Nhiều góc nhìn cho một bài toán hình học 9

TỪ MỘT BÀI TOÁN TRONG SGK HÌNH HỌC 9
Để có một giờ học đạt kết quả cao người thầy phải biết lựa chon phương pháp thích
hợp với đối tượng học sinh của mình, lấy học sinh làm trung tâm, người thầy giữ vai
trò chủ đạo nhằm phát huy tích cực chủ động sáng tạo, phát triển tư duy cho học sinh.
Trong chương trình SGK hiện hành tôi thấy các tác giả viết rất nhiều bài tập đơn
giản nhưng không hề tầm thường đó chính là nền tảng, là bài toán gốc mà học sinh có
thể khai thác, mở rộng để tìm ra kiến thức mới. Sau đây tôi xin giới thiệu một trong rất
nhiều các bài toán ở SBT toán 9 đó là bài tập: 31 trang 78 sách bài tập toán 9- tập 2
Bài toán(Bài tập 31 - Sách BT toán 9): Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp
tuyến tại A cắt tia BC ở D. Tia phân giác góc BAC cắt (O) ở M. Tia phân giác của
góc D cắt AM ở I. Chứng minh: DI  AM
Lời giải (Hình 1):
Gọi N là giao điểm của
AM với BC, )
)
)
)
)
sdAC  sdBM sdAC  sdCM sdACM


 �NAD
Ta có: �AND 
2
2
2
� AND cân tại D. Khi đó DI là đường phân giác cũng là đường cao nên
DI  AM
A
D
Q

P

I
C

O
N
B

M

Hình 1
Nhận xét: Nếu gọi P là giao điểm của AB và DI, Q là giao điểm của AC và DI. Ta
cũng chứng minh được APQ cân tại A. Khi đó tứ giác APNQ là hình thoi
Kết quả này sẻ thay đổi như thế nào khi điểm A nằm ngoài đường tròn?Ta có bài
tập sau:
bài tập 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi E là giao điểm ccủa BC
với DA, M là giao điểm của BA với CD. Phân giác góc M cắt CB và AD thứ tự tại Q
và S, Phân giác góc E cắt CD và AB thứ tự tại P và R. Chứng minh: Tứ giác PSRQ
là hình thoi
Sơ lượcgiải (Hình 2):


Hình 2
E
12
B
R

Q

1
A

O
C

I

2
S

I

P
D

2
1
M

Ta có: �MPR  �C  �E1 (góc ngoài tam giác)
�MRP  �A1  �E2

Mà �C  �A1; �E1  �E2 � �MPR  �MRP � MRP cân tại M.
Tương tự ta chứng minh được: EQS cân ở E
Từ đó ta chứng minh được : Tứ giác PSRQ là hình thoi
(Vì có: RP  QS ; RI  IP; QI  IS )
*Kết quả này sẻ thay đổi như thế nào khi điểm E nằm trong đường tròn?Ta có bài
tập sau:

Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Phân giác góc M cắt AC và BD lần lượt
tại R và S. Phân giác góc AKB cắt AB; CD thứ tự tại P và Q
Gọi  K   AC �BD;  M   AB �DC ;  I   PQ �RS
Chứng minh: Tứ giác PRQS là hình thoi.
Sơ lượcgiải (Hình 3):
sdAN  sdBCT sdAN  sdCT  sdCB

2
2
sdDT  sdCBN sdDT  sdBN  sdCB
�PQM 

2
2

Ta có: �QPM 

Mà DT + NB = AN + TC (?)
Suy ra: �QPM  �PQM � PQM cân ở M
Tương tự ta chứng minh được: KRS cân tại K
Nghĩa là: PQ là đường trung trực của RS
và RS là đường trung trực của PQ
Do đó: Tứ giác PRQS là hình thoi


A
D
O
R
I

N

P

K
S

Q

T

C

B

M

Hình 3

Kết hợp bài tập 1 với bài tập 2 ta có bài tập sau:
Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và M là giao điểm của BC với
AD, I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Phân giác góc AID cắt CD ở Q,
cắt BA ở P. Chứng minh tam giác MPQ cân ở M.
Sơ lược giải (Hình 4)
C
K
J

I
1 3

2

D
4

O
B

Q
N
A
1

2

M
P

Hình 4
Kẻ phân giác NK của góc AIB (N thuộc AB, N thuộc CD)
�MJ  NK
� MJ PQI
QI  NK
�

Khi đó theo bài tập 1 và bài tập 2 ta có : �
�MQP  �M 2 ( sole trong )
�
�QPM  �M 1 (dong vi )
�

Ta có: �

Mà �M 1  �M 2 � �MPQ  �MQP nên tam giác MPQ cân tại M
Tiếp tục mở rộng bài tập 31 ta có bài tập sau :
Bài tập 4: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ngoài nhau. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt
(O’) lần lượt ở P và Q. Tiếp tuyến của (O’) tại N cắt (O) lần lượt ở E và F. Kẻ OK 
EF ; O’I  PQ (K �(O); I�(O’)). Chứng minh: MK//NI


N

M
T
O

E

P

O'

K
F
I

Q

Hình 5

Sơ lược giải (Hình 5)
Do OK  EF ; O’I  PQ suy ra K; I thứ tự là điểm chính giữa của cung EF và cung
PQ. Do đó: MK là phân giác của �EMF ; NI là phân giác của �PNQ.
Theo bài tập 31 thì:
MK và NI cùng vuông góc với phân giác của �MTE nên: MK//NI
Tiếp tục mở rộng bài tập 1 ta có bài tập sau:
Bài tập 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ngoài nhau.Trên (O) lấy hai điểm A và
B. Qua A kẻ cát tuyến AC của (O) cắt (O’) ở N và P. Qua B kẻ cát tuyến BD của (O)
cắt (O’) ở M và Q. E là giáo điểm của BA và DC, F là giao điểm của MN và PQ.
Phân giác góc E cắt AC, BD lần lượt ở R và S, phân giác góc F cắt MQ, NP lần lượt
ở Kvà T
Chứng tỏ rằng: KRST là hình thang cân
F
A
Q

R

K
C

M

D
N

O
S

B

O'
T

P

Hình 6
Sử dụng kết quả bài tập 1 ta chứng minh được : KRST là hình thang cân