CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics

CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU
3.1. Các bài toán thực tế
Xét cái bài toán ví dụ thực tế sau đây
Ví dụ 1
a.

Bài toán lập kế hoạch sản xuất
Mộtnhàmáysản xuất hailoạisản phẩm A,Bgồmhai phânxưởngvớinăng suấtnhưsau:

PhânxưởngI: 1nghìn sản phẩmA +4 nghìn sảnphẩmBtrong1 năm vàChiphí 16 triệu đồng.
Phân xưởng II:3nghìn sản phẩmA +1 nghìn sảnphẩmBtrong1 năm vàChiphí 15 triệu đồng.
KếhoạchNhà nướcgiao chonhà máylà:1nghìn sảnphẩmA +2nghìn sản phẩm B.Hãy lập kếhoạch
sản xuấtsaocho tổngchiphíthấp nhấtđồngthời đảmbảo kế hoạchnhànướcgiaochonhà máy.
Gọi:x1 là thờigian phânxưởng I sảnxuất(đơn vịnăm)
x2là thờigian phânxưởngIIsảnxuất(đơn vịnăm)
Tổngchiphícủakếhoạchsảnxuất x=(x1,x2) làf(x)=16x1+15x2(triệu đồng)
Mô hình toán học:
f(x)=16x1+15x2→ min
( D)

b.

 x1  3x2  1

4 x1  x2  2
x , x  0
 1 2

Bài toán đánh giá sản phẩm

Vớinăngsuất haiphânxưởng của nhà máy như bài toántrên.Nhàmáy sản xuất được1nghìn

sảnphẩmA và2 nghìn sản phẩm B.Hãyđịnhgiá trị cho1 sản phẩmA và1 sảnphẩmBsao chotổng
giátrị củasảnphẩm:phân xưởngI khôngvượtquáchiphílà16triệu đồng/nămvà phânxưởng IIkhông
vượtquáchiphílà15triệuđồng/năm,vàtổnggiátrịsản phẩmcủanhàmáy lớn nhất.
Gọi:y1 (nghìnđồng) làgiá trịđơn vị sản phẩm A
y2 (nghìnđồng) làgiá trịđơn vị sản phẩm B
Tổnggiá trịsảnphẩmtheo kế hoạchđánhgiáy=(y1,y2)làg(y) =y1+2y2(nghìn đồng)
Mô hình toán học:
g(y) =y1+2y2→ max
( D)

 y1  4 y2  16

3 y1  y2  15
y , y  0
 1 2

Nghiệm của 2 bài toán trên:

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

1


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
x2
y2

3y1

x2=2

+1

= 15

x1

+ y2

4x1 +

16

5x

2=

a
D(4; 3)

D(5/11; 6/11)

x1 +

3x2

y1 +

4y2=

16
y1

=1

x1

y1

+

2y
2

=a

fmin=f(5/11,2/11)=10 (triệuđồng)
gmax=g(4, 3)=10 (triệu đồng)
Nhậnxét: fmin=gmax
Ví dụ 2
a.

Bài toán lập kế hoạch sản xuất
Một xưởng mộc gia công bàn và tủ. Lượng sản phẩm gia công được phụ thuộc vào số công lao

động và diện tích mặt bằng. Nhu cầu sử dụng tài nguyên để gia công ra tủ và bàn cũng như lượng
tài nguyên tối đa cung cấp hàng ngày được trình bày trong bảng sau.
Tủ

Bàn

Lượng tài nguyên
cung cấp hằng ngày

Lao động

2

4

80

Mặt bằng (m2)

3

1

60

Tài nguyên

Nhu cầu của

Giá gia công là 0.5 triệu đ/tủ và 1.2 triệu đ/ bàn. Mỗi ngày nên gia công bao nhiêu tủ và bàn để
có doanh thu lớn nhất?
Gọi x1 là số tủ nên đóng trong ngày
x2 là số bàn nên đóng trong ngày

Hàm mục tiêu:
Z=50x1+120x2→max (10000 đồng)
Xác định các điều kiện ràng buộc
2x1+4x2≤ 80 (Khả năng đáp ứng về công)
3x1+ x2≤ 60 (Khả năng đáp ứng về mặt bằng)
Mô hình toán học:
f(x)=50x1+120x2→ max

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

2


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics

2 x1  34 x2  80

3x1  x2  60
x , x  0
 1 2

( D)

b.

