Chuyên đề quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – nguyễn bảo vương

Tµi liƯu to¸n 11

n¨m häc 2018

1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC
A. TĨM TẮC LÝ THUYẾT
Nội dung phương pháp quy nạp tốn học
Cho
là một số ngun dương và
là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên
(1)

. Nếu

là đúng và

(2) Nếu

đúng, thì

cũng đúng với mọi số tự nhiên

thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên
Khi ta bắt gặp bài tốn:
Chứng minh mệnh đề
sau
Bước 1: Kiểm tra

.

đúng với mọi số tự nhiên

ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như

có đúng hay khơng. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai

Bước 2: Với
Kết luận:

;

, giả sử
đúng với

đúng ta cần chứng minh

cũng đúng.

.

Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề

đúng gọi là giả thiết quy nạp.

B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Vấn đề 1. Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức. Bất đẳng thức
Phương pháp .
Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức
thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính

(hoặc

) đúng với

ta

rồi chứng minh

Bước 2: Giả sử

, ta cần chứng minh
.

1. các ví dụ minh họa
n(n + 1)
Ví dụ 1. Chứng mình với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta ln có: 1 + 2 + 3 + ... + n =
2

Ví dụ 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta ln có: 1 + 3 + 5 + ... + 2n − 1 =
n2
1.3.5... ( 2n − 1)
1
Ví dụ 3. Chứng minh rằng với ∀n ≥ 1 , ta có bất đẳng thức:
<
2.4.6.2n
2n + 1
x n (x n +1 + 1)

2n +1

 x + 1
. Đẳng thức xảy ra khi nào?
≤

n
 2 
x +1
Chú ý: Trong một số trường hợp để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ta có thể chứng

Ví dụ 4. Chứng minh rằng với ∀n ≥ 1, ∀x > 0 ta có bất đẳng thức:

minh theo cách sau
Bước 1: Ta chứng minh P(n) đúng với n = 1 và n = 2 k
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với n= k + 1 , ta chứng minh P(n) đúng với n = k .
Cách chứng minh trên được gọi là quy nạp theo kiểu Cauchy (Cơ si).

1i. Bài tập tự luận tự luyện

Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 , ta ln có
Gi¶ng d¹y: ngun b¶o v­¬ng

- 0946798489

Page | 1


Tài liệu toán 11

năm học 2018

n(n + 1)(2n + 1)
1. 12 + 2 2 + ... + (n 1)2 + n 2 =
6
Bi 2 Chng minh cỏc ng thc sau
n ( n + 1)( n + 2 )
1. 1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) =
vi n 1
3

n ( n + 1)
3. 1 + 2 + 3 + ... + n =


2


3

5.

3

3

3

2

2.

1 2
n 3 2n + 3
+
+ ... +
=
2
3 3
3n 4 4.3n

2.

1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
1.5 5.9 9.13
4n
+1
( 4n 3 )( 4n + 1)



4
4

4
4
4. 1 1 1 ... 1
1
9
25

( 2n 1)2


1
1
1
n
+
+ ... +
=
1.2 2.3
n(n + 1) n + 1

+ ... + (n 1).n 2
6. 1.2 2 + 2.32 + 3.4 2 =

2n(n + 1)(2n + 1)
7. 2 2 + 4 2 + ... + (2n)2 =
3


1 + 2n
=

1 2n


n(n 2 1)(3n + 2)
, n 2
12

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
8. 1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) =
4
Vi mi n * .

n(n 2 1)(3n + 2)
9. 1.2 2 + 2.32 + 3.4 2 + ... + (n 1).n 2 =
vi n 2 .
12
1
1
1
n(n + 3)
Vi mi n * .
10.
+
+ ... +
=
1.2.3 2.3.4
n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2)
Bi 3
1. Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 1 ta cú:
2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 =

2 cos


2

n +1

(n du cn)

nx
(n + 1)x
sin
sin
2
2
vi x k2 vi n 1 .
2. Chng minh cỏc ng thc sin x + sin 2x + ...sin nx =
x
sin
2
Bi 4 Chng minh rng vi mi n 1 ta cú bt ng thc:
sin nx n sin x x
Bi 5
n


1
1. Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 1 , ta cú : 1 + < 3
n

2. 3n > 3n + 1 vi mi s t nhiờn n 2 ;
2.4.6.2n
> 2n + 1 vi mi s t nhiờn n 1 ;
3.
1.3.5... ( 2n 1)
Bi 6 Cho hm s f xỏc nh vi mi x v tho món iu kin : f(x + y) f(x).f(y), x, y

(*). Chng minh

2n

x
rng vi mi s thc x v mi s t nhiờn n ta cú : f ( x ) f
n
2
Bi 7 Chng minh cỏc bt ng thc sau
1 1
1
1
1
1
1
1. 1 + + + ... +
2. n < 1 +
<2
+
.... +
2 n
n 2
2

4 9
n
2
3
n
n

4. 2 n > 2n + 1 n 3
3. tan n > n tan vi 0 < <
4 ( n 1)
5. 2 n + 2 > 2n + 5, (n * )

6. 3n 1 > n(n + 2); (n * , n 4)

7. 2 n 3 > 3n 1; (n * , n 8)

8. (n + 1)cos

9.

1 3 5 2n + 1
1
. . ....
<
2 4 6 2n + 2
3n + 4

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

n cos 1 vi n 1
n+1
n
1 1
1
10. 1 + + + ... +
< n ;(n * , n 2) .
2 3
2n 1
Page | 2


Tµi liƯu to¸n 11

Bài 8 Cho tổng: S n =

n¨m häc 2018

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
(2n − 1)(2n + 1)

1. Tính S1 ; S 2 ; S 3 ; S 4
2. Dự đốn cơng thức tính S n và chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Bài 9 Cho hàm số f :  →  , n ≥ 2 là số ngun . Chứng minh rằng nếu

x+y
f(x) + f(x)
≥ f
 ∀x, y ≥ 0 (1) thì ta có
2
 2 

 x + x 2 + ... + x n 
f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x n )
≥ f 1
 ∀xi ≥ 0 , i = 1, n (2).
n
n



Vấn đề 2. Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học
1. các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: a n = 16 n – 15n – 1 225
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì A(n) = 7 n + 3n − 1 ln chia hết cho 9
Ví dụ 3. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: Bn = ( n + 1)( n + 2 )( n + 3 )…. ( 3n ) 3n
Ví dụ 4. Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả khơng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tất cả
các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác nhau khơng nhỏ hơn n.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n ≥ 3) bằng (n − 2)1800 .

1i. Bài tập tự luận tự luyện

Bài 1 Cho n là số ngun dương.Chứng minh rằng:

1. n(2n 2 − 3n + 1) chia hết cho 6.

2. 11n +1 + 12 2n −1 chia hết cho 133

3. n7 − n chia hết cho 7

4. 13n − 1 chia hết cho 6

5. n 5 − n chia hết cho 5 với mọi n ≥ 1

6. 16 n − 15n − 1 chia hết cho 225 với mọi n ≥ 1

7. 4.32n +1 + 32n − 36 chia hết cho 64 với mọi n ≥ 1 .
Bài 2

1. Chứng minh rằng với ∀n ≥ 2 , ta ln có a n =
( n + 1)( n + 2 ) ... ( n + n ) chia hết cho 2n .
2. Cho a, b là nghiệm của phương trình x 2 − 27x + 14 =
0
Đặt S ( n=
) a n + bn . Chứng minh rằng với mọi số ngun dương n thì S(n) là một số ngun khơng chia hết cho 715.

f(1) 1,f(2)
= 2 và f(n + 2)= 2f(n + 1) + f(n) .
3. Cho hàm số f :  →  thỏa=
( 1)n

Chứng minh rằng: f 2 (n + 1) − f(n + 2)f(n) =−
n

4. Cho pn là số ngun tố thứ n . Chứng minh rằng: 2 2 > pn .

5. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên khơng vượt qua n! đều có thể biểu diễn thành tổng của khơng q n ước số đơi một
khác nhau của n! .
n
n
Bài 3 Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình : x 2 − 6x + 1 =
0 . Đặt a=
n x1 + x 2 . Chứng minh rằng :

1. =
a n 6a n −1 − a n − 2

∀n ≥ 2 .

