Sáng kiến kinh nghiệm cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập hình cho học sinh THCS

Về một cách dạy nâng cao năng lực giải bài tập Hình cho học sinh THCS.
(Lê Bá Hoàng - Phòng GDĐT Thị xã Hồng Lĩnh,
Đặng Hải Giang - Phòng GDĐT Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh)
Môn Toán là môn học khó, khó đối với học sinh (HS) trong việc lĩnh hội và vận
dụng các kiến thức, khó đối với giáo viên (GV) trong việc tổ chức dạy học như thế
nào để HS học tốt và đam mê toán học đặc biệt là với hình học tạo nguồn cho HS giỏi
các cấp. Kiến về hình học mà HS ở bậc THCS thu nhận được chủ yếu thông qua các
khái niệm, các định lí và các hoạt động giải bài tập. Vì thế để giúp HS lĩnh hội và vận
dụng được các kiến thức thì vai trò của GV hết sức quan trọng phải tổ chức tốt các
hoạt động dạy học nói trên khi dạy Hình học ở trường THCS. Trong quá trình giảng
dạy, chỉ đạo và tiếp bồi dưỡng HS giỏi ở bậc THCS bằng năng lực và kinh nghiệm
của mình tôi cũng đã tạo tiền đề cho một số HS đạt thành tích cao trong các kỳ thi HS
giỏi Quốc gia, Quốc tế điển hình như là em Đinh Lê Công (Khối chuyên toán ĐHV) –
Huy chương Bạc Toán Quốc tế 2013, em Lê Thị Thu Hiền (Chuyên Hà Tĩnh) giải Nhì
môn Toán quốc gia 2012, em Trần Xuân Bách- Thủ Khoa Đại Học Y Hà Nội năm
2013),…Ở THCS thì HS chỉ mới tiếp cận một số khái hình học chưa quen với việc
giải bài tập hình học, để vận dụng được kiến thức lý thuyết đã học trong việc giải toán
hình học người dạy phải hình thành một số “kỹ năng” trong giải bài toán hình học tạo
hứng thú cho học sinh môn học này.
I. Phương pháp chung để tìm lời giải một bài toán:
Để có được kết quả tốt trong dạy hình học thì giáo viên (GV) cần nắm vững một
số bước sau đây:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán:
+ Giả thiết là gì ? Kết luận là gì ? Hình vẽ, kí hiệu thế nào ?
+ Phát biểu bài toán dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ bài toán.
+ Dạng toán nào?
+ Các kiến thức cần có là gì ? (Các khái niệm, các định lí, các phương pháp…)
Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Tức là chỉ rõ các bước cần tiến hành theo
một trình tự thích hợp.
Bước 3: Thực hiện lời giải: Trình bày theo các bước đã chỉ ra.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:

+ Xét xem có sai lầm không ?
+ Có phải biện luận kết quả không ?
+ Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề, ...


II. Các ví dụ về dạy học cơ bản:
2.1 Ví dụ về dạy học cơ bản:
Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC.
Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam
giác ABD vuông cân tại B và ACE vuông
cân tại C. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu
của D, E trên BC. CMR: DM + EN = BC
a. Tìm hiểu nội dung bài toán
- Đọc kĩ đề, vẽ hình, xác định GT, KL
- Phân tích tìm lời giải:

H

Việc chứng minh đẳng thức dạng DM + EN = BC ban đầu có thể chưa quen với
HS lớp 7 nên GV định hướng cho HS chuyển bài toán về chứng minh hai đoạn thẳng
bằng nhau.
- Chẳng hạn ta có thể tìm điểm H thuộc cạnh BC sao cho HB = DM và HC = EN.
·
- Nếu HB = DM thì ∆MDB = ∆HBA (c.g.c) ⇒ ·AHB = BMD
= 900 . Vậy H là chân
đường cao vẽ từ A đến BC.
b. Xây dựng chương trình giải:
Bước 1: Vẽ AH ⊥ BC.
Bước 2: Chứng minh HB = MD và HC = NE
Bước 3: Kết luận

c. Thực hiện chương trình giải: Thực hiện theo các bước trên
d. Kiểm tra nghiên cứu lời giải
- Cho HS kiểm tra lại lời giải: Kiểm tra xem lời giải có mắc sai lầm nào không ?
- Hoạt động tìm điểm phụ H trên BC là là rất quan trọng cần lưu ý HS để áp dụng
vào các tình huống tương tự.
- Đưa ra một số bài tương tự để HS luyện tập.
1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy M, N, P thứ tự thuộc các cạnh AB,
AC, BC sao cho tam giác MNP vuông cân tại M.
Chứng minh rằng AM + AN = BM.
2. Cho hình vuông ABCD. Lấy M, N thứ tự thuộc các cạnh BC và CD sao cho
góc MAN bằng 450. Chứng minh rằng MN = BM + DN.

