✈➭ ❝➳❝ t❤➠♥❣ t✐♥ trÝ❝❤

❞➱♥ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ➤➢î❝ ❝❤Ø râ ♥❣✉å♥ ❣è❝✳

❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✹ ♥➝♠ ✷✵✶✺

◆❣➢ê✐ ✈✐Õt ❧✉❐♥ ✈➝♥

❚r➬♥ ❚❤Þ ◆❤➭♥

ờ

ợ tự ệ t t trờ ọ s ọ

ớ sự ớ ọ ủ P ỗ

t ợ ử ờ s s ế t

ờ ớ

ọ ủ ì P ỗ ờ t tì ớ tr sốt

q trì ứ ủ t ồ tờ t ũ t

t tr ọ rờ ọ s ọ

t ọ ề ệ ể t t

ũ ử ờ ế ì tr ớ ọ

ộ ú ỡ t tr q trì ọ t

tể tr ỏ ữ tế sót t rt ợ

sự ỉ t tì ủ t ồ ệ

t

ờ ết

r ị


✐✐✐

▼ô❝ ❧ô❝

▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥

✐

▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥

✐✐

▼ô❝ ❧ô❝

✐✐✐

▼ë ➤➬✉

✶

✶

✸

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ ②Õ✉
✶✳✶

❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❜æ trî

✷

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸

✶✳✶✳✶✳

❉➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣

✶✳✶✳✷✳

❈➳❝ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❈❧❛r❦❡✲❘♦❝❦❛❢❡❧❧❛r✱ ❈❧❛r❦❡✱ ▼✐❝❤❡❧✲P❡♥♦t

✶✳✶✳✸✳

❉➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝❤Ý♥❤ q✉②✱ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ tè✐

t❤✐Ó✉

✶✳✷

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ P❛r❡t♦ ②Õ✉

✼

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✵

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✸

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tè✐ ➢✉ ❑❛r✉s❤✲❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r

✷✹

✷✳✶

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❑❛r✉s❤✲❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r

✳

✳

✳

✳

✷✹

✷✳✷

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ P❛r❡t♦ ②Õ✉ ✳

❑Õt ❧✉❐♥

✳

✳

✳

✳

✳

✳

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✷✽

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸✵

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸✶


✶

▼ë ➤➬✉

✶✳ ▲ý ❞♦ ❝❤ä♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥
◆➝♠ ✶✾✾✹✱ ❉❡♠②❛♥♦✈ ❬✺❪ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝♦♠♣➝❝

❧å✐✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥➭② ❧➭ ♠ét tæ♥❣ q✉➳t ❤♦➳ ❝ñ❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❧å✐ tr➟♥ ✈➭ ❧â♠ ❞➢í✐ ✭①❡♠

❬✻❪✮✳

❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ➤ã♥❣✱ ❦❤➠♥❣ ❧å✐ ✈➭ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ①✃♣ ①Ø

➤➢î❝ ➤Ò ①✉✃t ❜ë✐ ❏❡②❛❦✉♠❛r ✈➭ ▲✉❝ tr♦♥❣ ❬✾❪ ✈➭ ❬✶✵❪✳

❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥

s✉② ré♥❣ ❧➭ tæ♥❣ q✉➳t ❤♦➳ ❝ñ❛ ♠ét sè ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ➤➲ ❜✐Õt ❝ñ❛

❈❧❛r❦❡ ❬✹❪✱ ▼✐❝❤❡❧✲P❡♥♦t ❬✶✼❪✱ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤ ❬✶✽❪✳ ▼ét ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥

❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉ ❞➢í✐ ♥❣➠♥ ♥❣÷ ❏❛❝♦❜✐❛♥

①✃♣ ①Ø ➤➢î❝ ➤➢❛ r❛ ❜ë✐ ▲✉❝ ❬✶✷❪✳

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ tè✐ ➢✉ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉

②Õ✉ ❞➢í✐ ♥❣➠♥ ♥❣÷ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ➤➢î❝ ➤➢❛ r❛ ❜ë✐ ❉✉tt❛✲ ❈❤❛♥❞r❛ ❬✼✱✽❪

❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉ ✈í✐ ❝➳❝ r➭♥❣ ❜✉é❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✳ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥

❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ ②Õ✉ ✈➭ ❝ù❝ t✐Ó✉ P❛r❡t♦ ➤➢î❝ ➤➢❛ r❛ ❜ë✐ ▲✉✉ ❬✶✺❪ ✈í✐ ❝➳❝ r➭♥❣ ❜✉é❝

➤➻♥❣ t❤ø❝✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈➭ r➭♥❣ ❜✉é❝ t❐♣✳

❉ù❛

✭✷✵✶✹✮

tr➟♥

➤➲

➤Þ♥❤

t❤✐Õt

❧Ý

❧❐♣

▲❥✉st❡r♥✐❦

❝➳❝

➤✐Ò✉

♠ë

❦✐Ö♥

ré♥❣

tè✐

➢✉

❝ñ❛

❝❤♦

❏✐♠Ð♥❡③✲◆♦✈♦

❝ù❝

t✐Ó✉

P❛r❡t♦

✭✷✵✵✷✮✱

②Õ✉

❝ñ❛

❉✳❱✳▲✉✉

❜➭✐

t♦➳♥

tè✐ ➢✉ ➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉ ❝ã r➭♥❣ ❜✉é❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈➭ r➭♥❣ ❜✉é❝ t❐♣ ❞➢í✐

♥❣➠♥ ♥❣÷ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ✭❝♦♥✈❡①✐❢✐❝❛t♦r✮✳ ➜➞② ❧➭ ➤Ò t➭✐ ➤❛♥❣ ➤➢î❝ ♥❤✐Ò✉

t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ ✈➭ ♥❣♦➭✐ ♥➢í❝ q✉❛♥ t➞♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳ ❈❤Ý♥❤ ✈× t❤Õ ❡♠ ❝❤ä♥ ➤Ò t➭✐ ✿

➇➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤ñ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉ q✉❛

❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣➈✳

✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉


✷
❙➢✉ t➬♠ ✈➭ ➤ä❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ tõ ❝➳❝ s➳❝❤✱ t➵♣ ❝❤Ý t♦➳♥ ❤ä❝ tr♦♥❣ ♥➢í❝ ✈➭ q✉è❝ tÕ

❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tè✐ ➢✉ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ✈Ð❝ t➡✳

◗✉❛ ➤ã✱ t×♠ ❤✐Ó✉ ✈➭

♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò ✈✃♥ ➤Ò ♥➭②✳

✸✳ ▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤ñ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ö♠ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ❞➢í✐ ♥❣➠♥

♥❣÷ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ❝ñ❛ ❉✳ ❱✳ ▲➢✉ ➤➝♥❣ tr♦♥❣ t➵♣ ❝❤Ý ❏♦✉r♥❛❧

♦❢ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❱♦❧✳ ✶✻✵ ✭✷✵✶✹✮✱ ♣♣✳ ✺✶✵✲✺✷✻✳

✹✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❜❛♦ ❣å♠ ♣❤➬♥ ♠ë ➤➬✉✱ ✷ ❝❤➢➡♥❣✱ ❦Õt ❧✉❐♥ ✈➭ ❞❛♥❤ ♠ô❝ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉

t❤❛♠ ❦❤➯♦

❈❤➢➡♥❣ ✶✿ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ ②Õ✉
❚r×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥

❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ P❛r❡t♦ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉ ❝ã r➭♥❣ ❜✉é❝

➤➻♥❣ t❤ø❝✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈➭ r➭♥❣ ❜✉é❝ t❐♣ ✈í✐ ❝➳❝ ❤➭♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳

❈❤➢➡♥❣ ✷✿ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tè✐ ➢✉ ❑❛r✉s❤✲❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r
❚r×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❑❛r✉s❤✲❑✉❤♥✲❚✉❝❦❡r ❝❤♦

❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉ ❝ã r➭♥❣ ❜✉é❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈➭ r➭♥❣ ❜✉é❝

t❐♣ ✈í✐ ❝➳❝ ❤➭♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❞➢í✐ ♥❣➠♥ ♥❣÷ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ✈í✐

❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ✈Ò tÝ♥❤ ❧å✐ s✉② ré♥❣✱ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ tè✐ ➢✉ trë t❤➭♥❤ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