2. a n là một số ngun và a n khơng chia hết cho 5 với mọi n ≥ 1 .
Bài 4
1. Trong khơng gian cho n mặt phẳng phân biệt ( n ≥ 1 ), trong đó ba mặt phẳng ln cắt nhau và khơng có bốn mặt phẳng
nào có điểm chung. Hỏi n mặt phẳng trên chia khơng gian thành bao nhiêu miền?
2. Cho n đường thẳng nằm trong mặt phẳng trong đó hai đường thẳng bất kì ln cắt nhau và khơng có ba đường thẳng nào
đồng quy. Chứng minh rằng n đường thẳng này chia mặt phẳng thành

n2 + n + 2
miền.
2

Bài 5

Gi¶ng d¹y: ngun b¶o v­¬ng

- 0946798489

Page | 3


Tài liệu toán 11

năm học 2018

1. Cho a, b,c,d,m l cỏc s t nhiờn sao cho a + d , (b 1)c , ab a + c chia ht cho m . Chng minh rng

x n = a.bn + cn + d chia ht cho m vi mi s t nhiờn n .

2. Chng minh rng t n + 1 s bt kỡ trong 2n s t nhiờn u tiờn luụn tỡm c hai s l bi ca nhau.

1ii. Baứi taọp traộc nghieọm tửù luyeọn

Cõu 1. Dựng quy np chng minh mnh cha bin A n
ỳng vi mi s t nhiờn n p ( p l mt s t nhiờn). bc
1 (bc c s) ca chng minh quy np, bt u vi n bng:
A. n 1.

B. n p.

C. n p.

Cõu 5. Cho Sn

Mnh no sau õy ỳng?

D. n p.

A. S3

1
1
. B. S2 .
6
12

Cõu 2. Dựng quy np chng minh mnh cha bin A n
ỳng vi mi s t nhiờn n p ( p l mt s t nhiờn). bc Cõu 6. Cho Sn
2 ta gi thit mnh A n ỳng vi n k . Khng nh no
sau õy l ỳng?
A. k p.

B. k p.

C. k p.

1
1
1
1


...

vi n * .
n.n 1
1 2 2 3 3 4

Cõu 3. Khi s dng phng phỏp quy np chng minh mnh
cha bin A n ỳng vi mi s t nhiờn n p ( p l mt

1
1
1
1


...
vi n * .
1 2 2 3 3 4
n.n 1

A. Sn

n 1
.
n

B. Sn

n
.
n 1

C. Sn

n 1
.
n2

D. Sn

n2
.
n 3

s t nhiờn), ta tin hnh hai bc:
Cõu

Bc 2, gi thit mnh A n ỳng vi s t nhiờn bt k
n k p v phi chng minh rng nú cng ỳng vi
n k 1.
Trogn hai bc trờn:
A. Ch cú bc 1 ỳng.
C. C hai bc u ỳng.

7.

Cho

7, n * '' * nh sau:

A. Sn

n 1
.
2n 1

B. Sn

n
.
2n 1

C. Sn

n
.
3n 2

D. Sn

n2
.
2n 5

vi

n . Mnh no sau õy ỳng?

A. P

n 1
.

n2

B. P

n 1
.
2n

C. P

n 1
.
n

D. P

n 1
.
2n

Gi s * ỳng vi n k , tc l 8k 1 chia ht cho 7.
Ta cú: 8

1
1
1

...
1 3 3 5
2n 1 2n 1

1
1
1
Cõu 8. Cho Pn 1 2 1 2 ...1 2 vi n 2 v
2 3 n

D. C hai bc u sai.

1 8 8 1 7 , kt hp vi gi thit 8 1
k

k

Sn

n * . Mnh no sau õy ỳng?

B. Ch cú bc 2 ỳng.

Cõu 4. Mt hc sinh chng minh mnh ''8n 1 chia ht cho

k 1

1
D. S3 .
4

Mnh no sau õy ỳng?

D. k p.

Bc 1, kim tra mnh A n ỳng vi n p.

2
C. S2 .
3

chia ht cho 7 nờn suy ra c 8 k 1 1 chia ht cho 7. Vy
ng thc * ỳng vi mi n * .
Khng nh no sau õy l ỳng?

Cõu 9. Vi mi n * , h thc no sau õy l sai?
A. 1 2 ... n

A. Hc sinh trờn chng minh ỳng.

n n 1
2

B. 1 3 5 ... 2n 1 n 2 .

B. Hc sinh chng minh sai vỡ khụng cú gi thit qui np.
C. Hc sinh chng minh sai vỡ khụng dựng gi thit qui np.

C. 12 2 2 ... n 2

n n 12n 1
6

D. Hc sinh khụng kim tra bc 1 (bc c s) ca
phng phỏp qui np.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 4


Tài liệu toán 11

năm học 2018
2

D. 2 2 4 2 6 2 2n

2n n 12n 1
6

.

1
1
1
13
.

...

n 1 n 2
2n 24

Mnh no ỳng?

Cõu 10. Xột hai mnh sau:
I) Vi mi n * , s n 3 3n 2 5n chia ht cho 3.

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

II) Vi mi n * , ta cú

- 0946798489

A. Ch I.

B. Ch II.

C. Khụng cú. D. C I v II.

Page | 5


Tài liệu toán 11

năm học 2018

1.PHNG PHP QUY NP TON HC

Ni dung phng phỏp quy np toỏn hc

Cho n 0 l mt s nguyờn dng v P(n) l mt mnh cú ngha vi mi s t nhiờn n n 0 . Nu
(1) P(n 0 ) l ỳng v
(2) Nu P(k) ỳng, thỡ P(k + 1) cng ỳng vi mi s t nhiờn k n 0 ;
thỡ mnh P(n) ỳng vi mi s t nhiờn n n 0 .

Khi ta bt gp bi toỏn:
Chng minh mnh P(n) ỳng vi mi s t nhiờn n n 0 , n 0 ta cú th s dng phng phỏp quy np nh sau
Bc 1: Kim tra P(n 0 ) cú ỳng hay khụng. Nu bc ny ỳng thỡ ta chuyn qua bc hai
Bc 2: Vi k n 0 , gi s P(k) ỳng ta cn chng minh P(k + 1) cng ỳng.
Kt lun: P(n) ỳng vi n n 0 .

Lu ý: Bc 2 gi l bc quy np, mnh P(k) ỳng gi l gi thit quy np.

Vn 1. Dựng quy np chng minh ng thc. Bt ng thc

Phng phỏp .
Phng phỏp: Gi s cn chng minh ng thc P(n) = Q(n) (hoc P(n) > Q(n) ) ỳng vi n n 0 , n 0 ta thc

hin cỏc bc sau:
Bc 1: Tớnh P(n 0 ), Q(n 0 ) ri chng minh P(n 0 ) = Q(n 0 )

= Q(k); k ,k n 0 , ta cn chng minh
Bc 2: Gi s P(k)

P(k + 1)= Q(k + 1) .
Cỏc vớ d
Vớ d 1.

n(n + 1)
Chng mỡnh vi mi s t nhiờn n 1 ta luụn cú: 1 + 2 + 3 + ... + n =

2
Li gii.
n(n + 1)
t P(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n : tng n s t nhiờn u tiờn : Q(n) =
2
= Q(n) n ,n 1 .
Ta cn chng minh P(n)
P(1) 1,=
Q(1)
=
Bc 1: Vi n = 1 ta cú

1(1 + 1)
= 1
2

P(1) = Q(1) (1) ỳng vi n = 1 .
Bc 2: Gi s P(k) = Q(k) vi k , k 1 tc l:
k(k + 1)
1 + 2 + 3 + ... + k =
(1)
2
Ta cn chng minh P(k + 1)= Q(k + 1) , tc l:
(k + 1)(k + 2)
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) =
(2)
2
Tht vy: VT(2) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k + 1)
k(k + 1)
+ (k + 1)

(Do ng thc (1))
2
k
(k + 1)(k + 2)
= (k + 1)( + 1) =
= VP(2)
2
2
Vy ng thc cho ỳng vi mi n 1 .
Vớ d 2.
=

n2
Chng minh vi mi s t nhiờn n 1 ta luụn cú: 1 + 3 + 5 + ... + 2n 1 =
Li gii.
2
Vi n = 1 ta cú VT
= 1, VP
= 1=
1
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 1


Tài liệu toán 11

năm học 2018

= VP ng thc cho ỳng vi n = 1 .
Suy ra VT
Gi s ng thc cho ỳng vi n = k vi k , k 1 tc l:
1 + 3 + 5 + ... + 2k 1 =
k 2 (1)
Ta cn chng minh ng thc cho ỳng vi n= k + 1 , tc l:
1 + 3 + 5 + ... + (2k 1) + (2k + 1) =