Ví dụ 2: Tổ chức cho HS lớp 8 giải bài toán sau:


“ Cho tam giác ABC có góc A bằng 120 0 và AD là phân giác trong của góc A. Chứng
1
1
1
+
=
minh rằng:
”.
AB AC AD
a. Tìm hiểu nội dung bài toán:
A

- Yêu cầu
GT, KL của
Phân

B

C

D

HS vẽ hình, xác định
bài toán
tích tìm lời giải:

1
1
1
+
=
ta nên chuyển về chứng minh đẳng
AB AC AD
AD AD
+
= 1 ; hoặc
thức liên quan tới tỉ số của hai đoạn thẳng, chẳng hạn
AB AC
a
b
c
+
=
(với các đoạn thẳng a, b, c bằng nhau). Việc biến đổi kết luận bài
AB AC AD

toán như trên tạo điều kiện để chúng ta áp dụng được định lí Ta – lét.
Để chứng minh đẳng thức dạng

A
E
B

D

C

·
·
- Với giả thiết BAD
= CAD
= 600 thì vẽ DE // AB ta được tam giác ADE đều. Sử
dụng định lí Ta-lét, kết hợp với AD = AE = DE ta sẽ có được lời giải.
b. Xây dựng chương trình giải:
Bước 1: Vẽ DE // AB.
Bước 2: Chứng minh tam giác ADE đều.
Bước 2: Áp dụng định lí Ta – lét cho tam giác ABC với DE // AB.
Bước 4: Thực hiện các biến đổi đại số để đưa về đẳng thức cần chứng minh.
c. Thực hiện chương trình giải:
Vẽ DE // AB. Suy ra được AD = AE = DE.
DE CD AE BD
=
;
=
Áp dụng định lí Ta-lét cho DE // AB ta có:
AB CB AC BC

DE AE CD BD
AD AD
1
1
1
⇒
+
=
+
=1 ⇒
+
=1⇒
+
=
AB AC CB BC
AB AC
AB AC AD
d. Kiểm tra nghiên cứu lời giải:


- Nghiên cứu lời giải trên ta thấy nếu thay góc A bằng 90 0; bằng 600 thì ta được các
kết quả sau:
Bài 1: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 0 và AD là phân giác trong của góc A.
1
1
2
.
+
=
AB AC AD

Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60 0 và AD là phân giác trong của góc A.
Chứng minh rằng:

1
1
3
.
+
=
AB AC AD
(việc giải 2 bài toán trên hoàn toàn tương tự)
- Áp dụng kinh nghiệm tìm lời giải (như ở ví dụ 3), HS làm được các bài sau:
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = AC = m. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của
tam giác cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.
1
1
3
+
= .
Chứng minh rằng:
AM AN m
Bài 4: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt tia
BC và các cạnh AC, AB lần lượt tại M, N, P.
1
1
1
+
=
Chứng minh rằng:
.

GM GN GP
Một số lưu ý:
- Không nên nhầm lẫn giữa dạy HS giải bài tập với việc chữa bài tập.
Chữa bài tập mới chỉ cung cấp cho HS lời giải đúng chứ chưa hướng dẫn HS cách tìm
lời giải đó.
- Không nên đưa quá nhiều bài tập trong một tiết dạy, cần dự kiến thời gian cho bài
tập trọng tâm, rồi lựa chọn bài có cách giải tương tự để HS tự luyện tập.
- Để hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán được tốt thì trước hết GV phải đóng vai
trò người học, tự mình tìm ra các cách giải. Trên cơ sở đó, GV phân bậc hoạt động
phù hợp với đối tượng HS cụ thể của mình, dự kiến các câu hỏi dẫn dắt, gợi mở để
giúp HS không những tìm được lời giải bài toán mà còn học được cả tri thức về
phương pháp giải toán. Đây chính là công việc khó khăn nhất đối với mỗi GV dạy
toán; vì nếu HS nhận được sự giúp đỡ quá nhiều từ GV thì HS đó không còn gì để
làm; nhưng nếu HS đó nhận được quá ít sự giúp đỡ của GV thì khó mà tiến bộ được.
Vì vậy khi đưa ra một bài toán nào đó GV phải cân nhắc thật kĩ xem với đối tượng HS
của mình thì giúp đỡ đến đâu là vừa.
2.2. Xây dựng chuỗi bài toán:
Cùng với việc hướng dẫn HS tìm lời giải một bài toán GV nên xây dựng chuỗi
các bài toán trong đó bài toán mở đầu có tính chất như một chìa khóa để giải các bài
còn lại. Chẳng hạn, từ ví dụ 1 ta có thể xây dựng một chuỗi các bài toán như sau:
Chứng minh rằng:


Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, H, K thứ tự là hình chiếu của B, C
trên một đường thẳng bất kì qua A và không cắt cạnh BC.
CMR:
a) BH = AK
b) BH + CK = HK.
Bài toán 2: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác
ABD vuông cân tại B và ACE vuông cân tại C. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của D,

E trên BC.
CMR: DM + EN = BC
(HD: Vẽ AH vuông góc với BC và áp dụng bài toán 1)
Bài toán 3: Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB, vẽ các tia
Ax, By cùng vuông góc với AB. Vẽ tam giác CDE vuông cân tại C, trong đó C thuộc
đoạn AB, D thuộc tia Ax, E thuộc tia By.
CMR: AD + BE có giá trị không đổi khi C, D, E thay đổi.
(HD: Áp dụng bài toán 1 ta được AD + BE = AB)
Bài toán 4: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác
vuông cân tại A là ABD và ACE.
CMR: Đường thẳng qua A và vuông góc BC đi qua trung điểm của DE.
(Vẽ DP và EQ cùng vuông góc với AH và áp dụng bài toán 1)
Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy M, N, P thứ tự thuộc các cạnh
AB, AC, BC sao cho tam giác MNP vuông cân tại M. Chứng minh rằng tổng 2AM +
AN không phụ thuộc vào vị trí của M, N, P.
(HD: Vẽ PH vuông góc với AB rồi áp dụng bài toán 1)
II. Các ví dụ về dạy học nâng cao:
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = AC,
đường cao AH và phân giác BD. Gọi I là
tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHC,
·
biết BDI
= 450 . Tìm số đo của góc BAC
có thể có.(Bài 4 đề thi Toán quốc tế lần
thứ 50 )
Lời giải: Gọi O là giao của AH và BD, từ
giả thiết suy ra CO là phân giác của ·ACB
µ1 =C
µ 2 . Hạ OK ⊥ AC ( K ∈ AC ) .
⇒C

Trường hợp 1: Nếu K thuộc tia DA.
- Nếu K trùng D dể dàng suy ra ∆ABC đều vì
·
trực tâm trùng với tâm đường tròn nôi tiếp, suy ra BAC
= 600
- Nếu K ≠ D giả sử K nằm giữa A và D (Hình 1a)
Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHC nên I nằm
B
µ1=H
µ 2 = 450 ; OH = OK; KOI
·
·
1
trên OC và H
.
= HOI

H

A

K
1
1

O

1

1

H

Hình 1 a

D

I
2

2

1

C


µ1=H
µ 1 = 450 , do đó
∆OKI = ∆OHI (c.g .c ) ⇒ K
·
µ 1 = 450 nên
Theo giả thiết ta có BDI
= 450 hay D
µ1=D
µ 1 = 450 suy ra tứ giác OKDI nội tiếp đường tròn
K
µ 1 = IKD
·
µ 1 = 900 − 450 = 450

do đó O
= 900 − K
µ µ
µ +C
µ = 900 ⇒ BAC
·
µ 1 = 450 hay B + C = 450 ⇒ B
= 900 .
Mà Bµ 1 + Cµ 2 = O
2 2

A

Trường hợp 2 nếu K thuộc tia DC giải tương tự, (Hình 1b)
·
ta cũng có BAC
= 900 . Nếu tam giác ABC đều hoặc vuông cân tại ta
D
0
0
0
·
·
·
chứng minh được BDI = 45 . Vậy BAC = 90 hoặc BAC = 60
K
O
Nhận xét: Bài toán này thực chất là không khó chỉ cần kiến thức
I
THCS. Việc dựng OK vuông góc với AC cũng xuất phát từ ý nghĩ B

H
·
nếu tam giác ABC đều thì hiển nhiên BDI
= 450 đây chính là
“chìa khoá” để tìm ra lời giải đơn giản cho bài toán.
Hình 1 b
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, phân giác AD. O là điểm bất kỳ trên cạnh AD ( O khác
A và D). Các tia OB, OC cắt cạnh AC, AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng nếu
1
1
1
1
+
=
+
thì tam giác ABC cân tại A.
2
2
2
AB
AE
AC
AF 2

