Bài giảng Đại số 11 chương 3 bài 1 Phương pháp quy nạp toán học

§1.
Tiết 37

CÁI RIÊNG

CỤ THỂ

CÁI CHUNG

TỔNG QUÁT
PHÉP QUY NẠP
PHÉP SUY DiỄN
PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN
PHÉP SUY DiỄN
PHÉP QUY NẠP
“Quy nạp và suy diễn
gắn chặt với nhau như
phân tích và tổng hợp”
PHÉP QUY NẠP
Hãy cùng tìm hiểu
về phương pháp
quy nạp Toán học
Các em cần phân biệt
hai kiểu suy luận và sự
liên hệ giữa hai kiểu
suy luận đó
Ph. Ăng-ghen
“Quy nạp và suy
diễn gắn chặt với
nhau như phân
tích và tổng hợp”

(1820-1895)
Hoạt động 1:

a) Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai
b) ∀n∈N* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai
P(n): “ >3n +1 ” và Q(n): “
3
n
> n ” với n∈N*
2
n
Xét hai mệnh đề chứa biến:
P(n) : “ 3n > 3n+1 ”
Q(n) : “ 2n > n ”
Hoạt động nhóm
Các em sử
dụng phiếu
học tập số
1
Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) : “ 3n > 3n+1 ” và Q(n) : “ 2n > n ”

a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b. Với mọi n∈N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
Trả lời:
a. P(n) : “ 3
n
> 3n+1 ” Q(n): “ 2
n
> n ”

n ? 3n+1
1
2
3
4
5
3
n
n ? n
1
2
3
4
5
2
n
b. Với mọi n∈N* P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là
đúng hay sai. vì ta không thể kiểm tra hết với mọi n∈N*
3
9
27
81
243
4
7
10
13
16
<
>

>
>
>
2
8
16
32 5
4
3
2
1
4
>
>
>
>
>
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
S
Các em
quan sát và
trả lời

§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Bước 1:
Bước 2:
Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất
kỳ n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp).
I. Phương pháp quy nạp Toán học:
Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.
Bước3 :
Các em
chép phần
này vào
vở
Chứng minh rằng với n∈N* thì :
1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n
2
(1)
Giải:
1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 1
2
= 1 .Vậy (1) đúng.

2) Đặt VT = S
n
. Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:
S
k
= 1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) = k
2
(gt quy nạp)

3) Ta chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1 :

Ví dụ 1:
II. Ví dụ áp dụng :
S
k+1
=1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)
2
Thật vậy:
S
k+1
= S
k
+ [2(k + 1) – 1] = k
2
+ 2k + 1 = ( k + 1)
2
Vậy: (1) đúng với mọi n∈N*.
1

1 + 3 =
1 + 3 + 5 =
1 + 3 + 5 + 7 =
1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
1
4
= 2
2
9 = 3
2

16 = 4
2
25 = 5
2
= 1
2
+ 3
+ 5 + 7 + 9
n
+ +
(2n – 1) = n
2
2.2
1.1
3.3
4.4
5.5
.n
Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈N*
Chứng minh : 1 + 3 + 5 + 7+
…
+ (2n – 1) = n
2
Quan sát
phần minh
họa cho ví
dụ 1
Chứng minh rằng với n∈N* thì n
3
– n chia hết cho 3.

Giải :
Đặt A
n
= n
3
– n (1)
1) Với n = 1, ta có : A
1
= 0
…
3
2) Giả sử với(1) đúng với n = k ≥ 1, ta có:
A
k
= (k
3
– k)
…
3 (giả thiết quy nạp)
3) Ta chứng minh A
k+1

3
Thật vậy: A
k+1
= (k+1)
3
- (k+1) = k
3
+3k

2
+3k +1- k -1
= (k
3
- k) +3(k
2
+k)
= A
k
+ 3(k
2
+k)
A
k
…
3 và 3(k
2
+k)