( k + 1) 2

(2)

Tht vy: VT(2) = (1 + 3 + 5 + ... + 2k 1) + (2k + 1)

=k 2 + (2k + 1)

(Do ng thc (1))

=(k + 1)2 =VP(1.2)
Vy ng thc cho ỳng vi mi n 1 .
Vớ d 3.
Chng minh rng vi n 1 , ta cú bt ng thc:

1.3.5... ( 2n 1)
2.4.6.2n

<

1

2n + 1

Li gii.
* Vi n = 1 ta cú ng thc cho tr thnh :

1
1
<
2 > 3 ỳng.
2
3

ng thc cho ỳng vi n = 1 .
* Gi s ng thc cho ỳng vi n= k 1 , tc l :
1.3.5... ( 2k 1)

1

<

(1)
2.4.6...2k
2k + 1
Ta phi chng minh ng thc cho ỳng vi n= k + 1 , tc l :
1.3.5... ( 2k 1)( 2k + 1)
1
(2)
<
2.4.6....2k ( 2k + 2 )
2k + 3

Tht vy, ta cú :

=
VT(2)

1.3.5...(2k 1) 2k + 1
1
2k + 1
<
=
.
2.4.6...2k
2k + 2
2k + 1 2k + 2

2k + 1
2k + 2

2k + 1
1
<
(2k + 1)(2k + 3) < (2k + 2)2
2k + 2
2k + 3
3 > 1 (luụn ỳng)
Vy ng thc cho ỳng vi mi s t nhiờn n 1 .
Ta chng minh:

Vớ d 4. Chng minh rng vi n 1, x > 0 ta cú bt ng thc:

x n (x n +1 + 1)
xn + 1

x + 1


2

2n +1

. ng thc xy ra khi no?

Li gii.

Vi n = 1 ta cn chng minh:

3

x(x 2 + 1) x + 1
2
4

8x(x + 1) (x + 1)
x+1
2



Tc l: x 4 4x 3 + 6x 2 4x + 1 0 (x 1)4 0 (ỳng)
ng thc xy ra khi x = 1 .

Gi s

x k (x k +1 + 1)
xk + 1

x + 1


2

2k +1

, ta chng minh
x k +1 (x k + 2 + 1)
x k +1 + 1

x + 1


2

2k + 3

(*)

Tht vy, ta cú:
2k + 3

2

x + 1
x + 1 x + 1
=





2


2 2
Nờn chng minh (*) ta ch cn chng minh
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

2k +1

2

x + 1 x k (x k +1 + 1)


2
xk + 1

Page | 2

Tài liệu toán 11

năm học 2018

2

x + 1 x k (x k +1 + 1) x k +1 (x k + 2 + 1)



2
xk + 1
x k +1 + 1
2

x + 1
k +1
+ 1)2 x(x k + 2 + 1)(x k + 1) (**)
Hay
(x
2
Khai trin (**) , bin i v rỳt gn ta thu c

x 2k + 2 (x 1)2 2x k +1 (x 1)2 + (x 1)2 0 (x 1)2 (x k +1 1)2 0 BT ny hin nhiờn ỳng. ng thc cú x =
1.
Vy bi toỏn c chng minh.
Chỳ ý: Trong mt s trng hp chng minh mnh P(n) ỳng vi mi s t nhiờn n ta cú th chng minh theo cỏch
sau
Bc 1: Ta chng minh P(n) ỳng vi n = 1 v n = 2 k

Bc 2: Gi s P(n) ỳng vi n= k + 1 , ta chng minh P(n) ỳng vi n = k .
Cỏch chng minh trờn c gi l quy np theo kiu Cauchy (Cụ si).
CC BI TON LUYN TP
Bi 1 Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 1 , ta luụn cú
n(n + 1)(2n + 1)
1. 12 + 2 2 + ... + (n 1)2 + n 2 =
6
1 2
n 3 2n + 3
+ ... +
=
2. +
2
3 3
3n 4 4.3n
Bi 2 Chng minh cỏc ng thc sau
n ( n + 1)( n + 2 )
1. 1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) =
vi n 1
3
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
2.

1.5 5.9 9.13
( 4n 3 )( 4n + 1) 4n + 1
n ( n + 1)
3. 1 + 2 + 3 + ... + n =


2


3

3

3

3

2



4
4
4
4
4. 1 1 1 ... 1

1
9
25

( 2n 1)2

1
1
1
n
+
+ ... +
=
5.
1.2 2.3
n(n + 1) n + 1


1 + 2n
=
1 2n


n(n 2 1)(3n + 2)
, n 2
12
2n(n + 1)(2n + 1)
7. 2 2 + 4 2 + ... + (2n)2 =
3
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

8. 1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) =
4
Vi mi n * .
6. 1.2 2 + 2.32 + 3.4 2 =
+ ... + (n 1).n 2

n(n 2 1)(3n + 2)
9. 1.2 2 + 2.32 + 3.4 2 + ... + (n 1).n 2 =
12
vi n 2 .
1
1
1
n(n + 3)
+
+ ... +
=
10.
1.2.3 2.3.4
n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2)
Vi mi n * .
Bi 3
1. Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 1 ta cú:
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 3

Tài liệu toán 11

năm học 2018

2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 =
2 cos


2

n +1

(n du cn)

nx
(n + 1)x
sin
sin
2
2
2. Chng minh cỏc ng thc sin x + sin 2x + ...sin nx =
vi x k2 vi n 1 .
x
sin
2
Bi 4 Chng minh rng vi mi n 1 ta cú bt ng thc:
sin nx n sin x x
Bi 5
n

1

1. Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 1 , ta cú : 1 + < 3
n

2. 3n > 3n + 1 vi mi s t nhiờn n 2 ;
2.4.6.2n
> 2n + 1 vi mi s t nhiờn n 1 ;
3.
1.3.5... ( 2n 1)
Bi 6 Cho hm s f xỏc nh vi mi x v tho món iu kin : f(x + y) f(x).f(y), x, y

x
rng vi mi s thc x v mi s t nhiờn n ta cú : f ( x ) f
n
2
Bi 7 Chng minh cỏc bt ng thc sau
1 1
1
1
<2
1. 1 + + + ... +
n 2
2
4 9
n
n
2.

n < 1+

1

2

+

1

3

.... +

1

n

(*). Chng minh

2n

2 n

3. tan n > n tan vi 0 < <


4 ( n 1)

4. 2 n > 2n + 1 n 3
5. 2 n + 2 > 2n + 5, (n * )

6. 3n 1 > n(n + 2); (n * , n 4)
7. 2 n 3 > 3n 1; (n * , n 8)



n cos 1 vi n 1
n+1
n
1 3 5 2n + 1
1
<
9. . . ....
2 4 6 2n + 2
3n + 4
8. (n + 1)cos

10. 1 +

1 1
1
+ + ... +
< n ;(n * , n 2) .
n
2 3
2 1

Bi 8 Cho tng: S n =

1
1

1
1
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
(2n 1)(2n + 1)

1. Tớnh S1 ; S 2 ; S 3 ; S 4
2. D oỏn cụng thc tớnh S n v chng minh bng phng phỏp qui np.
Bi 9 Cho hm s f : , n 2 l s nguyờn . Chng minh rng nu

x+y
f(x) + f(x)
f
x, y 0 (1) thỡ ta cú
2
2

f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x n )
x + x 2 + ... + x n
f 1
xi 0 , i = 1,n (2).
n
n



P N

Bi 1
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 4


Tài liệu toán 11

năm học 2018

1. Bc 1: Vi n = 1 ta cú:
1(1 + 1)(2.1 + 1)
VT =
12 =
1, VP =
=
1 VT =
VP
6
ng thc cho ỳng vi n = 1 .
Bc 2: Gi s ng thc cho ỳng vi n= k 1 , tc l:

k(k + 1)(2k + 1)
12 + 2 2 + ... + (k 1)2 + k 2 =
(1)
6
Ta s chng minh ng thc cho ỳng vi n= k + 1 , tc l cn chng minh:
(k + 1)(k + 1)(2k + 3)

12 + 2 2 + ... + (k 1)2 + k 2 + (k + 1)2 =
(2).
6
Tht võy:
do (1)