Lời giải:
Qua O kẻ OM//AB; ON//AC ( với M ∈ AC ; N ∈ AB ). (Hình 2)
Vì AD là phân giác nên dễ dàng ta chứng minh được tứ giác
AMON là hình thoi suy ra OM = ON = x
Áp dụng định lý Ta-lét vào tam giác ABE có OM//AB ta có:

A
12

M

N
F

E
O

OM ON OE BO OE + BO
1
1
1
+
=
+
=
=1⇒
+
=
(1)
AB AE BE BE
BE
AB AE x
1
1
1
+

= (2). Từ (1) và (2) suy ra
Tương tự
B
D
AC AF x
Hình 2
1
1
1
1
1
1
1
1
+
=
+
+
=
+
(*). Mặt khác theo giả thiết ta có:
(**)
2
2
2
AC AF AB AE
AB
AE
AC
AF 2

2
2
=
Từ (*) và (**) suy ra
. Suy ra AB.AE = AC.AF = P. Kết hợp với (*) ta
AB. AE AC. AF

được AB + AE = AC + AF = S. Nên theo định lý Vi- ét ta có: AB, AE,AF, AC là
nghiệm của phương trình t 2 − St + P = 0 , vì AE < AC nên AE = AF, AB = AC nên tam
giác ABC cân tại A.
Nhận xét: Rõ ràng khi gặp bài toán này người đọc cảm gác là khó, bởi vì nhìn từ giả
thiết

1
1
1
1
+
=
+
giống như hệ thức lượng về cạnh và đường cao của tam
2
2
2
AB
AE
AC
AF 2

giác vuông khiến người giải có thể tạo ra đường phụ là các tam giác vuông với các

cặp cạnh góc vuông (AB; AE); (AC, AF) nhưng cách vẽ thêm này không khả quan.
Chính điều này là cái hay của bài toán dẫn chúng ta sang một con đường khác để tìm
ra lời giải.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác
CD đồng quy tại O.
a) Chứng minh

BD BH
=
AD CH

C

C


b) Tính tỷ số

AB
AC

Lời giải: (Hình 3)
a) Cách 1: Áp dụng định lí Cer -va vàp tam giác ABC
với 3 đường thẳng AH, CD, BM đồng quy tại O ta có:

B

BH CM AD
.
.

=1
HC MA DB
CM
BD BC
= 1 và
=
(tính chất phân giác)
MA
AD AC
BH
AD BD BC
= 1:
=
=
Từ đó ta suy ra
HC
DB AD AC
Cách 2: Hạ MI ⊥ HC vì AH ⊥ HC và MA = MC
HI = IC ⇒ 2HI =HC

mà CM =MA nên

Áp dụng định lý Ta-let và tính chất phân giác ta có:
HB HB
BO
BC
BC
=
=
=

=
HC 2 HI 2OM 2 MC AC
AB
AB 2 HB.BC HB BC
> 0 ⇒ k2 =
=
=
=
=
b) Đặt k =
AC
AC 2 HC.BC HC AC
⇔ k 4 = k 2 +1 ⇔ k 4 − k 2 +

1 5
5 +1
= ⇔ k2 =
⇔k=
4 4
2

H

D
O

I
A

2

M

1
C

Hình 3
AB 2 + AC 2
= k 2 +1
2
AC
5 + 1 vì ( k> 0 )
2

Nhận xét: Đối câu a có nhiều cách giải khác nhau, nhưng ở đây tôi chỉ nêu 2 cách
giải cơ bản – Cách 1 là khả năng vận dụng cách đinh lý đã biết trong hình học; Cách
2 là khả năng linh hoạt trong cách tạo ra đường phụ. Đây là cần thiết trong dạy học
hình học đối với học sinh THCS. Câu b là khả năng nhìn nhận bài toán dưới dạng đại
số và mối quan hệ giữa câu a.
·
·
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M và N sao cho MAB
.
= NAC
2

MB.NB  AB 
=
Chứng minh rằng
÷

MC.NC  AC 

Lời giải:
Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Gọi E, F lần lượt là các giao điểm thứ hai
A
của AB, AC với đường tròn này. (Hình 4)
µ1=A
µ 2 nên ME = NF.
Theo giả thiết ta có A
Vậy MNFE là hình thang cân, hay FE // BC nên