3 nên A
k+1
…
3 .
Vậy: A
n
= n
3
– n chia hết cho 3 với mọi n∈N*.
Ví dụ 2:
Ví dụ 2

Các em
chép phần
này vào
vở
I. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi n∈N* ta thực hiện theo các bước sau:
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 (Giả thiết qui nạp-GTQN)
B3: Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
II. Ví dụ áp dụng:
HOẠT ĐỘNG NHÓM
HOẠT ĐỘNG NHÓM
CMR : Với mọi n∈N* có u
n
= 13
n
–1 6
…
CMR : Với mọi n∈N* có u
n
= 10
n
– 4 3
…
Hoạt động 2:
HOẠT ĐỘNG NHÓM
HOẠT ĐỘNG NHÓM
Các em sử
dụng phiếu
học tập số 2

Thật vậy:
CMR : Với mọi n∈N* có u
n
= 13
n
– 1 6 (2)
…
u
k+1
= 13
k+1
– 1 = 13
k
.13 –1
= 13
k
.(12+1) – 1

Với n = 1 ta có: u
1
= 13
1
–1 =12 6 (Mệnh đề (2) đúng)

Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là: u
k
= 13
k
– 1 6
Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là : u

k+1
= 13
k+1
– 1 6
…
…
…
= 12.13
k
+13
k
– 1
Vậy với mọi n∈N*, ta có u
n
= 13
n
– 1 6 (2)
…
= 12.13
k
+ u
k

…
Vì : 12.13
k
6 và u
k
6
…

Chú ý theo
dõi bài giải
Thầy mời nhóm 1
cử đại diện trả lời
Thật vậy:
CMR : Với mọi n∈N* có u
n
= 10
n
– 4 3 (3)
…
u
k+1
= 10
k+1
– 4 = 10
k
.10 – 4
= 10
k
(1+9) – 4
…

Với n = 1 ta có: u
1
= 10
1
–1 = 9 3 (Mệnh đề (3) đúng)

Giả sử mệnh đề (3) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là: u

k
= 10
k
– 4 3
Ta phải chứng minh (3) đúng với n = k + 1, tức là : u
k+1
= 10
k+1
– 4 3
…
…
= 10
k
– 4 + 9.10
k
Vậy với mọi n∈N*, ta có u
n
= 10
n
– 4 3 (3)
…
= u
k
+ 9.10
k

…
Vì : 9.10
k
3 và u

k
3
…
Chú ý theo
dõi bài giải
Thầy mời nhóm 2
cử đại diện trả lời
Chú ý:
Bài tập số 3 ( trang 82 – sgk Đại số & Giải tích 11)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất
đẳng thức : a) 3
n
> 3n + 1 b) 2
n+1
> 2n + 3
•
Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 2
•
Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên
bất kỳ n = k ≥ 2 (giả thiết quy nạp)
•
Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với
n = k+1 .
•
Bài tập này các em sẽ được hướng dẫn trong tiết luyện tập.
Chú ý:
Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số
tự nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên ) thì :
•
Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p .

•
Ở bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên
bất kỳ n = k ≥ p (giả thiết quy nạp)
•
Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với
n = k+1 .
Các em ghi nhận
phần chú ý quan
trọng này
Củng cố:
Nắm vững các bước thực hiện một bài toán chứng
minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
•
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1 (hoặc n = p ).
•
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 (hoặc với
số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ p) (giả thiết quy nạp)
•
Bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 .
•
Cần chú ý vào giả thiết quy nạp và dựa vào yêu cầu
của bài toán để kết luận.
Dặn dò:
1/ Làm lại các bài tập vừa tiếp thu tại lớp
2/ Làm các bài tập 1& 2 trang 82 SGK.
3/ Xem bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”trang 83 SGK
Các em chú ý
nghe Thầy dặn
để thực hiện
Nguyễn Thanh Lam - Tổ Toán –Tin – Trường THPT Thanh Bình