➤ñ tè✐ ➢✉✳


✸

❈❤➢➡♥❣ ✶

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ ②Õ✉

❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✶ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥

s✉② ré♥❣ ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤♦ ❝ù❝ t✐Ó✉ P❛r❡t♦ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉

➤❛ ♠ô❝ t✐➟✉ ❝ã r➭♥❣ ❜✉é❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈➭ r➭♥❣ ❜✉é❝ t❐♣ ❞➢í✐ ♥❣➠♥

♥❣÷ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➢î❝ t❤❛♠

❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❬✾❪✱ ❬✶✹❪✳

✶✳✶

❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❜æ trî

✶✳✶✳✶✳

❈❤♦

❉➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣

f

❧➭ ❤➭♠ ❣✐➳ trÞ t❤ù❝ ♠ë ré♥❣ ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥

❤➭♠ t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣ ❉✐♥✐ ❞➢í✐ ✈➭ tr➟♥

v ∈ Rn

f−

t➵✐

t➵✐

x¯

x¯

f

❝ñ❛

t➵✐

x¯ ∈ Rn

f − (¯
x; v) := lim inf

f (x + tv) − f (¯
x)
,
t

f + (¯
x; v) := lim sup

f (¯
x + tv) − f (¯
x)
.
t

t↓0

f

f+

✳ ◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ➤➵♦

t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣

➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤➢ s❛✉✿

t↓0

◆Õ✉

✈➭

Rn

f + (¯
x; v) = f − (¯
x; v)

✱ t❤× ❣✐➳ trÞ ❝❤✉♥❣ ➤ã ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛ ❤➭♠

t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣

v

✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭

f (¯
x; v)

✳ ❍➭♠

♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ➤➵♦ ❤➭♠ t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ♥ã t➵✐

❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t t➵✐

x¯

✈í✐ ➤➵♦ ❤➭♠ ❋rÐ❝❤❡t

∇f (¯
x)

f

x¯
t❤×

❣ä✐ ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣

t❤❡♦ ♠ä✐ ♣❤➢➡♥❣✳ ◆Õ✉

f

f (¯
x; v) = ∇f (¯
x, v) .

❧➭

✹

f

❚❤❡♦ ❬✾❪ ❤➭♠

∂∗ f (¯
x)

✮ t➵✐

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝ã ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ tr➟♥

x¯ ∈ Rn

♥Õ✉

∂ ∗ f (¯
x)

✭❤❛②

(∂∗ f (¯
x)) ⊆ Rn

f − (¯
x; v) ≤ sup

inf

(∀v ∈ Rn ),

ξ, v

(∀v ∈ Rn ) .

ξ∈∂∗ f (¯
x)
▼ét t❐♣ ➤ã♥❣

♥Õ✉

∂ ∗ f (¯
x)

❚❤❡♦

∂ ∗ f (¯
x) ⊆ Rn

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝ñ❛

➤å♥❣ t❤ê✐ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ tr➟♥ ✈➭ ❞➢í✐ ❝ñ❛

❬✽❪

❤➭♠

∂ ∗ f (¯
x) ⊆ Rn

t➵✐

f
x¯

➤➢î❝

♥Õ✉

✭❤❛② ❞➢í✐

✮ ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ✈➭

ξ, v

ξ∈∂ ∗ f (¯
x)

f + (¯
x; v) ≥

∂ ∗ f (¯
x)

❣ä✐

❧➭

∂ ∗ f (¯
x)

❝ã

❞➢í✐

✈✐

♣❤➞♥

s✉②

ré♥❣

❜➳♥

f

t➵✐

x¯

❝❤Ý♥❤

f

t➵✐

x¯

✳

q✉②

tr➟♥

❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ✈➭

f + (¯
x; v) ≤ sup

(∀v ∈ Rn ).