Ta dể có các tam giác BMA đồng dạng với BEN (g –g);
CNA đồng dạng với CFM (g –g)
BM BA CM CA
=
;
=
⇒ BM .BN = BE.BA; CM .CN = CF .CA
BE BN CF CN
B
BM .BN BE.BA
=
Do đó:
(2)
CM .CN CF .CA
2
MB.NB  AB 
=
Từ (1) và (2) suy ra
÷ (đpcm)

MC.NC  AC 

Suy ra

1

BE AF
=
(1)
AB AC

2

F

E

C
N

M

Hình 4


µ1=A
µ 2 và đẳng thức cần chứng minh có dạng tích của các tỷ số của 2
Nhận xét: Vì A
đoạn thẳng nên ta vẽ thêm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Khi dạy học sinh
người giáo viên cần phải tạo cho học sinh nhiều cách vẽ đường phụ khác nhau. Đây

là một kinh nghiệm nhỏ mà tôi đã thành công trong việc dạy toán.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, phân giác trong AD. Trên cạnh AD lấy 2 điểm M và N
·
·
sao cho ·ABM = CBN
(M nằm giữa A và N). Chứng minh ·ACM = BCN
.
Lời giải:
Cách 1: (Hình 5)
A
2

AM . AN  AB 
=
Áp dụng ví dụ 4 vào tam giác ABD ta có:
÷ (1)
DM .DN  BD 
·
Gọi N’ là điểm trên BD sao cho ·ACM = BCN
'

1 2

M

2

AM . AN '  AC 
=
÷ (2)

DM .DN '  DC 
AB AC
B
=
Mặt khác theo tính chất đường phân giác ta có:
BD DC
AN AN '
=
Nên kết hợp (1) và (2) suy ra:
.
DN DN '
·
Do N và N’ cùng thuộc AD nên N ≡ N ' . Do đó ·ACM = BCN
(đpcm)

Áp dụng ví dụ 4 vào tam giác ACD ta có:

µ1=A
µ 2; B
µ1 =B
µ2
Cách 2: Theo giả thiết ta có: A
Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC đường tròn
này cắt đường thẳng AD tại K ( Hình 6). Ta có tứ giác
µ1=B
µ 1; K
µ 2 =C
µ 2 (*) suy ra: K
µ1=B
µ 1;

BKCN nội tiếp nên K
AB AM
=
Do đó ∆ABM : ∆AKC (g .g )
(3)
AK AC
µ1=A
µ 2 (4). Từ (3) và (4) ta suy ra
Mặt khác A
µ 2 =C
µ 1 (**). Từ (*) và (**) ta suy ra
∆ABK : ∆AMC (c.g.c) ⇒ K
µ1 =C
µ 2 hay ·ACM = BCN
·
(đpcm)
C

1

N

1

2

2

D
A

C

Hình 5

2 1

M

N

1
B

Nhận xét: Lời giải ở cách 1 thực chất là sự kế thừa ví dụ 4,
lời giải cách là sự tinh tế của yếu tố phụ - vẽ đường tròn ngoại tiếp
tam giác BNC.

2

1
D

2

C

Hình 6
2 1
K

BÀI TẬP:
1. Bạn hãy chỉ ra các khái niệm hình học nào trong chương trình THCS có thể
dạy theo con đường qui nạp ?
2. Bạn hãy chỉ ra những định lí nào có thể dạy theo con đường suy diễn, những
định lí nào có thể dạy theo con đường có khâu suy đoán ?
3. Tổ chức cho HS tìm lời giải các bài toán sau:
Bài 1 (Lớp 7): Cho hình vuông ABCD. M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh CD sao
cho góc MAN bằng 450. Chứng minh MN = BM + CN.
Bài 2 (Lớp 8): Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: BH. BE + CH. CF = BC2.


µ =B
µ = 900 , AD = 1 BC . Gọi H là
Bài 3 (Lớp 8): Cho hình thang ABCD có A
2
trung điểm của BC, K là hình chiếu của H trên AC. Chứng minh BK vuông góc với
DK.
Bài 4 (Lớp 9): Cho hình vuông ABCD. M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh CD sao
cho góc MAN bằng 450. Chứng minh MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Bài 5 (Lớp 9): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). D là một điểm di
động trên cung BC (cung BC không chứa A). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D
trên AB, AC. Xác định vị trí của D để MN lớn nhất.
Trong các bài toán trên GV vừa hướng dẫn cho HS tìm lời giải vừa đưa ra các bài
tập tương tự để HS luyện tập.
(Lê Bá Hoàng - Phòng GDĐT Thị xã Hồng Lĩnh,
Đặng Hải Giang - Phòng GDĐT Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh)