o
B
L
n
To
a
Th
i
e
D
o
B
oa
L
an
To
i
Th
e
D
o
B
L
an
To
i
Th
e
D
o
B
oa
H
L
Ly
-
-
an
an
To
To
i
i
Th
Th
e
e
D
o
B
oa
H
L
Ly
D
e
www.moon.vn
o
Th
e
D
o
Th
i
i
To
To
an
an
-
-
an
To
i
Th
e
D
o
L
an
To
i
Th
e
D
o
B
oa
oa
H
Ly
-
To
an
i
Th
e
D
D
o
H
Ly
Ly
an
To
Th
i
D
e
B
oa
oa
1
5
5
7
ln x + + x 2 + x + + C .
4
2
2
2
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!
o
o
Ly
2
-
-
an
To
=
5 31
x+ +
4 16
2) Một số các dạng nguyên hàm vô tỉ thường gặp
i
2x + 1
+ C.
3
Th
D
∫
H
H
Ly
= arcsin
5
dx+
4
o
B
∫
2
i
1
3
−x+
2
2
dx
1
=
5
7
2
x2 + x +
2
2
oa
∫
B
oa
H
2
e
e
o
B
1
=
2
2 x2 + 5x + 7
H
oa
H
Ly
-
∫
D
D
o
B
I3 =
dx
dx =
x 2
a
x ± a ± ln x + x 2 ± a + C.
2
2
an
To
=
Th
i
9
1
−x+
4
2
2
1
dx+
2
To
an
Ly
an
dx
∫
x2 ± a
Th
i
e
D
o
B
oa
H
oa
H
Ly
an
e
Th
=
( x 2 ± a) ∓ a
To
To
i
Th
e
B
o
D
∫
-
2− x− x
2
∫
= x x 2 ± a − I 3 ± a ln x + x 2 ± a ⇒ I 3 =
an
To
a
n
∫
Ly
-
To
an
i
Th
e
= x x2 ± a −
oa
x2 ± a
-
-
2
∫
dx
∫
i
To
I2 =
H
Ly
an
To
i
Th
e
D
o
o
D
∫
B
x 2 dx
H
dx
∫
Ly
x 2 ± adx ± a
∫
∫
Th
B
e
D
o
B
B
→ I = x x2 ± a −
x 2 ± a
x ±a
dx = a cos tdt
dx
I4 =
. Đặt x = a sin t ⇒
2
2
2
2
2
a2 − x2
a − x = a − a sin t = a cos t
dx
a cos t dt
x
→ I4 =
= dt = t + C = arcsin + c.
2
2
a cos t
a
a −x
Một số ví dụ minh họa:
dx
d ( x + 2)
I1 =
=
= ln x + 2 + x 2 + 4 x + 10 + C.
2
2
x + 4 x + 10
( x + 2) + 6
i
Th
e
oa
an
Th
i
i
D
o
xdx
oa
H
Ly
∫
H
∫
e
x 2 ± a dx.
Ly
dx
d (x + t)
=
= ln x + x 2 ± a + C
t
x+t
To
x ±a
∫
x ±a
xdx
dx dt dx + dt d ( x + t )
→ = =
=
t
t
x
x+t
x+t
n
=
2
=
2
To
a
dx
xdx
-
-
Ly
H
. Đặt t = x 2 ± a ⇒ dt =
-
To
i
Th
B
e
D
B
∫
oa
∫
Th
an
∫
∫
o
o
Ly
x ±a
2
To
Th
i
I3 =
e
D
o
B
oa
-
To
an
i
Th
Th
e
D
D
o
B
B
H
oa
dx
∫
H
Ly
Ly
an
∫
i
∫
∫
D
= ln u + u 2 ± a + C
2
To
To
an
∫
= x x2 ± a −
o
D
o
o
B
oa
H
du
∫
-
2
2
u = x ± a ⇒ du =
Đặt
dv = dx ⇒ v = x
B
e
D
e
e
o
D
Ly
-
x ±a
= ln x + x 2 ± a + C
→
u ±a
x
a
I3 =
x 2 ± a dx =
x 2 ± a ± ln x + x 2 ± a + C.
2
2
dx
x
du
u
I4 =
= arcsin + C
→
= arcsin + C
2
2
2
2
a
a
a −x
a −u
Chứng minh:
xdx
d ( x 2 ± a)
1 d ( x 2 ± a)
I1 =
=
=
= x 2 ± a + C.