ξ, v

ξ∈∂ ∗ f (¯
x)

✭✶✳✶✮

❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✶
❈❤♦ ❤➭♠

f :R→R



 x,

f (x) := x4 − 4x3 + 4x2 ,



0,
➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐

❦❤✐

x ∈ Q ∩ [0; +∞[,
x ∈ Q ∩ ]−∞; 0],

❦❤✐

,

tr♦♥❣ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❦❤➳❝

tr♦♥❣ ➤ã

Q

❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè ❤÷✉ tû✳ ❑❤✐ ➤ã


 v,
+
f (0; v) =
 0,

❦❤✐

v ≥ 0,

❦❤✐

v < 0,

f − (0; v) = 0 (∀v ∈ R).
❚❐♣

{0; 1}

❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❜➳♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥ ❝ñ❛

♥ã ❝ò♥❣ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ tr➟♥ ❝ñ❛

ré♥❣ ❞➢í✐ ❝ñ❛

❚❤❡♦

❬✾❪✱

f

t➵✐

♥Õ✉

f

t➵✐

x¯

✳ ❚❐♣

{0}

f

t➵✐

x¯

✱ ❝❤♦ ♥➟♥

❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ s✉②

x¯

✳

①➯②

r❛

➤➻♥❣

t❤ø❝

tr♦♥❣

✭✶✳✶✮

t❤×

∂ ∗ f (¯
x)

➤➢î❝

❣ä✐

❧➭

❞➢í✐

✈✐

♣❤➞♥ s✉② ré♥❣ ❝❤Ý♥❤ q✉② tr➟♥✳ ❱í✐ ♠ét ❤➭♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥



r ớ Pt ữ ớ s rộ ủ

x

f

t

ữ ớ ột st ị í q tr t

ĩ r ớ r ột ớ s rộ í q

f

tr ú ý r ế

tr t

x

ó ột ớ s rộ í q

tì ó ũ ớ s rộ í q tr t

x

ó ó ợ ớ s rộ tr t

x

í ụ
ét

f :RR

ợ ị ở


x2 cos ,
x
f (x) =
0,
ó

f

t

x = 0

t ứ

x = 0.

f

t

f

x Q

t

tí t

x Q

t

Q

Q

ế

t

{0}

r



t

x

{0}





{0} [; ]




ớ s



Q

ế ớ ỗ

f (x) f (
x) t ]0, 1[ ,
ợ ọ tự ồ tr





x

ột trị tự ở rộ

ọ tự ồ t

ớ

[; ]

ớ s rộ ủ

rộ í q tr ủ

ế

f

f

ị tr t

xQ

Q

f

Q Rn

ợ

f (tx + (1 t)
x) f (
x).

tự ồ t

s rộ ớ ồ tr ột t ồ

f

tự ồ t ỗ

r ỉ r r ế

x

t

Q

xQ f


ọ tự tế



tụ tự ồ ó ột ớ

tì ớ ỗ

f (x) f (y) (n) f (y),
f





{; }

ế

x = 0,

f + (0; v) = f (0; v) = 0, (v R)

Pt ủ

f



x, y Q



lim ( (n) , x y) 0.

n

ó ột ớ s rộ í q tr t

x

tì t ó ệ ề s



ệ ề
sử

f

ó ột ớ s rộ í q tr

f (
x) t x f

tự ồ



t

x Q t t ồ Q ó
x Q, f (x) f (
x) f (
x), , x x 0.

ứ
ì

f

x

tự ồ t

t

Q

ớ ỗ

xQ

tỏ

f (x) f (
x)

t ó

f + (
x; x x) 0.
tí í q tr ủ ớ s rộ

f (
x)

ớ ỗ

xQ

tỏ

f (x) f (
x)

t ó

, x x = f + (
x; x x) 0.

sup
f (
x)



ừ ó t ó ề ứ

tự ở rộ

tr

Q

f

ó ột ớ s rộ ớ ồ

ợ ọ ồ tệ ớ tr

(n) f (x),
trị tự ở rộ

ồ tệ t

x

f

Q

ế ớ ỗ

x, y Q



lim (n) , y x 0 f (y) f (x).

n

ó ột ớ s rộ

t

(n) conv f (
x),

Q

ế ớ ỗ

xQ

f (
x)

t

x

ợ ọ

t ó

lim (n) , x x 0 f (x) f (
x).

n

tr ó í ệ ồ

í ụ

f (x)

f, g : R R

x, khi x 0,
f (x) :=
1 x, khi x > 0,
2


khi x Q,

x,
g(x) :=
2x,
khi x (R\Q) ], 0] ,


1
khi x (R\Q) [0, [ .
2 x,


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full