Bài toán định giá sản phẩm
Do hai mặt hàng tủ và bàn bán không chạy nên người chủ xưởng định không nhận gia công

nữa mà cho một công ty sản xuất đồ gỗ đang có đơn hàng xuất khẩu thuê thợ và thuê mặt bằng.
Người chủ xưởng phải đặt giá cho thuê một công thợ, và một mét vuông mặt bằng là bao nhiêu

để tối thiểu cũng phải đạt được doanh thu như khi nhận gia công.
Gọi y1 là giá cho thuê một giờ công thợ (10000 đồng)
y2 là giá cho thuê một m2 mặt bằng (10000 đồng)
Với điều kiện doanh thu cho thuê ít nhất cũng bằng với doanh thu khi tự sản xuất ta có hai điều
kiện sau:
2y1+3y2 ≥ 50 (doanh thu thuê tài nguyên để sản xuất một tủ)
4y1+y2 ≥ 120 (doanh thu thuê tài nguyên để sản xuất một bàn)
Để có thể thực hiện hợp đồng cho thuê, tổng tiền thuê phải giá trị thấp nhất. Hàm mục tiêu của
bài toán là: Z=80y1+60y2→min
Mô hình toán học:
g(x)=80y1+60y2→ min
( D)

2 y1  3 y2  50

4 y1  y2  120
y , y  0
 1 2

Nghiệm của 2 bài toán trên:
y2

x2

3x1 + x2=60

4y1 + y2=120

A(0,20)
50x1 + 120x2=2400

2x1 + 4x2=80

80y1 + 60y2= a

x1
2y1 + 3y2=50

B(30,0)

y1

50x1 + 120x2=a

fmax=f(0,20)= 2400 (10000 đồng)

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

3


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics

gmax=g(30, 0)=2400 (10000 đồng)
Nhậnxét: fmax=gmin
Giá trị hàm mục tiêu của bài toán kế hoạch sản xuất ban đầuvà bài toán định giá cho thuê tài
nguyên là như nhau. Bài toán định giá cho thuê này gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán ban
đầu.
3.2. Các dạng bài toán đối ngẫu
3.2.1. Đối ngẫu không đối xứng
Chobài toán(D,f) dạng chínhtắc

n

(1) f ( x)   c j x j  min
j 1

 n
  aij x j  bi (i  1..m)
 j 1
 x  0( j  1..n)
 j

( D)

Cùng với bài toán (1) xét bài toán (D,g)
n

(1) g ( y )   bi yi  max
i 1

(D)

n
 a ji yi  c j ( j  1..n )
 j 1
 y tudo( j  1..m)
 i

(1) gọi là bài toán đối ngẫucủa bàitoán (1).
Bàitoán đốingẫu của bài toán(D, f)bất kỳ làbài toán đốingẫu của bài toándạngchínhtắc tương
đương với nó.

Nếu xem (1) là bài toán gốcthì(1)là bài toán đốingẫucủa nó.
Vềmặt hìnhthức, cặp(1, 1 ) gọilà cặp bàitoánđốingẫu khôngđốixứng.
Cách thành lập

-

Bàitoángốcở dạng chính tắc.

-

Hệsốhàmmụctiêu của bài toánnày làhệ số tự do tronghệràng buộc của bàitoánkia.

-

Matrận sốliệu chuyển vịchonhau.

-

Bàitoánđối ngẫu làbàitoánmaxvà ràngbuộc là ≤

Ví dụ:

f(x) =x1+2x2+3x3→ min

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

4


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics

 x1  x2  x3  1

( D ) 2 x1  3x2  4 x3  5
 x  0( j  1..3)
 j
Bài toán đối ngẫu

g(x) = y1 – 5y2 → max
 y1  2 y2  1
 y  3y  2

2
( D)  1
 y1  4 y2  3
 y1 , y2 tu do
3.2.2. Đối ngẫu đối xứng
Chobài toán (D,f) dạng sau
n

f ( x)   c j x j  min

(1)

j 1

n
 aij x j  bi (i  1..m)
(D)  j 1
 x  0( j  1..n)

 j
Bàitoándạngchínhtắctương đương
n

f ( x)   c j x j  min
j 1

n
 aij x j  xn i  bi (i  1..m)
Trong đó xn i là ẩn phụ.
 j 1
 x  0( j  1..m  n)
 j
Bàitoánđốingẫu
n

(2)

g ( y )   bi yi  max
i 1

n
 a ji yi  c j ( j  1..n )
(D)  j 1
  y  0( j  1..m)
 i
n

Hay (2)

g ( y )   bi yi  max
i 1

n
 a ji yi  c j ( j  1..n )
(D)  j 1
 y  0( j  1..m)
 i

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

5


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
Ngượclại nếu xem (2) là bài toán gốc thì ( 2 ) là bài toán đối ngẫu của nó. Về mặt hình thức,
cặp (2, 2 ) gọi là cặp bài toán đối ngẫu đối xứng.
Cách thành lập

-

Hệsốhàmmụctiêu của bài toánnày làhệ số tự do tronghệràng buộc của bàitoánkia.