2
2
2
2
2 x ±a
x ±a
x ±a
i
Th
e
B
oa
∫
x ±a
dx
Khi đó, I 2 =
e
an
an
Th
Th
i
i
To
To
Thầy Đặng Việt Hùng
= x 2 ± a + C.
2
H
I2 =
xdx
Ly
Ly
-
-
an
an
To
i
Th
e
D
o
B
∫
I2 =
D
H
H
Ly
Ly
-
09. NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM VÔ TỈ
∫
o
oa
H
oa
oa
oa
H
Tài liệu bài giảng:
1) Các công thức nguyên hàm vô tỉ cơ bản thường gặp
I1 =
D
D
o
B
B
B
o
o
D
D
D
o
B
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
o
L
Ly
-
-
To
a
n
an
Th
i
e
D
L
an
To
i
Th
e
D
o
B
oa
H
L
an
To
i
Th
e
D
o
B
oa
H
L
Ly
an
To
i
e
D
)
− 3 x + 1 dx
H
x2 − 4
oa
2
o
dx
B
x − 3x + 2
(2x
Th
To
an
-
o
B
dx
2
L
Ly
e
e
B
B
o
o
D
D
D
o
B
Th
Th
i
i
To
To
an
an
-
-
i
Th
e
e
o
oa
H
Ly
-
Ly
-
To
an
i
Th
i
Th
e
∫
9)
H
2 − 2x − x2
D
o
x2 − 2x
3x − 2
∫
6)
To
an
-
To
oa
( 2 x − 3) dx
H
H
-
-
an
an
D
e
www.moon.vn
o
Th
e
D
o
Th
i
i
To
To
To
i
Th
e
D
o
L
Ly
Ly
-
an
an
To
Th
i
D
e
oa
oa
oa
H
Ly
-
-
an
To
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!
o
D
D
D
o
B
dx
ax 2 + bx + c
B
oa
∫
x2 − 2 x + 2
Ly
∫
x + x −1
2
∫
Ly
H
o
B
oa
e
oa
Ly
8)
2x + 1
B
To
an
To
i
Th
e
e
D
o
B
oa
H
H
3)
dx
∫
∫
i
Th
i
Th
e
D
o
B
oa
H
Ly
Ly
an
To
∫
x2 − x + 1
Th
i
Cách giải:
=
1
7
x− +
4
16
Th
i
5)
2x −1
dx
∫ ( mx + n )
an
-
an
To
i
e
=
ax + bx + c
Ly
e
D
o
an
i
Th
∫
e
2)
D
o
B
dx
H
x2 + x − 2
2
oa
H
Ly
oa
x2 + 2 x − 1
dx
Ly
∫
x − x +1
2
H
∫
To
To
a
i
∫
x 2 − 3x + 4
∫
B
B
oa
H
Ly
n
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
dx
1)
2
x − 2x + 2
D
D
dx
2
-
-
an
To
dx
1
3
=
2x2 − x + 1 −
x 1 2
4 2
x2 − +
2 2
∫
1
dx−
4
∫
Th
i
Th
D
e
2
∫
1
dt
1 n
Đặt mx + n = ⇒ mdx = − 2 ; x =
−
t
mt m
t
du
= ln u + u 2 ± a + C
2
u ±a
Thay vào ta được I = g (t )dt
→
.
du
u
= arcsin + C
2
2
a
a −u
Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau
o
B
H
oa
H
oa
To
To
an
i
Th
e
D
o
oa
Ly
-
To
a
n
∫
i
∫
o
e
Th
i
To
an
-
Ly
H
H
oa
∫
Dạng 2: Nguyên hàm I =
B
∫
∫
∫
B
∫
1
3
1
x 1
2x2 − x + 1 −
ln x − + x 2 − + + C.
2
4
2 2
4 2
e
Th
i
Th
o
oa
H
Ly
an
To
i
Th
e
D
B
o
∫
∫
∫
7)
Th
bm
+n −
2a
ax + bx + c
2
-
-
an
To
∫
1 d (2 x − x + 1)
3
−
2
2 2 2x − x + 1 4 2
4)
e
( 2ax + b ) dx
B
B
oa
Ly
H
∫
i
Th
e
D
o
B
B
o
D
=
o
∫
D
e
e
D
D
o
B
∫
o
∫
∫
B
an
an
To
i
Th
∫
m d (ax 2 + bx + c)
bm
dx
m
+n −
=
ax 2 + bx + c + J
a 2 ax 2 + bx + c
2a ax 2 + bx + c a
dx
Trong đó, J =
thuộc một trong số các dạng nguyên hàm đã đề cập ở trên.
2
ax + bx + c
Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau
2x + 3
x −1
a) I1 =
dx
b) I 2 =
dx
x2 − 2 x + 4
2 x2 − x + 1
Hướng dẫn giải:
(2 x − 2) + 5
(2 x − 2) dx
dx
d ( x 2 − 2 x + 4)
dx
a) I1 =
+5
=2
+5
=
dx =
2
2
2
2
2
2 x − 2x + 4
x − 2x + 4
x − 2x + 4
x − 2x + 4
x − 2x + 4
d ( x − 1)
= 2 x2 − 2 x + 4 + 5
= 2 x 2 − 2 x + 4 + 5ln x − 1 + x 2 − 2 x + 4 + C.
2
( x − 1) + 3
1
3
(4 x − 1) −
x −1
1 (4 x − 1)dx
3
dx
4
4
b) I 2 =
dx =
dx =
−
=
2
2
2
2
4
2x − x + 1
2x − x + 1
2x − x + 1 4
2x − x + 1
=
D
Ly
Ly
-
-
an
To
∫
=
o
dx
H
ax 2 + bx + c
Cách giải:
Phân tích tử số chứa đạo hàm của mẫu ta được
m
bm
2ax + b ) + n −
(
mx + n
2a dx = m
I=
dx = 2a
2
2
2a
ax + bx + c
ax + bx + c
i
Th
e
oa
mx + n
∫
Ly
H
oa
Dạng 1: Nguyên hàm I =
D
D
o
B
B
B
o
o
D
D
D
o
B
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
o
B
oa
H
L
Ly
To
a
Th
i
e
D
o
B
oa
L
H
To
an
Ly
-
an
To
i
i
Th
Th
e
e
D
D
o
B
oa
H
To
D
e
dx
o
x4 + 2 x2 − 1
Th
i
dx
an
-
L
Ly
To
an
i
Th
e
D
o
dx
B
B
oa
H
H
an
To
i
Th
e
D
o
B
oa
H
L
Ly
-
-
an
an
To
To
= 2 J − 3ln x + x 2 − 1
L
an
To
Th
i
e
D
e
D
o
www.moon.vn
o
Th
Th
i
i
To
To
an
an
-
-
Ly
Ly
H
H
oa
oa
B
B
o
o
D
D
e
e
Th
Th
i
i
i
Th
e
x −1
2
e
D
L
Ly
To
an
i
Th
e
D
To
an
dx
D
o
o
ax 2 + bx + c
o
x2 − 4
B
oa
H
Ly
an
To
Th
i
dx
B
oa
( 2 x + 1) dx
∫ ( x + 1)
Ly
Ly
-
an
To
Th
i
e
D
B
D
e
x 2 + 3x + 2
∫ ( mx + n )
H
H
b) I 2 =
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!
o
dx
đã xét đến ở phần trên.
Hướng dẫn giải:
o
oa
H
Ly
an
To
∫x
Ly
ax 2 + bx + c
1
x =2−
1
t
. Đặt 2 − x = ⇒
t
x2 − 1
dx = dt
t2
i
6)
-
an
To
Th
i
e
D
o
oa
oa
H
∫ (2 − x)
∫ ( x − 1)
An
+B−
m
ax 2 + bx + c
dx
∫
dx
∫ ( mx + n )
B
và I 2 =
ax 2 + bx + c
Ly
D
o
dx
3)
oa
oa
H
-
an
To
i
Th
e
D
o
B
∫
dx
-
an
To
i
a) Ta có
Xét J =
n
an
i
Th
e
To
Th
i
e
D
o
B
x2 − 4 x − 3
dx
( 3x − 4 ) dx = 2 − 3 ( 2 − x ) dx = 2
dx
I1 = ∫
− 3∫
∫
∫
( 2 − x ) x2 − 1 ( 2 − x ) x2 − 1
( 2 − x ) x2 − 1
e
Th
dx
Ly
Ly
-
To
a
i
∫
dx
dx
ax 2 + bx + c
Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau
( 3 x − 4 ) dx
a) I1 =
(2 − x ) x2 − 1
Th
D
o
∫ ( x + 2)
x2 − x + 1
=
1 − 9t 2 − 4t
o
Ly
5)
an
∫
-
2x −1
2)
dt
∫
1
9t + 2
= − arcsin
+ C.