+ (k + 1)2
VT(2) = 12 + 2 2 + ... + k 2=



k(k + 1)(2k + 1)
+ (k + 1)2
6

2k 2 + k
(k + 1)(2k 2 + 7k + 6)
= (k + 1)
+ k + 1 =
6
6

(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
= VP(2)
6
(2) ỳng ng thc cho ỳng vi mi n 1 .
2. * Vi n = 1 ta cú VT= 1= VP ng thc cho ỳng vi n = 1
* Gi s ng thc cho ỳng vi n= k 1 , tc l:
1 2
k 3 2k + 3

+
+ ... +
=
(1)
3 32
3k 4 4.3k
Ta s chng minh ng thc cho ỳng vi n= k + 1 , tc l cn chng minh
1 2
k k + 1 3 2k + 5
+
+ ... +
+
=
(2).
3 32
3k 3k +1 4 4.3k +1
Tht vy:
3 2k + 3 k + 1 3 2k + 5
VT(2) =
VP(2)
+
=
=
4 4.3k
3k +1 4 4.3k +1
(2) ỳng ng thc cho ỳng.
Bi 2
1. 1.2 + 2.3 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) =

k(k + 1)(k + 2)

(k + 1)(k + 2)(k + 3)
+ (k + 1)(k + 2) =
.
3
3
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
=
2.
1.5 5.9 9.13
( 4k 3 )( 4k + 1) (4k + 1)(4k + 5)
k
1
k+1
=
+
=
4k + 1 (4k + 1)(4k + 5) 4k + 5
2

2

k(k + 1)

(k + 1)(k + 2)
3.
+ (k + 1)3 =


.
3
3



1 + 2k
4
(2k + 3)(2k 1)(1 + 2k)
2k + 3
=

=
4. 1

2
(2k + 1)2 1 2k
(2k + 1)
(2k + 1) (1 2k)


5,6,7. Bn c t lm
k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
+ (k + 1)(k + 2)(k + 3) =
8.

4
(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)
=
.
4

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 5


Tài liệu toán 11

9.

năm học 2018

k(k 2 1)(3k + 2)
(k 1)(3k + 2)
+ k(k + 1)2 = k(k + 1)
+ 1
12
12



k(k + 1)(3k 2 k 10) (k + 1)k(k + 2)(3k + 5)
.

=
12
12
k(k + 3)
1
+
=
10.
4(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)(k + 3)
=

(k + 1)(k + 4)
k(k + 3)2 + 4
(k + 1)2 (k + 4)
=
.
=
4(k + 1)(k + 2)(k + 3) 4(k + 1)(k + 2)(k + 3) 4(k + 2)(k + 3)
Bi 3
1.


=2
4
VT = VP ng thc cho ỳng vi n = 1 .
* Gi s ng thc cho ỳng vi n = k , tc l:

1 VT =2 , VP =
2 cos
* Vi n =

2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 =
2 cos
Ta s chng minh ng thc cho ỳng vi n= k + 1 , tc l:
2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 =
2 cos

= 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 2 + 2 cos
Tht vy: VT(2)


k dau can

=
2(1 + cos


2

k +1

)=
4 cos 2


2

k+2

=

2 cos


k+2

2
a
2 cos 2 ).
( trờn ta ó s ng cụng thc 1 + cosa =
2
(2) ỳng ng thc cho ỳng.


2

k +1


2

k+2

(k du cn) (1)

( k + 1 du cn) (2).


2

k +1

=
VP(2)

x
sin sin x
2
=
=
=
x, VP
sin x nờn ng thc cho ỳng vi n = 1
2. Vi n = 1 ta
cú VT sin
x
sin
2
Gi s ng thc cho ỳng vi n= k 1 , tc l:
kx
(k + 1)x
sin sin
2
2
sin x + sin 2x + ...sin kx =
(1)
x
sin
2
Ta chng minh (4) ỳng vi n= k + 1 , tc l
(k + 1)x

(k + 2)x
sin
sin
2
sin x + sin 2x + ...sin(k + 1)x = 2
(2)
x
sin
2
kx
(k + 1)x
sin sin
2
2
=
VT(2)
+ sin(k + 1)x
Tht vy:
x
sin
2

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 6


Tài liệu toán 11

năm học 2018


kx
(k + 1)x
x
sin
+ 2 cos
sin
(k + 1)x
2
2
2
= sin


x
2


sin


2
(k + 1)x
(k + 2)x
sin
sin
2

2
= =
VP(2)
x
sin
2
Nờn (2) ỳng. Suy ra ng thc cho ỳng vi mi n 1 .

= sin1.
=
1. sin=
VP nờn ng thc cho ỳng.
Bi 4 * Vi n = 1 ta cú: VT
* Gi s ng thc cho ỳng vi n= k 1 , tc l : sin kx k sin x (1)
Ta phi chng minh ng thc cho ỳng vi n= k + 1 ,tc l :
sin(k + 1) ( k + 1) sin

(2)

Tht vy:
sin ( k + 1=
) sin k cos + cos k sin

sin k . cos + cos k . sin sin k + sin
k sin + sin =

( k + 1) . sin

Vy ng thc cho ỳng vi n= k + 1 , nờn ng thc cho cng ỳng vi mi s nguyờn dng n .
Bi 5

k

1
n2 n

1. Ta chng minh 1 + <
+ + 1 ,1 k n (1) bng phng phỏp quy np theo k . Sau ú cho k = n ta cú (7).
n

k2 k
1
1 1
+ + 1 = VP(1)
* Vi k = 1 VT(1) = 1 + <
n n2 n
(1) ỳng vi k = 1 .
* Gii s (1) ỳng vi k= p, 1 p n , tc l:
p

Ta chng minh (1) ỳng vi k= p + 1 , tc l

p2 p

1
+
<
+ +1
1

n

n2 n

1

1 +
n


1

Tht vy: 1 +
n


p +1

p +1

<

(p + 1)2
n

2

+

(2).

p+1
+ 1 (3).
n

p


1
1 p2 p
1

= 1 + . 1 + <
+ + 1 1 +
2


n
n n
n
n



p2 p2 + p p + 1
p p2 + p p + 1
= +
+
+1
+

+
+1
n
n
n3
n2
n2
n2

<

p2 + 2p + 1
n2

+

p+1
(p + 1)2 p + 1
+ 1=
+
+ 1 (3) ỳng pcm.
n
n
n2

Cỏch khỏc: Khi n = 1 2 < 3 (ỳng) d thy khi n > 1

n

1

1

tin dn v 0 1 + tin gn v 1 .Vy n 1 ta luụn cú
n
n


n


1
1 + < 3
n

2. Vi n = 2 ta cú: VT = 32 = 9 > VP = 3.2 + 1 = 7 nờn ng thc cho ỳng vi n = 1

Gi s ng thc cho ỳng vi n= k 2 , tc l: 3k > 3k + 1 (1)
Ta chng minh ng thc cho ỳng vi n= k + 1 , tc l :
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 7


Tài liệu toán 11

năm học 2018

3k +1 3(k + 1) + 1 = 3k + 4 (2)

Tht vy: 3k +1 = 3.3k > 3(3k + 1) = 3k + 4 + (6k 1) > 3k + 4 nờn (2) ỳng.
Vy bi túan c chng minh.
2
3. Vi n = 1 ta cú: VT= = 2, VP= 3 ng thc cho ỳng vi n = 1
1
Gi s ng thc cho ỳng vi n= k 1 , tc l:
2.4.6.2k
> 2k + 1 (1)
1.3.5... ( 2k 1)
Ta chng minh ng thc cho ỳng vi n= k + 1 , tc l:
2.4.6.2k(2k + 2)
> 2k + 3 (2)
1.3.5... ( 2k 1) (2k + 1)
Tht vy:

2.4.6.2k(2k + 2)
2k + 2 2k + 2
> 2k + 1.
=
2k + 1
1.3.5... ( 2k 1) (2k + 1)
2k + 1

Nờn ta chng minh

2k + 2

2

> 2k + 3 ( 2k + 2 ) > (2k + 1)(2k + 3)

2k + 1
4 > 3 hin nhiờn ỳng.
Vy bi toỏn c chng minh.
Bi 6

1. Trong BT f(x + y) f(x).f(y) thay x v y bng
2

x
, ta c:
2

x x x x
x
f + f .f f ( x ) f( )
2 2 2 2
2
Vy bt ng thc ó cho ỳng vi n = 1 .
Gi s bt ng thc ỳng vi n= k 1 . Ta cú

x
f ( x ) f
k
2
Ta chng minh bt ng thc ỳng vi n= k + 1 , tc l :

2k

x
f ( x ) f
k +1

2
x
Tht vy ta cú : f
k
2

x
x x
+
f

= f



2k + 1 2k + 1 2k + 1

(1)
2k +1

(2)

2

2k
2

x
x
f
f



k + 1
2k

2






2k
2k + 1
x
x
f
f


2k

2k + 1
2k

2k +1

x
Do tớnh cht bc cu ta cú c : f ( x ) f
k +1

2
Bt ng thc ỳng vi n= k + 1 nờn cng ỳng vi mi s t nhiờn n.
Bi 7
1
1
1
1
1
<2

< (hin nhiờn ỳng)
1. 2 +
k (k + 1)2
k+1
k+1 k
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 8

Tài liệu toán 11

năm học 2018

1

> k + 1 k(k + 1) > k (hin nhiờn)
k+1
1
2 k+
< 2 k + 1 2 k(k + 1) < 2k + 1
k+1

2.

k+

2
4k(k + 1) < (2k + 1)=
4k(k + 1) + 1 (hin nhiờn).

=
3. tan(n + 1)

tan n + tan
> (n + 1) tan
1 tan n.tan

tan n + tan > (n + 1) tan (n + 1) tan 2 .tan n

tan n 1 + (n + 1) tan 2 > n tan (ỳng)


4. 2 k +1 > 2(2k + 1) = 2k + 3 + 2k 1 > 2k + 3 .
5. 2 k + 3 = 2.2 k + 2 > 2(2k + 5) = 2(k + 1) + 5 + 2k + 7 > 2(k + 1) + 5
6. 3k = 3.3k 1 > 3k(k + 2) = (k + 1)(k + 2) + 2k 2 + 3k 2

> (k + 1)(k + 2) .

7. 2 k 2 = 2.2 k 3 > 2(3k 1) = 3k + 2 + 3k 4 > 3k + 2
8. Vi n = 1 thỡ bt hin nhiờn ỳng


1 . Ta cn chng minh
Gi s k cos (k 1)cos
k
k 1






(k + 1)cos
k cos 1 k cos
cos 2 sin 2
k+1
k
k+1
k

2(k + 1)


k sin
Ta cú:

(2k + 1)


sin
sin 2
(1)
2k(k + 1)
2k(k + 1)
2(k + 1)

(2k + 1)
(2k + 1)


>
>
> 0 sin
> sin
2 2k(k + 1) 2(k + 1)
2k(k + 1)
2(k + 1)

Mt khỏc: sin nx n sin x k sin

sin
2k(k + 1)
2(k + 1)

T ú ta cú c (1) luụn ỳng.
Vy bi toỏn c chng minh.
1 3 5 2k + 1 2k + 3
1
2k + 3
.
.
<
9. . . ....
2 4 6 2k + 2 2k + 4
2k
+4
3k + 4
V

1

2k + 3
1
<
3k + 4 2k + 4
3k + 7
.

(3k + 7)(2k + 3)2 < (3k + 4)(2k + 4)2 k + 1 > 0 (ỳng).
10. k +

1
2

k +1

1

< k+1

1
2

k +1

1

< 1 (ỳng).

Bi 8

1
2
3
4
=
,S 2 =
; S3 =

,S 4
3
5
7
9
n
2. D oỏn cụng thc S n =
.
2n + 1

S1
1. Ta cú=

Bi 9 Ta chng minh (2) ỳng vi n = 2 k , k 1
* Vi k = 1 thỡ (8.2) ỳng (do (1))
* Gi s (2) ỳng vi n = 2 k , ta chng minh (2) ỳng vi n = 2 k +1
x1 + ... + x k
2
Tht vy: f(x1 ) + ...f(x k ) 2 k f
k
2


2



Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 9


Tài liệu toán 11

năm học 2018

x
+ ... + x k +1
k 2 k +1
2

)

2
f
k
2 k +1
2 k +1


2


x1 + ... + x k
x k + ... + x k +1
2
2
+ 2 k f 2 +1

Do ú: f(x1 ) + ...f(x k +1 ) 2 k f
k
k
2



2
2



x1 + ... + x k + x k + ... + x k +1
2
2 +1
2
.
2 k +1 f
k +1


2


f(x

) + ...f(x

Do vy (2) ỳng vi mi n = 2 k .
Gi s (2) ỳng vi mi n = k + 1 3 , tc l

f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x k +1 )
k+1

Ta chng minh (8.2) ỳng vi n = k , tc l
f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x k )

k

Tht
vy: t x k +1
=






x + x 2 + ... + x k +1
f 1
(3)
k+1



x + x 2 + ... + x k
f 1
(4)
k

x1 + x 2 + ... + x k x
, ỏp dng (3) ta cú
=
k
k
x

x
f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x k ) + f
x1 + x 2 + ... +

k
f
k

k+1
k
+
1





Hay

f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x k )

x + x 2 + ... + x k

f 1
.
k



k
Vy bi toỏn c chng minh.
Chỳ ý: Chng minh tng t ta cng cú bi toỏn sau
f(x) + f(y)
f( xy) x, y 0 (a) thỡ ta cú
Nu
2
f(x1 ) + f(x 2 ) + ... + f(x n )
f
n

(

n

x1x 2 ...x n

)

1,n (b).
vi xi 0, i =

Vn 2. ng dng phng phỏp quy np trong s hc v trong hỡnh hc
Cỏc vớ d

Vớ d 1.
Cho n l s t nhiờn dng. Chng minh rng: a n = 16 n 15n 1 225
Li gii.
Vi n = 1 ta cú: a1= 0 a1 225 .

Gi s a k = 16 k 15k 1 225 , ta chng minh
k +1
a k +=
15(k + 1) 1 225
1 16

(

Th vy: a k +1 = 16.16 k 15k 16 = 16 k 15k 1 15 16 k 1

(

=
a k 15 16 k 1

(

)

)
)

k
Vỡ 16
=

1 15. 16 k 1 + 16 k 2 + ... + 1 15 v a k 225

Nờn ta suy ra a k +1 225 . Vy bi toỏn c chng minh
Vớ d 2. Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 1 thỡ A(n) = 7 n + 3n 1 luụn chia ht cho 9
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 10


Tài liệu toán 11

năm học 2018

Li gii.
* Vi n = 1 A(1) = 7 1 + 3.1 1 = 9 A(1) 9
* Gi s A(k) 9 k 1 , ta chng minh A(k + 1) 9
Tht vy: A(k + 1) = 7 k +1 + 3(k + 1) 1 = 7.7 k + 21k 7 18k + 9
A(k +=
1) 7A(k) 9(2k 1)

A(k) 9
A(k + 1) 9
Vỡ
9(2k 1) 9
Vy A(n) chia ht cho 9 vi mi s t nhiờn n 1 .
Vớ d 3. Cho n l s t nhiờn dng. Chng minh rng: Bn = ( n + 1)( n + 2 )( n + 3 ). ( 3n ) 3n
Li gii.
Vi n = 1 , ta cú : B1 = 2.3 3

Gi s mnh ỳng vi n = k, tc l :
Bk = ( k + 1)( k + 2 )( k + 3 )( 3k ) 3k
Ta chng minh : Bk +1 = ( k + 2 )( k + 3 )( k + 4 ) 3 ( k + 1) 3k +1

Bk +1=3 ( k + 1)( k + 2 )( k + 3 )( 3k )( 3k + 1)( 3k + 2 )

= 3Bk ( 3k + 1)( 3k + 2 )
M Bk 3k nờn suy ra Bk +1 3k +1 .
Vy bi toỏn c chng minh.
Vớ d 4. Trong mt mt phng cho n im ri nhau (n > 2) tt c khụng nm trờn mt ng thng. Chng minh rng tt c
cỏc ng thng ni hai im trong cỏc im ó cho to ra s ng thng khỏc nhau khụng nh hn n.
Li gii.
Gi s mnh ỳng vi n= k 3 im.
Ta chng minh nú cng ỳng cho n= k + 1 im.
Ta cú th chng minh rng tn ti ớt nht mt ng thng ch cha cú hai im. Ta kớ hiu ng thng i qua hai im
A n v A n +1 l A n A n +1 . Nu nhng im A1 ,A 2 ,...,A n nm trờn mt ng thng thỡ s lng cỏc ng thng s
ỳng l n + 1 : Gm n ng thng ni A n +1 vi cỏc im A1 ,A 2 ,...,A n v ng thng chỳng ni chung. Nu

A1 ,A 2 ,...,A n khụng nm trờn mt ng thng thỡ theo gi thit quy np cú n ng thng khỏc nhau. Bõy gi ta thờm cỏc
ng thng ni A n +1 vi cỏc im A1 ,A 2 ,...,A n . Vỡ ng thng A n A n +1 khụng cha mt im no trong

A1 ,A 2 ,...,A n 1 , nờn ng thng ny khỏc hon ton vi n ng thng to ra bi A1 ,A 2 ,...,A n . Nh vy s ng
thng to ra cng khụng nh hn n + 1.
Vớ d 5.
Chng minh rng tng cỏc trong mt n giỏc li (n 3) bng (n 2)1800 .
Li gii.

Vi n = 3 ta cú tng ba gúc trong tam giỏc bng 1800
Gi s cụng thc ỳng cho tt c k-giỏc, vi k < n , ta phi chng minh mnh cng ỳng cho n-giỏc. Ta cú th chia ngiỏc bng mt ng chộo thnh ra hai a giỏc. Nu s cnh ca mt a giỏc l k+1, thỡ s cnh ca a giỏc kia l n k + 1,

hn na c hai s ny u nh hn n. Theo gi thit quy np tng cỏc gúc ca hai a giỏc ny ln lt l ( k 1) 1800 v

( n k 1) 1800 .
1) 1800 =
Tng cỏc gúc ca n-giỏc bng tng cỏc gúc ca hai a giỏc trờn, ngha l ( k 1 + nk

( n 2 ) 1800 .

Suy ra mnh ỳng vi mi n 3 .
CC BI TON LUYN TP
Bi 1 Cho n l s nguyờn dng.Chng minh rng:
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 11


Tài liệu toán 11

năm học 2018

1. n(2n 2 3n + 1) chia ht cho 6.
2. 11n +1 + 12 2n 1 chia ht cho 133
3. n7 n chia ht cho 7
4. 13n 1 chia ht cho 6
5. n 5 n chia ht cho 5 vi mi n 1
6. 16 n 15n 1 chia ht cho 225 vi mi n 1
7. 4.32n +1 + 32n 36 chia ht cho 64 vi mi n 1 .
Bi 2

1. Chng minh rng vi n 2 , ta luụn cú a n =
( n + 1)( n + 2 ) ... ( n + n ) chia ht cho 2n .

0
2. Cho a, b l nghim ca phng trỡnh x 2 27x + 14 =
t S ( n=
) a n + bn . Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n thỡ S(n) l mt s nguyờn khụng chia ht cho 715.

f(1) 1,f(2)
= 2 v f(n + 2)= 2f(n + 1) + f(n) .
3. Cho hm s f : tha=
( 1)n
Chng minh rng: f 2 (n + 1) f(n + 2)f(n) =
n

4. Cho pn l s nguyờn t th n . Chng minh rng: 2 2 > pn .

5. Chng minh rng mi s t nhiờn khụng vt qua n! u cú th biu din thnh tng ca khụng quỏ n c s ụi mt
khỏc nhau ca n! .

0 . t a=
Bi 3 Gi x1 ,x 2 l hai nghim ca phng trỡnh : x 2 6x + 1 =
x1n + x n2 . Chng minh rng :
n
a n 6a n 1 a n 2
1. =

n 2 .

2. a n l mt s nguyờn v a n khụng chia ht cho 5 vi mi n 1 .
Bi 4
1. Trong khụng gian cho n mt phng phõn bit ( n 1 ), trong ú ba mt phng luụn ct nhau v khụng cú bn mt phng
no cú im chung. Hi n mt phng trờn chia khụng gian thnh bao nhiờu min?
2. Cho n ng thng nm trong mt phng trong ú hai ng thng bt kỡ luụn ct nhau v khụng cú ba ng thng no
ng quy. Chng minh rng n ng thng ny chia mt phng thnh

n2 + n + 2
min.
2

Bi 5
1. Cho a, b,c,d, m l cỏc s t nhiờn sao cho a + d , (b 1)c , ab a + c chia ht cho m . Chng minh rng
x n = a.bn + cn + d chia ht cho m vi mi s t nhiờn n .

2. Chng minh rng t n + 1 s bt kỡ trong 2n s t nhiờn u tiờn luụn tỡm c hai s l bi ca nhau.

P N

Bi 1
1. t a n= n(2n 2 3n + 1)= 2n 3 3n 2 + n
Ta cú: a n +1 = 2(n + 1)3 3(n + 1)2 + n + 1 = a n + 6n 2 .
2. t=
a n 11n +1 + 12 2n 1
Ta cú: a n +1 =
11.11n +1 + 12 2.12 2n 1 =
11.a n + 133.12 2n 1
3. t a=
n7 n
n

7

Ta cú a n +1 = (n + 1)7 (n + 1) = a n +1 = a n + C7k n7 k
i =1

7!
=
,1 k 7 luụn chia ht cho 7 .
M C7k
k!(7 k)!
4. t a n= 13n 1 a n +1= 13a n + 12
5. t a=
n 5 n thỡ ta cú: a k +1 a k = (k + 1)5 k 5 1 = 5k(k 3 + 2k 2 + 2k + 1) .
n
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 12


Tài liệu toán 11

năm học 2018

(

6. t a n = 16 n 15n 1 thỡ ta cú: a k +1 = 16 k +1 15k 16 = a k + 15. 16 k 1

)

7. t a=
4.32n +1 + 32n 36 thỡ ta cú: a k +1 = 4.32k + 3 + 32(k + 1) 36 = a k + 32(32k +1 + 1)
n
Bi 2

1. * Vi n = 2 , ta cú : a 2 = ( 2 + 1)( 2 + 2 ) = 12 a 2 4 = 2 2 .
* Gi s a k 2 k ta chng minh a k +1 2 k +1 . Tht vy:

a k +1 =
=

=
=

( k + 1 + 1)( k + 1 + 2 ) ... ( k + k + 1 + 1)
( k + 2 )( k + 3 ) ... ( k + k + 2 )
( k + 2 )( k + 3 ) ... ( k + k )( k + k + 1)( k + k + 2 )
( k + 1)( k + 2 )( k + 3 ) ... ( k + k ) .2. ( k + k=
+ 1)


k

Do a k 2 2a k 2

2a k .(k 2 + k + 1)

ak
k +1

a k +1 2 k +1 pcm.

= 27S(n 1) 14S(n 2) ri dựng quy np chng minh S(n) chia ht cho 751 .
2. Ta cú: S(n)
3.
2 2 5.1 =
( 1)1
Ta cú: f(3) = 2f(2) + f(1) = 5 , nờn f 2 (2) f(3)f(1) =
Suy ra ng thc cho ỳng vi n = 1 .
Gi s ng thc cho ỳng vi n = k , tc l:

f 2 (k + 1) f(k + 2)f(k) =
( 1)k (1)
Ta chng minh ng thc cho ỳng vi n= k + 1 , tc l:
f 2 (k + 2) f(k + 3)f(k + 1) =
( 1)k +1 (2)
Ta cú:

f 2 (k + 2) f(k + 3)f(k + 1)= f 2 (k + 2) 2f(n + 2) + f(n + 1) f(k + 1)

=f(k + 2) f(k + 2) 2f(k + 1) f 2 (k + 1)
= f(k + 2)f(k) f 2 (k + 1) = ( 1)k = ( 1)k +1
Vy bi toỏn c chng minh.
4. Trc ht ta cú nhn xột: p1 .p2 ...pn + 1 > pn +1
1

Vi n = 1 ta cú: 2 2 =4 > p1 =2
k

Gi s 2 2 > pk k n , ta cn chng minh 2 2
1

2

Tht vy, ta cú: 2 2 .2 2 ...2 2

pk

1 + 22 +...+ 2k

Suy ra 2 2

k +1

> pk +1

+ 1 > p1 .p2 ...pk + 1 > pk +1
2k +1 1

k +1

> pk +1 2 2
+ 1 > pk +1 2 2
> pk +1
Vy bi toỏn c chng minh
5.
Vi n = 1 bi toỏn hin nhiờn ỳng.
Gi s bi toỏn ỳng vi n = k , ta chng minh bi toỏn ỳng vi n= k + 1
a (k + 1)! thỡ bi toỏn hin nhiờn ỳng

Nu =
Ta xột a < (k + 1)! , ta cú: a =(k + 1)d + r vi d < k!,r < k + 1
Vỡ d < k! nờn d = d1 + d 2 + ... + d k vi di (i = 1,k) l cỏc c ụi mt khỏc nhau ca k!
Khi ú: a = (k + 1)d1 + (k + 1)d 2 + ... + (k + 1)d k + r
Vỡ (k + 1)di ,r l cỏc c ụi mt khỏc nhau ca (k + 1)!