-

Matrận sốliệu chuyển vịchonhau.

-

Bàitoán minràng buộclà ≥ và bài toánmaxràng buộc là ≤

-

Cảhai bài toán đều có ràng buộc các ẩn không âm.

Ví dụ:
f(x) = 3x1+ 2x2+x3→ min

2 x1  x2  3x3  4
 x  4 x  5 x  6
 1
2
3
(D) 
7 x1  2 x2  4 x3  1
 x j  0 ( j  1..3)
Bàitoánđốingẫu
g(y)=4y1-6y2+y3→max

2 y1  y2  7 y3  3
 y  4 y  2 y  2
 1
2
3
(D) 
3 y1  5 y2  4 y3  1
 y j  0 ( j  1..3)
Nhậnxét: Vớibàitoán(D ,g)chỉ cần đưavềdạng chính tắcthìtrở thành dạng chuẩn tắc.
Tổng quát hóa bài toán: (Sơ đồ TUCKER)
Từ hai cặp bàitoánđối ngẫu(1, 1 ) và ( 2, 2 ) cósơ đồ Tuckerđểviết bài toánđối ngẫu

củabài toánbấtkỳnhư sau
Bài toán gốc: f ( x ) 

n

 c j x j  min

Bài toán đối ngẫu: g ( x ) 

j 1

n

a x
j 1

ij

a x
j 1

ij

 bi (i  1... p )

yi tự do (i  1... p)

j

 bi (i  p  1...m)

yi  0 ( p  1... m)

x j  0 (1...q)

m

a
i 1

x j tự do ( j  q  1...n)

b y
i 1

j

n

m

ij

m

a
i 1

ij

i

i

 max

yi  c j (i  1...q)
yi  c j ( j  q  1...n )

Lưu ý: Bài toán min không có ràng buộc ≤ và Bài toán max không có ràng buộc ≥

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

6


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
Ví dụ 1:
Bài toán gốc
f(x) = 2x1+x2+4x3→ min

2 x1  x2  3x3  4
 x  3x  5 x  5
 1
2
3
( D) 
3x1  2 x2  2 x3  2
 x1 , x3  0

Bài toán đối ngẫu
g(y)=4y1-5y2+2y3→ max

2 y1  y2  3 y3  2
 y  3 y  2 y  1

2
3
(D)  1
3
y

5
y

4
y
2
3 4
 1
 y1 , y2  0
Ví dụ 2:

Cho bài toán gốc
f ( x )  2 x1  x2  3x3  min

 x1  2 x2  3x3  2
 4 x  3x  x  5

1

2
3
( D) 
5 x1  x2  2
 x1 , x2  0
Trước hết ta biến đổi bất phương trình dạng thành dạng bằngcách nhân hai vế với -1 và được
bài toán tương ứng
f ( x )  2 x1  x2  3x3  min

 x1  2 x2  3x3  2
4 x  3x  x  5

2
3
( D)  1
5 x1  x2  0 x3  2
 x1 , x2  0
g( x )  2 y1  5 y2  2 y3  max

 y1  4 y2  5 y3  2
2 y  3 y  y  1

2
3
(D)  1
3 y1  y2  3
 y2 , y3  0
3.3. Các nguyên lý đối ngẫu

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

7


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
Xét cặp bài toán đối ngẫu (D,f) và ( D ,g) với f(x)→min và g(y)→max. Có các nguyên lý sau
•

Nguyên lý 1

a) x  ( D), y  (D) : f ( x)  g ( y ).
x 0  ( D ), y 0  (D) : f ( x 0 )  g ( y 0 )  f ( x 0 )  f min và g ( y 0 )  gmax

b)

•

Nguyên lý 2

Nếu bài toánnàycó nghiệm thìbàitoánkia cũng có nghiệm và cặpnghiệm đó thoả mãn
điềukiện cânbằng fmin=gmax.
•

Nguyên lý 3 ( Độ lệch bù)

Cho x  ( D) , y  (D) .
Điềukiệncầnvàđủ đểx,ylà nghiệmtương ứngcủacặp bài toánđốingẫulà:

 n
 aij x j  bi  yi  0

 j 1

n
y  0  a x  b

ij j
i
 i
j 1

 n
 aij y j  c j  x j  0
 j 1

n
x  0  a y  c

ij j
j
 j
j 1
3.4. Ý nghĩa kinh tế

Xét cặp đối ngẫu đối xứng ( 2, 2 )
Ý nghĩabài toán(2)
Cóncáchkhácnhau đểsảnxuấtm loạisảnphẩm.Cáchthứjsử dụng cường độ1 cho aijđơnvị sản
phẩm loạii (i=1..m)và chiphí cj(j=1..n).Hãy tìmcường độxjcần sử dụngcho từngcách sản xuất,
đểtổngsố đơnvị củasảnphẩmloại iđượcsản xuất raít rabằngbi(i=1..m)và tổngchiphí sảnxuấtlà ít
nhất.

x = (xj)n:phương án sản xuất
Ý nghĩa bài toán ( 2 )
Cùng điều kiện vớibài toán(2 ). Giảsửsản xuất đượcbisảnphẩmi (i=1..m). Hãyđịnhgiátrịyicho
mỗiđơn

vịsảnphẩmloại

i(i=1..m),

đểđảmbảo

tổng

giátrị

sản

phẩmsảnxuấttheocáchjkhôngvượtquáchiphísảnxuấtlà cj(j=1..n)đồng thờitổng giátrị sảnphẩmlàlớn
nhất.

y=(yi):phương án đánh giá.
GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

8


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics

Ý nghĩa nguyên lý độ lệch bù
Điều kiện cần vàđủđểphươngán sản xuất x=(xj)nvàphươngánđánhgiáy=(yi)mđồngthờitốiưulà:

1) Nếumộtcách sản xuấtđược sử dụng (xj>0)thì tổnggiá trị sản phẩm được sản xuất theo cách
m

ấy phải đúng bằng chi phí ( aij yi  c j ) .
i 1

2) Nếumột loại sản phẩm có gái trị ( yi> 0 ) thì tổng số sản phẩm đó được sản xuất phải đúng
n

bằng nhu cầu ( aij x j  b j )
j 1

Ví dụ:
Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
f ( x )  3x1  x2  2 x3  min

2 x1  x2  2 x3  6
x  2x  x  8
 1
2
3
( D) 
3x1  3x2  x3  10
 x1 , x2 , x3  0
a.

Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình

b.

Lập bài toán đối ngẫu của bài toán trên và tìm nghiệm bài toán đối ngẫu này.
Lời giải

Bài toán chính tắc tương đương
f ( x )  3x1  x2  2 x3  min

6
2 x1  x2  2 x3  x4
x  2x  x
 x5
8
 1
2
3

 x6  10
3x1  3x2  x3
 xi  0
Lập bảng đơn hình để giải bài toán
Biế n
cơ sở
x4
x5
x6

Hê ̣ số
CB

0
0

0
Bảng 1
x3
-2
x5
0
x6
0
Bảng 2

Phương
án

x1
3

x2
-1

x3
-2

x4
0

x5
0

x6
0

i

6
8
10
0
3
11
7
-6

2
1
3
-3
1
2
2
-5

1
2
3
1
1/2
5/2
5/2
0

2
-1
1
2
1
0
0
0

1
0
0
0
1/2
1/2
-1/2
-1

0
1
0
0
0
1
0
0

0
0
1

0
0
0
1
0

3

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

10

9


Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics
Trong bảng này mo ̣i  k ≤ 0, nên phương án x* = (0; 0; -3;0; 0; 0) là PATU
với fmin = f(x*) = -6;
Bài toán đối ngẫu
g( x )  6 y1  8 y2  10 y3  max

2 y1  y2  3 y3  3
 y  2 y  3 y  1
 1
2
3
(D) 
2 y1  y2  y3  2
 y2 , y3 , y3  0
Gọi y ( y1 , y2 , y3 ) là nghiệm của bài toán đối ngẫu

Áp dụng nguyên lý độ lệch bù ta có
x1  2 x2  x3  3  8  y2  0
3x1  3x2  x3  3  10  y3  0
x3  3  0  2 y1  y2  y3  2

Vậy nghiệm của bài toán đối ngẫu là: y1  1, y2  0, y3  0  g ( y*)  6

GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc

10