3
13
H
H
B
H
oa
Ax + B
∫ ( mx + n )
n
∫
1 9t
−
−t
4 4
oa
oa
13 2 2
− t +
9 9
n
To
a
dx
=−
B
2
Cách giải:
Ta phân tích tử số chứa (mx + n) như sau:
A
An
( mx + n ) + B −
Ax + B
m dx = A
I=
dx = m
m
( mx + n ) ax 2 + bx + c
( mx + n ) ax 2 + bx + c
∫
2
i
∫
D
x2 − 2x + 2
e
Th
1
3
i
Th
e
dx
o
o
=−
2
d t +
9
Ly
Ly
-
Th
i
To
an
∫
dt
∫
Th
e
D
13 2
− t +
81 9
2
o
dt
∫
B
1
3
H
oa
1 2 4
−t − t
9
9
=−
Các nguyên hàm I1 =
e
oa
H
Ly
-
To
an
an
To
i
Th
e
B
o
dt
∫
∫ ( 2 x + 1)
D
e
B
B
oa
H
Ly
-
∫
D
D
o
B
1
3
B
D
To
To
i
Th
D
e
o
o
B
oa
H
Ly
-
an
To
i
e
Th
2
1 1
dt
x= −
1
1
2t 2
2t 2
b) Đặt 2 x + 1 = ⇒
→ I2 = −
=−
2
t
2
dx = − dt
1 1 1
1 1
2
−
+
3
−
−
1
2t
t 2t 2
2t 2
Dạng 3: Nguyên hàm I =
o
-
-
an
an
To
i
Th
e
D
D
o
B
∫
4)
B
∫
2
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
dx
1)
( x − 1) x 2 − 2 x + 2
B
H
oa
H
Ly
-
-
an
To
∫
1
1
1
= − ln t + t + 1 = − ln
+
+ 1 + C.
+
2
x +1
x +1
x +1
1+ t
dt
=−
D
x2 + 3x − 1
Hướng dẫn giải:
1
dt
dt
x = −1
2
1
t
t
t2
a) Đặt x + 1 = ⇒
→ I1 = −
=−
=
2
2
t
dx = − dt
1 1
1
1
1
1
− 1 + 2 − 1 + 2
− 1 + 2 − 1 + 2
t2
t t
t
t
t
t
−
o
dx
∫ ( 2 x + 3)
Ly
oa
H
x2 + 2 x + 2
i
Th
e
b) I 2 =
oa
dx
∫ ( x + 1)
Ly
a) I1 =
D
D
o
B
B
B
o
o
D
D
D
o
B
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
o
B
oa
H
n
To
a
Th
i
e
D
L
an
To
i
Th
D
L
an
To
i
Th
e
D
o
B
oa
H
L
Ly
-
-
To
an
To
an
i
i
Th
Th
e
e
D
D
o
o
B
B
oa
H
an
an
a+b
( a + b)
x+
+ ab −
2
4
To
To
2
oa
H
Ly
L
-
-
an
an
To
Th
i
D
e
www.moon.vn
o
e
D
o
o
D
e
Th
Th
i
i
To
To
)
)
Ly
(
= ln x + a + x + b + 2 ( x + a)( x + b) =
-
2
an
)
H
oa
B
B
o
o
D
D
e
e
Th
Th
i
i
i
Th
D
a+b
+ ( x + a )( x + b) + C
2
x+a + x+b
L
Ly
-
dx
2
e
-
an
To
Th
i
D
e
o
To
(
o
oa
H
Ly
To
an
i
Th
e
D
o
B
oa
oa
H
Ly
∫
To
an
=
-
x + ( a + b ) x + ab
H
Ly
(
=
x2 − 2 x + 3
H
Ly
an
To
Th
i
dx
2
oa
oa
H
Ly
-
an
)
2
B
B
oa
H
Ly
-
an
To
Th
i
e
D
( x + 2 ) dx
)
o
= ln x +
x + a + x + b = ln
o
oa
H
Ly
an
To
i
D
o
4 1
− t +
9 3
x + a + x + b + C.
a+b
= ln 2 x + a + b + 2 ( x + a)( x + b) = ln x +
+ ( x + a )( x + b) + ln 2
2
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!
i
Th
e
D
o
(
B
Th
o
e
dt
3∫
a+b
(a + b)2
x
+
+
ab
−
2
4
Bình luận: Thoạt nhìn, ta tưởng hai cách giải cho hai đáp án khác nhau, nhưng không phải vậy.
Thật vậy, 2ln
L
Ly
To
i
Th
e
D
1
∫ ( x + 1)
3)
e
D
o
(
B
2
B
oa
H
Ly
-
To
an
i
Th
e
D
o
o
e
D
∫
o
=
B
D
B
oa
To
∫
Th
i
i
Th
e
a+b
dx+
2
=−
dx
dx
1 x+a + x+b
dx
2dt
+
=
dx
→
=
t
2 x + a 2 x + b 2 ( x + a )( x + b)
( x + a)( x + b)
H
Ly
-
an
-
To
an
dx
=
( x + a )( x + b)
∫
dt
x −4
1 2
− t − t2
3 3
B
oa
H
Ly
an
To
i
Th
D
o
B
Ly
H
oa
∫
Cách 2: Ta có I =
o
( x + 2 ) dx
∫ (1 − x ) x2 + 1
5)
dx
2dt
=
= 2ln t + C = 2ln
t
( x + a)( x + b)
∫
= 2ln x + x 2 − 4 + K
2
x 2 − 3x + 2
dx
( x + a )( x + b)
Cách 1: Đặt t = x + a + x + b ⇒ dt =
Khi đó, I =
∫ ( x − 1)
e
Cách giải:
∫
( 2 x − 1) dx
o
B
oa
H
Ly
-
n
To
a
i
Th
e
dx
∫ ( x + 1)
B
D
D
o
B
D
+
oa
H
Ly
-
n
To
a
i
Th
e
e
Th
i
( 2 x − 3) dx
∫ ( 2 x − 1) x2 + 2
∫
3
2
4 1
+ t2 − t + + C
3
3 3
ln t −
e
an
i
D
e
o
B
H
Ly
-
an
H
oa
Ly
-
an
To
1
3t + 1
arcsin
+ C.
3
2
2)
Dạng 4: Nguyên hàm I =
o
x −4
2
To
i
Th
B
B
o
o
D
e
∫
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
( 2 x + 3) dx
1)
( x + 1) x 2 + 2 x + 2
B
dx
oa
oa
H
-
an
To
i
Th
e
D
∫
Khi đó, I 2 = 2ln x + x 2 − 4 −
1
2 1
t − −
3 9
Th
Th
e
D
o
B
o
B
Ly
∫
∫
4)
=
2
1
x = −1
dx
1
t
Xét K =
. Đặt x + 1 = ⇒
2
t
( x + 1) x − 4
dx = − dt
t2
dt
dx
dt
1
t2
⇒K =
=−
=−
=−
2
3
1 − 2t − 3t 2
( x + 1) x 2 − 4
1 1
−
1
−
4
t t
1
d t +
1
1
3t + 1
3
=−
=−
arcsin
+C
2
2
3
3
2
2 1
− t +
3 3
∫
dt
To
To
i
i
D
( 2 x + 1) dx = 2 ( x + 1) − 1 dx = 2
∫ ( x + 1) x2 − 4 ∫ ( x + 1) x2 − 4
∫
∫
B
3∫
-
-
4 1
t2 − t +
3 3
1
2
2
4 1
ln t − + t 2 − t + − 3ln x + x 2 − 1 + C .
3
3 3
3
Khi đó ta được I1 =
b) Ta có I 2 =
=
an
dt
3∫
H
oa
1
=
Ly
3t − 4t + 1
2
-
oa
H
dt
∫
an
an
To
1
2 − −1
t
t
e
Th
=
2
Ly
oa
H
∫1
Ly
⇒J=
dt
t2
D
D
o
B
B
B
o
o
D
D
D
o
B
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
D
D
o
o
B
B
B
B
o
o
D
D
D
o
B
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
H
n
To
a
Th
i
e
L
an
To
i
Th
e
L
an
To
i
Th
e
D
o
B
L
an
To
i
Th
e
L
an
To
e
D
D
i
∫
Th
9)
B
o
x
H
oa
dx
x2 + 6 x + 8
L
Ly
-
-
D
e
www.moon.vn
o
Th
e
D
o
Th
i
i
To
To
an
an
an
To
i
Th
e
D
o
oa
H
an
To
∫ x( x + 1) dx
Th
6)
3
-
an
To
Th
i
D
e
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!