Vy bi toỏn c chng minh.
Bi 3
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 13


Tài liệu toán 11

năm học 2018

1. Ta cú: a n =
(x1 + x 2 )(x1n 1 + x 2n 1 ) x1x 2 (x1n 2 + x1n 2 )

6
x + x 2 =
nờn ta cú:
Theo nh lớ Viột: 1
x1x 2 = 1
a n = 6(x1n 1 + x n2 1 ) (x1n 2 + x1n 2 ) = 6a n 1 a n 2 .

2.

* Vi n =1 a1 =x1 + x 2 =6 a1
V a1 khụng chia ht cho 5
* Gi s a k v a k khụng chia ht cho 5 vi mi k 1 .
Ta chng minh a k +1 v a k +1 khụng chia ht cho 5.
Do a k=
+1 6a k a k 1
M a k ,a k 1 a k +1 .
Mt khỏc: a k +1 = 5a k + (a k a k 1 ) = 5a k + 5a k 1 a k 2

5a 5
Vỡ a k 2 khụng chia ht cho 5 v k
nờn suy ra a k +1 khụng chia ht cho 5.
5a k 1 5
Bi 4
1. Gi s n mt phng chia khụng gian thnh a n min
Ta chng minh c: a n +=
1 an +

n2 + n + 2
2

(n + 1)(n 2 n + 6)
.
6
2. Gi a n l s min do n ng thng trờn to thnh.
T ú ta tớnh c: a n =

Ta cú: a1 = 2 .

Ta xột ng thng th n + 1 (ta gi l d ), khi ú d ct n ng thng ó cho ti n im v b n ng thng chia

thnh n + 1phn ng thi mi phn thuc mt min ca a n . Mt khỏc vi mi on nm trong min ca a n s chia min
ú thnh 2 min, nờn s min cú thờm l n + 1 . Do vy, ta cú: a n +1 = a n + n + 1
T õy ta cú: a n =

n2 + n + 2
.
2

Bi 5
1.
Vi n = 0 ta cú x0= a + d m

Gi s x k = a.bk + ck + d m vi k 0, k , ta chng minh
k +1
x k=
+ c(k + 1) + d m . Tht vy:
+1 a.b

+ c bk ( ab a + c ) c.bk + c
x k +1 =
x k a.bk +1 a.bk =

(

= bk ( ab a + c ) c(b 1) bk 1 + bk 2 + ... + 1

)

M x k ,ab a + c,c(b 1) m x k +1 m

Vy bi toỏn c chng minh.
2.
Vi n = 1 ta thy bi toỏn hin nhiờn ỳng
Gi s bi toỏn ỳng vi n 1 , cú ngha l: t n s bt kỡ trong 2n 2 s t nhiờn u tiờn luụn tỡm c hai s l bi
ca nhau.
Ta chng minh bi toỏn ỳng vi n , tc l: t n + 1 s bt kỡ trong 2n s t nhiờn u tiờn luụn tỡm c hai s l bi ca
nhau.
Ta chng minh bng phn chng:

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 14


Tài liệu toán 11

năm học 2018

Gi s tn ti mt tp con X cú n + 1 phn t ca tp A = {1,2,...,2n} sao cho hai s bt kỡ trong X khụng l bi ca
nhau.
Ta s chng minh rng cú mt tp con X ' gm n phn t ca tp
{1,2,...,2n 2} sao cho hai phn t bt kỡ ca X ' khụng l bi ca nhau
chng minh iu ny ta xột cỏc trng hp sau õy
TH 1: X khụng cha 2n v 2n 1
Ta b i mt phn t bt kỡ ca tp X ta c mt tp X ' gm n phn t v l tp con ca {1,2,...,2n 2} m hai phn t
bt kỡ thuc X ' khụng l bi ca nhau.
TH 2: X cha 2n m khụng cha 2n 1
Ta b i phn t 2n thỡ ta thu c tp X ' gm n phn t v l tp con ca {1,2,...,2n 2} m hai phn t bt kỡ thuc

X ' khụng l bi ca nhau.
TH 3: X cha 2n 1 m khụng cha 2n
Ta b i phn t 2n 1 thỡ ta thu c tp X ' gm n phn t v l tp con ca {1,2,...,2n 2} m hai phn t bt kỡ thuc
X ' khụng l bi ca nhau.
TH 2: X cha 2n v 2n 1
Vỡ X khụng cha hai s l bi ca nhau nờn X khụng cha n v c ca n (Vỡ nu cha c ca n thỡ s ú l c ca
2n )
Bõy gi trong X , ta b i hai phn t 2n 1 v 2n ri b sung thờm n vo thỡ ta thu c tp X ' gm n phn t v l
tp con ca {1,2,...,2n 2} m hai phn t bt kỡ thuc X ' khụng l bi ca nhau.

Nh vy ta luụn thu c mt tp con X ' gm n phn t ca tp {1,2,...,2n 2} m cỏc phn t khụng l bi ca nhau.
iu ny trỏi vi gi thit quay np.
Vy bi toỏn c chng minh theo nguyờn lớ quy np.

P N TRC NGHIM

Cõu 1. Dựng quy np chng minh mnh cha bin A n ỳng vi mi s t nhiờn n p ( p l mt s t nhiờn). bc 1
(bc c s) ca chng minh quy np, bt u vi n bng:
A. n 1.

C. n p.

B. n p.

D. n p.

Li gii. Chn B.
Cõu 2. Dựng quy np chng minh mnh cha bin A n ỳng vi mi s t nhiờn n p ( p l mt s t nhiờn). bc 2 ta
gi thit mnh A n ỳng vi n k . Khng nh no sau õy l ỳng?
A. k p.

B. k p.

C. k p.

D. k p.

Li gii. Chn B.
Cõu 3. Khi s dng phng phỏp quy np chng minh mnh cha bin A n ỳng vi mi s t nhiờn n p ( p l mt s
t nhiờn), ta tin hnh hai bc:

Bc 1, kim tra mnh A n ỳng vi n p.

Bc 2, gi thit mnh A n ỳng vi s t nhiờn bt k n k p v phi chng minh rng nú cng ỳng vi n k 1.
Trogn hai bc trờn:
A. Ch cú bc 1 ỳng.

B. Ch cú bc 2 ỳng.

C. C hai bc u ỳng.

D. C hai bc u sai.

Li gii. Chn C.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 15

Tài liệu toán 11

năm học 2018

Cõu 4. Mt hc sinh chng minh mnh ''8n 1 chia ht cho 7, n * ''

* nh sau:

Gi s * ỳng vi n k , tc l 8k 1 chia ht cho 7.
Ta cú: 8k 1 1 8 8k 1 7 , kt hp vi gi thit 8k 1 chia ht cho 7 nờn suy ra c 8k 1 1 chia ht cho 7. Vy ng
thc * ỳng vi mi n * .
Khng nh no sau õy l ỳng?
A. Hc sinh trờn chng minh ỳng.
B. Hc sinh chng minh sai vỡ khụng cú gi thit qui np.
C. Hc sinh chng minh sai vỡ khụng dựng gi thit qui np.
D. Hc sinh khụng kim tra bc 1 (bc c s) ca phng phỏp qui np.
Li gii. Chn D. Thiu bc 1 l kim tra vi n 1 , khi ú ta cú 81 1 9 khụng chi ht cho 7.
Cõu 5. Cho Sn

A. S3

1
1
1
1


...
vi n * . Mnh no sau õy ỳng?

n.n 1
1 2 2 3 3 4

1
.
12

1
B. S2 .
6

Li gii. Nhỡn vo uụi ca Sn l

Do ú vi n 2 , ta cú S2

Cõu 6. Cho Sn

A. Sn

2
C. S2 .
3

1
D. S3 .
4

1
1
1

cho n 2 , ta c

.
n.n 1
2.2 1 2 3

1
1
2

. Chn C.
1 2 2 3 3

1
1
1
1


...
vi n * . Mnh no sau õy ỳng?
1 2 2 3 3 4
n.n 1

n 1
.
n

B. Sn

n
.
n 1

C. Sn

n 1
.
n2

D. Sn

n2
.
n 3

1
2
3
Li gii. Cỏch trc nghim: Ta tớnh c S1 , S2 , S3 . T ú ta thy quy lut l t nh hn mu ỳng 1 n v.
2
3
4
Chn B.
1
2
3
n
d oỏn Sn

Cỏch t lun. Ta cú S1 , S2 , S3
.
2
3
4
n 1

Vi n 1 , ta c S1

1
1

: ỳng.
1.2 1 1

Gi s mnh ỳng khi n k k 1 , tc l

Ta cú

k
1
1
1

...