o
∫1+
o
H
oa
B
B
(2 x + 1)2 − 2 x + 1
dx
x +1
e
i
i
o
x
dx
x−3x
dx
3
Ly
Ly
3)
dx
( x + 3)( x + 5)
Ly
H
Ly
Th
oa
∫
8)
e
∫
x +1
dx
x−2
D
5)
B
oa
Ly
an
To
i
Th
e
∫x
o
dx
x+4x
dx
3
x + x + 24 x
H
D
Th
i
∫
2)
e
7)
1
dx
x +1
D
∫
o
B
To
To
i
Th
4)
e
∫1+
dx
oa
oa
H
∫
To
an
an
9)
LUYỆN TẬP TỔNG HỢP VỀ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ
1)
x2 + 1
0
Ly
x2 − 5 x + 6
x3
∫ x+
6)
D
i
−1
1
dx
x+4+ x+2
o
D
o
B
∫
B
e
e
Th
Th
i
0
3)
dx
∫
-
To
an
an
To
8)
H
)
D
o
oa
H
Ly
dx
D
To
an
i
Th
e
D
B
o
oa
( x + 2)3 − ( x − 3)3 + C .
H
Ly
-
)
(
(2 x + 1)3 + (2 x + 5)3 + C.
2
B
∫
1
an
(
x
dx
x+2 + 2− x
-
Ly
x+9 − x
∫
D
o
B
o
B
oa
Ly
-
e
D
o
To
i
Th
e
D
o
5)
oa
H
3
-
∫
1
6
2
15
dx
x +1 + x −1
1
2
B
B
0
0
2
2)
x
dx
2+ x + 2− x
1
7)
)
an
n
To
a
∫
x + 2 − x − 3 dx =
2 x + 1 + 2 x + 5 dx = −
-
Ly
1
H
H
Ly
-
2x + 1 + 2x + 5
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1
dx
1)
x +1 + x
0
)
1
oa
∫ ( 2 x + 1) − ( 2 x + 5) dx = − 4 ∫ (
oa
c) I 3 =
∫
B
x+2 − x−3
∫ ( x + 2) − ( x − 3) dx = 5 ∫ (
-
dx
=
x+ 2 + x−3
∫
i
Th
e
an
Th
i
i
Th
B
o
D
e
∫
b) I 2 =
o
D
To
To
a
To
Th
i
B
o
D
e
∫
2
D
oa
H
H
H
Ly
Ly
n
an
1 1
1
1 x −1 + x − 2
dx
2dt
Đặt t = x − 1 + x − 3 ⇒ dt =
+
=
dx ⇔
dx =
2 x −1
2 ( x − 1)( x − 3)
t
x −3
( x − 1)( x − 3)
dx
dt
Khi đó, I1 =
=2
= 2ln t + C = 2ln x − 1 + x − 3 + C.
t
( x − 1)( x − 3)
4)
o
Ly
Th
e
D
o
B
oa
oa
H
dx
.
( x − 1)( x − 3)
-
an
To
i
i
Th
e
D
o
B
B
∫
-
∫
-
Ly
Cách 2: I1 =
∫
L
Ly
-
an
To
i
Th
e
D
o
oa
Ly
-
To
i
Th
D
o
H
oa
∫
∫
To
an
an
-
∫
e
∫
)
∫
H
H
Ly
Ly
To
an
-
∫
i
Th
e
(∫
oa
∫
H
oa
∫
B
B
B
o
o
o
B
D
o
B
oa
H
oa
Ly
-
an
To
i
Th
Cách giải:
Các nguyên hàm dạng này được giải đơn giản bằng phép trục căn thức.
dx
x+a ∓ x+b
1
Thật vậy, I =
=
dx =
x + a dx ∓
x + b dx
a −b
a −b
x+a + x+b
Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau
dx
dx
dx
a) I1 =
b) I 2 =
c) I 3 =
2
x+2 + x−3
2x + 1 − 2x + 5
x − 4x + 3
Hướng dẫn giải:
dx
a) I1 =
2
x − 4x + 3
dx
dx
d ( x − 2)
Cách 1: I1 =
=
=
= ln x − 2 + x 2 − 4 x + 3 + C.
2
2
2
x − 4x + 3
( x − 2) − 1
( x − 2) − 1
D
D
dx
x+a ± x+b
D
e
Th
i
∫
e
e
Th
i
Dạng 5: Nguyên hàm I =
To
To
an
an
-
-
Ly
Ly
H
H
oa
oa
a+b
′
a+b
′
Và rõ ràng, ln x +
+ ( x + a )( x + b) + ln 2 = ln x +
+ ( x + a )( x + b)
2
2
Như vậy, thực chất hai cách giải đều cho cùng một phép toán, có chăng, đó là sự khác biệt trong việc tính đạo hàm
cuối cùng để kiểm tra!!!