.
1.2 2.3
k k 1 k 1

k
1
1
1

...

1.2 2.3
k k 1 k 1

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 16


Tài liệu toán 11

năm học 2018



k
1
1
1
1
1

...



k k 1 k 1k 2 k 1 k 1k 2
1.2 2.3



k 2 2k 1
1
1
1
1

...


k k 1 k 1k 2 k 1k 2
1.2 2.3



1
1
1
1
k 1

...

. Suy ra mnh ỳng vi n k 1 .
1.2 2.3
k k 1 k 1k 2 k 2

Cõu 7. Cho Sn

A. Sn

1
1
1

...
vi n * . Mnh no sau õy ỳng?
1 3 3 5
2n 1 2n 1

n 1
.
2n 1

n
.
2n 1

B. Sn

n

.
3n 2

C. Sn

n2
.
2n 5

D. Sn


1
n 1
S1

3

6
S2 . Kim tra cỏc ỏp ỏn ch cho B tha. Chn B.
Li gii. Cho n 2

15

3
n 3
S3

7

1
1
1
Cõu 8. Cho Pn 1 2 1 2 ...1 2 vi n 2 v n . Mnh no sau õy ỳng?
2 3 n
A. P

n 1
.
n2

n 1
.
2n

B. P

C. P

n 1
.
n

D. P

n 1
.
2n

1 3
n 2
P2 1 2

2 4


Li gii. Vỡ n 2 nờn ta cho
.



1
1 2


P3 1 2 .1 2
n 3

2 3 3



Kim tra cỏc ỏp ỏn ch cho D tha. Chn D.
Cõu 9. Vi mi n * , h thc no sau õy l sai?
A. 1 2 ... n

n n 1
2

B. 1 3 5 ... 2n 1 n 2 .
C. 12 2 2 ... n 2

n n 12n 1
6
2

D. 2 2 4 2 6 2 2n

2n n 12n 1
6

.

Li gii. Bng cỏch th vi n 1 , n 2 , n 3 l ta kt lun c. Chn D.
Cõu 10. Xột hai mnh sau:
I) Vi mi n * , s n 3 3n 2 5n chia ht cho 3.
Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 17


Tài liệu toán 11

năm học 2018

II) Vi mi n * , ta cú

1
1
1
13
.

...

n 1 n 2
2n 24

Mnh no ỳng?
A. Ch I.

B. Ch II.

C. Khụng cú.

D. C I v II.

Li gii. Chn A.
Ta chng minh I) ỳng.
Vi n 1 , ta cú u1 13 3.12 5.1 9 3 : ỳng.
Gi s mnh ỳng khi n k

k 1 , tc l uk k 3 3k 2 5k 3 .

Ta cú uk 1 k 3 3k 2 5k 3k 2 9 k 9 uk 3 k 2 3k 3 3. Kt thỳc chng minh.
Mnh II) sai vỡ vi n 1, ta cú VT

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

1
1 12 13
: Vụ lý.


1 1 2 24 24

- 0946798489

Page | 18


Tµi liƯu to¸n 11

n¨m häc 2018

2. DÃY SỐ
A. TĨM TẮC LÝ THUYẾT
1. Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số
Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên
Ta kí hiệu

bởi

:

và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng qt của dãy số,

hạng đầu của dãy số.
Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển

hoặc dạng rút gọn

được gọi là số
.

2. Người ta thường cho dãy số theo các cách:
Cho số hạng tổng qt, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó
Cho bằng cơng thức truy hồi, tức là:
* Cho một vài số hạng đầu của dãy
* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng qt qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
Dãy số
gọi là dãy tăng nếu
Dãy số

gọi là dãy giảm nếu

4. Dãy số bị chặn
Dãy số
gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực
Dãy số

gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực

sao cho
sao cho

.
.

Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương
B. CÁC
DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG
PHÁP GIẢI
cho
.

sao

Vấn đề 1. Xác định số hạng của dãy số
1. các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: −1, 3,19, 53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy
với quy luật vừa tìm.
Ví dụ 2. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi u n =

n 2 + 3n + 7
n+1

1. Viết năm số hạng đầu của dãy;
2. Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị ngun.
1
u =
Ví dụ 3. Cho dãy số (u n ) xác định bởi:  1

.
u n 2u n −1 + 3 ∀n ≥ 2
=
1. Viết năm số hạng đầu của dãy;
2. Chứng minh rằng =
u n 2 n +1 − 3 ;
3. Số hạng thứ 2012 2012 của dãy số có chia hết cho 7 khơng?

u = u 2 + 2v 2
n +1
n
n với n ≥ 2 .
u1 3,v
=
Ví dụ 4. Cho hai dãy số (u n ),(v n ) được xác định như sau=
1 2 và 
v n +1 = 2u n .v n

(

1. Chứng minh : u 2n − 2v 2n =
1 và u n − 2v n = 2 − 1

)

2n

với ∀n ≥ 1 ;

2. Tìm cơng thức tổng qt của hai dãy (u n ) và (v n ) .

1i. Bài tập tự luận tự luyện
Gi¶ng d¹y: ngun b¶o v­¬ng

- 0946798489

Page | 1


Tài liệu toán 11

năm học 2018

Bi 1 Cho dóy s (u n ) cú s hng tng quỏt u n =

2n + 1
.
n+2

1. Vit nm s hng u ca dóy s.
2. Tỡm s hng th 100 v 200
167
3. S
cú thuc dóy s ó cho hay khụng
84
4. Dóy s cú bao nhiờu s hng l s nguyờn.
3
u =
1,u 2 =
Bi 2 Cho dóy s (a n ) xỏc nh bi: 1

.
u n +=
1 5u n 6u n 1 n 2
1. Vit 7 s hng u tiờn ca dóy
2. Chng minh rng:
=
u n 5.3n 1 6.2 n 1 , n 1 .
Bi 3 Cho dóy s (u n ) cú s hng tng quỏt: u n =2n + n 2 + 4
1. Vit 6 s hng u ca dóy s
2. Tớnh u 20 ,u 2010

3. Dóy s ó cho cú bao nhiờu s hng l s nguyờn.
u1 =
2

Bi 4 Cho dóy s (u n ) xỏc nh bi:
u=
n 2u n 1 + 3n 1, n 2
1. Tỡm 5 s hng u ca dóy

2. Chng minh rng u=
5.2 n 3n 5 =
n 1, 2, 3,...
n
3. Tỡm s d ca u 2010 khi chia cho 3

u 2 2009
=
u 2008;
=

n1
Bi 5 Cho dóy s (u n ) : 1
2u n +=
1 un + un+2
1. Chng minh rng dóy (v n ) : v=
n u n u n 1 l dóy khụng i
2. Biu th u n qua u n 1 v tỡm CTTQ ca dóy s (u n )

u1= 1; u 2= 2

n2
Bi 6 Cho dóy s (u n ) :
u 2n
u
=
n +1
u n 1

u
1. Chng minh rng dóy (v n ) : v n = n l dóy khụng i
u n 1
2. Tỡm cụng thc tng quỏt ca dóy (u n ) .

2
u =
Bi 7. Cho dóy s (u n ) c xỏc nh bi 1
.
u n = 2u n 1 + 3, n 2
1. Tỡm 6 s hng u ca dóy;

2. Chng minh rng
=
u n 5.2 n 1 3 vi n 2 ;
3. S hng cú 3 ch s ln nht ca dóy l bao nhiờu?
=
u 3 6,u
=
: u1 1,u
Bi 8. Cho dóy s (u n ) cú 4 s hng u l =
2 3, =
4 10 .

1. Hóy tỡm mt quy lut ca dóy s trờn;
2. Tỡm ba s hng tip theo ca dóy s theo quy lut va tỡm trờn.
Bi 9
1. Cho dóy (u n ) : u n=

1
(2 + 5)n + (2 5)n .Chng minh rng u 2n l s t nhiờn chn v u 2n +1 l s t nhiờn


2

l.
2. Cho dóy s (u n ) : u n = (4 2 3)n + (4 + 2 3)n . Chng minh rng tt c cỏc s hng ca dóy u l s nguyờn.

Giảng dạy: nguyễn bảo vương

- 0946798489

Page | 2